北京市東城區(qū)2024屆高三年級上冊期末統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

東城區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測

局二數(shù)學(xué)

第一部分

一、選擇題共10小題，在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.已知全集U=H°<x<4},集合A={x10<x<2},則小=（）

A.{x[2<x<4}B.1%|2<x<4}

C.{x|2<%<4}D,{x|2<%<4}

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義求解即可.

【詳解】???全集。=何0<%<4},集合A={x[0<x<2},

^A=|x|2<x<4}.

故選：C.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=i,貝Uz的共輾復(fù)數(shù)1=

11.?11.「11.11.

22222222

【答案】B

【解析】

【分析】

算出z,即可得，

--I-1_1[

【詳解】由（l+i）z=z?得，z=-!-=-+-i,所以％=——z.

''1+Z2222

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軌復(fù)數(shù)的概念，考查了學(xué)生基本運(yùn)算能力和對基本概念的理

解.

3.f%+-^的展開式中，x的系數(shù)為（）

IXJ

A.1B.5C.10D.20

【答案】c

【解析】

【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)計(jì)算即可得.

【詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為

令5—2左=1,即左=2,有7；=C；x5-2=10%,

故x的系數(shù)為10.

故選：C.

4.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，5.為其前九項(xiàng)和，若4=2,02034=%，則邑=（）

A.6B.8C.12D.14

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可計(jì)算出公比，由等比數(shù)列前九項(xiàng)和的定義即可得反.

【詳解】設(shè)公比為《，則=%=8/=2/,則/=4,

又｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，故4=2,

則S3=q+a?+/=q（l+q+）=2（1+2+4）=14.

故選：D.

5.已知非零向量石，滿足同=司，且7石=0,對任意實(shí)數(shù)X,〃，下列結(jié)論正確的是（）

A.-篇）-（莉-從方）二0B.（/la-〃石）.（/LLCL+痛）=0

C.（2a-44（2〃+筋）=0D.（Xa+〃石）?（〃〃+篇）=0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】?.?非零向量石，滿足,卜忖，且￡.方=0,

對于A,_224〃石+,4=不恒為0,故A錯誤;

對于B,+=沏H+丸2〃.石_42〃.1一沏0,故B正確;

對于c,=卜4+勿〃?石一九〃〃?石一］〃q=^A2-//2）|^|不恒為0,故c錯誤;

對于D,Au+不恒為0,故D錯誤.

故選：B.

6.如圖，在正方體ABC。—44GR中，AB=2,E,尸分別是。2，8瓦的中點(diǎn)用過點(diǎn)/且平行

于平面梃的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）

A.2A/5B.76C.75DT

【答案】A

【解析】

【分析】取441的中點(diǎn)/,連接MF,CXF,證明平面AGW0//平面可，進(jìn)而求出截面面

積.

【詳解】取A3的中點(diǎn)M,連接，M,MF,QF,

正方體ABCD-^C^,D￡1平面ADD^,

D[Mu平面ADRA>Dg±D、M,

???E是8月的中點(diǎn)，?！?/仍'//48,且D]C]=AB=MR,

四邊形2GbM是矩形,

?.?MA//D]E且MA=D]E,.?.四邊形AMRE是平行四邊形，，

：MF<Z平面ABE,ABu平面ABE,，MF//平面ABE,

:2“<Z平面ABE,E4u平面ABE,，AM//平面ABE,

?.■DXM[\MF-M,RMu平面0GFM,MFu平面。。了加，

平面2G80//平面ME,

即平面DgFM為過點(diǎn)F且平行于平面ABE的平面截正方體所得平面，

AB=2,MF=2,RM=布,

'''SRC、FM=2x曰=2行.

故選：A.

7.已知a>0,b>0,則*>/'是的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)累函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合邏輯用語判斷即可.

【詳解】a>0,b>0,

函數(shù)y=4在[0,+s）單調(diào)遞增，函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減，

???由得3>b>0,得57〈手，滿足充分性；

「?由王■〈夢得a>b>0,得〃滿足必要性.

是的充要條件?

故選：C.

