2025中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：一元一次方程（5個考點(diǎn)清單+12種題型解讀）（解析版）

專題01一元一次方程(考點(diǎn)清單，5個考點(diǎn)清單+12種題型解讀)

【清單01】一元一次方程的概念

1.方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程.

2.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。

3.一元一次方程定義：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是一次，且兩邊都是整式的方程叫作一元一次方

程。

細(xì)節(jié)剖析：

判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：

①只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)為

②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù).

4.一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。

【清單02】等式的基本性質(zhì)

等式的性質(zhì)1等式的兩邊都加上(或都減去)同一個數(shù)或式，所得結(jié)果仍是等式。

字母表達(dá)式為：如果a=6,那么a±c=6±c.

等式的性質(zhì)2等式的兩邊都乘或都除以同一個數(shù)或式(除數(shù)不能為零)，所得結(jié)果仍是等式。

字母表達(dá)式為：如果a=。，那么ac=bc,或g=2(c/0).

CC

細(xì)節(jié)剖析：

等式的傳遞性如果a=6、b=c,那么a=c。

【清單03】一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù).

(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號,再去中括號,最后去大括號.

(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，常數(shù)項移到方程另一邊.

(4)合并：逆用乘法分配律,分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項,把方程化為ax=b(a力0)的形式.

b

(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以耒知數(shù)的系數(shù)得到方程的解x=—(aRO).

a

(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等,則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，

則不是方程的解.

【清單04】一元一次方程的應(yīng)用

首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x,然后用含

尤的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、歹!）、解、答.

一元一次方程應(yīng)用題解題一般步驟：

①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系

②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x）

③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個相等關(guān)系

④列：根據(jù)這個相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值

⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）

【清單05】用一元一次方程解決實(shí)際問題的常見類型

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進(jìn)價，利潤率=粵黑、100%）；

進(jìn)價

（4）工程問題（①工作量=人均效率x人數(shù)x時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量

的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度x時間）；速度x時間=路程；相遇問題：S甲+SKS.B；追及問題：S快-S慢

=S相距；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題;

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

感型情單

【考點(diǎn)題型一方程的相關(guān)概念】

【例1】給出下列各式：?m=O；②2x>3；③V+x_2=0；④2+2=0；⑤尤1；⑥孫=4.其中是

方程的有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】C

【詳解】本題考查了方程的定義，判斷一個式子是方程必須同時具備兩點(diǎn)，一是等式，二是含有未知數(shù).

方程就是含有未知數(shù)的等式，據(jù)此定義逐個判斷即可得出案.

【分析】解：根據(jù)方程的定義可得①③④⑤⑥是方程；

②2x>3是不等式，不是方程；

故有5個式子是方程.

故選：C.

Y1

【變式1-1】己知下列式子：一+8=3；12-x；x-y=3；尤+1=2x+l；3/=10；2+5=7；x-1^0；-=l.其中方

3x

程的個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本題考查的是方程的定義，根據(jù)方程的定義對各選項進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：12-x不是等式，所以它不是方程；

2+5=7是等式，但其中不含未知數(shù)，所以它不是方程；

x-1工0不是等式，所以它不是方程；

彳+8=3,x-y=3,無+1=2無+1,3/=10,—=1都具備方程的兩個條件，所以都是方程.

3x

故選：C.

【變式1-2］若x=2是方程。一法=4的解，貝|3。一6匕+1的值為.

【答案】13

【分析】本題考查一元一次方程的解，代數(shù)式求值，把尤=2代入方程，得a-2b=4,將3a-66+l變形為：

3（a-2b）+l,即可求解.

【詳解】解：：尤=2是方程。一云=4的解，

a—2b=4,

3a—6b+1

=3（a-2Z?）+l

=3x4+1

=13.

故答案為：13.

【變式1-3］關(guān)于％的一元一次方程2如-1=3-%有解，則力的值為.

【答案】加工一:

【分析】本題考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次項的系數(shù)不等于零.根據(jù)一元一次方

程有解，可得一次項的系數(shù)不等于零.

【詳解】解：由2mLi=3-x,可得(2機(jī)+l)x=4,

「關(guān)于元的一元一次方程2mx-l=3-x有解，

/.2m+1w0,

解得：加工一;.

故答案為：根

【變式1-4]檢驗(yàn)下列各小題括號內(nèi)字母的值是否是相應(yīng)方程的解

(l)2x=x+3,(x=3,x=2)；

4

⑵4y=8-2y,(y=4,y=~)

【答案】(1)見解析；

(2)見解析

【分析】本題考查了方程的解的定義，熟練掌握方程的解得定義是解題的關(guān)鍵.

(1)方程的解就是能夠使方程兩邊左右相等的未知數(shù)的值，把括號內(nèi)的數(shù)分別代入已知方程，進(jìn)行一一驗(yàn)

證即可.

(2)方程的解就是能夠使方程兩邊左右相等的未知數(shù)的值，把括號內(nèi)的數(shù)分別代入已知方程，進(jìn)行一一驗(yàn)

證即可.

