2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列求和（九大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第05講數(shù)列求和

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：通項(xiàng)分析法.............................................................2

題型二：公式法.................................................................2

題型三：錯(cuò)位相減法.............................................................3

題型四：分組求和法.............................................................4

題型五：裂項(xiàng)相消法.............................................................5

題型六：倒序相加法.............................................................6

題型七：分段數(shù)列求和...........................................................7

題型八：并項(xiàng)求和法.............................................................8

題型九：先放縮后裂項(xiàng)求和.......................................................8

02重難創(chuàng)新練..................................................................9

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................13

//

題型一：通項(xiàng)分析法

1.數(shù)歹?。?,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+23),...,(1+2+—+21)」..的前”項(xiàng)和為.

2.數(shù)列5,55,555,5555,…系10"-1),…的前〃項(xiàng)和S“=.

3.1202年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用?若

此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列｛?！ǎ?則數(shù)列｛4｝的前2022項(xiàng)的和為.

4.(2024?湖南株洲?一模)數(shù)列｛風(fēng)｝的首項(xiàng)為1,其余各項(xiàng)為1或2,且在第七個(gè)1和第左+1個(gè)1之間有2左-1

個(gè)2,即數(shù)列｛%｝為：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，則S2019=.(用

數(shù)字作答)

題型二：公式法

5.(2024?高三?河南鄭州?期中)數(shù)列1,2，g,y,；,y>-7>J，....，前100項(xiàng)的和

223334444s

是.

6.已知等差數(shù)列｛g｝的首項(xiàng)4=2,公差d=3,在｛4｝中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入2個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列

的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列也｝.

⑴求數(shù)列｛”｝的通項(xiàng)公式；

(2)插入的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求該數(shù)列前2“項(xiàng)的和耳.

7.(2024.海南?？?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)》=區(qū)是高斯函數(shù)，其中國表示不超過尤的最大整數(shù)，如。8]=0,

[L5]=l.若數(shù)列｛%｝滿足q=2,且4+4+1=2〃+3,記d=[lga'].

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛4｝的前2024項(xiàng)和.

題型三：錯(cuò)位相減法

8.(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S“，且q=1,25“=3氏+〃7.

(1)求實(shí)數(shù)加的值和數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=a?-log3a?+1,求數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和Tn.

9.(2024.江西宜春.模擬預(yù)測(cè))數(shù)列以｝滿足％+?筆+…+今=2”.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

,n

⑵若a=一,求｛2｝的前〃項(xiàng)和1,?

10.(2024?浙江紹興?三模)已知數(shù)列｛4｝的前力項(xiàng)和為s“，且4=2,sn=^-an+1,設(shè)我=2.

n+2n

⑴求證：數(shù)列也｝為等比數(shù)歹U；

⑵求數(shù)列｛S,｝的前〃項(xiàng)和

題型四：分組求和法

11.(2024?廣東?二模)在等差數(shù)列｛4｝中，%=13,&=53.

⑴求｛?！埃耐?xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛2%+(-1)"｝的前n項(xiàng)和S”.

12.已知數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為I，且

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若bn=%,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

13.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，S9=-27,S1O=-4O.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)由=+2",求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和T?.

14.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且滿足弓=偽=1也+為=5

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

⑵令c?=an+bn求數(shù)列｛cj的前n項(xiàng)和S?；

15.已知等差數(shù)列｛叫的前,項(xiàng)和為，，且為=3,$5=25.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)b?=a“+2”T,求數(shù)歹U也｝的前"項(xiàng)和T?.

題型五：裂項(xiàng)相消法

16.（2024?江蘇鹽城?一模）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝中，且3a3+2。用4-a；=0（"eN*）.

（1）求數(shù)列｛q,｝的通項(xiàng)公式；

⑵2=---------------eN*證明：4+仇+…+a<;.

4%+4+。用+1

17.（2024?廣東茂名.一模）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S",且65=64+53,2%,-32“=1,〃eN*.

⑴求數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列1金一］的前"項(xiàng)和T?.

18.（2024?四川.模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列物,｝為等比數(shù)

列,q=4=2,。2，%-1，。7成等比數(shù)列.4也，々T8成等差數(shù)列.

