2025中考數(shù)學一輪復習：平面圖形的初步認識（9個考點清單+23種題型解讀）（原卷版）

專題03平面圖形的初步認識(考點清單，9個考點清單+23種題型解讀)

考點儕單

【清單01線段、射線、直線】

1.直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系

類別、直線射線

圖形AB1AB1AB1

①表示兩端點的兩

①兩個大寫字母；兩個大寫字母，表示

表示方法個大寫字母;②一個

②一個小寫字母潴點的字母左前

小寫字母

讖點個數(shù)無1個2個

延伸性向兩方無限延伸向一方無限延伸不可延伸

性質(zhì)兩點項定一條直線兩點之間，坎段展短

度?不可以不可以可以

作圖敘述過4、8作直線48以4為端點作射線48連接48

2.基本性質(zhì)

⑴直線的性質(zhì):兩點確定一條直線.(2)線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短.

要點詮釋：

①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果

把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.

②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離.

3.畫一條線段等于已知線段

(1)度量法：可用直尺先量出線段的長度，再畫一條等于這個長度的線段.

(2)用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=a,如下圖：

aAunC

4.線段的比較與運算AA_

(1)線段的比較：

比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.

(2)線段的和與差：

如下圖，有AB+BC=AC,或AC=a+b；AD=AB-BD。

aAaBbC

b

ADB

（3）線段的中點:

把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點.如下圖，有：AM=MB=-AB

2

AMB

要點詮釋：

①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有AMA3,則點M為線段AB的中點.

2

②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點M,N,P均為線

段AB的四等分點.

AMNPB

清單02角】

（1）用三個字母表示角時，表示頂點的字母必須寫在另兩個字母的中間.如/AOB；

（2）在不引起混淆的情況下，角還可以用它的頂點字母來表示.如NA；

（3）角可以用希臘字母來表示，一般地，用希臘字母表示一個角時，需在角內(nèi)靠近頂點處畫上弧線.如/

a；

（4）角可以用一個數(shù)字來表示，一般地，用一個數(shù)字表示一個角時，需在角內(nèi)靠近頂點處畫上弧線.如/

1.

角也可以看成是一條射線繞著它的一個端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.

1.角的度量

（1）角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的

兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.

（2）角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英

文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：

WAO6或NOZaZt

要點詮釋：

①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義；

②當一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示.（3）角度制及角度的換算

1周角=360。，1平角=180°,1。=60',-60",以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.

要點詮釋：

①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.

②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式（即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化）時用乘法逐級進行；由度

分秒的形式化成度（即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化）時用除法逐級進行.

③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一

成60.

（4）角的分類

銳角直角鈍角平角周角

范圍0<ZP<90°4=90。90°<Zp<180°4=180。Zp=360°

（5）畫一個角等于已知角

（1）借助三角尺能畫出15。的倍數(shù)的角，在。?180。之間共能畫出11個角.

（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.

（3）用尺規(guī)作圖法.

2.角的比較與運算

（1）角的比較方法：①度量法；②疊合法.

（2）角的平分線：

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因

為OC是NAOB的平分線，所以/1=/2=工/AOB,或/AOB=2N1=2N2.

2

【清單03余角、補角、對頂角】

余角：如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角互為余角.

補角：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角.

1.互余、互補是指兩個角之間的一種關(guān)系.

2.互余、互補是指數(shù)量關(guān)系，與兩個角的位置沒有關(guān)系.

余角補角

（1）若Nl+N2=90。，則N1與/2互為余角.其中N1是N2的余角，N2是N1的余角.

（2）若/1+/2=180。，則N1與/2互為補角.其中N1是/2的補角，N2是N1的補角.

（3）結(jié)論：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等.

要點詮釋：

①余角（或補角）是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不能稱其為余角（或補角）.

②一個角的余角（或補角）可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的.

③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān).

④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”.

方位角

以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.

要點詮釋：

(1)方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北

還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.