【詳解】(1)解：把x=3代入方程，左邊=2x3=6,右邊3+3=6,左邊=右邊，即x=3是該方程的解；

把x=2代入方程，左邊=2x2=4,右邊2+3=5,左邊h右邊，即*=2不是該方程的解；

(2)解：把＞=4代入方程，左邊=4x4=16,右邊8-2x4=。，左邊片右邊，即＞=4不是該方程的解；

把y4代入方程，左邊=4xg4=?16,右邊8-2x；4=?16,左邊=右邊，即y4是該方程的解.

【考點(diǎn)題型二等式的性質(zhì)】

【例2】下列等式變形中，一定正確的是()

A.若孫=1,貝產(chǎn)=，B.若無2=2X,貝UX=2

y

C.若2a—6=4,則b=-2a+4D.若一gx=6,貝!]x=—2

【答案】A

【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，正確記憶等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.性質(zhì)1：等式兩邊同時加（或減）同一

個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；性質(zhì)2：等式兩邊同時乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，

根據(jù)對應(yīng)性質(zhì)逐一判斷，即可得到答案.

【詳解】解：A、若孫=1,則了=工，故該選項是符合題意的；

y

B、若d=2x,則％=2或0,故該選項是不符合題意的；

C、若2a-b=4,則人=4一2々，故該選項是不符合題意的；

D、若-；x=6,則％=一18,故該選項是不符合題意的；

故選：A

【變式2-1］下列變形中，不正確的是（）

A.若a=b,貝=

Y1

B.由?=1,則％=二

44

C.若+l）a=（%2+1）匕，貝i］a=6

D.若a+2Z?-l=0,貝!］。=-26+1

【答案】B

【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)仍是等

式；等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)仍是等式.

【詳解】解：A選項：已知a=b,根據(jù)等式的基本性質(zhì)兩邊同時減去c可得：a-c^b-c,故A選項正確；

B選項：已知￡=1,根據(jù)等式的基本性質(zhì)兩邊同時乘以4可得：x=4,故B選項錯誤；

C選項：川+121,...把（/+山="+1）6的兩邊同時除以蘇+1可得：a=b,故C選項正確；

D選項：已知Q+2Z?-1=0,移項可得：a=-2b+l,故D選項正確.

故選：B.

【變式2-2］已知4x+2y=3,用含x的式子表示＞=.

【答案】|-2x

【分析】此題主要考查等式的性質(zhì)變形，根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形即可.

【詳解】解：4x+2y=3

2y=3-4x

_30

y=,一2x，

3

故答案為：—~2x.

【變式2-3](1)若3x+l=2,則3x=2-1,應(yīng)用的是等式的性質(zhì),變形的方法是等式兩邊；

(2)若-2彳=-6,則無=,應(yīng)用的是等式的性質(zhì),變形的方法是等式兩邊；

(3)若2(尤-1)=4,則x-l=,應(yīng)用的是等式的性質(zhì),變形的方法是等式兩邊.

【答案】1都減132都除以-222都除以2

【分析】題目考查了等式的基本性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)1,2是解題的關(guān)鍵.

(1)中應(yīng)用的是等式的性質(zhì)1；(2)、(3)中應(yīng)用的是等式的性質(zhì)2.

【詳解】(1)若3x+l=2,則3x=2-1,應(yīng)用的是等式的性質(zhì)1,變形的方法是等式兩邊同減1；

故答案為：1；都減1；

(2)若-2x=-6,則x=3,應(yīng)用的是等式的性質(zhì)2,變形的方法是等式兩邊同除以-2；

故答案為：3；2；都除以-2；

(3)若2(尤-1)=4,則x-l=2,應(yīng)用的是等式的性質(zhì)2,變形的方法是等式兩邊同除以2.

故答案為：2；2；都除以2.

【變式2-4]利用等式的基本性質(zhì)解方程：

(1)-=-3x+—；

(2)56=3x+32—2x；

(3)3x+4=x；

(4)|m-7=l；

(5)3y—7—6y=-8；

(6)7.9x+1.58+2x=7.9x—8.42.

【答案】(1)尤=:

(2)x=24

(3)x=—2

(4)m=12

(5)y=g

(6)2x=—10

【分析】

本題考查利用等式的基本性質(zhì)解方程，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.利用等式的基本性質(zhì)解各

個方程即可.

【詳解】(1)解：-2x=-3無+g

—2,x+3x——3x+3xH—

3

5

%=一;

3

(2)解：56=3%+32—2x

56—56—3x+32—2x—56

x-24=0

%—24+24=0+24

犬=24；

(3)解：3x+4=x

3x—3x+4=x—3x

-2x=4

—2x+(—2)=4+(—2)

x=—2；

2

(4)解：-m-7=l

--7+7=l+7

3m

2

—m=8

3

233

—mx—=o8x—

322

m=12；

⑸解：3y-7-6y=-8

3y-7-6y+7=-8+7

-3y=—1

(-3)=-1-(-3)

1

y=一

3

(6)

解：7.9x+1.58+2%=7.9x—8.42

7.9%+1.58+2x—7.9x=7.9x—8.42—7.9x

1.58+2光=-8.42

1.58+2x-1.58=-8.42-1.58

2x=-lQ

2x+2=—10+2

x=-5.