⑴求｛4｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵若。“=口^，｛，｝的前W項(xiàng)和為s“，求證：S“<；

anan+lDn+l4

19.（2024.全國.模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均不小于1,前，項(xiàng)和為=1,｛25“-可是公差為1的

等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

（2）求數(shù)列［學(xué)的前〃項(xiàng)和Tn.

20.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列｛4｝的前八項(xiàng)和為S"，已知2s“=/+為+4-1.

⑴若。尸1,證明：｛4-〃｝是等比數(shù)列;

（2）若〃2是%和〃3的等差中項(xiàng)，設(shè)么=-----，求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和為

anan+2

21.（2024.陜西安康.模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和為S“，且$5=45,%+%=26.

（1）求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式；

（2）若一丁，求數(shù)列也｝的前10項(xiàng)和.

題型六：倒序相加法

22.對(duì)于三次函數(shù)/（x）=&+加+B+1（力0）,給出定義：設(shè)廣（力是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù)，7（X）是函

數(shù)廣（力的導(dǎo)數(shù)，若方程/（X）=0有實(shí)數(shù)解%,則稱點(diǎn)（%,/（%））為函數(shù)y=/（X）的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究

發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.給定函數(shù)

=請(qǐng)你根據(jù)上面的探究結(jié)果，解答以下問題：

①函數(shù)/⑴=$3一;/+3工一卷的對(duì)稱中心坐標(biāo)為.

^j+---+f|^j-—■

@T+B/^2024J+/^2024J+/20242024

i2023

23.(2024.上海寶山?一模)已知函數(shù)”x)=(x+iy+l,正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝滿足生。[2=京，則

1。k=l

24.已知正數(shù)數(shù)列｛4｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且4%。19=1，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的方法探求：

4

X=

若f()]+尤2，則/(G)+/(a?)+,,,+/(a2019)=-

25.(2024?湖北.模擬預(yù)測(cè))“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并

且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)、倒序相加法、最小二乘法、每一個(gè)〃階代數(shù)方程必有〃個(gè)復(fù)數(shù)解

等.若函數(shù)/(耳=1。82鼻，設(shè)++-+貝|

〃]+%+,,?+〃io=.

題型七：分段數(shù)列求和

26.已知數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和為%4=2,等比數(shù)列例｝的公比為2,S/“=/2".

⑴求數(shù)列｛4｝,｛〃｝的通項(xiàng)公式；

⑵令臉上'黑黑求數(shù)列匕｝的前1。項(xiàng)和.

為奇數(shù)

27.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝滿足弓=1,%=1，當(dāng)”23時(shí),

2a“_2+l，"為偶數(shù)

(1)求知和。6,并證明當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)｛?！?1｝是等比數(shù)歹U；

(2)求〃]+%+%+..+〃29

28.(2024.黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測(cè))已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，S"為｛“的前〃項(xiàng)和，〃￡=2"(2用-2).

(1)求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式；

為奇數(shù)

⑵令么=]”為偶數(shù)，設(shè)數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和I，求凡?

5

log2tz?-log2a?+2

29.(2024?浙江金華?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)歹!R=|2"-例，則數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和臬=.

題型八：并項(xiàng)求和法

30.已知數(shù)歹I]｛4｝滿足+(-1)"4=2/7-1,貝I]｛4｝前48項(xiàng)之和為.

31.(2024.高三.廣東深圳.期末)已知等差數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和為S“，S9=81,且如T，aA+l,%+3成等

比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若/eN*,7.是數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和.求

32.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)%=小sin子(weN*),貝!|前10項(xiàng)的和4+%+%+~+%o=

33.若數(shù)列｛?！保耐?xiàng)為“Ll+JlFQa+lAsin^,前〃項(xiàng)和為S,,,則邑紈=.

rijr

34.數(shù)列｛凡｝的前"項(xiàng)和為S“，若%=l+”cos5■伽eN*),貝弘凡｝的前2019項(xiàng)和邑019=

題型九：先放縮后裂項(xiàng)求和

35.已知數(shù)列｛““｝是等差數(shù)列，且出=-1，數(shù)列也｝滿足6,-2I=。"("22,neN*),且4=4=1.

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

(2)將數(shù)列｛4｝,｛包｝的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新的數(shù)列｛￡,｝，求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式;

的前〃項(xiàng)和為■，證明：T<^~.

⑶設(shè)數(shù)列n

4

36.已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足q=1,a?+i-an=H+l,〃eN*.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

111c

(2)證明：—+—+—<2.

