中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)二次根式(講義2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)12種題型(含6種解題技巧))含答案及解析

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第一章數(shù)與式第04講二次根式（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)12種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一二次根式的性質(zhì)與化簡?題型01二次根式有意義的條件?題型02與二次根式有關(guān)的開放性試題?題型03利用二次根式的性質(zhì)化簡?題型04二次根式與數(shù)軸命題點(diǎn)二二次根式的運(yùn)算?題型01應(yīng)用乘法公式求二次根式的值?題型02最簡二次公式的判斷?題型03分母有理化?題型04二次根式的混合運(yùn)算?題型05二次根式估值?題型06與二次根式有關(guān)的新定義問題?題型07與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究?題型08二次根式的應(yīng)用試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁01考情透視·目標(biāo)中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求二次根式的相關(guān)概念★★了解二次根式、最簡二次根式的概念二次根式的性質(zhì)★★掌握二次根式的性質(zhì)二次根式的運(yùn)算★★了解二次根式(根號(hào)下僅限于數(shù))加，減、乘、除運(yùn)算法則,會(huì)用它們進(jìn)行簡單的四則運(yùn)算【考情分析】中考中，對(duì)二次根式的考察主要集中在對(duì)其取值范圍、化簡計(jì)算等方面，其中取值范圍類考點(diǎn)多出選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化簡計(jì)算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數(shù)、實(shí)數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.02知識(shí)導(dǎo)圖·思03考點(diǎn)突破·考考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念1.二次根式二次根式的定義：一般地，我們把形如a（??≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)，a叫做被開方數(shù)．【易錯(cuò)易混】1）二次根式的兩個(gè)要素（判斷依據(jù)）：含有二次根號(hào)“”，且根指數(shù)為2；被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；2）二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果，如：4，-9都是二次根式；3)二次根式的被開方數(shù)a可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)式子，但都要滿足??≥0；4)在具體問題中，如果已知a是二次根式，相當(dāng)于給出了??≥0.2.二次根式有意義的條件1）單個(gè)二次根式，如a有意義的條件是??≥0；2）二次根式作為分母時(shí)，如1a有意義的條件是??>03）二次根式與分式相加，如a+1b有意義的條件是??≥0且b＞1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數(shù)y=13+x+1x+22．（2023·四川綿陽·中考真題）使代數(shù)式1x+3+4?3x有意義的整數(shù)xA．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡二次根式的性質(zhì)1）式子a（??≥0）既表示二次根式，又表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根（a≥0），所以2）a23），即一個(gè)數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.二次根式的化簡二次根式的化簡：1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡．，【易錯(cuò)易混】1.在使用ab=a?b（a≥02.在使用ab=ab（a≥0，b＞1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）計(jì)算92?62A．3 B．6 C．35 D．2．（2024·四川樂山·中考真題）已知1<x<2，化簡x?12+x?2A．?1 B．1 C．2x?3 D．3?2x3．（2023·廣東廣州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2?2k?2x+kA．?1 B．1 C．?1?2k D．2k?34．（2022·山東聊城·中考真題）射擊時(shí)，子彈射出槍口時(shí)的速度可用公式v=2as進(jìn)行計(jì)算，其中a為子彈的加速度，s為槍筒的長．如果a=5×105m/A．0.4×102mC．4×102ms5．（2023·湖北黃岡·中考真題）請(qǐng)寫出一個(gè)正整數(shù)m的值使得8m是整數(shù)；m=．考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算1.二次根式的乘法乘法法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：2.二次根式的除法除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：3.最簡二次根式定義：1）被開方數(shù)不含分母；2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，把滿足上述兩個(gè)條件的二次根數(shù)，叫做最簡二次根式.例：都是最簡二次根式.最簡二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號(hào)）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.4.二次根式的加減同類二次根式：把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.【補(bǔ)充】幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：2、8、12二次根式的加減：一般地，二次根式加減時(shí)，先把各個(gè)二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.【口訣】一化、二找、三合并.5.二次根式的混合運(yùn)算內(nèi)容：二次根式的混合運(yùn)算指的是二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.易錯(cuò)易混1）結(jié)果要化為最簡二次根式或整式；2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.6.分母有理化分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過程.【分母有理化方法】1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分.即：12）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.即：1a4題型精研·考1．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A．2+3=C．2÷2=1 2.（2024·重慶·中考真題）估計(jì)122A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間3．（2023·湖南·中考真題）對(duì)于二次根式的乘法運(yùn)算，一般地，有a?b=A．a(chǎn)>0,b>0 B．a(chǎn)<0,b<0 C．a(chǎn)≤0,b≤0 D．a(chǎn)≥0,b≥04．（2023·山東濰坊·中考真題）從?2、3，6中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式□+○2÷5．（2024·四川遂寧·中考真題）計(jì)算：sin45°+命題點(diǎn)一二次根式的性質(zhì)與化簡?題型01二次根式有意義的條件1）如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．1．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）二次根式1?x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）若代數(shù)式1x?2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<23．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）已知2x?1=1，則x=4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數(shù)y=1x?1+1x?2QUOTEQUOTEQUOTE?題型02與二次根式有關(guān)的開放性試題1．（2023·四川綿陽·中考真題）使代數(shù)式1x+3+4?3x有意義的整數(shù)xA．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)2．（2022·四川南充·中考真題）若8?x為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是．3．（2023·湖南永州·中考真題）已知x為正整數(shù)，寫出一個(gè)使x?3在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)沒有意義的x值是．4．（2023·湖北黃岡·中考真題）請(qǐng)寫出一個(gè)正整數(shù)m的值使得8m是整數(shù)；m=．?題型03利用二次根式的性質(zhì)化簡1）利用二次根式性質(zhì)化簡時(shí)，如果題目中對(duì)根號(hào)內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)對(duì)根式進(jìn)行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對(duì)題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡．2）化簡后的最后結(jié)果應(yīng)為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式．1．（2020·湖北武漢·中考真題）化簡二次根式?32的結(jié)果等于2．（2023·湖北宜昌·中考真題）下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（