【考點(diǎn)題型三一元一次方程的相關(guān)概念】

【例3】下列各式中，是一元一次方程的有（）

X

①￡-4尤=-3,?3x-l=—；③x+2y=l；④孫-3=5；⑤5x-x=3.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1的方程叫做一

元一次方程.它的一般形式是5+b=0（。，＞是常數(shù)且。-0）.

【詳解】解：①Y-4x=3的未知數(shù)的最高次數(shù)是2,所以它不是一元一次方程，故①錯誤；

②由3x-l=g得到［x-l=0,符合一元一次方程的定義，故②正確；

③尤+2y=l中含有兩個未知數(shù)，所以它不是一元一次方程，故③錯誤；

④孫-3=5中含有2個未知數(shù)，且次數(shù)是2,所以它不是一元一次方程，故④錯誤；

⑤由5x—x=3得至U4x-3=0,符合一元一次方程的定義，故⑤正確；

綜上所述，是一元一次方程的是②⑤，共有2個.

故選:B.

X_

【變式3-1］在以下的式子中：-+8=3；12-x；x-y=3；x+l=2x+l；3/=10；2+5=7；其中是一

元一次方程的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】本題考查了一元一次方程概念，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1,一次項系數(shù)不是0的整

式方程是一元一次方程.根據(jù)一元一次方程的定義逐一進(jìn)行判斷即可得.

【詳解】解：《+8=3和x+l=2x+l符合一元一次方程的定義，共2個；

12-x不是等式，不符合一元一次方程的定義；

x-y=3含有兩個未知數(shù)，不符合一元一次方程的定義；

3/=10未知數(shù)的次數(shù)是2次，不符合一元一次方程的定義；

2+5=7不含未知數(shù)，不符合一元一次方程的定義；

故選：A.

【變式3-2］若方程2/H一5=0是關(guān)于x的一元一次方程，則。=.

【答案】±3

【分析】本題考查了一元一次方程的概念：含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程；根據(jù)此概念

得：同-2=1,再求解即可.

【詳解】解：由于方程2/H-5=0是關(guān)于x的一元一次方程，

所以同一2=1,

解得：a=±3；

故答案為：±3.

【變式3-3】如果方程優(yōu)+1）第-5=0是關(guān)于尤的一元一次方程，那么上=—.

【答案】1

【分析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1,一次項系數(shù)

不是0,這是這類題目考查的重點(diǎn).只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一

元一次方程.它的一般形式是《x+b=0（a,6是常數(shù)且awO）.

【詳解】解：方程信+1）丁-5=0是關(guān)于x的一元一次方程，得：

解得k=l,

故答案為：1.

三、解答題

【變式3-4］已知方程（癡-4方2-5/"-3-7=-6m是關(guān)于龍的一元一次方程.

⑴求相、，的值;

（2）若關(guān)于x的一元一次方程（癡-4）f-5x"3-7=-6機(jī)的解與關(guān)于x-的一元一次方程。+3x=1的解互為倒

數(shù)，求。的值.

4

【答案】⑴加=］〃=1

(2)a=-14

【分析】本題主要考查的是一元一次方程的定義，解一元一次方程，一元一次方程的解，倒數(shù)的定義.

⑴根據(jù)一元一次方程的定義，得至!J34=0,4〃-3=1求解即可；

4

(2)由(1)知加=§,幾=1,即一5%-7=-8,求出X,取x的倒數(shù)代入a+3尤=1即可求解〃的值.

【詳解】(1)解：方程(3m-4)%2-5/〃-3_7=—6根是關(guān)于元的一元一次方程，

/.3根-4=0,4〃一3=1,

4

解得:m=-,?=1；

(2)解：由(1)可知，原方程為-5x-7=-8,

解得x=g.

2

:方程(3%-4)x-5/"-3_7=-6機(jī)的解與關(guān)于x的一元一次方程?+3x=l的解互為倒數(shù)，

關(guān)于x的一元一次方程a+3x=l的解為x=5,

將x=5,代入方程中，得々+3x5=1,

解得a——14.

【考點(diǎn)題型四解一元一次方程】

【例4】解方程：

⑴3-2(%-3)=-3(2x-1)；

(2)3%—^^=2—二.

25

3

【答案］

(2?=4

22

【分析】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵.

(1)方程去括號，移項，合并，把x系數(shù)化為1,即可求出解；

(2)方程去分母，去括號，移項，合并，把尤系數(shù)化為1,即可求出解.

【詳解】(1)3-2(x-3)=-3(2x-l)

解：去括號得：3—2x+6=—6x+3,

移項得：—2x+6x=3—6—3,

合并得：4x=-6,

3

解得：^=--;

(2)3X-2^1=2-—

25

解：去分母得：30x-5（2x-l）=20-2（x-2）,

去括號得：30x-10x+5=20-2x+4,

移項合并得：22x=19,

19

解得：x-五

【變式4-1】解方程:

（1）5x—2（x-1）=x—2；

2.x—1x—2

（2）+1=------------.

32

【答案】（l）x=-2

⑵x=-10

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

（1）按照去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；

（2）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可.