8.一粒子在平面上運(yùn)動的軌跡為拋物線的一部分，在該平面上建立直角坐標(biāo)系后，該粒子的運(yùn)動軌跡如圖

所示.在/=0時刻，粒子從點(diǎn)4（0,1）出發(fā)，沿著軌跡曲線運(yùn)動到5。,-1）,再沿著軌跡曲線途經(jīng)A點(diǎn)運(yùn)動

到C（-l,-l）,之后便沿著軌跡曲線在B,C兩點(diǎn)之間循環(huán)往復(fù)運(yùn)動.設(shè)該粒子在t時刻的位置對應(yīng)點(diǎn)

p（羽y）,則坐標(biāo)x,y隨時間/（/之0）變化的圖象可能是（）

x=/(/)y-g(/)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)粒子的運(yùn)動軌跡得到周期，進(jìn)而得到1=/?）和y=g（。的周期，觀察圖象即可.

【詳解】由題知，粒子從A（O,l）f3（1,—1）-A（O,l）fC（—1,—1）-A（O,1）為一個周期,

對應(yīng)x由Of1-Of—1->0為一個周期，

對應(yīng)y由1——1—1——1—1為兩個周期，

，函數(shù)X=的周期是函數(shù)y=g（。的周期的2倍.

對于A,尤=/（。的周期為2兀，y=g（。的周期為2兀，故A錯誤；

對于B,尤=/?）的周期為2兀，y=g（。的周期為兀，故B正確；

對于C,1=/（，）的周期為兀，y=g（f）的周期為2兀，故C錯誤；

對于D,光=/（。的周期為兀，y=g（。的周期為兀，故D錯誤.

故選：B.

9.已知線段AB的長度為10,加是線段AB上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）.點(diǎn)N在圓心為半徑為的

圓上，且不共線，則ABMN的面積的最大值為（）

2525「25百「25石

A.—B.——1.-----L).-------------

2424

【答案】A

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形分析可得5=:“同|阿忖11/3”乂，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)以及

二次函數(shù)的性質(zhì)即可得最值.

【詳解】如圖：設(shè)A（—5,0）,3（5,0）四（。,0）,圓M的半徑為r,

則\MB\=|10-r|,|ACV|=r(0<r<10),

所以&BMN的面積S=g\MB\\MN\sinNBMN=1|10-r|-rsinZBMN<1|10-r|-r=1|-r2+10r|,

25

當(dāng)NBMN為90°時取等號，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)r=5時S有最大值一，

2

故選：A.

10.設(shè)函數(shù)/（X）=cosx+Jcos2x,對于下列四個判斷:

①函數(shù)/（九）的一個周期為兀；

r

②函數(shù)/（尤）的值域是一5-,2

③函數(shù)/（%）的圖象上存在點(diǎn)P（x,y），

2

④當(dāng)XG一時’函數(shù)/（%）的圖象與直線丁=2有且僅有一個公共點(diǎn)?

正確的判斷是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】D

【解析】

【分析】利用函數(shù)的周期性定義結(jié)合余弦函數(shù)的周期性可判斷①；采用三角代換，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)

性，利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)值域，判斷②；利用cosxe結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可

判斷③；結(jié)合解/（司=2,根據(jù)解的情況判斷④，即得答案.

【詳解】對于①，xeR,/(7t+x)=cos(7t+x)+^cos(27t+2x)=-cosx+Vcos2x/(-v)?

故兀不是函數(shù)/（%）的一個周期，①錯誤;

對于②，/(X)=COSX+Vcoslx=COSX+V2COS2x-1,

21

需滿足2cos2尤一INO,gpcos-^>-,cosxe

令9x,4一日

,1,則/(%)即為y=/+，21-1，

孝,1上單調(diào)遞增，則ye

當(dāng)te時，y=t+-1在

當(dāng)小-點(diǎn)工，，4f、2tJ2r-1-八

時，/=1+-----.=1+.-----=--7=^一<0,

242r-1V2r-1V2r-1

((2/—1)一4/=一2/-1<0,故廳二I—斤<0)

此時y=r+j2產(chǎn)一1在上單調(diào)遞減，則ye-冬?！?/p>

綜上，/(九)的值域是一一事J7,0]Ur事J2,2一,②錯誤;

滿足此條件下的f(x)圖象上的點(diǎn)P(x,y)到(1,0)的距離J(x—1)2+(/(%)_0)2a14_1〉字

y/2

V

滿足此條件下的小)圖象上的點(diǎn)小)到(1,。)的距離"1)"⑺—0)2"⑴山當(dāng),

、歷

當(dāng)且僅當(dāng)/(X)=干且X=1時等號成立，

而/(%)=時，cosx—^^,:.x=—+2kn,keZ或1=+2E,左eZ,

v72244

滿足此條件的尤與x=l矛盾，即等號取不到，

故函數(shù)/(%)的圖象上不存在點(diǎn)P(x,y),使得其到點(diǎn)(1,0)的距離為乎，③錯誤;

對于④，由②的分析可知f(x)=2,則cosx=l,即x=2E,左eZ,

7171

又xe,故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，f(x)=2,

44

即當(dāng)xe時，函數(shù)/(九)的圖象與直線y=2有且僅有一個公共點(diǎn)，④正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了函數(shù)的知識的應(yīng)用問題，涉及余弦函數(shù)的周期，值域以及最值和函數(shù)圖

象的交點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)，難度較大，解答時要結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性，綜合求解.