）．①|(zhì)2023|=2023；②20230=1；③2023?1A．4 B．3 C．2 D．13．（2023·四川涼山·中考真題）計(jì)算(π?3.14)0+4．（2022·四川宜賓·中考真題）《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S=14c2aQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04二次根式與數(shù)軸1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)數(shù)m在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡：(m?2)2=2．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則(a?b)2?b?a?2A．2 B．2a?2 C．2?2b D．-23．（2024武威四中二模）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則a?42A．7 B．?7 C．15?2a D．2a?154．（2022·四川遂寧·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+1?b?1命題點(diǎn)二二次根式的運(yùn)算?題型01應(yīng)用乘法公式求二次根式的值1）2）1．（2024·天津·中考真題）計(jì)算(11?1)(112．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）先化簡，再求值：(2x+y)2+x?yx+y?5x3．（2023·山東淄博·中考真題）先化簡，再求值：x?2y2+x5y?x?4y4．（2023·湖南張家界·中考真題）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面積分別記為S1，S2則S==(2a+=b+2a例如：當(dāng)a=1，b=3時(shí)，S根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)當(dāng)a=1，b=3時(shí)，S3?S(2)當(dāng)a=1，b=3時(shí)，把邊長為a+nb的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計(jì)算結(jié)果，你能猜出(3)當(dāng)a=1，b=3時(shí)，令t1=S2?S1，t2=?題型02最簡二次公式的判斷最簡二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號(hào)）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.[補(bǔ)充]①不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2,3,5，a（a≥0），x+y等；②含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有等.1．（2021·湖南益陽·中考真題）將452化為最簡二次根式，其結(jié)果是（

A．452 B．902 C．9102．（2021·廣西桂林·中考真題）下列根式中，是最簡二次根式的是（）A．19 B．4 C．a(chǎn)2 3．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（

）A．12 B．13 C．144．（2022·廣西桂林·中考真題）化簡12的結(jié)果是（

）A．23 B．3 C．22 D．2QUOTE?題型03分母有理化【分母有理化方法】1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分.即：12）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.即：1a1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）先化簡再求值：1+2x+1?2．（2023·湖北恩施·中考真題）先化簡，再求值：2x2?43．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）先化簡，再求代數(shù)式xx2+2x+1?題型04二次根式的混合運(yùn)算運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.【補(bǔ)充】1）在二次根式的混合運(yùn)算中，乘方公式和實(shí)數(shù)的運(yùn)算律仍然適用；2）在二次根式混合運(yùn)算中，要結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì).二次根式運(yùn)算時(shí)的注意事項(xiàng)：1）結(jié)果要化為最簡二次根式或整式；2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.1．（2023·甘肅武威·中考真題）計(jì)算：27÷2．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）計(jì)算：(?1)3．（2024·上海·中考真題）計(jì)算：|1?34．（2024·四川涼山·中考真題）計(jì)算：13?題型05二次根式估值1．（23-24八年級(jí)下·山西呂梁·階段練習(xí)）關(guān)于28，下列說法不正確的是（