【詳解】⑴解：5x-2（x-l）=x-2,

去括號，得5x-2x+2=x-2,

移項，得5x—2龍—x=—2-2,

合并同類項，得2x=T,

系數(shù)化為1,得x=—2；

5_1x_2

（2）解：——+1=——,

32

去分母，得2（2x-l）+6=3（x-2）,

去括號，得4x-2+6=3x-6,

移項，得4x-3x=-6+2—6,

合并同類項，得x=-10.

【變式4-2】解方程：

⑴5x+3=6—2x

⑵上上=1

23

【答案】⑴*3

(小2、)x=—16

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)移項合并同類項，最后未知數(shù)的系數(shù)化為1的步驟解方程即可;

(2)根據(jù)去分母，去括號，移項合并同類項，最后未知數(shù)的系數(shù)化為1的步驟解方程即可.

【詳解】(1)解：5x+3=6-2x

5x+2x=6—3

7x=3

3

解得:x=—

7

4-xx-51

(2)解:

23

3(4-x)-2(x-5)=6

12-3x-2x+10=6

-5x=-16

解得：尤蘭

【變式4-3】解方程:

(I)3(尤-2)+]=x—(2x—1)；

3%+2x-2

⑵無一-----二1---------

32

3

【答案】(1)x=—；

2

⑵甘?

【分析】(1)先去括號，移項，再合并同類項，然后化系數(shù)為1即可求出;

(2)先去分母，去括號，移項，再合并同類項，然后化系數(shù)為1即可求出;

本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：去括號，得3%-6+1=%-2%+1,

移項，得3%一%+2%=1+6—1,

合并同類項，得4x=6,

3

化系數(shù)為1,得x=

(2)去分母，得

6x-2(3x+2)=6-3(x-2)

去括號，得6%-6%-4=6-3%+6,

移項，得6x—6x+3]=6+6+4，

合并同類項，得3%=16,

化系數(shù)為1,得》=印

【變式4-4】解方程：

（l）8x—3（3x+2）=6；

（2）3（無-2）=2-5（%+2）；

【答案】⑴x=-12

【分析】（1）先去括號，再移項，并同類項，最后系數(shù)化1,據(jù)此即可作答.

（2）先去括號，再移項，并同類項，最后系數(shù)化1,據(jù)此即可作答.

本題考查了解一元一次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：8x-3（3x+2）=6

去括號，8x-9x-6=6,

移項，8x—9x=6+6,

合并同類項，-x=12,

系數(shù)化1,x=-12；

（2）解:3（x-2）=2-5（x+2）,

去括號，3x-6=2—5x-10,

移項，3x+5x=2—10+6,

合并同類項，8x=-2,

系數(shù)化1，x=-；.

4

【考點(diǎn)題型五一元一次方程的拓展解法】

【例5】閱讀材料題

定義：關(guān)于x的方程依-6=0與方程及-。=0（?,6均為不等于。的常數(shù)）稱互為“反對方程”，例如：方

程2%-1=0與方程x-2=0互為“反對方程

(1)若關(guān)于x的方程3x-2=0與方程2x-c=0互為“反對方程"，貝Ic=；

⑵若關(guān)于x的方程4》-(-3根+1)=0與方程7x--2)=0互為“反對方程”，求加，〃的值；

(3)若關(guān)于x的方程2彳-％=0與其“反對方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù)6的值.

【答案】(1)3；

(2)m=—2,n=6；

⑶±2.

【分析】此題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，能夠正確理解“反對方程”的概念是解決此題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“反對方程”的定義直接可得答案；

(2)將“反對方程”組成方程組求解可得答案；

⑶根據(jù)“反對方程"2x-8=0與法-2=0伍工0)的解均為整數(shù)，可得(與搟都為整數(shù)，由此可得答案.

【詳解】(1)解：由題意得c=3,

故答案為：3.

(2)解：4x-(-3m+1)=0與7兄一(〃-2)=0互為“反對方程”,

/.-3m+1=7,2=4,

解得m=—2,n=6；

(3)解：2九-6=0的“反對方程”為笈-2=0eW0),

b2

由2%—8=0得，x=-由法一2=0,得％=—,

2fb

2x—b=0與"一2=0的解均為整數(shù)，

.?.＜與］都為整數(shù).

2b

"也為整數(shù)，

h2

.,.當(dāng)匕=2時，-=1,7=1,都為整數(shù)；

2b

b2

當(dāng)b=-2時，1=-1,7=-1,都為整數(shù)，

2b

??2的值為±2.

【變式5-1］定義：關(guān)于x的方程依-6=0與方程法-。=0(a、6均為不等于0的常數(shù))稱互為“伴生方程”,

例如：方程2x-1=0與方程x-2=0互為“伴生方程”.

(1)若關(guān)于x的方程2x-3=0與方程3x-c=0互為“伴生方程"，則c=；

⑵若關(guān)于x的方程4x+3〃z+l=0與方程5x-"+2=0互為“伴生方程”，求機(jī)、〃的值;

(3)若關(guān)于尤的方程5x-b=。與其“伴生方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù)b的值.

