湖南省部分高中2024-2025學年高一上學期12月月考數學試題

湖南省高一年級12月考試數學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名，考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題后，用船筆把答題卡上對應題目的標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標號.回答非選擇題時，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A段必修第一冊第一章至第四章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合，再利用交集的定義求解.【詳解】因為，所以.故選：D.2.“”是“為指數函數”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】當時，是指數函數；若是底數為的指數函數．則，且，解得，故“”是“為指數函數”的充分不必要條件．故選：C.3.函數的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數解析式可判斷是奇函數，排除除C，D，再由時的取值符號，可得結論.【詳解】因為，所以是奇函數，所以的圖象關于原點對稱，排除C，D.當時，，排除B，故選：A.4.近年來，“北斗”指路、“天宮”覽勝、“墨子”傳信、“嫦娥”問月……中國航天碩果累累，令國人備感自豪.這些航天器的發(fā)射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（單位：m/s），是燃料燃燒時產生的噴氣速度（單位：m/s），是火箭起飛時的總質量（單位：kg），m是火箭自身的質量（單位：kg）.小婷同學所在社團向有關部門申請，準備制作一個試驗火箭，得到批準后，她們利用的某民用燃料燃燒時產生的噴氣速度為50m/s，火箭自身的質量為4kg，燃料的質量為5kg，在不計空氣阻力等因素影響的理想狀態(tài)下發(fā)射，至燃料燃盡時，該試驗火箭的理想速度大約為（）（，）A.40m/s B.36m/s C.78m/s D.95m/s【答案】A【解析】【分析】根據題中條件確定kg，kg，m/s，按公式直接運算即可.【詳解】解：由于，其中kg，kg，m/s，所以（m/s）.故選：A.5.下列函數中，既是奇函數又在上單調遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據函數奇偶性定義可判斷AC為偶函數，可排除，易知不是增函數，根據對數運算法則計算可得為奇函數，且單調遞增，符合題意.【詳解】對于A，易知定義域為，滿足，為偶函數，不合題意；對于B，，易知定義域為，滿足，為奇函數，但取兩個自變量，對應的函數值，不滿足增函數的定義，不合題意；對于C，易知定義域為，滿足，為偶函數，不合題意，對于D，令，則，滿足奇函數定義，且由復合函數單調性法則知在上單調遞增，符合題意.故選：D6.若函數的最小值是8，則實數m的值為（）A.6或10 B.6或10 C.6或10 D.6或10【答案】A【解析】【分析】根據絕對值的幾何意義求出最小值即可得解.【詳解】因為，所以，解得或，故選：A7.已知函數的零點為，的零點為，則下列結論錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】在同一坐標系中分別作出的圖象，圖象的交點即為零點，結合函數對稱性質即可判斷ABD，結合函數單調性和可判斷C.【詳解】由和得，函數與關于直線對稱，在同一坐標系中分別作出的圖象如圖所示，聯(lián)立得兩直線交點坐標為，則且關于點對稱，所以，又，所以，故選項A、B、D正確；因為在R上單調遞增，且，所以，所以，故C錯誤.故選：C.8.設，若函數有4個不同的零點，，，，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出的大致圖象，結合圖象得到，可知，進而得到，利用對勾函數的性質，即可求解．【詳解】由題意，，函數當時，，可得的圖象關于直線對稱.作出的大致圖象，如圖所示.由，可知.由對勾函數的單調性可知，函數在上單調遞增，所以當時，，所以，則.由對勾函數的單調性可知，函數在上單調遞增，所以，即，即的取值范圍是.故選：A.【點睛】方法點睛：本題屬于根據函數零點的性質求代數式的取值范圍，通過函數圖象的應用，利用數形結合思想及函數的單調性解決問題.