第二部分

二、填空題共5小題.

11.函數(shù)/（x）=，的定義域?yàn)?

x\nx

【答案】（0,l）D（l,+8）

【解析】

【分析】根據(jù)分式的分母不為0,對數(shù)的真數(shù)大于0求解即可.

【詳解】V/（%）=—,

xinx

xlnxwO,

_解得%>0且xwl,

x>0,

，函數(shù)=J-的定義域?yàn)椋?。?）U（l，y）.

A.11LX

故答案為：（o,i）U（i,y）.

22

12.已知雙曲線C：^-―=1,則雙曲線C的漸近線方程是；直線x=l與雙曲線相交于

42

M,N兩點(diǎn)，則|4W|=.

【答案】①.V2x+y=0②.276

【解析】

【分析】由已知可判斷雙曲線為焦點(diǎn)在>軸上的雙曲線，可知。，b,表示漸近線方程即可；由x=l可求

y的值，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到距離.

22

【詳解】由雙曲線C：匕—土=1知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，且"=4，〃=2，

42

即4=2,b=J5,所以雙曲線。的漸近線方程為J5x±y=0；

當(dāng)x=l時，y=+V6,

設(shè)則N（l,—所以|腦V|=2j^.

故答案為：A/2X±y=0；2A/6-

13.己知函數(shù)/（x）=sin（x+0）（0>O）,若則夕的一個取值為.

TT

【答案】一（答案不唯一）

3

【解析】

【分析】利用和角的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡，求出tan。二百即可求解.

即一gcose+^^sin。=cos。，解得tan。=拒,

兀

?/0>0,/.(p=—+kn,keN.

JT

，。的一個取值為一.

3

ir

故答案為：-(答案不唯一).

3

、2X—1,X<6Z

14.設(shè)函數(shù)/z(力=《,

[x+a,x>a

①若a=-2,則〃龍)的最小值為.

②若/(九)有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】①.-2②.a<-l

【解析】

【分析】對①，分別計(jì)算出每段范圍或最小值即可得；對②，由指數(shù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)沒有最小值，可得存

在最小值則最小值一定在段，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.

2%-1x<-2

【詳解】①當(dāng)a=-2時，/(%)=2”，

1%-2,x>-2

則當(dāng)x<-2時，/(x)=2"-1￡,

當(dāng)xN—2時，f(x)=x2-2>-2,

故/(%)的最小值為-2；

2九一1Y<*/

②由〃尤)=|,',則當(dāng)x<a時，/(x)=2l-1G(-1,20-1

[x~+a,x>a

由“可有最小值，故當(dāng)xNa時，/(尤)的最小值小于等于-1,

則當(dāng)aW—1且xNa時，有/(彳^口=aW—1，符合要求；

當(dāng)。>一1時，y-x2+a>a>-l,故不符合要求，故舍去.

綜上所述，1.

故答案為：—2；a<-l.

15.一般地，對于數(shù)列｛4｝,如果存在一個正整數(shù)方，使得當(dāng)“取每一個正整數(shù)時，都有%+,=%,那么

數(shù)列｛4｝就叫做周期數(shù)列，/叫做這個數(shù)列的一個周期.給出下列四個判斷：

①對于數(shù)列｛4｝,若4G｛l,2｝(i=l,2,3,…)，則｛%｝為周期數(shù)列;

②若｛4｝滿足：％"=。2"+2，％,1=W"+i("eN*),則｛4｝為周期數(shù)列；

③若｛%｝為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)使得|%|<加恒成立；

④已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為非零整數(shù)，5”為其前〃項(xiàng)和，若存在正整數(shù)使得恒成立，則

｛4｝為周期數(shù)列.

其中所有正確判斷的序號是.

