北京市石景山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

石景山區(qū)2024—2025學(xué)年第一學(xué)期高三期末試卷數(shù)學(xué)本試卷共7頁，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。請務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將答題卡交回。第一部分（選擇題共40分）選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則等于（A） （B）（C） （D）（2）若復(fù)數(shù)滿足，則（A） （B）（C） （D）（3）已知，且，則下列不等關(guān)系中正確的是（A） （B）（C） （D）（4）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（A） （B）（C） （D）（5）圓心在軸上的圓與直線相切于點(diǎn)，則圓心的縱坐標(biāo)為（A）1 （B） （C）2 （D）3（6）在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是7，則（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（7）某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．若該食品在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，則該食品在的保鮮時(shí)間是（A）小時(shí) （B）小時(shí) （C）小時(shí) （D）小時(shí)（8）“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（9）我國有著豐富悠久的印章文化，印章是簽署文件時(shí)代表身份的信物，因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，有時(shí)作為裝飾物來使用．圖1是一個(gè)金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體，如圖2所示．已知正四棱柱和正四棱錐的底面邊長為4，體積之比為，且該幾何體的頂點(diǎn)在球的表面上，則球的半徑為（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（10）已知集合，若存在，使得，則集合的個(gè)數(shù)為（A） （B）（C） （D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為．（12）向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若向量與共線，則實(shí)數(shù)．（13）設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于．（14）已知函數(shù).若，則；若對任意的正數(shù)，方程都恰有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.（15）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在和，使得是等比數(shù)列；②若且是奇數(shù)，則為奇數(shù)；③若且，則存在使得；④若且，則是遞減數(shù)列．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：的周長為；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（17）（本小題13分）某城市的甲、乙兩個(gè)區(qū)，甲區(qū)有500個(gè)居民小區(qū)，乙區(qū)有300個(gè)居民小區(qū)．為了解甲、乙兩個(gè)區(qū)在綠化與垃圾分類兩方面的達(dá)標(biāo)情況，進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：（單位：個(gè)）綠化達(dá)標(biāo)垃圾分類達(dá)標(biāo)綠化達(dá)標(biāo)且垃圾分類達(dá)標(biāo)甲區(qū)300250200乙區(qū)180150120（Ⅰ）從甲乙兩區(qū)的所有居民小區(qū)中隨機(jī)抽取一個(gè)居民小區(qū)，求抽到的是“甲區(qū)且綠化達(dá)標(biāo)”的概率；（Ⅱ）從甲區(qū)和乙區(qū)中各隨機(jī)抽取一個(gè)居民小區(qū)，設(shè)表示這兩個(gè)居民小區(qū)中“垃圾分類達(dá)標(biāo)”的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）城市管理部門計(jì)劃按照分層抽樣從甲、乙兩區(qū)抽取40個(gè)居民小區(qū)進(jìn)行評(píng)比，在抽取的40個(gè)居民小區(qū)中，設(shè)為“綠化達(dá)標(biāo)”居民小區(qū)的數(shù)量，為“綠化達(dá)標(biāo)且垃圾分類達(dá)標(biāo)”居民小區(qū)的數(shù)量，試判斷方差的大?。ńY(jié)論不要求證明）（18）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是邊長為的正方形，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度．（19）（本小題15分）已知橢圓的離心率為，且橢圓的左、右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過橢圓的上頂點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，過點(diǎn)作與垂直的直線，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，求的值．（20）（本小題15分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.（21）（本小題15分）項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱為一個(gè)滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列：①；②．（Ⅰ）判斷數(shù)列是否為一個(gè)滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列？是否為一個(gè)滿足“絕