）A．是無理數(shù) B．能與7合并C．整數(shù)部分是4 D．一定能夠在數(shù)軸上找到表示28的點(diǎn)2．（2024·江蘇鹽城·中考真題）矩形相鄰兩邊長分別為2cm、5cm，設(shè)其面積為Scm2，則A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和53．（2024·河北石家莊·三模）計(jì)算2(6?2)4．（2023·湖北荊州·中考真題）已知k=25+A．2 B．3 C．4 D．55．（2022·湖北荊州·中考真題）若3?2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式2+2aQUOTE?題型06與二次根式有關(guān)的新定義問題1．（2023·湖南婁底·一模）定義一種運(yùn)算：cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ，A．6+24 B．6?242．（2020·青?！ぶ锌颊骖}）對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)a，b，定義一種運(yùn)算※如下：a※b=a+ba?b3．（2020·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）用※定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m和n，規(guī)定m※n=m2n?mn?3n（1）求?2※（2）若3※m≥?6，求m的取值范圍，并在所給的數(shù)軸上表示出解集．4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）【代數(shù)推理】代數(shù)推理指從一定條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)的定義、公式、運(yùn)算法則、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等證明已知結(jié)果或結(jié)論．【發(fā)現(xiàn)問題】小明在計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)m、n，它們的乘積qq=mn（1）舉例驗(yàn)證：當(dāng)m=4,n=5,則q+n=4×5+5=25=（2）推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：設(shè)m<n，m、n是連續(xù)的正整數(shù)，∴n=m+1；∵q=mn，∴q+n=mn+n=nm+1∴q+n一定是正數(shù)n的平方數(shù)．【類比猜想】小紅同學(xué)提出：任意兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差是較小數(shù)的平方．請(qǐng)你舉例驗(yàn)證及推理證明；【深入思考】若p=q+2n+q?2m（m，n為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，0<m<n,q=mn),?題型07與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究1．（2024·四川德陽·中考真題）將一組數(shù)2,2,則第八行左起第1個(gè)數(shù)是（

）A．72 B．82 C．58 2．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）觀察下列各式：S1=1+11請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：S1+3．（2022·四川眉山·中考真題）將一組數(shù)2，2，6，22，…，42，2，6，2210，23，14…若2的位置記為(1,2)，14的位置記為(2,3)，則27的位置記為4．（2022·四川達(dá)州·中考真題）人們把5?12≈0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)a=5?12，b=5+12，記5．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發(fā)現(xiàn)問題小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有n個(gè)籽，每列有k個(gè)籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，n>k≥3，d>0），如圖1所示．小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案．方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．解決問題在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請(qǐng)寫出比較過程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià)．?題型08二次根式的應(yīng)用1．（2022·湖南常德·中考真題）我們發(fā)現(xiàn)：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+?+6+6+3=3n個(gè)根號(hào)，一般地，對(duì)于正整數(shù)a，b，如果滿足b+b+b+?+b+b+a=an個(gè)根號(hào)時(shí)，稱A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2024·山東菏澤·一模）已知a為整數(shù)，將其除以4所得的商記為n，余數(shù)記為kk≤3，即a=4n+k（n是整數(shù)），我們稱a屬于數(shù)組k，記作a∈k，則下列說法正確的是①?3∈3②若a為4的倍數(shù)，則點(diǎn)An,a到點(diǎn)B17,0的距離的最小值為③所有整數(shù)組成的數(shù)組n=④若a?b∈0，則a，b3．（2024·江蘇南京·二模）n（n為正整數(shù)）的近似值可以這樣估算：n≈n+m2m，其中m是最接近n的完全平方數(shù)．例如：(1)按照以上方法，估計(jì)43的近似值（精確到0.1）；(2)結(jié)合圖中思路，解釋該方法的合理性．4．（2024·廣東中山·三模）下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成任務(wù)．用均值不等式求最值若實(shí)數(shù)a>0，b>0，則有a+b2≥ab證明：∵a>0，∴∴a?2∴a+b≥2∴由上可知，①當(dāng)a+b為定值的時(shí)候，ab有最大值；②當(dāng)ab為定值的時(shí)候，有a+b最小值．所以，利用均值不等式可以求一些函數(shù)的最值．例：已知x>0，求函數(shù)y=x+1解：∵x>0∴∴y=x+1x≥2x?1∴當(dāng)即x=1時(shí)，函數(shù)y=x+1任務(wù)：(1)若x>0，則當(dāng)x=_____時(shí)，代數(shù)式3x+12(2)已知若x>2，函數(shù)y=x+9x?2，試說明當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最小值，并求出(3)如圖，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=3xx>0圖象上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A