%a2a?

37.已知數(shù)列｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，且裙，/，片成等差數(shù)列，?3,6，(根eN*)成等比

數(shù)列,a3+a6+am=21.

(1)求加的值及｛為｝的通項(xiàng)公式；

,1111

⑵令〃=3%+5,weN*,求證：於+m+…+記<5.

b1瓦%2

1.(2024?福建泉州?一模)記數(shù)列｛%｝,｛〃｝的前〃項(xiàng)和分別為S“,7；,若｛4｝是等差數(shù)列，且

S6=S5+25=90,?AG?+1=1,則加=()

n40

ABD.——

-t-福41

2.(2024.安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛2｝各項(xiàng)為正數(shù)，也｝滿足d=6也+1，an+an+l=2bn+l,若％=2,

111

4=1,貝!I——+——+,??+二()

axa2。2024

人10121011―20242023

A.------B.------C.------D.------

1013101220252024

3.(2024.江西吉安.模擬預(yù)測(cè))已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和S“滿足2S“=%+'(〃eN*),若

an

/(〃)=!+:+!+…+!，記[m]表示不超過加的最大整數(shù)，貝！l[〃400)]=()

?33M

A.37B.38C.39D.40

4.(2024?天津北辰?模擬預(yù)測(cè))設(shè)數(shù)列｛為｝滿足4+2/+3/+--+加〃=2〃+1(〃WN*),則數(shù)列[力]的前

5項(xiàng)和為()

241

5(2。24河南三模)已知等差數(shù)列間的公差大于。且%+-4%‘若1^^=6，則％=()

13「9「7之

A.—B.-C.一D.

4444

?1「I一

6.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè))己知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，a=,若表示不超

n4+1+4L」

過了的最大整數(shù)，則％]+&]+…+[4?]=()

A.615B.620C.625D.630

7.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))在學(xué)習(xí)完“錯(cuò)位相減法”后，善于觀察的同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于“等差,等比數(shù)列”此類數(shù)列

求和，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解.例如a.=S+l)-2'=(f+1)2-(-辦2向,故數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和

223nn+I,,+1

Sll=al+a2+ai+..-+an=0x^-(-1)x2+(-1)x2-(-2)x2+...+(-7i+l)-2-(-/i)-2=n-2.記數(shù)列

的前〃項(xiàng)和為T〃，利用上述方法求品-6二()

A243「243八485「485

'219u.219220220

8.(2024.遼寧大連.模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)的積為(，則使得￡勺＜2024成立的"

1Z=1

的最大值為()

A.2021B.2022C.2023D.2024

9.（多選題）（2024?江西?三模）已知數(shù)列也,｝滿足q=1,?！?|=24+1,則（）

A.數(shù)列何｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛log?（4+1）｝是等差數(shù)列

C.數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為2向-〃-2D.電。能被3整除

10.（多選題）（2024?貴州畢節(jié)?三模）已知等差數(shù)歹（]｛4｝的前”項(xiàng)和為S,,,且S4=4S2，/“=24+l（"eN*）,

貝IJ（）

2

A.an=2n-\B.Sn=n

C.數(shù)列]—的前w項(xiàng)和為D.數(shù)歹U｛a”+2"｝的前〃項(xiàng)和為2川+〃2一2

[a?an+l]2n+l

11.（多選題）（2024?安徽淮北.二模）已知數(shù)列｛?！埃?也｝的前〃項(xiàng)和分別為S,工，若%=2〃-1,7；=2角-2,

貝I（）

A.50=100B.bl0=1024

C.的前10項(xiàng)和為2D.的前10項(xiàng)和為粵

[a?an+1]19[bn\1024

12.（2024?山西陽泉?三模）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,且5“=2?！?2,則數(shù)列7-仔―大的前

nM“+1）（4+2）J

100項(xiàng)和幾=.

