2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：規(guī)律探究（原卷版）

專題02規(guī)律探究（考題猜想，8種熱考題型）

型大裳合

_____

題型一、規(guī)麟究一■規(guī)律（共11題）

題型二：規(guī)麟究一數(shù)字寶塔（共7題）

題型三：規(guī)麟究一乘方規(guī)律（共9題）

題型四：規(guī)麟究幻方規(guī)律（共7題）

規(guī)律探究

題型五：規(guī)律探究幻圓規(guī)律（共7題）

題型六：規(guī)麟究一特殊結(jié)構(gòu)（共誦）

題型七：規(guī)麟究一數(shù)形規(guī)律（共7題）

題型八：規(guī)麟究一列代數(shù)式解決面積問題（共4題）

大通關(guān)

題型一：規(guī)律探究一一數(shù)表規(guī)律（共11題）

1.（2022秋?簡(jiǎn)陽市期中）如圖五個(gè)正方形中各有四個(gè)數(shù)，各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)

此規(guī)律，可推測(cè)出機(jī)的值為（）

A.0B.1C.4D.8

2.（2021秋?涇陽縣期末）如下表，從左到右在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格子

中所填整數(shù)之和都相等，則第2021個(gè)格子中的數(shù)為（）

-1abc25

A.-1B.0C.2D.5

3.（2023秋?鐘山區(qū)期末）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”.把洛書用今天的數(shù)學(xué)

符號(hào)翻譯出來，就是一個(gè)三階幻方.將9個(gè)數(shù)填入三階幻方的空格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三

個(gè)數(shù)之和相等.如表是一個(gè)未完成的三階幻方，則表中機(jī)的值為（）

FTB

8機(jī)

（1）正方形（4）中，m=；

（2）正方形（"）中，a=，b=，c=,m=.（用含〃的代數(shù)式表示）

5.（2023秋?坪山區(qū)期末）如表所示每個(gè)表格中的四個(gè)數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的，根據(jù)此規(guī)律確定x的值

為—.

-1324-3546a10

0-1314-2-13534.......bX.......

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè).......

6.（2023秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)——探究日歷中的數(shù)字規(guī)律：如圖1是2023年11月份的日歷，小

樂在其中畫出一個(gè)3*3的方框（粗線框）,框住九個(gè)數(shù),計(jì)算其中位置如圖2所示的四個(gè)數(shù)“S+c）-（a+d）”

的值.探索其運(yùn)算結(jié)果的規(guī)律.

（1）初步分析：計(jì)算圖1中（8+20）-（6+22）的結(jié)果為；

將3x3的方框移動(dòng)到圖1中的其他位置，通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)（6+。）-（。+d）的值均為—；

（2）數(shù)學(xué)思考：小樂認(rèn)為（1）中猜想正確，其說理的過程如下，請(qǐng)你將其補(bǔ)充完整.

解：設(shè)”=尤，貝!]Z?=x+2,c=x+14,d=

(b+c)—(a+d),

=(x+2+x+14)-(),

所以，@+c)-(a+d)的值均為

(3)拓廣探究：同學(xué)們利用小樂的方法，借助圖1中的日歷，繼續(xù)進(jìn)行如下探究.請(qǐng)從下列A,3兩題中

任選一題作答.我選擇—題.

A.在日歷中用“Z型框”框住位置如圖3所示的四個(gè)數(shù)，探究“(6+c)-(a+d)”的值的規(guī)律,寫出你的

結(jié)論，并說明理由;

B.在日歷中用“y型框”框住位置如圖4所示的四個(gè)數(shù)，探究“(6+c)-(a+d)”的值的規(guī)律,寫出你的

圖1圖2圖3圖4

7.（2023秋?恩平市期末）如圖1,邊長為ac機(jī)的正方形硬紙板的4個(gè)角上剪去相同的小正方形，這樣可

制作一個(gè)無蓋的長方體紙盒，設(shè)底面邊長為xcm.

（1）這個(gè)紙盒的底面積是cm2,高是（用含a、x的代數(shù)式表示）.

（2）x的部分取值及相應(yīng)的紙盒容積如表所示：

x/cm123456789

紙盒容m72n

積/czz?