【答案】(1)2

(2)m=—2,n=6

(3)6的值為5或-5

【分析】本題考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定義，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“伴生方程”的定義，即可得出。的值；

(2)根據(jù)“伴生方程”的定義,得到3加+1=-5,"一2=4,求解即可;

(3)求出兩個方程的解，根據(jù)解都是整數(shù)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：???關(guān)于x的方程2x-3=0與方程3x-c=0互為“伴生方程”，

c=2；

故答案為：2；

(2)由題意，得：3帆+1=-5,n—2=4,

m=—2,n=6；

(3)V5x-b=0,

._b

..x=—,

：5x-b=0的“伴生方程”是法-5=0,

解得：尤

b

???hq5q均為整數(shù),

5b

?.Z?=+5.

【變式5-2］若兩個一元一次方程的解相差1,則稱解較大的方程為另一個方程的“后移方程”例如：方程

兄―2=0是方程%—1=0的"后移方程”

⑴判斷方程2x+1=0是否為方程2%+3=0的“后移方程”；

(2)若關(guān)于x的方程3(x-l)-m=—是關(guān)于龍的方程2(x-3)-1=3-(x+1)的“后移方程”,求優(yōu)的值.

【答案】(1)方程2x+l=0是方程2x+3=0的后移方程

(2)m=5

【分析】本題考查了一元一次方程的解，弄清題中“后移方程”的定義是解題的關(guān)鍵.

(1)求出兩個方程的解，利用“后移方程”的定義判定即可.

(2)分別表示出兩個方程的解,根據(jù)“后移方程”的定義列出關(guān)于m的方程,求出方程的解即可得到m的值.

【詳解】(1)解：方程2x+l=0的解是x=-；,

3

方程2x+3=0的解是尤=-/，

??,兩個方程的解相差1,

???方程2x+]=0是方程2x+3=0的后移方程；

(2)解:2(彳-3)—1=3—(尤+1),

2x—6—1—3—x—1

2x+x=3—1+6+1,

3x=9fx=3,

關(guān)于X的方程3(X-1)-m=T是關(guān)于X的方程2(x-3)-l=3-(%+l)的“后移方程”，

，3(%—1)一加=之一的解為尤=3+1=4,

祖+3+3

把尤=4代入=得：3(4-l)-w=^^,

:.m-5.

【變式5-3]我們規(guī)定x的一元一次方程5=b的解為無=6-°,則稱該方程是“差解方程”，例如：3x=4.5

的解為％=4.5-3=1.5,則該方程3x=4.5就是“差解方程”，請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：

(1)已知關(guān)于x的一元一次方程4x=m是“差解方程"，則m=.

(2)已知關(guān)于x的一元一次方程4x=nm+加和-2x=〃”?+〃都是"差解方程”，求代數(shù)式3(〃2"+心)-9(%"+")一

的值.

【答案】(l)g

⑵。

【分析】本題主要考查定義新運(yùn)算，解方程的綜合，理解“差解方程”的概念及計算方法，掌握解方程，整式

的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“差解方程”的概念及計算方法，解方程的方法的綜合運(yùn)用即可求解；

(2)根據(jù)“差解方程”的概念及計算方法，分別求出(〃"，+〃?),(〃掰+小的值，代入式子計算即可.

【詳解】(1)解：:辦=/?的解為％=，

.?.4%=加得,x=m—4,

m

丁4x=機(jī)中，％=一,

4

..m-4=一,

4

解得，m=y,

故答案為：—.

(2)解：:4x=加1+m是"差解方程”,

.mn+m

..x=mn+加—4=---------

4

.16

..mn+m=一,

3

同理,mn+〃=——,

/.3（mzz+m）—9（mzz+n）2

=16一9xg

=0.

【變式5-4］已知關(guān)于x的方程二+。=回工-工(x-6)

326

⑴當(dāng)〃取何值時，方程的解是%=3；

(2)當(dāng)。取何值時，方程無解;

⑶當(dāng)〃取何值時，方程有無窮多個解.

【答案】(1)。=1或。=一!

（2）a=-l

(3)4=1

【分析】此題考查了含字母系數(shù)的一元一次方程、含絕對值符號的一元一次方程.

(1)將x=3代入可得關(guān)于。的方程，解出即可得出。的值；

(2)將原方程整理為標(biāo)準(zhǔn)的一元一次方程，根據(jù)一元一次方程加x=〃，根據(jù)m=0,“大0時，方程無解，

列式求解即可；

(3)將原方程整理為標(biāo)準(zhǔn)的一元一次方程，根據(jù)一元一次方程=根據(jù)m=0,"=0時，方程方程有

無窮多個解，列式求解即可.

【詳解】(1)解：將x=3代入可得：1+。=膽+1

22

整理得2+2a=3同+1,

當(dāng)〃20時，2+2a=3a+l,解得a=l.

當(dāng)a<0時，2+2a=-3a+l,解得。=一（

故。=1或。=-1時，方程的解是x=3；

(2)解：二+。=畫」(》一6)整理得匕嘰=1-”,

3262

當(dāng)匕@=0且1-。/0時，方程無解，

2

解得〃=-1,

故4=-1時，方程無解；

(3)解：］+。=?一*一6)整理得Jx=l一”,

當(dāng)匕@=。且1_。=0時，方程有無窮多個解，

2

解得。=1,

故“=1時，方程有無窮多個解.