第一章數(shù)與式第04講二次根式（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)12種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一二次根式的性質(zhì)與化簡?題型01二次根式有意義的條件?題型02與二次根式有關(guān)的開放性試題?題型03利用二次根式的性質(zhì)化簡?題型04二次根式與數(shù)軸命題點(diǎn)二二次根式的運(yùn)算?題型01應(yīng)用乘法公式求二次根式的值?題型02最簡二次公式的判斷?題型03分母有理化?題型04二次根式的混合運(yùn)算?題型05二次根式估值?題型06與二次根式有關(guān)的新定義問題?題型07與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究?題型08二次根式的應(yīng)用01考情透視·目標(biāo)中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求二次根式的相關(guān)概念★★了解二次根式、最簡二次根式的概念二次根式的性質(zhì)★★掌握二次根式的性質(zhì)二次根式的運(yùn)算★★了解二次根式(根號(hào)下僅限于數(shù))加，減、乘、除運(yùn)算法則,會(huì)用它們進(jìn)行簡單的四則運(yùn)算【考情分析】中考中，對(duì)二次根式的考察主要集中在對(duì)其取值范圍、化簡計(jì)算等方面，其中取值范圍類考點(diǎn)多出選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化簡計(jì)算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數(shù)、實(shí)數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.02知識(shí)導(dǎo)圖·思03考點(diǎn)突破·考考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念1.二次根式二次根式的定義：一般地，我們把形如a（??≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)，a叫做被開方數(shù)．【易錯(cuò)易混】1）二次根式的兩個(gè)要素（判斷依據(jù)）：含有二次根號(hào)“”，且根指數(shù)為2；被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；2）二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果，如：4，-9都是二次根式；3)二次根式的被開方數(shù)a可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)式子，但都要滿足??≥0；4)在具體問題中，如果已知a是二次根式，相當(dāng)于給出了??≥0.2.二次根式有意義的條件1）單個(gè)二次根式，如a有意義的條件是??≥0；2）二次根式作為分母時(shí)，如1a有意義的條件是??>03）二次根式與分式相加，如a+1b有意義的條件是??≥0且b＞1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數(shù)y=13+x+1x+2【答案】x>?3且x≠?2【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，3+x>0x+2≠0解得x>?3且x≠?2，故答案為：x>?3且x≠?2．2．（2023·四川綿陽·中考真題）使代數(shù)式1x+3+4?3x有意義的整數(shù)xA．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)組合代數(shù)式有意義的條件，分別根據(jù)分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，列不等式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：x+3>0，4?3x≥0解得?3<x≤4∴使代數(shù)式有意義的整數(shù)有?2，?1，0，1．共有4個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了代數(shù)式有意義的條件，關(guān)鍵是利用分式的分母不為零和二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式（組）求解，是?？碱}型，比較簡單．考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡二次根式的性質(zhì)1）式子a（??≥0）既表示二次根式，又表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根（a≥0），所以2）a23），即一個(gè)數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.二次根式的化簡二次根式的化簡：1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡．，【易錯(cuò)易混】1.在使用ab=a?b（a≥02.在使用ab=ab（a≥0，b＞1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）計(jì)算92?6A．3 B．6 C．35 D．【答案】C【分析】本題考查化簡二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡即可．【詳解】解：92故選C．2．（2024·四川樂山·中考真題）已知1<x<2，化簡x?12+x?2A．?1 B．1 C．2x?3 D．3?2x【答案】B【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，去絕對(duì)值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)a2=a【詳解】解：x?12∵1<x<2，∴x?1>0,x?2<0，∴x?1+∴x?12故選：B．3．（2023·廣東廣州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2?2k?2x+kA．?1 B．1 C．?1?2k D．2k?3【答案】A【分析】首先根據(jù)關(guān)于x的方程x2?2k?2x+k2?1=0【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2∴判別式△=?整理得：?8k+8≥0，∴k≤1，∴k?1≤0，2?k>0，∴(k?1)=?=?1．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，理解一元二次方程根的判別式是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022·山東聊城·中考真題）射擊時(shí)，子彈射出槍口時(shí)的速度可用公式v=2as進(jìn)行計(jì)算，其中a為子彈的加速度，s為槍筒的長．如果a=5×105m/A．0.4×102mC．4×102ms【答案】D【分析】把a(bǔ)＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v=2as【詳解】解：v=2as故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡以及科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．5．（2023·湖北黃岡·中考真題）請(qǐng)寫出一個(gè)正整數(shù)m的值使得8m是整數(shù)；m=．【答案】8【分析】要使8m是整數(shù)，則8m要是完全平方數(shù)，據(jù)此求解即可【詳解】解：∵8m是整數(shù)，∴8m要是完全平方數(shù)，∴正整數(shù)m的值可以為8，即8m=64，即8m=故答案為：8（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解題意得到8m要是完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算1.二次根式的乘法乘法法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：2.二次根式的除法除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：3.最簡二次根式定義：1）被開方數(shù)不含分母；2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，把滿足上述兩個(gè)條件的二次根數(shù)，叫做最簡二次根式.例：都是最簡二次根式.最簡二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號(hào)）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.4.二次根式的加減同類二次根式：把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.【補(bǔ)充】幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：2、8、12二次根式的加減：一般地，二次根式加減時(shí)，先把各個(gè)二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.【口訣】一化、二找、三合并.5.二次根式的混合運(yùn)算內(nèi)容：二次根式的混合運(yùn)算指的是二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.易錯(cuò)易混1）結(jié)果要化為最簡二次根式或整式；2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.6.分母有理化分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過程.【分母有理化方法】1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分.即：12）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.即：1a4題型精研·考1．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A．2+3=C．2÷2=1 【答案】B【分析】此題考查二次根式的運(yùn)算法則，根據(jù)二次根式的加法法則對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】A.2與B.2×C.2÷2D.(?5)2故選：B．2.（2024·重慶·中考真題）估計(jì)122A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間【答案】C【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，無理數(shù)的估算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再估算即可．【詳解】解：∵122而4<24∴10<26故答案為：C3．（2023·湖南·中考真題）對(duì)于二次根式的乘法運(yùn)算，一般地，有a?b=A．a(chǎn)>0,b>0 B．a(chǎn)<0,b<0 C．a(chǎn)≤0,b≤0 D．a(chǎn)≥0,b≥0【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，得a≥0b≥0∴a≥0,b≥0，故選：D．【點(diǎn)睛】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是本題的關(guān)鍵．4．（2023·山東濰坊·中考真題）從?2、3，6中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式□+○2÷【答案】522?23（或【分析】先利用完全平方公式計(jì)算二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法即可得．【詳解】解：①選擇?2和3則?==5÷=5②選擇?2和6則?==8÷=42③選擇3和6，則3==9÷=9故答案為：522?23（或【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．5．（2024·四川遂寧·中考真題）計(jì)算：sin45°+【答案】2024【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算及二次根式的運(yùn)算，直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡得出答案，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：sin==2024．命題點(diǎn)一二次根式的性質(zhì)與化簡?題型01二次根式有意義的條件1）如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．1．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）二次根式1?x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列不等式計(jì)算即可得到x的取值范圍，然后在數(shù)軸上表示即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意得，1?x≥0，解得x≤1，在數(shù)軸上表示如下：