(2)北偏東45。通常叫做東北方向，北偏西45。通常叫做西北方向，南偏東45。通常叫做東南方向，南偏

西45。通常叫做西南方向.

(3)方位角在航行、測繪等實際生活中的應(yīng)用十分廣泛.

對頂角

對頂角是兩個角之間的一種位置關(guān)系。兩條直線相交時會產(chǎn)生一個交點，并產(chǎn)生以這個交點為頂點的

四個角。稱其中不相鄰的兩個角互為對頂角?；蛘哒f，其中的一個角是另一個的對頂角。

對頂角滿足下列定理：兩直線相交，對頂角相等。

【清單04平行】

1、定義：同一平面內(nèi)的兩條直線的位置有兩種：平行或相交.在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做

平行線.

定義中的三個要點：(1)在同一平面內(nèi)；(2)不相交，即沒有公共點；(3)兩條直線，而不是線段或射線.

2、平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.

3、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

【清單05垂直】

1.垂直的定義：如圖，直線。、6相交成的四個角中有一個角是直角(通常標上直角標記)，則直線。

與直線6互相垂直，記作或者6，。，交點。就是垂足.其中。是6的垂線，》也是。的垂線.垂線是

直線，且相對于另一條直線而言.

2.垂直定義的應(yīng)用：

(1)判定：若直線A8和相交，交點為。，ZBG?C=90°,則

AB±CD.這個推理過程可表示為：

,/ZBOC=9Q°,

：.ABLCD.(垂直的判定).

(2)性質(zhì)：若兩條直線垂足為點。，則

NAOC=ZAOD^/BOC=NBOD=90°,

這個推理過程可表示為：

?.*ABLCD

：./8OC=90。(垂直的定義).

圖2

【清單06三線八角】

同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念

“三線八角”模型

如圖，直線A3、與直線所相交(或者說兩條直線A3、C。被第三條直線EP所截)，構(gòu)成八個角,

簡稱為“三線八角”，如圖1.

被截線

要點詮釋：

圖1

(1)兩條直線A3,8與同一條直線EF相交.

(2)“三線八角”中的每個角是由截線與一條被截線相交而成.

同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義

在“二線八角''中，如上圖1,

(3)同位角：像/I與/5,這兩個角分別在直線A3、8的同一方，并且都在直線E尸的同側(cè)，具有這

種位置關(guān)系的一對角叫做同位角.

(4)內(nèi)錯角：像N3與N5,這兩個角都在直線A3、之間，并且在直線EP的兩側(cè)，像這樣的一對角

叫做內(nèi)錯角.

(5)同旁內(nèi)角：像N3和/6都在直線A3、CZ)之間，并且在直線所的同一旁，像這樣的一對角叫做同

旁內(nèi)角.

要點詮釋：

(1)“三線八角''是指上面四個角中的一個角與下面四個角中的一個角之間的關(guān)系，顯然是沒有公共頂點

的兩個角.

（2）“三線八角”中共有4對同位角，2對內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角.

同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角位置特征及形狀特征

基本圖形

角的名稱位置特征圖形結(jié)構(gòu)特征

（去掉多余的線）

在兩條被截直線同形如字母“F”

方，在截線同側(cè)（或倒形）

同位角V

在兩條被截直線之形如字母“Z”

間，在截線兩側(cè)（交（或反置）

內(nèi)錯角

錯）

在兩條被截直線之形如字母“U”

同旁內(nèi)角內(nèi)，在截線同側(cè)

要點詮釋:

巧妙識別三線八角的兩種方法:

（3）巧記口訣來識別：一看三線，二找截線，三查位置來分辨.

（4）借助方位來識別

根據(jù)這三種角的位置關(guān)系，我們可以在圖形中標出方位，判斷時依方位來識別，如圖2.