【考點(diǎn)題型六行程問題】

【例6】甲、乙兩人騎自行車分別從A、8兩地同時出發(fā)，相對而行，1.5小時后在距中點(diǎn)3千米處相遇.相

遇后，兩人按原速度繼續(xù)前進(jìn)，又經(jīng)過1小時甲到達(dá)B地.甲每小時行多少千米？

【答案】12千米

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用-行程問題，審清題意找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

設(shè)甲每小時行x千米，根據(jù)“甲行駛1.5小時的路程-3千米=甲繼續(xù)行駛1小時的路程+3千米”列出方程并

解答.

【詳解】解：設(shè)甲每小時行x千米，則：

］.5x-3=x+3.

解得x=12.

答：甲每小時行12千米.

【變式6-1］現(xiàn)有兩列火車同時同向齊頭行進(jìn)，快車每秒行20米，慢車每秒行12米，15秒后快車超過慢車.如

果這兩輛火車車尾對齊同時同向行進(jìn)，則9秒后快車超過慢車.如果兩列火車相向而行，它們從車頭相遇

到車尾相離需要多少秒？

【答案】從車頭相遇到車尾相離需要6秒.

【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用.設(shè)它們從車頭相遇到車尾相離需要無秒，先求出快、慢車的車長,

再根據(jù)兩車的路程之和=兩車的車長之和列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)它們從車頭相遇到車尾相離需要尤秒，

由題意知，快車長為：(20-12)x15=120(米),

慢車長為：(20-12)*9=72(米)，

20x+12x=120+72,

解得x=6,

答：從車頭相遇到車尾相離需要6秒.

【變式6-21某汽車油箱中有40L油，汽車勻速行駛，每小時汽車耗油4.5L,行駛時間為川、時.

⑴用含t的代數(shù)式表示汽車油箱中的剩余油量；

⑵當(dāng)f=￡時，求油箱中的剩余油量；

(3)當(dāng)油箱中的剩余油量為17.5L時，汽車已行駛多長時間？

【答案】⑴(40-4$)L

(2)30L

(3)5小時

【分析】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，列代數(shù)式，代數(shù)式求值：

(1)汽車油箱中的剩余油量等于汽車油箱中原有的油量減去行駛時間乘以每小時的油耗，據(jù)此列式計算即

可；

(2)把/=?代入⑴所求式子中求解即可；

(3)根據(jù)題意可得方程40-4.5/=17.5,解方程即可得到答案.

【詳解】(1)解：由題意得，汽車油箱中的剩余油量為(40-4.5r)L；

(2)解：當(dāng)/=3，40-4.5r=40-4.5x—=30,

33

時，求油箱中的剩余油量為30L；

(3)解：由題意得，40-4.5r=17.5,

解得r=5,

答：當(dāng)油箱中的剩余油量為17.5L時，汽車已行駛5小時.

【變式6-3】某軍艦在靜水中的速度為70km/h,有一天它順?biāo)叫腥メ烎~島執(zhí)行巡航任務(wù)，途中有一救生

圈落入水中，發(fā)現(xiàn)時救生圈已距軍艦35km,若水流速度為10km/h.

(1)求從救生圈落水到被發(fā)現(xiàn)用了多長時間？

(2)發(fā)現(xiàn)后，艦長馬上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在靜水中的速度為140km/h,軍艦仍以原速前進(jìn)，摩托

艇拿到救生圈后馬上返回軍艦，求從救生圈落水到摩托艇返回軍艦共用多少h?

【答案】(1)從救生圈落水到被發(fā)現(xiàn)用了0.5h；

(2)從救生圈落水到摩托艇返回軍艦共用1.5h.

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，水流航行問題(順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水

速度-水流速度).

(1)根據(jù)時間=路程+軍艦靜水中的速度，列出算式計算即可求解；

(2)設(shè)從救生圈落水到摩托艇返回軍艦共用xh,根據(jù)時間的等量關(guān)系列出方程求解即可.

【詳解】(1)解：35^70=0.5(h).

答:從救生圈落水到被發(fā)現(xiàn)用了Q5h：

(2)解：設(shè)從救生圈落水到摩托艇返回軍艦共用尤h,依題意有

尤-0.5=—————+|—————x70+35U(140-70),

140-10+10U40-10+10)'7

解得x=1.5,

答：從救生圈落水到摩托艇返回軍艦共用L5h.

【變式6-4】周末，小明和爸爸在3000m的環(huán)形綠道上騎車鍛煉，他們在同一地點(diǎn)沿著同一方向同時出發(fā)，

騎行結(jié)束后兩人有如圖所示的對話.

(爸爸，你要10分鐘］

［才能第二次追上我j

》西完一圈＞:

［時你才騎了半圈jt

小明爸爸

(1)請根據(jù)他們的對話內(nèi)容，求出小明的騎行速度；

(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再經(jīng)過多少分鐘，小明和爸爸在跑道上相距1000m?

【答案】(1)300m/min

小、I。.-20.

(2)—min或—min

【分析】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意找準(zhǔn)等量關(guān)系列出一元一次方程是解題關(guān)鍵.

(1)設(shè)小明的騎行速度加1/min,則爸爸的騎行速度2加1/min,根據(jù)題意列一元一次方程，解方程即可;

(2)設(shè)在第二次相遇前，再經(jīng)過ymin,小明和爸爸在跑道上相距1000m,分兩種情況討論，再根據(jù)題意列

一元一次方程，解方程即可.