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的解法，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，理解二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）若代數(shù)式1x?2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<2【答案】B【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件即可求得答案．【詳解】解：由題意可得x?2>0，解得：x>2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式及分式有意義的條件，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．3．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）已知2x?1=1，則x=【答案】1【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．由二次根式被開方數(shù)大于0可知2x?1>0，則可得出2x?1=1，求出x即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知：2x?1>0，∴2x?1=1，解得：x=1，故答案為：1．4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數(shù)y=1x?1+1x?2【答案】x>1且x≠2【分析】根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件得出x?1>0,x?2≠0，即可求解．【詳解】解：依題意，x?1>0,x?2≠0∴x>1且x≠2，故答案為：x>1且x≠2．【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02與二次根式有關(guān)的開放性試題1．（2023·四川綿陽·中考真題）使代數(shù)式1x+3+4?3x有意義的整數(shù)xA．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)組合代數(shù)式有意義的條件，分別根據(jù)分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，列不等式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：x+3>0，4?3x≥0解得?3<x≤4∴使代數(shù)式有意義的整數(shù)有?2，?1，0，1．共有4個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了代數(shù)式有意義的條件，關(guān)鍵是利用分式的分母不為零和二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式（組）求解，是?？碱}型，比較簡單．2．（2022·四川南充·中考真題）若8?x為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是．【答案】4或7或8【分析】根據(jù)根號(hào)下的數(shù)大于等于0和x為正整數(shù)，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根據(jù)8?x為整數(shù)即可得x的值．【詳解】解：∵8?x≥0∴x≤8∵x為正整數(shù)∴x可以為1、2、3、4、5、6、7、8∵8?x為整數(shù)∴x為4或7或8故答案為：4或7或8．【點(diǎn)睛】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡、解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·湖南永州·中考真題）已知x為正整數(shù)，寫出一個(gè)使x?3在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)沒有意義的x值是．【答案】1（答案不唯一）【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，可得當(dāng)x?3<0時(shí)，x?3沒有意義，解不等式，即可解答．【詳解】解：當(dāng)x?3<0時(shí)，x?3沒有意義，解得x<3，∵x為正整數(shù)，∴x可取1，2，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知根號(hào)下的式子小于零時(shí)，二次根式無意義，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北黃岡·中考真題）請(qǐng)寫出一個(gè)正整數(shù)m的值使得8m是整數(shù)；m=．【答案】8【分析】要使8m是整數(shù)，則8m要是完全平方數(shù)，據(jù)此求解即可【詳解】解：∵8m是整數(shù)，∴8m要是完全平方數(shù)，∴正整數(shù)m的值可以為8，即8m=64，即8m=故答案為：8（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解題意得到8m要是完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．?題型03利用二次根式的性質(zhì)化簡1）利用二次根式性質(zhì)化簡時(shí)，如果題目中對(duì)根號(hào)內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)對(duì)根式進(jìn)行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對(duì)題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡．2）化簡后的最后結(jié)果應(yīng)為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式．1．（2020·湖北武漢·中考真題）化簡二次根式?32的結(jié)果等于【答案】3【分析】本題主要考查了化簡二次根式，根據(jù)a2【詳解】解：?32故答案為：3．2．（2023·湖北宜昌·中考真題）下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（