【清單07平行公理】

如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。

簡述：平行于同一條直線的兩條直線平行。

【清單08平行線的判定與性質(zhì)】

判定定理性質(zhì)定理

條件結(jié)論條件結(jié)論

同位角相等兩直線平行兩直線平行同位角相等

內(nèi)錯角相等兩直線平行兩直線平行內(nèi)錯角相等

同旁內(nèi)角互補兩直線平行兩直線平行同旁內(nèi)角互補

【清單09多邊形的相關(guān)概念】

多邊形

（1）多邊形概念：在平面內(nèi)，由一些線段首位順次相接組成的圖形叫做多邊形。

（2）正多邊形概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形

多邊形的對角線

n邊形一個頂點的對角線數(shù)：n-3；n邊形的對角線總數(shù)：“"一）

2

截角問題

n邊形截去一個角后得到n/n-l/n-2邊形

小型清單

【考點題型一直線、射線、線段的相關(guān)概念】

【例1】下列說法正確的有（）

①過兩點只能畫一條直線；②過兩點只能畫一條射線；③以兩個點為端點只能畫一條線段.

A.1個B.2個C.3個D.0個

【變式1-1］下列說法正確的是（）

A.射線R4和射線AP是同一條射線B,直線Q4的長度是7cm

C.直線位cd相交于點MD.線段A3與射線54在同一條直線上

【變式1-2］如圖，A,氏C是直線/上的三個點.

（1）圖中共有條線段；

（2）圖中以點8為端點的射線有條，分別是；

（3）直線/還可以表示為.

【變式1-3］如圖，直線和線段將平面分成五個區(qū)域（不包含邊界），若線段PQ與線段有公

共點，則點。落在的區(qū)域是（填寫區(qū)域的序號）.

\、④/

'、、/

⑤X

/\。③

【變式1-4】如圖，A,B,C是同一直線上的三個點.圖中有幾條射線？在不增加字母的情況下，能表示出

的射線共幾條？是哪幾條？

ABC

III

【考點題型二直線、射線、線段的數(shù)量問題】

【例2】直線48上有一點C,直線外有一點則A、B、C、。四點確定的直線有（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

【變式2-1］從A市到8市，乘坐火車共經(jīng)過5個車站（不包括A,8兩種），買車票的價格因為起點和終

點不同有很多種，從A市到8市的任意兩個車站的車票價格最多有（）

A.7種B.14種C.21種D.28種

【變式2-2】將線段A3延長至點C,再將線段反向延長至點則該圖中共有條線段.

【變式2-3］如圖，有下列結(jié)論：①以C為端點的射線共有4條；②射線5。和射線。B是同一條射線；③

直線2C和直線3D是同一條直線；④射線AS,AGAD的端點相同.其中正確的結(jié)論是（填序號）.

【變式2-4】如圖：

1.1?

ABCD

（D圖中有幾條直線？

（2）圖中有幾條射線？能用圖中字母表示的射線有幾條？寫出可以用字母表示的射線;

（3）圖中有幾條線段？有哪些線段可用圖中字母表示？

（4）如果一條直線上標注了w個點，那么有幾條射線？

【考點題型三直線相交的個數(shù)問題】

【例3】觀察圖形，下列說法正確的有（）

（1）直線54和直線A3是同一條直線；

（2）線段和線段DB是兩條不同的線段；

（3）射線AC和射線AD是同一條射線；

（4）三條直線兩兩相交時，一定有三個交點.

【變式3-1】小紅在“趣味數(shù)學”社團活動中探究了直線交點個數(shù)的問題.現(xiàn)有7條不同的直線

（〃=1,2,3,4,5,6,7）,其中4,互相平行，4，4，4三條直線交于一點，則他探究這7條直線的交點個數(shù)

最多是（）

A.17個B.18個C.19個D.21個

【變式3-2】如圖，①2條直線相交，最多1個交點；②3條直線相交最多有3個交點；③4條直線相交最

多有6個交點，那么10條直線相交最多有個交點.

【變式3-3】一平面內(nèi)，3條直線兩兩相交，最多有3個交點；4條直線兩兩相交，最多有6個交點；5條直

線兩兩相交，最多有10個交點；…；那么，10條直線兩兩相交，最多有個交點.