請(qǐng)通過表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算：m=—,n=

（3）若將正方形硬紙板按圖2方式裁剪，亦可制作一個(gè)無蓋的長方體紙盒.

①若為該紙盒制作一長方形蓋子，則該長方形的兩邊長分別是—cm,—cm（用含。、y的代數(shù)式表

示）；

②已知A,B,C,。四個(gè)面上分別標(biāo)有整式2（根+2）,機(jī)，-3,6,且該紙盒的相對(duì)兩個(gè)面上的整式的和

相等，求“7的值.

8.（2022秋?青島期中）如表所示的數(shù)中，第〃+3個(gè)數(shù)比第w個(gè)數(shù)大2（其中〃是正整數(shù)）.

第1個(gè)數(shù)第2個(gè)數(shù)第3個(gè)數(shù)第4個(gè)數(shù)第5個(gè)數(shù)

abCa+2b+2

（1）第6個(gè)數(shù)可表示為；第7個(gè)數(shù)可表示為

（2）若第22個(gè)數(shù)是12,第23個(gè)數(shù)為61,貝,b=

（3）第2025個(gè)數(shù)可表示為

9.(2023秋?盂縣期末)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

書柜中序號(hào)的秘密

數(shù)學(xué)課上，李老師借助教室里書柜上的號(hào)碼(如圖1),帶領(lǐng)同學(xué)們展開活動(dòng)，探尋數(shù)字之間存在的規(guī)律.

1234567891011121314

1516171819202122232425262728

2930313333343536373839404142

4344454647484950515253545556

57585960616263646566衛(wèi)生工具

圖1

勤奮小組發(fā)現(xiàn)：如圖2,用陰影任意框出一個(gè)“Z字型”，下面兩行數(shù)字之和與上面兩行數(shù)字之和作差可得

到一個(gè)定值.

1234567891011121314

1516171819202122232425262728

2930313233343536373839404142

4344454647484950515253545556

57585960616263646566衛(wèi)生工具

圖2

若將“Z字型”中左上角的數(shù)字設(shè)為機(jī)，則上面一行右邊的數(shù)字為帆+1,下面一行左邊的數(shù)字為根+15,

右下角的數(shù)字為m+\6.所以[(w+15)+(m+16)]-[m+(m+1)]=30.

智慧小組受到勤奮小組的啟發(fā)，如圖3,用陰影任意框出一個(gè)“8字型”，發(fā)現(xiàn)七個(gè)數(shù)字之和與中間數(shù)字存

在著一定的關(guān)系.

1234567891011121314

1516171819202122232425262728

2930313233343536373839404142

4344454647484950515253545556

57585960616263646566衛(wèi)生工具

圖3

任務(wù)：

(1)請(qǐng)寫出智慧小組發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，并說明理由.

（2）小明同學(xué)提出：在圖3中，智慧小組框出的七個(gè)數(shù)字之和可以等于364.他說的正確嗎？請(qǐng)說明理由.

10.（2023秋?湖北期中）如表，從左邊第一個(gè)格子開始向右數(shù)，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其

中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等.

11ab2-7c

（1）可求得q=,b-,c=；

（2）第2023個(gè)格子中的數(shù)為；

（3）若前機(jī)個(gè)格子中所填整數(shù)之和S=666,則機(jī)的值為多少？若S=2033,%的值為多少？

（4）若b<x<c,則|尤-a|+|x-Z?|+|x-c|的最小值為.

11.（2022秋?連平縣期末）如圖，從左到右，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格

子中所有整數(shù)之和都相等.

(1)可求得x=，★=，☆=

(2)定義新運(yùn)算，a*b=2{a+b),例如5*6=2x(5+6)=22,若y=[(-1)*(-0.5)]*2,則丁=

（3）數(shù)軸上A、3兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)為y、x（已在前兩問求得），P點(diǎn)為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，尸點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，如果

A點(diǎn)、3點(diǎn)和P點(diǎn)分別以速度為1、2、3（單位長度/秒）向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過幾秒后，P為的中點(diǎn).