）．①|(zhì)2023|=2023；②20230=1；③2023?1A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)a=aa>00a=0?aa<0【詳解】解：①∵2023>0，∴2023②∵2023≠0，∴20230③2023?1④20232∴正確的個(gè)數(shù)是4個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握相關(guān)的公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川涼山·中考真題）計(jì)算(π?3.14)0+【答案】2【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】(π?3.14)=1+=2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)等知識(shí)，掌握任何一個(gè)不為零的數(shù)的零次冪都是1是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川宜賓·中考真題）《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S=14c2a【答案】3【分析】根據(jù)周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2，求得a=8,b=6,c=4，代入公式即可求解．【詳解】解：∵周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2，設(shè)a=4k,b=3k,c=2k∴4k+3k+2k=18解得k=2∴a=8,b=6,c=4∴S=====3故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了化簡二次根式，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04二次根式與數(shù)軸1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)數(shù)m在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡：(m?2)2=【答案】2?m/?m+2【分析】利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由數(shù)軸位置可知1<m<2，∴(m?2)【點(diǎn)睛】本題考查二次根式化簡運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)a22．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則(a?b)2?b?a?2A．2 B．2a?2 C．2?2b D．-2【答案】A【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡法則，根據(jù)數(shù)軸可得3<a<?2，0<b<1，，再利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡法則，化簡計(jì)算即可．【詳解】解∶由數(shù)軸知∶3<a<?2，0<b<1，∴a?b<0，∴(a?b)==?=?a+b?b+a+2=2，故選：A．3．（2024武威四中二模）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則a?42A．7 B．?7 C．15?2a D．2a?15【答案】D【分析】由數(shù)軸可知，5＜a＜10，可得【詳解】由數(shù)軸可知，5∴a?4＞0∴a?4=a?4?=a?4?11+a=2a?15故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川遂寧·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+1?b?1【答案】2【分析】利用數(shù)軸可得出?1<a<0，【詳解】解：由數(shù)軸可得：?1<a<0，則a+1>0,b?1>0,a?b<0∴a+1=|a+1|?|b?1|+|a?b|=a+1?(b?1)?(a?b)=a+1?b+1?a+b=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出a，b的取值范圍是解題關(guān)鍵．命題點(diǎn)二二次根式的運(yùn)算?題型01應(yīng)用乘法公式求二次根式的值1）2）1．（2024·天津·中考真題）計(jì)算(11?1)(11【答案】10【分析】利用平方差公式計(jì)算后再加減即可．【詳解】解：原式=11?1=10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則及平方差公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）先化簡，再求值：(2x+y)2+x?yx+y?5x【答案】9xy，45【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算整式的乘法，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】原式=4=9xy．當(dāng)x=6?1，原式=96【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的化簡求值，同時(shí)考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式與平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東淄博·中考真題）先化簡，再求值：x?2y2+x5y?x?4y【答案】xy；1【分析】直接利用整式的混合運(yùn)算法則化簡進(jìn)而合并得出答案．【詳解】原式==xy,當(dāng)x=5原式=xy=5【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算二次根式的運(yùn)算，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．4．（2023·湖南張家界·中考真題）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面積分別記為S1，S2則S==(2a+=b+2a例如：當(dāng)a=1，b=3時(shí)，S根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)當(dāng)a=1，b=3時(shí)，S3?S(2)當(dāng)a=1，b=3時(shí)，把邊長為a+nb的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計(jì)算結(jié)果，你能猜出(3)當(dāng)a=1，b=3時(shí)，令t1=S2?S1，t2=【答案】(1)9+23，(2)猜想結(jié)論：Sn+1(3)7500+100【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入然后利用完全平方公式展開合并求解即可；（2）根據(jù)題意得出猜想，然后由完全平方公式展開證明即可；（3）結(jié)合題意利用（2）中結(jié)論求解即可．【詳解】（1）解：S===2a當(dāng)a=1，b=3時(shí)，原式=23S===2a當(dāng)a=1，b=3時(shí)，原式=23（2）猜想結(jié)論：S證明：S==3(2n?1)+2=6n?3+23（3）T=====7500+1003【點(diǎn)睛】題目主要考查利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，理解題意，得出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．?題型02最簡二次公式的判斷最簡二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號(hào)）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.[補(bǔ)充]①不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2,3,5，a（a≥0），x+y等；②含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有等.1．（2021·湖南益陽·中考真題）將452化為最簡二次根式，其結(jié)果是（

A．452 B．902 C．910【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的化簡方法即可得．【詳解】解：原式=9×5×2=3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握化簡方法是解題關(guān)鍵．2．（2021·廣西桂林·中考真題）下列根式中，是最簡二次根式的是（）A．19 B．4 C．a(chǎn)2 【答案】D【分析】要選擇屬于最簡二次根式的答案，就是要求知道什么是最簡二次根式的兩個(gè)條件：1、被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2、被開方數(shù)不能再開方．由被選答案可以用排除法可以得出正確答案．【詳解】A、19B、4=C、a2D、符合最簡二次根式的定義，是最簡二次根式，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了滿足是最簡二次根式的兩個(gè)條件：1、被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2、被開方數(shù)不能再開方．3．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（