【變式3-4】【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖，我們通過觀察后可以發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交，最多有1個交點；三條直線相

交，最多有3個交點；那么四條直線相交，最多有個交點；〃條直線相交，最多有個交點（用

含”的代數(shù)式表示）；

【實踐應(yīng)用】在實際生活中同樣存在數(shù)學規(guī)律型問題，請你類比上述規(guī)律探究，計算：某校七年級舉辦籃

球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有16個班，則這一輪共要進行多少場比賽？

【考點題型四尺規(guī)作線段】

【例4】已知線段“，6,J小明利用尺規(guī)作圖畫出線段A3,則線段()

C

<--------------------------->

?.[a[，a]6,-

AI\BI

A.2a+b-cB.3a-cC.3a+b—cD.2a-1.5c

【變式4-1]已知:線段a,b.

求作：線段AB,使得AB=a+2Z?.

小明給出了四個步驟：①在射線AM上畫線段AP=a；

②則線段AB=a+2b.

③在射線尸M上畫線段PQ=AQB=b.

④畫射線AM；

你認為正確的順序是().

b

1

A.①②③④B.④③①②C.④①③②D.④①②③

【變式4-2]如圖，已知線段機，“，射線AAf.如果按如下步驟進行尺規(guī)作圖：①在射線A”上順次截取

AD=DB=m,②在射線AM上截取3c=〃，那么AC的長為.

ImI

n

AM

【變式4-3】尺規(guī)作圖：作一條線段等于已知線段.

已知：線段如圖

B

求作：線段CD,使AB=CD.

小亮的作法如下：

如圖，（1）作射線；

（2）以點為圓心，長為半徑作弧交CE于點

線段CD就是所求作的線段.

CD'E

【變式4-4]如圖，已知線段a,b（a>b）,按要求用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.

?a?

b

??

⑴求作線段C,使c=a-6；

（2）求作線段d,使d=a+6.

【考點題型五線段的和差】

【例5】在平面內(nèi)有三點A,B,C,且AB=10,BC=4,則AC的長度為（）

A.14B.6C.14或6D.不能確定

【變式5-1]如圖，延長線段A8至點C,使3C=2AB,延長線段54至點。，使E是線段OB的

中點，尸是線段AC的中點.若EF=10cm,則43的長度為（）

Iiiii?

DEABFC

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【變式5-2】如圖，線段AB=4cm,延長線段AB到C,（JBC=1cm,再反向延長AB到O,使AD=3cm,

E是AD的中點，尸是CD的中點.則跖的長為cm.

[」」]￡]

DEAFBC

【變式5-3】如圖線段AB=3cm,要求尺規(guī)作圖,在直線AB上找一點C,作BC=2AB,則AC=cm.

II____________________________________________

AB

【變式5-4】如圖，將線段AB延長到C,使BC=2AB,AB的中點為D,E,尸是BC上的點，且防:EF=1:2,

EF:FC-2:5,AC=60cm,求DE,DF的長.

IIII1I

ADBEFC

【考點題型六線段中點的有關(guān)計算】

【例6】如圖，線段AB=16cm,點C為線段AB上的一點，點、D,E分別為線段AC,BC的中點.則線段

的長為()cm.

ADCEB

A.4cmB.8cmC.10cmD.12cm

【變式6-1】已知線段AB=6cm,點。是"的中點，點。在線段A5上且=則線段AD的長為

()

A.2cmB.4cmC.2cm或3cmD.2cm或4cm

【變式6-2］如圖，一條線段AB:3c:8=3:2:4,E,尸分別是線段",8的中點，且所=22cm,則線

段3C的長為.

ill???

AEBCFD

【變式6-3］如圖，點C在線段AB上，D,E分別是線段AC,BC的中點，若AB=6,則DE的長為.

ill??

ADCEB

【變式6-4］如圖，A,B,C,。是直線/上的四個點，M,N分別是AB,CO的中點.

MN

i',‘?’

ABCD

(1)如果Affi=2cm,NC=1.8cm,3c=5cm,則AD的長為cm.