【詳解】(1)解：設(shè)小明的騎行速度為我n/min,則爸爸的騎行速度為2;nn/min

根據(jù)題意，得：10(2x-x)=3000

解得：x=300

答：小明的騎行速度為300m/min.

（2）解：設(shè)在第二次相遇前，再經(jīng)過ymin,小明和爸爸在綠道上相距1000m

①爸爸又比小明多騎了1000m

根據(jù)題意，得：2x300y-300y=1000

解得：y=j；

②爸爸又比小明多騎了（3000-1000）m

根據(jù)題意，得：2x300y-300>=3000-1000

解得：J=y.

答：在第二次相遇前，再經(jīng)過grain或gmin,小明和爸爸在跑道上相距1000m.

【考點(diǎn)題型七配套問題】

【例7】在手工制作課上，老師組織初一（2）班的學(xué)生用硬紙制作圓柱形茶葉筒.初一（2）班共有學(xué)生

45人，其中男生的人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少24人，并且每名學(xué)生每小時剪筒身60個或剪筒底150個.

（1）初一（2）班有男生、女生各多少人？

（2）要求一個筒身配兩個筒底，為了使每小時剪出的筒身與筒底剛好配套，應(yīng)該分配多少名學(xué)生剪筒身，多

少名學(xué)生剪筒底？

【答案】⑴初一（2）班有男生22人、女生23人

（2）應(yīng)該分配剪筒身的學(xué)生為25人，分配剪筒底的為20人

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，

（1）設(shè)初一（2）班有女生x人，則利用男生的人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少24人，得出等式方程求出即可；

（2）利用每名學(xué)生每小時剪筒身60個或剪筒底150個以及筒身配兩個筒底，得出等式方程求出即可.

【詳解】（1）解：設(shè)初一（2）班有女生x人，

依據(jù)題意得出：x+（2x-24）=45,

解得：x=23,則45-23=22,

答：初一（2）班有男生22人、女生23人；

（2）解：設(shè)分配剪筒身的學(xué)生為無人，

依據(jù)題意得出：60^x2=150（45-%）,

解得：x=25,貝"45—25=20.

答：應(yīng)該分配剪筒身的學(xué)生為25人，分配剪筒底的為20人.

【變式7-1】某工廠需要生產(chǎn)一批太空漫步器（如圖），每套設(shè)備由一個支架和兩套腳踏板組裝而成；工廠

現(xiàn)共有45名工人，每人每天平均生產(chǎn)60個支架或96套腳踏板，應(yīng)如何分配工人才能使每天生產(chǎn)的支架和

腳踏板恰好配套？

【答案】安排20人生產(chǎn)支架，25人生產(chǎn)腳踏板正好配套，

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用.設(shè)安排x人生產(chǎn)支架，則安排（45-x）人生產(chǎn)腳踏板，根據(jù)“每

人每天平均生產(chǎn)60個支架或96套腳踏板”，即可求解.

【詳解】解：設(shè)安排x人生產(chǎn)支架，則安排（45-“人生產(chǎn)腳踏板，

由題意，得2x60x=96（45-x）,

解得x=20,

45-20=25（人）.

答：安排20人生產(chǎn)支架，25人生產(chǎn)腳踏板正好配套，

【變式7-2］機(jī)械廠加工車間有32名工人，平均每人每天加工小齒輪12個或大齒輪10個，1個大齒輪和2

個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？

【答案】安排12名工人加工大齒輪，安排20名工人加工小齒輪.

【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)生產(chǎn)大齒輪的人數(shù)為方則生產(chǎn)小齒輪的人數(shù)為（32-x）,

再由1個大齒輪與2個小齒輪配成一套列出比例式，求出x的值即可.

【詳解】解：設(shè)需安排x名工人加工大齒輪，安排（32-力名工人加工小齒輪，

依題意得：12x（32-^）=10xx2

解得x=12，

貝ij32-x=20.

答：安排12名工人加工大齒輪，安排20名工人加工小齒輪.

【變式7-3】在手工課上，老師組織七（2）班的學(xué)生用硬紙制作圓柱形茶葉筒.七（2）班共有44人，其

中男生比女生少2人，并且每名學(xué)生每小時剪筒身50個或剪筒底120個.

(1)七(2)班有男生、女生各多少人？

(2)要求一個筒身配兩個筒底，為了使每小時剪出的筒身與筒底剛好配套，應(yīng)該分配多少名學(xué)生剪筒身？

【答案】⑴女23人，男21人

(2)24人

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到量與量的關(guān)系，正確列出一元一

次方程，再求解.

(1)設(shè)七年級(2)班有男生x人，根據(jù)“共有學(xué)生44人，男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人”即可列方程求得結(jié)

果；

(2)設(shè)分配剪筒身的學(xué)生為y人，根據(jù)“一個筒身配兩個筒底，每小時剪出的筒身與筒底剛好配套”即可列

方程求得結(jié)果.

【詳解】(1)解：設(shè)七年級(2)班有男生x人，依題意得

x+(x+2)=44,

解得x=21,x+2—23

所以，七年級(2)班有男生21人，女生23人；

(2)解：設(shè)分配剪筒身的學(xué)生為y人，依題意得

50yx2=120(44-江

解得y=24,

所以，應(yīng)該分配24名學(xué)生剪筒身.

