高一上學期期末數(shù)學新定義壓軸匯編11基于三角形三邊關系的數(shù)學新定義

高一上期期末新定義壓軸匯編11.基于三角形三邊關系的新定義一．基本原理三角形的三邊關系為任意兩邊之和大于第三邊，因此函數(shù)，，若對于任意實數(shù)，，，都能構(gòu)成三角形的三條邊長，它的充要條件為：.二．典例分析例1．已知函數(shù)，，若對于任意實數(shù)，，，都能構(gòu)成三角形的三條邊長，則稱函數(shù)為上的“完美三角形函數(shù)”.（1）試判斷函數(shù)是否為上的“完美三角形函數(shù)”，并說明理由；（2）設向量，，若函數(shù)為上的“完美三角形函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)為（為常數(shù)）上的“完美三角形函數(shù)”.函數(shù)的圖象上，是否存在不同的三個點，滿足，？若存在，求的值；若不存在，說明理由.解析：（1）是R上的“完美三角形函數(shù)”.，因為，所以.所以.因為“”是“為上的“完美三角形函數(shù)”的充要條件，所以函數(shù)是R上的“完美三角形函數(shù)”.（2）因為，所以.且.因為，所以.所以的最大值為1，最小值為.①當時，由，得.②當時，，滿足題意.③當時，，由，得.綜上，實數(shù)的取值范圍是.（3）因為，則，所以，由，得，則，又因為，故.假設存在滿足題意的三個點，則，且，所以，所以.即.因為，所以.所以.因為，所以.所以，與矛盾.故不存在點滿足題意.例2．已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）對于函數(shù)，若，，，，，為某一三角形的三邊長，則稱為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，已知函數(shù)是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.解析：（1）當時，不等式，即為，也就是，解得，所以不等式的解集為.（2）由于函數(shù)，所以是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，首先，必有才能保證；且必有，①當時，即時，是上的增函數(shù)，則的值域為，由，解得；②當時，即時，，符合題意；③而當時，即時，是上的減函數(shù)，則的值域為，故，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍.例3．已知函數(shù)（其中為常數(shù)）.（1）如果存在，使得不等式能成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）設，是否存在正數(shù)，使得對于區(qū)間上的任意三個實數(shù)都存在以，，為邊長的三角形?若存在，試求出這樣的的取值范圍；若不存在，請說明理由.解析：（1）實數(shù)的取值范圍是.（2）假設存在正數(shù)滿足題意；設，則在上單調(diào)遞減，所以，則；所以對于區(qū)間上的任意三個實數(shù)，，，都存在以，，為邊長的三角形，等價于，因為，，任取，則，當時，，，故，即，所以在上單調(diào)遞減；當時，，，故，即，所以在上單調(diào)遞增；綜上：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對于，當，即時，在上單調(diào)遞增，故，，則，解得，故；當，即時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，故，，當時，，解得，此時，則，整理得，解得，所以，即，當時，，解得，此時，則，