(2)如果肱V=10cm,BC=6cm,則A。的長為cm；

(3)如果=BC=b,求AD的長，并說明理由.

【考點題型七線段的動點問題】

【例7】2是線段上一動點，沿A至。的方向以2cm/s的速度運動.C是線段2。的中點.AD=10cm.在

運動過程中，若線段A8的中點為E.則EC的長是()

A.2cmB.5cmC.2cm或5cmD.不能確定

【變式7-1］如圖，線段AB=24cm,動點P從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿43運動，M為AP的中點，N為BP

的中點.以下說法正確的是()

①運動4s后,PB=2AM；

②PM+MN的值隨著運動時間的改變而改變；

③23Af-3P的值不變；

④當AN=6PM時，運動時間為2.4s.

A~~M~~PNB

A.①②B.②③C.①②③D.②③④

【變式7-2］如圖，在數(shù)軸上剪下6個單位長度（從-1到5）的一條線段，并把這條線段沿某點向左折疊,

然后在重疊部分的某處剪一刀得到三條線段，發(fā)現(xiàn)這三條線段的長度之比為則折痕處對應(yīng)的點表示的

數(shù)可能是.

折燃方斷處

【變式7-3］如圖，AB=10，點加是線段AC的中點，點N是線段BC的中點，點C是線段AB上一動點,

則肱V=.

AMN

【變式7-4】線段AB=16,C,。是線段AB上的兩個動點（點C在點D的左側(cè)），且C￡>=2,E為BC的中

點.

ACDEB

圖1

AFCDEB

圖2

（1）如圖1,當AC=4時，求。E的長.

（2）如圖2,尸為的中點.點C,。在線段A8上移動的過程中，線段E尸的長度是否會發(fā)生變化，若會,

請說明理由；若不會，請求出所的長.

【考點題型八角的相關(guān)概念】

【例8】下列說法不正確的是（）

A.兩個銳角的和不一定大于直角

B.兩個鈍角的和不一定大于平角

C.直角都等于90。

D.1周角=2平角=4直角

【變式8-1］下列關(guān)于角的說法中，正確的個數(shù)為()

①兩條有公共點的射線組成的圖形叫做角；②角是由一個端點引出的兩條射線所組成的圖形；③兩條射線,

它們的端點重合時，可以形成角；④角的大小與邊的長短有關(guān).

A.0B.1C.2D.3

【變式8-2］如圖，NAO3是直角，則圖中的銳角共有個.

【變式8-3】如圖,在從同一點出發(fā)的七條射線OB、OC,OD、OE、OF、OG組成的圖形中，共有一

個銳角.

。為直線上一點，ZAOC=5Q°,OD平分工AOC,NDOE=90°.

⑴求出的度數(shù)；

(2)請通過計算說明OE是否平分/3OC；

(3)請你數(shù)一數(shù)，圖中有多少個小于平角的角.

【考點題型九方向角的相關(guān)計算】

【例9】如圖，甲從點A出發(fā)沿北偏東70。方向走100m到點8,乙從點A出發(fā)沿南偏西15。方向走150m到點

【變式9-1］如圖，Q4的方向是北偏東10。，03的方向是西北方向，若NAOC=NAO3,OC的方向是（）

北

A.北偏東65。B.北偏東55。C.東偏北15。D.東偏北25。

【變式9-2】如圖，在燈塔。處觀測到輪船A位于北偏西53。的方向，同時輪船3在南偏東20。的方向，則

NAOB的度數(shù)為°.

II：

【變式9-3］如圖，Q4的方向是北偏東15。，08的方向是北偏西40。.^ZAOC=ZAOB,則OC的方向

是_____

【變式9-4】如圖，射線Q4的方向是北偏東20。，射線02的方向是北偏西35。，OD是。3的反向延長線,

OC在NAOD的內(nèi)部，S.ZAOC=ZAOB.

北N

(1)求出射線OC的方向；

(2)直接寫出/DOC的度數(shù).