【變式7-4】學(xué)校實(shí)驗(yàn)室需要向某工廠定制一批三條腿的桌子，已知該工廠有24名工人，每人每天可以生

產(chǎn)20塊桌面或者300條桌腿，1塊桌面需要配3條桌腿，為了使每天生產(chǎn)的桌面和桌腿剛好配套，則應(yīng)該

安排多少人生產(chǎn)桌面，多少人生產(chǎn)桌腿？

【答案】需要安排20名工人生產(chǎn)桌面，安排4名工人生產(chǎn)桌腿.

【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用.設(shè)需要安排x名工人生產(chǎn)桌面，則安排(24-力名生產(chǎn)桌腿，再根

據(jù)1個桌面配3條桌腿列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)需要安排x名工人生產(chǎn)桌面，則安排(24-x)名生產(chǎn)桌腿，

由題意得3x20x=300(24-x),

解得x=20,

24-x=4,

答：需要安排20名工人生產(chǎn)桌面，安排4名工人生產(chǎn)桌腿.

【考點(diǎn)題型八工程問題】

【例8】整理一批圖書，如果讓男生單獨(dú)整理，需要4小時完成；如果讓女生單獨(dú)整理，需要2小時完成.現(xiàn)

在先安排男女生一起整理1小時后，剩余整理任務(wù)由女生單獨(dú)完成，還需多長時間？

【答案】女生單獨(dú)完成還需要工作;小時

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)女生單獨(dú)完成還需要工作了小時.根據(jù)題意列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)女生單獨(dú)完成還需要工作x小時.根據(jù)題意得，

xl+—X=1

2

答：女生單獨(dú)完成還需要工作;小時.

【變式8-1】一項工程，由甲、乙兩個工程隊合作完成.已知甲工程隊單獨(dú)完成需要4天，乙工程隊單獨(dú)完

成需要6天.

(1)甲、乙合作需要_____天完成；

(2)若先由乙工程隊單獨(dú)做1天，再由甲、乙兩隊合作完成.問還需幾天可以完成這項工程？

【答案】(1)號12

(2)2天

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，涉及工作總量、工作時間、工作效率等知識內(nèi)容，正確掌握相

關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)甲乙合作需要x天完成，因?yàn)榧坠こ剃爢为?dú)完成需要4天，乙工程隊單獨(dú)完成需要6天，則+=1,

解出即可作答.

(2)依題意，設(shè)還需要y天，因?yàn)橐夜こ剃爢为?dú)做1天，再由甲、乙兩隊合作完成，所以亨+==1,解

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出即可作答.

【詳解】(1)解：設(shè)甲乙合作需要X天完成，

依題意：&+g]x=l,

12

解得％=?，

12

所以需要了天;

(2)解：設(shè)還需要y天：

依題意，―1*2=1,

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解得y=2,

故還需要2天.

【變式8-2】列一元一次方程解應(yīng)用題

新蒲新區(qū)某校舉辦體育文化藝術(shù)節(jié)，七(2)班為了宣傳班上開展的活動，由甲、乙兩位同學(xué)制作宣傳展板.已

知甲同學(xué)單獨(dú)完成需要4天，乙同學(xué)單獨(dú)完成需要6天.

(1)甲、乙合作需要天完成；

(2)若由乙同學(xué)先做1天，再由甲、乙兩位同學(xué)合作完成.問還需幾天可以完成展板的制作？

【答案】(1)2.4

(2)2

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合

適的等量關(guān)系列出方程，再求解.

(1)設(shè)工作總量為1,根據(jù)工作時間=工作總量+工作效率和，列式即可求解.

(2)設(shè)乙先做1天，再兩人一起做，還需尤天完成這項工作，根據(jù)等量關(guān)系：甲完成的工作量+乙完成的

工作量=工作總量，列出方程即可求解.

【詳解】(1)1+(；+：)=1+\=2.4(天).

答：兩個人一起做，需要2.4天可以完成.

故答案為2.4；

(2)設(shè)乙先做1天，再兩人一起做，還需x天完成這項工作，

由題意可得：---1--=1,

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解得：x=2.

答：還需2天可以完成這項工作.

【變式8-3】課外活動時李老師到教室布置作業(yè)，有一道題只寫到“學(xué)校校辦廠需制作一塊廣告牌，請來兩

名工人，已知師傅單獨(dú)完成需3天，徒弟單獨(dú)完成需6天”，就因校長叫他聽一個報告而離開教室.

(1)調(diào)皮的小劉說：“讓我試一試.”于是，上去添了：兩人合作需要幾天完成？請解答小劉所添加的問題；

(2)小張說：“我也來試試”，他添了：現(xiàn)由徒弟先做1天，兩人再合作，完成后共得報酬540元，如果按各

人完成的工作量計算報酬，那么該如何分配？

請解答小張所添加的問題；

(3)請你也提出一個可解答的問題：

【答案】(1)2天

(2)師傅分報酬300元，徒弟分報酬240元

(3)現(xiàn)由師傅先做1天，兩人再合作幾天可完成？