13.（2024?四川?三模）在數(shù)列｛4｝中，已知q=；,（〃+2應(yīng)+1=%,則數(shù)列｛%｝的前2024項(xiàng)和S?O24=

14.（2024.江蘇南通.模擬預(yù)測(cè)）定義：國表示不大于x的最大整數(shù)，｛%｝表示不小于x的最小整數(shù),如[L2]=1,

｛L2｝=2.設(shè)函數(shù)/（x）=｛x?。诙x域[0,?。ā╡N*）上的值域?yàn)镃（I,記C,中元素的個(gè)數(shù)為%,則

111

%=,—+—+…+—=

tt

15.（2024.湖南衡陽?模擬預(yù)測(cè)）己知等差數(shù)列｛為｝的前w項(xiàng)和為S“，且｛S“+/｝也是等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛?｝的公差；

⑵若q=-l,求數(shù)列1」一]的前“項(xiàng)和

aa

[nn+lJ

16.（2024?安徽安慶?模擬預(yù)測(cè)）己知0弋“

⑴求tanq,tan/Jan/；

（2）證明：｛tad4｝是等差數(shù)列，并求出tai?4；

]

，求也｝的前〃項(xiàng)和S..

tan?！?tan%

，、1112a

17.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，＞y+—+---+—=

（1）求｛。“｝的通項(xiàng)公式；

（2）若優(yōu)=（"l）（"+2）,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和/.

的用

18.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛%｝的前力項(xiàng)和為S“，滿足q=2,數(shù)歹1］電+q,+2｝也

為等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

（2）記么=登」，求數(shù)列｛”｝的前〃項(xiàng)和T?.

19.（2024?四川涼山三模）如圖，點(diǎn)4（ieN*）均在x軸的正半軸上，AOA畫，^A,B2,“，”小區(qū)分

別是以勺的,…,4（〃eN*）為邊長(zhǎng)的等邊三角形，且頂點(diǎn)用（/eN*）均在函數(shù)y=?的圖象上.

（1）求第〃個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)。“；

(2)求數(shù)列一1—1的前n項(xiàng)和T?.

1.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)記S“為數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和，已知4s〃=3a“+4.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)％=(-1尸”，求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和4.

2.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)S“為數(shù)列何｝的前〃項(xiàng)和，已知為=l,2S”"a".

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列的前〃項(xiàng)和，.

2"

〃-6,〃為奇數(shù)

3.(2023年新課標(biāo)全國H卷數(shù)學(xué)真題)已知｛%,｝為等差數(shù)列，bn=2小為偶數(shù)’記％4分別為數(shù)列

｛叫，也｝的前"項(xiàng)和,$4=32,7；=16.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：當(dāng)〃>5時(shí),Tn>Sn.

7.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)｛%｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛〃｝滿足或=詈.已知4,

3%,9%成等差數(shù)列.

（1）求｛%｝和｛4｝的通項(xiàng)公式；

C

⑵記S"和7；分別為｛%｝和凡｝的前"項(xiàng)和.證明：T“〈彳.

8.（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（天津卷））設(shè)｛%｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前

n項(xiàng)和為,也｝是等差數(shù)歹!J.已知％=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.

（I）求｛凡｝和凡｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)數(shù)列卜“｝的前n項(xiàng)和為

（i）求。;

、0日+（4+4+2）%

（11）證7r明盲優(yōu)+1”+2）-2(nGN*)

n+2

9.（2020年天津市高考數(shù)學(xué)試卷）已知｛4｝為等差數(shù)列，｛〃｝為等比數(shù)列,

%=4=l,a5=5（%-%），&=4（》4一4）一

（I）求｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（II）記｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，求證：S￡+2<S3（77WN*）；

(3…6.

”為奇數(shù)，

(III)對(duì)任意的正整數(shù)”，設(shè)g=aA+2求數(shù)列｛&｝的前2〃項(xiàng)和.

a

k?7-x”為偶數(shù).

10.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)III））設(shè)數(shù)列｛即｝滿足卬=3,4+1=3%-4”.

（1）計(jì)算（22,。3,猜想｛?！ǎ耐?xiàng)公式并加以證明；

（2）求數(shù)列｛2〃加｝的前“項(xiàng)和

11.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)I））設(shè)｛“"｝是公比不為1的等比數(shù)列，為為的,

的等差中項(xiàng).

（1）求｛%｝的公比;

（2）若q=1,求數(shù)列｛”0“｝的前"項(xiàng)和.

第05講數(shù)列求和

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：通項(xiàng)分析法.............................................................2

題型二：公式法.................................................................2

題型三：錯(cuò)位相減法.............................................................3

題型四：分組求和法.............................................................4

題型五：裂項(xiàng)相消法.............................................................5

題型六：倒序相加法.............................................................6

題型七：分段數(shù)列求和...........................................................7

題型八：并項(xiàng)求和法.............................................................8

題型九：先放縮后裂項(xiàng)求和.......................................................8

02重難創(chuàng)新練..................................................................9

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................13

//

題型一：通項(xiàng)分析法

1.數(shù)歹山,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+23),...,(1+2+—+21)」..的前〃項(xiàng)和為.