【考點題型十角的單位與角度制】

【例10】用度、分、秒表示15.21。為()

A.15°12'36"B.15°12'23"C.15°20TD.15°21'

【變式10-1]Na=57.32°用度、分、秒表示4為()

A.57°19'12"B.57°20'2"C.57°20'12"D.57。21'

【變式10-2】計算：20。17'+15。30'=.

【變式10-3]計算:

(1)48°39,+67°41,=

(2)90°-78°1940”=

(3)21。17々5=

(4)176。5223=.

【變式10-4】計算(結(jié)果用度、分、秒表示).

(1)58°49'+67°31‘；

(2)47.6°-25°12'36〃；

(3)38°45'+72.5°；

(4)180。-(58。35'+70.3。).

【考點題型十一三角板中角度計算】

【例11】將兩塊直角三角尺的直角頂點重合為如圖的位置，若ZAOC=25。，則N3OD=()

【變式11-1】將一副直角三角板如圖所示放置，使含30。角的三角板的一條直角邊和含45。角的三角板的一

條直角邊重合，則4的度數(shù)為()

A.45°B.60°C.75°D.85°

【變式11-2］如圖，將一副直角三角板疊在一起，使直角頂點重合于點O,則NAO3+NDOC=

【變式11-31將一副三角板如圖擺放，若？3AE140?,則NC4O的度數(shù)是

【變式11-4］如圖，將兩塊三角板的直角頂點重合.

(1)寫出以C為頂點的所有相等的角

⑵若NACB=148。，求/DCE的度數(shù).

(3)猜想：Z4CB與/DCE之間的數(shù)量關(guān)系為.

【考點題型十二幾何圖形中角度計算】

【例12】已知ZAO8=30。，ZBOC=50°,那么NAOC=()

A.20°B.80°C.20°或80°D.30°

【變式12-1］如圖，已知ZAO8=NCOD=90。，若NAOD=130。，則N3OC的度數(shù)為().

A.65°B.50°C.40°D.35°

【變式12-2】如圖，若NBOD=2ZAOB,OC是ZAOD的平分線，則①N8OC=|ZAOB；②ZDOC=2NBOC；

@ZCOB=^ZAOB-?ZCOD=3ZBOC.正確的是.（請?zhí)顚懶蛱枺?/p>

【變式12-3］如圖，ZAOB=90°,ZAOC=120°,則NBOC的度數(shù)是

【變式12-4］如圖,已知NAOr>:N3Or>=l:3,OC是NAO。的平分線，若NAO3=120。，求:

B

D

A

(l)NCOD的度數(shù)；

(2)/BOC的度數(shù).

【考點題型十三角平分線的相關(guān)計算】

【例13］如圖，直線AB、CD交于點O,OE平分NAOD,若4=36。，貝U/COE等于()

A.72°B.95°C.108°D.144°

【變式13-1］如圖，直線AB,8相交于點0,射線OM平分NAOC,ZNOM=90°,若/CON=55°,

則的度數(shù)為()

C

7

AOVB

'D

A.45°B.35°C.55°D.65°

【變式13-2］如圖，NAO。=80。，/COD=30D,05平分NAOC,貝IJZAO5=_______度；

【變式13-3］如圖，已知NAO3=tz,NBOC=p,ON平分NZOC,ON平分NBOC,則NMQV的度數(shù)

是.

A

（2）在圖2中，設(shè)4。。=%48加=分，請?zhí)骄?。與|3之間的數(shù)量關(guān)系.

【考點題型十四余角、補角的相關(guān)計算】

【例14］如圖，直線A3與CD相交于點O,射線OE在23OC的內(nèi)部，且OE_LCD于點。，若/30。=40。,

則NAOE的度數(shù)為（）

A.130°B.140°C.40°D.50°

【變式14-1】如圖，。為直線AB上一點，OC平分/AOE,ZDOE=90°,有下列四個結(jié)論：①

ZAOD+ZBOE=90°；②若NBOE=58°,則NCOE=61。；③/BOE=2NCOD；④平分/CQ4.其中

正確的是（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④

【變式14-2】已知Na與4互為補角，并且的2倍比“大30。，則/a=

【變式14-3］如圖，AOLO3于點O,N3OC=35。，則NAOC的補角等于.