）A．12 B．13 C．14【答案】C【分析】先化簡二次根式，再根據(jù)有理數(shù)的定義選擇即可【詳解】解：A、12=22∵B、13=33∵C、14D、15=55∵故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡、無理數(shù)的定義、有理數(shù)的定義、熟練掌握有理數(shù)的定義是關(guān)鍵4．（2022·廣西桂林·中考真題）化簡12的結(jié)果是（

）A．23 B．3 C．22 D．2【答案】A【分析】將被開方數(shù)12寫成平方數(shù)4與3的乘積，再將4開出來為2，易知化簡結(jié)果為23．【詳解】解：12=4×3=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡，關(guān)鍵在于被開方數(shù)要寫成平方數(shù)乘積的形式再進(jìn)行化簡．QUOTE?題型03分母有理化【分母有理化方法】1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分.即：12）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.即：1a1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）先化簡再求值：1+2x+1?【答案】1x?3，【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先對(duì)括號(hào)里面的通分，再利用平方差公式展開，最后約分，然后再代入x的值代入計(jì)算，并利用二次根式的性質(zhì)化簡．【詳解】解：1+====1當(dāng)x=3+3時(shí)，原式2．（2023·湖北恩施·中考真題）先化簡，再求值：2x2?4【答案】?1x+2【分析】先把括號(hào)內(nèi)的分式進(jìn)行通分，再將除法變?yōu)槌朔ɑ?，最后代入x的值計(jì)算即可．【詳解】解：原式====?當(dāng)x=5原式=?1【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值和二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡分式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）先化簡，再求代數(shù)式xx2+2x+1【答案】2x+1，【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則代簡，再將x=2cos【詳解】解：x====2當(dāng)x=2cos原式=2【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值，分母有理化，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．?題型04二次根式的混合運(yùn)算運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.【補(bǔ)充】1）在二次根式的混合運(yùn)算中，乘方公式和實(shí)數(shù)的運(yùn)算律仍然適用；2）在二次根式混合運(yùn)算中，要結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì).二次根式運(yùn)算時(shí)的注意事項(xiàng)：1）結(jié)果要化為最簡二次根式或整式；2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.1．（2023·甘肅武威·中考真題）計(jì)算：27÷【答案】6【分析】利用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：27=3=12=62【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）計(jì)算：(?1)【答案】4【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方、特殊角三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪結(jié)合二次根式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：(?1)=?1+4+3×=?1+4+=4．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方、特殊角三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪以及二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．3．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算：|1?3【答案】2【分析】本題考查了絕對(duì)值，二次根式，零指數(shù)冪等，掌握化簡法則是解題的關(guān)鍵．先化簡絕對(duì)值，二次根式，零指數(shù)冪，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：|1?===264．（2024·四川涼山·中考真題）計(jì)算：13【答案】2【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．分別進(jìn)行零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式及絕對(duì)值的運(yùn)算，然后代入特殊角的三角函數(shù)值代入運(yùn)算即可．【詳解】解：1====2．?題型05二次根式估值1．（23-24八年級(jí)下·山西呂梁·階段練習(xí)）關(guān)于28，下列說法不正確的是（