【答案】2"+l-2-n

【解析】觀察數(shù)歹U得至U%=1+2+…+2--'=m=2"-1,

12/?

所以前幾項(xiàng)和Sn=a1+4+…+。般—2—1+2—1+???+2—1

o1_i_o2_1_r>n2(1—2)〃+1

=2+2H-----1-2一〃=--------n=2-2-n.

1-2

故答案為：2向-2-九.

2.數(shù)列5,55,555,5555,…,|(10〃—1),…的前幾項(xiàng)和r.

【答案】—xlOn+1-—

81819

【解析】由題意，??=|(10"-1),

所以s“=|(10-1+102-1+103-1+---+10,,-1)

510-10"X10

=-x------------n

91-10

9X10〃M_—_—

81819

故答案為：Axiow+1-^-^

olol9

3.1202年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用?若

此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列｛叫，則數(shù)列｛4｝的前2022項(xiàng)的和為.

【答案】2276

【解析】由數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L各項(xiàng)除以3的余數(shù)，

可得數(shù)列｛%｝為1，1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,L,

所以數(shù)列｛g｝是周期為8的數(shù)列，

一個(gè)周期中八項(xiàng)和為1+1+2+0+2+2+1+0=9,

又因?yàn)?022=252x8+6,

所以數(shù)列｛。.｝的前2022項(xiàng)的和52022=252x9+8=2276.

故答案為：2276.

4.（2024?湖南株洲?一模）數(shù)列｛4“｝的首項(xiàng)為1,其余各項(xiàng)為1或2,且在第左個(gè)1和第Z+1個(gè)1之間有2%-1

個(gè)2,即數(shù)列｛%｝為：1,2,12,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,記數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為列，則S2019=.（用

數(shù)字作答）

【答案】3993

【解析】第左+1個(gè)1為數(shù)列｛?｝第左+1+Q+3+5+…+2"1）=廿+左+1項(xiàng)，

當(dāng)上=44時(shí)-+左+1=1981；當(dāng)左=45時(shí)3+^+1=2071；

所以前2019項(xiàng)有45個(gè)1和442+（2019-1981）個(gè)2,

2

因止匕52019=45+2x［44+（2019-1981）］=3993.

題型二：公式法

5.（2024?高三?河南關(guān)B州?期中）數(shù)列1,4，〈，:，J,J,y,……，前100項(xiàng)的和

2233344445

是.

9

【答案】135

14

【解析】由題意可知，該數(shù)列中，工有〃項(xiàng)，且這〃項(xiàng)的和為1,

n

令1+2+3+…+〃=-^——^<100,,.,neN*,貝的最大值為13,

2

所以，該數(shù)列第100項(xiàng)為1，且］的項(xiàng)數(shù)為100-"售=9,

14142

19

因此，該數(shù)列的前100項(xiàng)的和是

1414

Q

故答案為13二■.

14

6.已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=2,公差d=3,在｛4｝中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入2個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列

的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列也｝.

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(2)插入的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求該數(shù)列前2〃項(xiàng)的和心.

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d，，由題意知：乙=%=2也=%,

，一〃d

d--“-----4---_---2-----Q--]———1,

4-133

所以年超+5-1“=2+(〃_1)=〃+1,所以也｝的通項(xiàng)公式是6“=w+l.

(2)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=%+為-1必=2+3(〃-1)=3"-1,

記數(shù)列｛an｝與｛2｝前n項(xiàng)的和分別為Sn,S'n,

則4——網(wǎng)用1-幽磬

=3限+3〃+1)_〃(2+31)=+

22

7.(2024?海南?？?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=國是高斯函數(shù)，其中[x]表示不超過尤的最大整數(shù)，如[0.8J=0,

[1.5]=1.若數(shù)列｛4｝滿足4=2,且a“+a“+i=2九+3,記2=[lgq“].

⑴求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列也｝的前2024項(xiàng)和.