【答案】②③

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)條件，對各個選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】對于①,因?yàn)?i｛l,2｝?=L2,3,...),取數(shù)列｛%｝：1,1,1,2,122,1,2,2,2,

顯然滿足4G｛l,2｝(i=l,2,3,…,H),但數(shù)列｛4｝不是周期函數(shù)，所以①錯誤；

對于②，因?yàn)閿?shù)列｛?！埃凉M足：a2n=a2n+2,a2n^=a2n+1(HeN*),

不妨令a2n="2〃+2=b,“2/1-1=a2n+l=。，

則數(shù)列｛a,J為々力間力間力避力,…，故?！??！?2，所以②正確；

對于③，｛%,｝為周期數(shù)列，不妨設(shè)周期為%(%Nl,%eN*),

所以數(shù)列｛??｝中項(xiàng)的值有個，即數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)是%個數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，

故存在正整數(shù)使得|%|<M恒成立，所以③正確；

對于④，取數(shù)列｛%｝為首項(xiàng)1,公比為q=g的等比數(shù)列，

則s“=q,T)=2[Y)”]<2,

l-q2

故數(shù)列｛?｝滿足存在正整數(shù)M=2,使得|S”|<2恒成立,

顯然數(shù)列｛4｝不是周期數(shù)列，所以④錯誤，

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于對新概念的理解，然后再結(jié)合各個選項(xiàng)中的條件，通過取特殊數(shù)列可

得出①和④的正誤；再利用周期數(shù)列的定義可得出②和③的正誤.

三、解答題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.如圖，在直三棱柱ABC-4與￡中，==2,及尸分別為A氏耳C1的中

點(diǎn).

(1)求證：〃平面ACCiA；

(2)若點(diǎn)尸是棱5月上一點(diǎn)，且直線"與平面5防所成角的正弦值為g,求線段5P的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)1

【解析】

【分析】(1)通過取的中點(diǎn)H構(gòu)建平面EHF//平面ACG4即得；

(2)由題設(shè)易于建系，運(yùn)用空間向量的夾角公式表示出直線AP與平面5防所成角的正弦值，解方程即得.

【小問1詳解】

B

如圖，取線段的中點(diǎn)H,連接因瓦/分別為的中點(diǎn)，故有E〃//AC,F〃//CCi，

又因?yàn)锳C,C￡u平面ACG4,平面ACGA，故即〃平面ACGA，9//平面

又EHCFH=H則平面EHF//平面ACC]A，因即U平面EH/，則所〃平面ACGA.

【小問2詳解】

如圖，分別以配，麗，函■為蒼％z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz.

則A(0,2,0),B(0,0,0),B[(0,0,2),E(0,l,0),F(l,0,2),設(shè)點(diǎn)尸(0,0,z),BP=2函，則0W2W1,代入坐標(biāo)

得:(0,0,z)=2(0,0,2),即P(0,0,24),

于是Q=(0,—2,24),麗=(0,-l,0),EF=(1,-1,2)，設(shè)平面BEF的法向量為n=(a,b,c),則有

n-EB=-b=0_

〈.，故可取”=(―2,0,1),

n-EF=a-b+2c=0

__24]i

依題意得，|COS@,通〉|=|=——7^=1=-,解得：2=-,即線段5。的長為1.

V5X2A/22+152

17.在AABC中，BC=4,AC=y/i^,AB=l

(1)求N8；

(2)若D為BC邊上一點(diǎn),再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，使血存在

且唯一確定，求△A3。的面積.

7T

條件①：ZADB=~；

4

條件②：AD=2徨；

3

條件③：△A3。的周長為3+J8.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計(jì)分.

7T

【答案】17.ZB=-

3

18.若選條件①，則型18;若選條件③，則

【解析】

【分析】（1）由余弦定理計(jì)算即可得；

（2）若選條件①，由正弦定理可計(jì)算出A。，結(jié)合三角形內(nèi)角和與面積公式即可得面積；若選條件③，由

余弦定理結(jié)合條件可計(jì)算出A。、BD,由面積公式計(jì)算即可得;不能選條件②，計(jì)算出A到的距離d,

可得故不存在該三角形，不符合題意.

【小問1詳解】

人笈+叱一人。?

1+16—13r故"V；

cosB=

2ABBC2x1x4

【小問2詳解】

TT

若選條件①：/ADB=—,

4

ADAB

jrTT即3-----手,

由Z-ADB=—,/B=—,AB=1,故.兀.71,

43sin—sin—

34

sin/.BAD-sin7i~—

I34J(322224

此時三角形唯一確定，符合要求,

+3+a

SABD^-ABADsmZBAD^-xlx^-x^^=^.

aABD22248

若選條件③：△A3。的周長為3+J8,

由AB=1,故AD+BD=2+6，

n?15+BD^—AD^1/["6/曰79

則C0S5=---------------=一，化間得4￡>2=5￡)2—5￡)+1，

2xlxBD2

即有(2+6—=B￡>2—5。+1,解得BD=2,故A￡>=6,

此時三角形唯一確定，符合要求,

S.^-ABBDsinB=-xlx2x—^—.