上

【變式14-4］如圖，直線AB,CD相交于點。，OE平分/BOC,OhCD.

⑴若40尸=50。，求ZBOE的度數(shù);

⑵若NBOD:NBOE=1:4,求/AOP的度數(shù).

【考點題型十五對頂角與鄰補角】

【例15］如圖，取兩根木條。，b,將它們釘在一起，轉(zhuǎn)到木條6,當/I增大2。時，下列說法正確的是（）

C./4減少2。D./4減少1。

【變式15-1］如圖，點。在直線A8上，ZAOD=22.5°,/BOC=45。，OE平分/3OC,則/EOC的補角

B.ZAOE^ADOB

C.ZAOEZ.DOBZAOC+ZDOED.以上都不對

【變式15-2］如圖所示，直線AB,8交于點0,OE1AB,OD平分/BOE,貝i」N3OC=

【變式15-3］如圖，直線AB,CD相交于點0,平分"0C,徒OC：EOD=Y.2,則/3OD等于

【變式15-4］如圖，已知直線AB,CD相交于點。，ZBOE=90°.

(1)若/SOD=40。，求NCOE的度數(shù)；

(2)若ZAOC=|ZBOC,求ZDOE的度數(shù).

【考點題型十六同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角】

A.N2與/4是同旁內(nèi)角B.N3與/4是內(nèi)錯角

C.N5與/6是同旁內(nèi)角D./I與N5是同位角

【變式16-1］如圖，描述同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關(guān)系不正確的是（）

B.N2與N3是內(nèi)錯角

c.N3與N4是同旁內(nèi)角D./2與N4是同旁內(nèi)角

【變式16-2］根據(jù)圖形填空:

(1)若直線即，被直線48所截，貝|/1和—是同位角;

(2)若直線ED,被直線AF所截，則/3和—是內(nèi)錯角;

(3)/I和N3是直線AB,AF被直線—所截構(gòu)成的一角；

【變式16-3］如圖，從已經(jīng)標出的五個角中,

(1)直線AC,8。被直線ED所截，N1與是同位角；

(2)直線AB,CD被直線AC所截，N1與是內(nèi)錯角；

(3)直線AB,CD被直線3。所截，/2與是同旁內(nèi)角.

【變式16-41兩條直線被第三條直線所截，4與N2是同旁內(nèi)角，N3與N2是內(nèi)錯角.

(1)畫出示意圖；

(2)若N1=3N2,N2=3N3,求/I、/2的度數(shù).

【考點題型十七平行公理及其推論】

【例17］“對于有理數(shù)a,b,c,若。=6,b=c,則。=c"，我們稱這命題的關(guān)系具有“傳遞性”，下列命題

中，具有“傳遞性”的是（）

A.”，/是直線，若7"〃”，nI,則?"〃/

B.m,n,/是直線，若加J_〃，z?±Z,則

C.若N1與/2互余，/2與N3互余，則N1與N3互余

D.若/I與N2互補，N2與N3互補，則/I與N3互補

【變式17-1】下列說法中正確的是（）

A.同位角相等.

B.直線外一點到這條直線的垂線段叫做這個點到這條直線的距離.

C.平面內(nèi)有三條直線a,b,c,若ab,bPc,則aPc.

D.平面內(nèi)有三條直線a,b,c,若：，力，則。，c.

【變式17-2］有下列說法：①兩條不相交的直線是平行線；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；

③在同一平面內(nèi)，和第三條直線都不相交的兩條直線平行；④在同一平面內(nèi)，不相交的兩條射線必平行.其

中，正確的有個.

【變式17-3】下列四個說法中：（1）直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；（2）過直線外一點，有且只有

一條直線與已知直線平行；（3）一個角的余角一定小于這個角的補角；（4）如果兩個角是對頂角，那么它

們一定相等.正確的有.

