高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)新定義壓軸匯編11基于三角形三邊關(guān)系的數(shù)學(xué)新定義

高一上期期末新定義壓軸匯編11.基于三角形三邊關(guān)系的新定義一．基本原理三角形的三邊關(guān)系為任意兩邊之和大于第三邊，因此函數(shù)，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，都能構(gòu)成三角形的三條邊長(zhǎng)，它的充要條件為：.二．典例分析例1．已知函數(shù)，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，都能構(gòu)成三角形的三條邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)為上的“完美三角形函數(shù)”.（1）試判斷函數(shù)是否為上的“完美三角形函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)向量，，若函數(shù)為上的“完美三角形函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)為（為常數(shù)）上的“完美三角形函數(shù)”.函數(shù)的圖象上，是否存在不同的三個(gè)點(diǎn)，滿足，？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.解析：（1）是R上的“完美三角形函數(shù)”.，因?yàn)?，所?所以.因?yàn)椤啊笔恰盀樯系摹巴昝廊切魏瘮?shù)”的充要條件，所以函數(shù)是R上的“完美三角形函數(shù)”.（2）因?yàn)?，所?且.因?yàn)?，所?所以的最大值為1，最小值為.①當(dāng)時(shí)，由，得.②當(dāng)時(shí)，，滿足題意.③當(dāng)時(shí)，，由，得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）因?yàn)?，則，所以，由，得，則，又因?yàn)?，?假設(shè)存在滿足題意的三個(gè)點(diǎn)，則，且，所以，所以.即.因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，所?所以，與矛盾.故不存在點(diǎn)滿足題意.例2．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）對(duì)于函數(shù)，若，，，，，為某一三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，已知函數(shù)是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）當(dāng)時(shí)，不等式，即為，也就是，解得，所以不等式的解集為.（2）由于函數(shù)，所以是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，首先，必有才能保證；且必有，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，是上的增函數(shù)，則的值域?yàn)椋?，解得；②?dāng)時(shí)，即時(shí)，，符合題意；③而當(dāng)時(shí)，即時(shí)，是上的減函數(shù)，則的值域?yàn)?，故，解?綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.例3．已知函數(shù)（其中為常數(shù)）.（1）如果存在，使得不等式能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，是否存在正數(shù)，使得對(duì)于區(qū)間上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)都存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形?若存在，試求出這樣的的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：（1）實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）假設(shè)存在正數(shù)滿足題意；設(shè)，則在上單調(diào)遞減，所以，則；所以對(duì)于區(qū)間上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)，，，都存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形，等價(jià)于，因?yàn)?，，任取，則，當(dāng)時(shí)，，，故，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，故，即，所以在上單調(diào)遞增；綜上：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對(duì)于，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，，則，解得，故；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，故，，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，則，整理得，解得，所以，即，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，則，