【解析】(1)因?yàn)閝=2,〃1+出=5,所以%=3,

因?yàn)?+=2〃+3,所以an+\+。"+2=2〃+5,將兩式相減，得：Q〃+2--2,

所以數(shù)列｛??｝的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別單獨(dú)構(gòu)成等差數(shù)列.

當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，a3-ax=2,%-%=2,.......,且％=2,

孔一]

_

貝！ja”=(a,—o?_2)+(a?_2-----，4)+q=2+2H------------1-2=2x---1-2=n+1,

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，貝U%,=2"+3—a"+]=2/+3-(〃+2)=〃+1,

所以%=〃+l(〃eN*).

(2)設(shè)｛a｝的前"項(xiàng)和為T,,

當(dāng)KW8時(shí),bn=[lg(?+l)]=0,

當(dāng)9<〃(98時(shí)，^=[lg(n+l)]=l,

當(dāng)994〃V998時(shí),或=[lg(〃+l)]=2,

當(dāng)9992024時(shí)，&?=[lg(n+1)]=3,

所以A=8x0+90x1+900x2+1026x3=4968.

題型三：錯(cuò)位相減法

8.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=l,2S“=3a”+〃z.

（D求實(shí)數(shù)加的值和數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若%=a?-log3a?+1,求數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和Tn.

[解析】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，2sl=3〃i+m，

S1=%,/.2q=3a1+mf

m=—at=—1,

當(dāng)”22時(shí)，2an—2Sn-2S0_]=3%-l-（3an_｝-1）,

整理得a,=3a°產(chǎn)。；.——=3,

%一

二數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

(2)法一：

-1

,-,b“=an-log3a?+1=3'i?log33"=n-3",

r.7；=lx3°+2x3i+3x32+...+(〃-l)?30-2+〃.3"T①,

23

3Tn=1x31+2x3+3x3+???+(?-1)-3"^+?.3"

①-②得

-27；=30+31+32+..-+3"-2+3,,-1-?-3"

1--0-2”)S'

=-----1

22

--ln-4+4-'

法二：

1nl

b"=a?-log3a,1+1=3"-log33"=n-3,

設(shè)a=(A”+3)?3”-[A(〃-1)+43，i=(2A〃+A+23).3”~,

.12A=1且A+2B=0,解得A=—,8=—,

24

即H=C"+「C"，其中C"=；("1)一；,3"T,

?，T〃=瓦+%+…+b〃

=(。2-。1)+(。3-。2)+???+(?！?1-?！?

二或+1-。

(24

_(2n-l)-3"1

=----------1--,

44

.T…-1)3'

-n=4-4—'

9.(2024.江西宜春.模擬預(yù)測(cè))數(shù)列｛%｝滿足％+?爭(zhēng)+...+斜=2”.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若或=一,求0｝的前〃項(xiàng)和7“.

an

【解析】(1)數(shù)列析“｝滿足4+"+"+…+券=2”,

當(dāng)"22時(shí)，4+戰(zhàn)+蒙+…+!^=2(〃-1)，

兩式相減可得，券=2,所以?！?2"，

當(dāng)〃=1時(shí)，%=2=21也滿足上式，

所以?！?2"；

(2)由(1)得么與，

所以騫號(hào)+舁弄…+9

[1123n-1n

則5^=^+聲+貸+…+亍+尹，

1(1_±)

-rr-_lx_Lr、i也11111〃OVO"7H.、〃+2

兩式相減的，=彳+于■+于■+…+亍'-JRi齊'=l_f，

乙乙乙乙乙z1Az乙

~2

所以北=2-"崇+2?

10.(2024?浙江紹興?三模)已知數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為S.,且q=2,Sn=~^-an+l,設(shè)我=&.

〃+2n

⑴求證：數(shù)列也｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛，｝的前〃項(xiàng)和T..

【解析】⑴Sn=^-an+1=^-(Sn+1-S?),SP(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),

即必用=(2〃+2)S“，則逢彳=(2；+2%,即鳥t=也，

即2+i=2〃，又4=:=%=2,

故數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)易得b“=2",即』2",則S"=〃-2",

n

則/=1"+2?22+…+〃.2",

有27；=1-22+22+—+〃-2M,

則/-27；=-尊=2+2?+23+…+2”-〃-22

2(1-2")

1-2''

故(=(”一1)-2.+2.

題型四：分組求和法

11.(2024.廣東.二模)在等差數(shù)列｛%｝中，%=13,&=53.