VvABDn2222

不能選條件②，理由如下：

若選條件②：AD二巫,

3

由人。=述，ZB=~,AB=1，設(shè)點(diǎn)A到直線的距離為d，

33

114X1XI—

則sAB「=—BCABsinB：—ACd,即122。39,

V1313

此時縝=￡,

故"><d,即不存在該三角形，故②不符合要求.

18.某科目進(jìn)行考試時，從計(jì)算機(jī)題庫中隨機(jī)生成一份難度相當(dāng)?shù)脑嚲?規(guī)定每位同學(xué)有三次考試機(jī)會，一

旦某次考試通過，該科目成績合格，無需再次參加考試，否則就繼續(xù)參加考試，直到用完三次機(jī)會.現(xiàn)從

2022年和2023年這兩年的第一次、第二次、第三次參加考試的考生中，分別隨機(jī)抽取100位考生，獲得

數(shù)據(jù)如下表：

2022年2023年

通過未通過通過未通過

第一次60人40人50人50人

第二次70人30人60人40人

第三次80人20人加入(100-m)A

假設(shè)每次考試是否通過相互獨(dú)立.

(1)從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機(jī)抽取一位考生，估計(jì)這兩位考生都通過考試的概

率；

(2)小明在2022年參加考試，估計(jì)他不超過兩次考試該科目成績合格的概率；

(3)若2023年考生成績合格的概率不低于2022年考生成績合格的概率，則機(jī)的最小值為下列數(shù)值中的

哪一個？(直接寫出結(jié)果)

m的值838893

【答案】(1)0.3

(2)0.88

(3)88

【解析】

【分析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率求解即可；

(2)根據(jù)相互獨(dú)立的事件的概率求解即可；

(3)分別求出2022年和2023年考生成績的合格率，列出不等式即可求解.

【小問1詳解】

記事件&：“2022年第i次參加考試的考生通過考試"，/G{1,2,3}，

記事件Bj：“2023年第j次參加考試的考生通過考試"，je{1,2,3},

則尸(A)=約=0.6,尸(4)=或=0.5,

從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機(jī)抽取一位考生，估計(jì)這兩位考生都通過考試的概率

為p(44)=尸(A))=0.6x0.5=0.3；

【小問2詳解】

???尸(4)=巖=0.6,P伍)40c,

——=0.4

100

???P(X4)=P(X)P(4)=O.。號=0.28,

小明在2022年參加考試，估計(jì)他不超過兩次考試該科目成績合格的概率為

P(A)+P(44)=06+0.28=0.88；

【小問3詳解】

PP(訃1一—

2023=1—尸

\"100100100

要使2023年考生成績合格的概率不低于2022年考生成績合格的概率,

5040100-m

貝n!l]1l----x---x>0.976,解得機(jī)288.

100100100

故機(jī)的最小值為88.

2,2

19.已知橢圓。：=+3=1(°〉6〉0)的右焦點(diǎn)為尸，左、右頂點(diǎn)分別為A,3,

ab

^|=2+73,|^|=2-73.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓。上不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于x軸對稱，E,G分別為線段OM,跖5的中

點(diǎn)，直線AE與橢圓C交于另一點(diǎn)D證明：2G,N三點(diǎn)共線.

一

【答案】(1)土+丁=1

4-

(2)證明見解析

【解析】

【分析】⑴由題意得|A同=2+g=a+c,忸同=2—J§=a-c,結(jié)合平方關(guān)系即可得解.

(2)由題意不妨設(shè)2,0),3(2,0),0(0,0),則石豆方產(chǎn)(一,5,將直

n

線AE的方程y=」一(x+2),與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得點(diǎn)。坐標(biāo)，要證D,G,N三點(diǎn)共線，

—+2

2

只需證明kNG=kND即可，在化簡時注意利用4/=4-機(jī)2,由此即可順利得證.

【小問1詳解】

由題意|AF|=2+百=a+c,\BF\=2-43=a-c,

所以〃=2,c=A/3,b—A/4—3=1,

2

所以橢圓。的方程為土+y2=l.