）A．是無理數(shù) B．能與7合并C．整數(shù)部分是4 D．一定能夠在數(shù)軸上找到表示28的點(diǎn)【答案】C【分析】此題考查了二次根式、無理數(shù)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.28是無理數(shù)，說法正確，不符合題意；B.28=27，能與C.25<28<D.一定能夠在數(shù)軸上找到表示28的點(diǎn)，說法正確，不符合題意；故選C．2．（2024·江蘇鹽城·中考真題）矩形相鄰兩邊長分別為2cm、5cm，設(shè)其面積為Scm2，則A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5【答案】C【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算，二次根式的乘法，先計(jì)算出矩形的面積S，再利用放縮法估算無理數(shù)大小即可．【詳解】解：S=2∵9<10<16，∴9<∴3<10即S在3和4之間，故選：C．3．（2024·河北石家莊·三模）計(jì)算2(6?2)【答案】23【分析】本題考查了二次根式的乘法、無理數(shù)的估算、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，先根據(jù)二次根式的乘法求出式子的值，再估算出3<23<4，從而得出【詳解】解：26∵9<12<16，∴9<12<∴3?2<23?2<4?2，即故答案為：234．（2023·湖北荊州·中考真題）已知k=25+A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而估算無理數(shù)的大小即可求解．【詳解】解：k=25∵2.52=∴52∴與k最接近的整數(shù)為3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2022·湖北荊州·中考真題）若3?2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式2+2a【答案】2【分析】先由1<2<2得到1<3?2<2，進(jìn)而得出a和【詳解】解：∵1<2∴1<3?2∵3?2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b∴a=1，b=3?2∴2+2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)及代數(shù)式化簡求值，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握無理數(shù)估算方法和無理數(shù)整數(shù)和小數(shù)部分的求解方法．QUOTE?題型06與二次根式有關(guān)的新定義問題1．（2023·湖南婁底·一模）定義一種運(yùn)算：cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ，A．6+24 B．6?24【答案】B【分析】根據(jù)cosα+β=cos【詳解】解：由題意可得，cos75°=cos=cos=3=6=6故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、二次根式的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答．2．（2020·青海·中考真題）對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)a，b，定義一種運(yùn)算※如下：a※b=a+ba?b【答案】0.5/1【分析】本題考查了新定義運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)新定義結(jié)合二次根式的混合運(yùn)算計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵a※∴12※故答案為：0.5．3．（2020·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）用※定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m和n，規(guī)定m※n=m2n?mn?3n（1）求?2※（2）若3※m≥?6，求m的取值范圍，并在所給的數(shù)軸上表示出解集．【答案】(1)33；(2)m≥?2【分析】（1）根據(jù)新定義規(guī)定的運(yùn)算法則列式，再由有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)新定義列出關(guān)于x的不等式，解不等式即可得．【詳解】解：（1）?2※3=4=3（2）∵3※m≥?6，∴3解得：m≥?2將解集表示在數(shù)軸上如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步驟4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）【代數(shù)推理】代數(shù)推理指從一定條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)的定義、公式、運(yùn)算法則、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等證明已知結(jié)果或結(jié)論．【發(fā)現(xiàn)問題】小明在計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)m、n，它們的乘積qq=mn（1）舉例驗(yàn)證：當(dāng)m=4,n=5,則q+n=4×5+5=25=（2）推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：設(shè)m<n，m、n是連續(xù)的正整數(shù)，∴n=m+1；∵q=mn，∴q+n=mn+n=nm+1∴q+n一定是正數(shù)n的平方數(shù)．【類比猜想】小紅同學(xué)提出：任意兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差是較小數(shù)的平方．請(qǐng)你舉例驗(yàn)證及推理證明；【深入思考】若p=q+2n+q?2m（m，n為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，0<m<n,q=mn),【答案】見解析【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，二次根式化簡；類比猜想：參考發(fā)現(xiàn)問題的舉例和推理過程計(jì)算即可；深入思考：由m，n為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，0<m<n，可得n=m+2，q=mn=m【詳解】解：類比猜想：（1）舉例驗(yàn)證：當(dāng)m=4,n=5,則q?m=4×5?4=16=（2）推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：設(shè)m<n，m、n是連續(xù)的正整數(shù)，∴n=m+1；∵q=mn，∴q?m=mn?m=mn?1∴q?m一定是正數(shù)m的平方數(shù)．深入思考：∵m，n為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，0<m<n，∴n=m+2，∴q=mn=m∴p=m∴p一定是偶數(shù)．?題型07與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究1．（2024·四川德陽·中考真題）將一組數(shù)2,2,則第八行左起第1個(gè)數(shù)是（

）A．72 B．82 C．58 【答案】C【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．求出第七行共有28個(gè)數(shù)，從而可得第八行左起第1個(gè)數(shù)是第29個(gè)數(shù)，據(jù)此求解即可得．【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個(gè)數(shù)，第二行共有2個(gè)數(shù)，第三行共有3個(gè)數(shù)，歸納類推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28個(gè)數(shù)，則第八行左起第1個(gè)數(shù)是2×29=故選：C．2．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）觀察下列各式：S1=1+11請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：S1+【答案】505051【分析】直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)變化規(guī)律進(jìn)而將原式變形求出答案．【詳解】S=1+=50+(1?=5050故答案為：5050【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化規(guī)律，正確將原式變形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·四川眉山·中考真題）將一組數(shù)2，2，6，22，…，42，2，6，2210，23，14…若2的位置記為(1,2)，14的位置記為(2,3)，則27的位置記為【答案】(4,2)【分析】先找出被開方數(shù)的規(guī)律，然后再求得27【詳解】數(shù)字可以化成：2，4，6，8；10，12，14，16；∴規(guī)律為：被開數(shù)為從2開始的偶數(shù)，每一行4個(gè)數(shù)，∵27=∴27的位置記為故答案為：(4,2)【點(diǎn)睛】本題考查了類比點(diǎn)的坐標(biāo)解決實(shí)際問題的能力和閱讀理解能力．被開方數(shù)全部統(tǒng)一是關(guān)鍵．4．（2022·四川達(dá)州·中考真題）人們把5?12≈0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)a=5?12，b=5+12，記【答案】5050【分析】利用分式的加減法則分別可求S1=1，S2=2，S100=100，???，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：∵a=5?12∴ab=5∵SS2…，S∴S1+故答案為：5050【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運(yùn)算，求得ab=1，找出的規(guī)律是本題的關(guān)鍵．5．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發(fā)現(xiàn)問題小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有n個(gè)籽，每列有k個(gè)籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，n>k≥3，d>0），如圖1所示．小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案．方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．解決問題在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請(qǐng)寫出比較過程，并對(duì)銷