⑴求也“｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛24+(-1)"｝的前n項(xiàng)和S,.

【解析】⑴設(shè)間(的x公差為〃則[[ay7+2-d=313,

解得夕:

[4=4,

所以見=4"+L

(2)(方法一)S〃=2(4+%+?一+%)+—；~~(

(5+4〃+1)〃1+(-1嚴(yán)

=2x

22

/24i+（-ir+1

=4〃+6〃--------------.

2

（方法二）當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，5“=2（%+%+3+為）

（5+4幾+1）幾°

=2x----------------=4/+6〃；

2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，S“=2（q+%+…+4）-1

=4712+671—1.

特卜[4/i2+6n-1,"為奇數(shù)，

區(qū)上'“=14〃2+6〃,“為偶數(shù)

12.已知數(shù)列｛4｝的前，項(xiàng)和為%且S“="2-〃.

（1）求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式；

⑵若bn=%,求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和7；.

【解析】（1）;S”="一〃,S〃_i=（〃一I）之一（九一1）,“N2,

兩式相減得=2”-2,心2,

又當(dāng)”=1時(shí)，4=S]=0,滿足上式，

所以?！?2〃一2；

(2)由(1)得W=%“=2?一2,

.?.(=〃+仇+…+優(yōu)=(2?+2^+2<+…+2用)一2”.

=*I)_2n=2"+2_2〃_4

1-2

13.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，S9=-27,S1O=-4O.

⑴求數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)bn=a?+2",求數(shù)列｛0｝的前〃項(xiàng)和T?.

9x8)》

-----a=-27

2ciy—5

【解析】(1)設(shè)｛%｝公差為d,由Sg=-27,%=-40得,I',解得

d=—2

10。1+-------d=-40

2

an=5-2(〃-1)=7-2?；

(2)由包=?！?2〃得么=7—2〃+2",

+1

Tn=Sn+2d)=wx5+“(Dx(-2)+2向一2=-〃2+6〃+2"-2.

1-22

14.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且滿足弓=偽=1也+%=5

⑴求數(shù)列｛??｝和也｝的通項(xiàng)公式；

⑵令C“=an+bn求數(shù)列｛c“｝的前”項(xiàng)和Sn；

【解析】（1）設(shè)｛%｝的公差為d,

由已知，有2+1+d=5解得d=2,

所以｛a,,｝的通項(xiàng)公式為°"=2〃-1,〃eN*,也｝的通項(xiàng)公式為bn=X-\neN*.

x

（2）cn=an+bn=r-+2n-\,分組求和，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列求和公式得到:

S,=y（l+21，+2T.

“1-22

15.已知等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，且%=3,$5=25.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

1

⑵設(shè)bn=an+2-,求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和夕.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,首項(xiàng)為如，

%+d=3

Cly—1

由題意，有二5x4,解得

5%H———d—25d=2

所以?！?l+（〃-l）x2=2〃-1；

（2）b“=a“+2"T=2〃-l+2"T,所以北=.（1+：〃―1）+巖1=/+2"_1.

題型五：裂項(xiàng)相消法

16.（2024?江蘇鹽城?一模）已知正項(xiàng)數(shù)列｛g｝中,4=；,且3e+]+2<2“+]4-e=。卜7€N).

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;

證明：4+Z+-??+〃</

(2)bn=----———--------(“eN*

aa+a+a+1

?n+lnn+\

【解析】(l)由3〃3+24+4—片=(%+I+4)(34+I—4)=。，>0,

得an+i=§"〃'又q=屋

則｛“〃｝是以g為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)歹U,

所以￡N*.

4,一%

（2）證明:因?yàn)椤?/p>

a，，%+i+a.+4，+i+l

=(%+1)-(々〃+1+1)=1

HGN

(4+1)(〃〃+1+1)々〃+1+14+1

所以4+4+…+或

±\—------------=-^—]1331

----<1-----=——

k=l1W+l+lW+"〃+1+1%+1Jr+l444■

17.（2024?廣東茂名?一模）已知等差數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為S“，且醺=64+63,2/-3%,=1,"N*.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列［金一］的前〃項(xiàng)和。.

【解析】（1）?.?數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，記其公差為d,

,5x47/4x37。3x2.

JCL,H-------d—4〃iH--------d+3alH-------d,2q=d1q=1

由題意知，121212

-q+