【變式17-4］作圖題

⑴在圖①中，過點P作P到。4的垂線段尸“，垂足為凡OP_PH,（填或“="），理由是_

（2）過點P作直線PC〃Q4,PD//OA,則尸、C、D三點共線，理由是_

【考點題型十八平行線的判定】

【例18］如圖，點E在。延長線上，下列條件中能判定ABCE的是（）

C.ZB=NCD.ZC+ZG4B=180°

【變式18-1］如圖，下列能判定CD的條件有（）個

(1)ZB+ZBCD=180°；(2)N1=N2；(3)/3=/4；(4)ZB=Z5

C.3D.4

【變式18-2］如圖，下列條件中：①/3+/氏止）=180°；②N1=N2；③/3=/4；@ZB=Z5,其中能判

定A5〃CD的條件有.（填寫序號）

【變式18-3］如圖，在下列四組條件中:①N1=N2,②/3=/4,③/BAD+ZABC=180。，④/A4C=ZACD,

能判定AD〃3C的是.

【變式18-4］如圖，已知轉(zhuǎn)平分/BAC,CP平分ZACQ,Zl+Z2=90°.

（D判斷43與CO的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若/CD3=2N1,/E=32。，求N2的度數(shù).

【考點題型十九平行線的性質(zhì)】

【例19］如圖，已知AB〃CD,8C是/ABD的平分線，若N2=64。，則N3的度數(shù)是（）

C.32°D.116°

【變式19-1］如圖，直線］〃/2〃4,Nl=25°,/A8C=73。，則N2的度數(shù)為（）

C.138°D.132°

【變式19-2］如圖，直線a〃6,將一直角三角形的直角頂點置于直線b上，若4=24。，則N2等于度.

【變式19-3］如圖，NA=72。，。是48上一點，直線OD與的夾角48=85。，要使OD〃AC,直

線OD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)的最小角度為度.

【變式19-4］（1）【閱讀探究】如圖1,已知A3〃CD,E、P分別是48、C。上的點，點M在48、CD

兩平行線之間，ZAEM=45°,ZCFM=25°,求ZEMF的度數(shù).

解：過點”作

AB//CD,

：.MN//CD,

：.ZEMN=ZAEM=45°,ZFMN=Z.CFM=25°,

ZEMF=ZEMN+ZFMN=45°+25°=70°.

從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將a的1和BCFM“湊”在一起，得出角之

間的關(guān)系，使問題得以解決.進一步研究，我們可以發(fā)現(xiàn)圖1中NA￡M、N項便和之間存在一定的

數(shù)量關(guān)系，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系：

（2）【方法運用】如圖2,已知AB〃CD,點E、下分別在直線AB、CD上，點M在48、CD兩平行線之

間，求NAEM、NEMF和BCRVf之間的數(shù)量關(guān)系.

（3）【應(yīng)用拓展】如圖3,在圖2的條件下，作和BCRW的平分線￡P(guān)、FP,交于點尸（交點尸在

兩平行線48、CZ）之間）若/EMF=60°,求NEP尸的度數(shù).

【考點題型二十根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系】

【例20］如圖，ADBE,AC與BC相交于點C,>Z1=-ZDAB,Z2=-ZEBA,若NC=36。，則”

nn

的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式20-1］如圖，如果AB〃CD〃EF,那么NA+NACD+"CE+/E=()

E

A.180°B.270°C.360°D.540°

【變式20-2】小林乘車進入車庫時仔細觀察了車庫門口的“曲臂直桿道閘”，已知4B垂直于水平地面AE當

車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段繞點B緩慢向上旋轉(zhuǎn)，CD段則一直保持水平狀態(tài)上升（即CD與

AE始終平行），在該過程中ZABC+ZBCD始終等于.

【變式20-3］已知NABC與其內(nèi)部一點。，過。點作作則NEDF與23的數(shù)量關(guān)

系是