題型二：規(guī)律探究一一數(shù)字寶塔（共7題）

1.（2022秋?越秀區(qū)期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形數(shù)表，我們稱之為“楊輝三角”，

圖中兩線之間的一列數(shù)：1,3,6,10,15,我們把第一個(gè)數(shù)記為％,第二個(gè)數(shù)記為電，第三個(gè)數(shù)記為

的，…,第〃個(gè)數(shù)記為則。4+。11值是（）

1

A.96B.45C.76D.78

2.（2021秋?橋西區(qū)校級(jí)期末）觀察下面一列數(shù)：-1,2,-3,4,-5,6,-7…，將這列數(shù)排成下列形式:

照上述規(guī)律排下去，則第九行中左邊第6個(gè)數(shù)是（）

-1

2-34

-56-78-9

10-1112-1314-1516

A.70B.-70C.69D.-69

3.（2022秋?恩施市期中）將自然數(shù)按照下列規(guī)律排列成一個(gè)數(shù)陣根據(jù)規(guī)律，自然數(shù)2021應(yīng)該排在從上往

下數(shù)的第機(jī)行，是該行中從左往右數(shù)的第〃個(gè)數(shù)，那么根+〃=（）

o

23

45678

9101112131415

A.129B.130C.131D.132

4.（2021秋?荔灣區(qū)校級(jí)期中）已知一列數(shù)：1、-2、3、-4、5、-6、…，將這列數(shù)排成如圖形式:

1

-23

-45-6

7-89-10

11-1213-1415

按照上述規(guī)律排列下去，第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)是.

5.（2021秋?鳳山縣期末）觀察下面一列數(shù)：1,-2,3,-4,5,-6,7…將這列數(shù)排成如圖形式，%為第

i行第j列，如a2i=-2,那么&=

1

-23-4

5-67-89

-1011-1213-1415-16

6.（2023秋?梁子湖區(qū)期中）將自然數(shù)按照下列規(guī)律排列成一個(gè)數(shù)陣，根據(jù)規(guī)律，自然數(shù)2023應(yīng)該排在從

上往下數(shù)的第相行，是該行中從左往右數(shù)的第〃個(gè)數(shù)，那么m+〃的值是

0

123

45678

9101112131415

7.（2020秋?廬陽區(qū)期末）如圖數(shù)表是由1開始的連續(xù)自然數(shù)組成的，觀察規(guī)律并完成各題的解答:

1

234

56789

10111213141516

171819202122232425

2627282930313233343536

（1）第8行的最后一個(gè)數(shù)是一；

（2）第幾行的第一個(gè)數(shù)是—，第〃行共有一個(gè)數(shù)；

（3）數(shù)字2021排在第幾行？從左往右數(shù)，第幾個(gè)？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由.

題型三：規(guī)律探究一一乘方規(guī)律（共9題）

1.（2023春?泗縣期末）任意大于1的正整數(shù)根的三次累均可“分裂”成根個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如：23=3+5,

33=7+9+11,43=13+15+17+19,…按此規(guī)律，若力分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是2023,則根的值是（

)

A.46B.45C.44D.43

2.（2022秋?岳西縣期末）觀察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；己知

按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：個(gè)00,2101,2102,2199,2200,若2K用含a的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是

（）

A.2a2—2。一2B.2al+ciC.2al—2aD.2al—a

3.（2023秋?漢川市期末）閱讀材料：大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)讀書時(shí)曾經(jīng)研究過這樣一個(gè)問題：

1+2+3+…+100=?經(jīng)過研究，這個(gè)問題的一般性結(jié)論是1+2+3+=+其中〃是正整數(shù).現(xiàn)

在我們來研究一個(gè)類似的問題：1X2+2X3+3X4+...+〃（〃+1）=?觀察幾個(gè)特殊的等式：

Ix2=1x（lx2x3-Oxlx2）,2x3=1x（2x3x4-lx2x3）,3x4=1x（3x4x5-2x3x4）,將這三個(gè)等式的

兩邊相加，可以得到1x2+2x3+3x4=2x3x4x5=20.讀完這段材料，請(qǐng)你思考后計(jì)算：

3

Ix2+2x3+3x4+…+50x51的值是（）

A.41650B.44200C.46852D.49608

4.（2023秋?涼山州期末）大于1的正整數(shù)”的三次基可“分裂”成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如23=3+5,

33=7+9+11,43=13+15+17+19,…則133分裂出的奇數(shù)中最大是（）

A.165B.169C.179D.181

5.（2023秋?德城區(qū)期末）觀察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

根據(jù)其中的規(guī)律可得7°+7+7。++7皿3的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是—.