4-

【小問2詳解】

y

2

由題意不妨設(shè)A（—2,0）,3（2,0）0（0,0）,其中彳+川=1,（加?！?）,即

4n2=4一加?，

n

mnm+2n

則片,G，且直線AE的方程為y=」一（％+2）,

'2,22'3

—+2

2

2

X21

2——+y=]

將其與橢圓方程r工+丁=1聯(lián)立得4

4

222

4n216n16n

消去y并化簡整理得1+x-\------------X+

m+4)2(m+4)加+4『-，

16n2

--4

(m+4)16n2-4(m+4)2

由韋達(dá)定理有%~~2XD=----

A&=22

4〃24n+(m+4)

1+

(m+4)2

-8/+2(加+4『n-8〃2+2(用+4『4〃(加+4)

所以二，%=舟（無+2）=2?

4川+（加+4『m+44n2+(加+4)4/+(加+4『

，-8〃2+2(加+4『4〃(加+4),

即點(diǎn)。

4n2+(加+4『4n2+(m+4)2,

4n(m+4)

3ny+n

223

hi,—5_3〃4n+(m+4)4n(m+4)+n(m+4)+4n

而“NG—-T

—8n2+2(加+4)2-8/+2(m+4)2—m(m+4)2—4n2m

1——m2-m

24n2+(m+4)2

2

4n(m+4)+n(m+4)+4〃(4-療)12n(m+3)3n

(2—m)(m+4)2—(^4—m2^(2+m)4(2—m)(m+3)2—m

所以D,G,N三點(diǎn)共線.

20.己知函數(shù)>0.

（1）若左=1,求曲線y=/（x）在（0"（0））處的切線方程；

⑵若1父<2,求證：函數(shù)y=/（x）在（0,+“）上有極大值加，且—3<m<1.

【答案】⑴x—y—2=0

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而求出切線方程；

⑵先對〃龍）求導(dǎo)，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=2-數(shù)（x+1『，再對g（x）求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g（x）的

單調(diào)性，進(jìn)而判斷了（九）的單調(diào)性，最后根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求出極大值的取值范圍.

【小問1詳解】

當(dāng)％=1時，/（x）=--e\/（O）=-l-e°=-2,即切點(diǎn)為（0,—2）,

X+1

2

?。?丁尸,r（o）=2-e°=l,即y=/（x）在（0,—2）處切線的斜率為1,

故曲線y=/（X）在（0,/⑼）處的切線方程為x—y-2=0；

【小問2詳解】

2-fex(x+l)2

x+1)(x+lf

令g(x)=2-AeX(x+l)2,xe(0,+8),■：\<k<2,

>=/在（0,+8）單調(diào)遞增，且丫=/>0,

,=（尤+1）2在（0,+"）單調(diào)遞增，且y=（x+l）2>0,

g（x）在（0,+8）單調(diào)遞減，

g(o)=2-yte(o,l],g(l)=2-4e^e(2-8e,2-4e],

即g（0）>0,g⑴<0,

二存在唯一的毛G（0,+8）,使8（尤0）=2_米而（/+1）2=0,即/

當(dāng)xe(O,九o)時，g(x)>0,即/'(x)>0,/(x)在(0,%)單調(diào)遞增,

當(dāng)XG(%O，+8)時，g(x)<0,即/<x)<0,/(x)在(%,+山)單調(diào)遞減,

/(%)在X=不處取得極大值，設(shè)極大值/(%)=加，

即〃x°)=區(qū)=-芍。=%三-lJ==機(jī)，

%0+1%+1(x0+1)(x0+1)

2

r—3

令〃(x)=;~~x?0,+8),

(x+i)

“工卜x2-3_]2(x+2)12(x+2)]2

(x+以(x+1)2(x+2)2—2(x+2)+l(x+2)+J^

I1(x+2)

(%+2)+'^旨在(0,+“)單調(diào)遞增,

??,對勾函數(shù)y

1

(x+2)+〉2+L9

(x+2)22

1c1

x+2)+------7—2〉一

x+2)2

<4

(%+2)+------r—2

IJ(x+2)

-3<1--------------------------<1

(x+2)+-^-2，

、)(x+2)

即一3</z(x)<l,A-3<m<l.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值.解題的關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)與單調(diào)

性的關(guān)系，當(dāng)導(dǎo)數(shù)的符號不容易確定時，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性.確定極值點(diǎn)時，需

要滿足極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0,極值點(diǎn)左右兩側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)值異號.

21.若有窮數(shù)列A:%,。2,…,/("〉4)