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列關于不等式的說法正確的是（）A.，B.若，，則C.若，，，則D.，，【答案】ABD【解析】【分析】根據不等式的性質判斷．【詳解】對于A，移項可變?yōu)椋?，顯然成立.，A正確對于，則，由不等式的性質得，所以.對于C，忽視了大小關系，例如，原不等式不成立.對于D，，原不等式成立.故選：ABD．10.下列關于對數運算正確的是（）A.設均為正實數，且，則B.若方程的兩根為，則C.已知，則D.【答案】AD【解析】【分析】根據對數運算法則、換底公式依次驗證各個選項即可.【詳解】對于A，設，則，，，，A正確；對于B，，或，或，，B錯誤；對于C，，，即，，整理可得：，或，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD.11.定義“正對數”現有四個命題，其中是真命題的有（）A.若，，則B.若，，則C.若，.則D.若，，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由“正對數”的定義對兩種情況進行推理.對于B，通過舉反例說明錯誤.對于C，D，分別對四種情況（當時；當時；當時；當時）進行推理，由此可得結論.【詳解】對于A，當時，，從而，；當時，，從而，.故當時，，A正確.對于B，當時，滿足，而，，B錯誤.對于C，由“正對數”的定義知，且.當時，，而；當時，有，而，當時，，而當時，，則.故當時，，C正確.對于D，由“正對數”的定義知，當時，.當時，，從而.當時，，從而.當時，，從而.當時，，，從而，D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據“正對數”的新定義，再結合對數運算法則對的取值范圍進行逐一驗證即可得出結論.三?填空題：本題共3小題，小每小題5分，共15分.12.已知函數在上具有單調性，則實數m的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】利用二次函數的單調性列出不等式求解.【詳解】函數的對稱軸為，開口向上，因為函數在上具有單調性，所以或，所以或.則實數m的取值范圍是.故答案為：.13.已知定義在R上的函數滿足①是偶函數；②在上為增函數．若不等式成立，則實數的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】利用函數的奇偶性和單調性以及一元二次不等式的解法求解.【詳解】因為是偶函數，所以函數的圖象關于軸對稱，所以函數的圖象關于對稱，又因為函數在上為增函數，所以函數在上為減函數，所以要使不等式成立，則，則有，整理得，即，解得，故答案為：.14.設是定義在R上的奇函數，當時，．若對任意的，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據函數的奇偶性求得函數的解析式，然后根據函數的單調性列出不等式，轉化為最值問題，即可求得結果.【詳解】設，則，因為當時，，則，且函數是定義在R上的奇函數，則所以，則．因此，原不等式等價于．由解析式知在R上是增函數，所以，即．又，所以當時，取得最大值．因此，，解得．故a的取值范圍是．故答案為:四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知關于x的不等式．（1）若，，且，試求它的解集；（2）若，，試求它的解集．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題意化簡一元二次不等式求解即可；（2）根據題意化簡不等式后再分類討論求解即可.【小問1詳解】因為，，且，所以，即，所以，解得，不等式的解集為.【小問2詳解】若，，則，即，當時，不等式為，解得；當時，不等式，解得；當時，因為，所以解得或；當時，，所以由不等式可解得；當時，，所以由不等式可得.綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.16.已知函數.（1）若，求的最小值；（2）若，存在實數，，使得當的定義域為時，的值域為，求實數a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用換元法，結合二次函數的性質計算可得；（2）首先判斷的單調性，即可得到在上有兩個不同的實數解，令，則問題轉化為在上有兩個不同的實數解，結合二次函數根的分布得到不等式組，解得即可.小問1詳解】若時，.令，則，該二次函數開口向上，其圖象的對稱軸為直線，所以當時，，即最小值為.【小問2詳解】因為，則與均在上單調遞增，所以在上單調遞增，當的定義域為時，則的值域為，所以，即在上有兩個不同的實數解，即在上有兩個不同的實數解，令，所以在上有兩個不同的實數解，所以，解得，所以實數的取值范圍為.17.2023年全年，中國新能源汽車產量、銷量分別達到958.7萬輛和949.5萬輛，同比分別增長35.8%和37.9%，我國新能源汽車產銷量占全球比重超過60%，連續(xù)9年位居世界第一，新能源汽車出口120.3萬輛，同比增長77.2%，均創(chuàng)歷史新高．2024年中國數家車企推出多款電動新能源汽車，引起市場轟動，電動新能源汽車進步成為人們購車的熱門選擇.有關部門在高速公路上對葲型號電動汽車進行測試，得到了該電動汽車每小時耗電量P（單位：）與速度v（單位：）的數據，如下表所示：v60708090100110120P810.413.216.4202428.4經畫圖研究可知該電動汽車在高速公路上行駛時每小時耗電量P與速度v的關系為．（1）求出函數的函數解析式．（2）張某駕駛一輛同型號電動汽車從A地出發(fā)，經高速公路（最低限速，最高限速）勻速行駛到距離為510km的B地．出發(fā)前，汽車電池存量為，汽車到達B地后至少要保的的保障電量（假設該電動汽車從靜止加速到速度為的過程中消耗的電量與行駛的路程都忽略不計）．已知該高速公路上服務區(qū)有功率為18kW的充電樁（充電量=充電功率充電時間）．若不充電，該電動汽車能否到達B地?并說明理由，若需要充電，求該電動汽車從A地到達B地所用時間（即行駛時間與充電時間之和）的最小值（結果保留一位小數）．【答案】（1）（2）不充電不能到達，理由見解析，充電，則所用時間最小值為7.4小時.【解析】【分析】（1）利用點在二次函數圖象上，列方程求解；（2）利用函數關系，利用雙勾函數的性質和基本不等式求解.【小問1詳解】將點代入函數，可得，解得，所以.經檢驗，點均滿足，所以.【小問2詳解】設所需消耗電量為，若不充電，則，因為函數在上單調遞增，所以在單調遞增，所以，所以若不充電，該電動汽車不能到達B地.若充電，所需充電量的最小值為，所需充電時間的最小值為，設該電動汽車從A地到達B地所用時間的最小值為，，則，因為，當且僅當，即時取得等號，所以，所以該電動汽車從A地到達B地所用時間的最小值為7.4小時.18.已知通數為偶函數.（1）求a的值；（2）求的最小值；（3）若對任意恒成立，求實數m的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據偶函數定義化簡計算可得；（2）將函數并利用基本不等式以及函數單調性計算可得結果；（3）利用單調性定義證明在上為增函數且為偶函數，解不等式可得，利用基本不等式計算可得結果.【小問1詳解】因為為偶函數，所以，則，所以，即恒成立.因為不恒為0，所以，故.經檢驗，符合題意；即.【小問2詳解】由（1）得.因為，則，當且僅當，即時，等號成立，所以，故最小值為.【小問3詳解】因為，任取且，所以.因為且，所以，所以，即，所以，則在上為增函數.又因為為偶函數，，所以.當時，恒成立，則.當時，，所以，設，當且僅當，即時，等號成立.由復合函數的單調性易得在上單調遞增，且當時，，當時，，所以有解，即有解，所以等號能成立，所以，則，解得19.設A，B是非空實數集，如果對于集合A中的任意兩個實數x，y，按照某種確定的關系f，在B中都有唯一確定的數z和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個二元函數，記作，，，其中A稱為二元函數f的定義域．（1）已知，若，，，求．（2）設二元函數f的定義域為I，如果存在實數M滿足①，都有，②，，使得，那么我們稱M是二元函數的下確界．若，，且，判斷函數是否存在下確界．若存在，求出此函數的下確界；若不存在，說明理由．（3）設的定義域為R，若，，．，則稱f在D上關于m單調遞增．已知在上關于單調遞增，求實數k的取值范圍．【答案】（1）（2）存在，（3）【解析】【分析】（1）由二元函數的定義求解即可；（2）根據基本不等式即二次函數的性質判斷即可；（3）根據二元函數在定義域上單調遞增的定義求解即可；【小問1詳解】由可得，，由可得，，由又，所以；【小問2詳解】由可得，，由可得，，所以，，當且僅當，即，時取等號.【小問3詳解】因為在上是關于單調遞增，所以，即存在，對于任意的，，都有，化簡可得，即，下面求函數的最小值，設，，，當時，若時，