6.（2023秋?蒙城縣期末）觀察下列算式，

『+22=^1^；P+22+32

666

C2C2A24x5x9

I2+22+32+42=----------；........

6

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用一個(gè)含〃的算式表示：12+22+32……+/=

7.(2023秋?歷下區(qū)期末)【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在計(jì)算過程中有一個(gè)有趣的發(fā)現(xiàn)：

1x2x3,

12=-----=i;

6

f+22=2x3x5=5；

6

9—9-23x4x7..

12+22+32=------=14；

6

產(chǎn)+22+32+42=93=30.

6

【解決問題】

(1)12+22+32+42+52=.

(2)12+22+32+42++*=.

【應(yīng)用新知】

對(duì)于自然數(shù)〃和〃，規(guī)定=如542=52+(5—1了=41.

(3)i+W1A2+2A2+3A2+4A2++12A2.

8.(2023秋?禹州市期中)已知”..2,且〃為自然數(shù)，對(duì)/進(jìn)行如下“分裂”，可分裂成〃個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和,

如圖：

即如下規(guī)律：2?=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,...

(1)按上述分裂要求，將5分裂成奇數(shù)和的形式：52=；IO?可分裂的最大奇數(shù)為.

(2)按上述分裂要求，/可分裂成連續(xù)奇數(shù)和的形式是：〃2=I+3+5+…+(填最大奇數(shù)，用含力的

式子表示)；

(3)用上面的規(guī)律求：5+1)2

1

13g

22

37

9.（2023秋?平輿縣期中）在求兩位數(shù)的平方時(shí)，可以用“列豎式”的方法進(jìn)行速算，求解過程如圖所示.

（1）仿照?qǐng)D1,在下面的圖中補(bǔ)全67的平方的“豎式”；

（2）仿照?qǐng)D1的方法，用“列豎式”的方法計(jì)算一個(gè)兩位數(shù)的平方，部分過程如圖2所示，并且這個(gè)兩位

數(shù)某一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字也是則這個(gè)兩位數(shù)為（用含a的代數(shù)式表示）.

322=1024|

9

004

r2.L.J

L...1

0,2：4|

圖1圖2圖3

題型四：規(guī)律探究一一幻方規(guī)律（共7題）

1.（2023秋?丹江口市期末）

c

Xa

8

b

-6

d

幻方是古老的數(shù)字問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格?將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格

中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等.如圖為一個(gè)三階幻方的一部分，則x

的值為（）

A.-2B.0C.1D.2

【分析】根據(jù)幻方的每一橫行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，可列出關(guān)于x的一元一次

方程，解之即可得出尤的值.

x+b+d=a+b-6

【解答】解：根據(jù)題意得:

x+a+c=c+S+d

[x+d=a-6?

即<

[x+〃=8+^7(2)

(X)+②得:2x+a+d=Q+2+d9

解得：x=l.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)

鍵.

2.（2023秋?朝陽區(qū)期末）對(duì)幻方的研究體現(xiàn)了中國古人的智慧，如圖1是一個(gè)幻方的圖案，其中9個(gè)格中

的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9.每一橫行、每一豎列、每一斜對(duì)角線上的點(diǎn)數(shù)的和都是15.如

圖2是一個(gè)沒有填完整的幻方，如果它處于同一橫行、同一豎列、同一斜對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)的和都相等，那

A.5B.1C.0D.-1

3.（2023秋?大冶市期末）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一九宮格.將

9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如圖（1）就

A.4B.5C.6D.7

【分析】如圖（見解析），根據(jù)每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等建立方程，解方程

即可得.

【解答】解：如圖，

由題思1*導(dǎo)：x-5+8=x+a-2,

解得：4=5,

-2+Z?+8=~5+b+d,

解得：J=11?

—2+ll+e=8+c+e,

解得：C=lf

—5+>+d=8+l+e,即：-5+》+ll=8+l+e,

解得：Z?=3+e,

x—5+8=8+c+e,即無-5+8=8+l+e,

解得：x=6+e,

貝ljx+b+e=8+l+e,即6+e+3+e+e=9+e,

解得：e=0,

所以九一5+8=8+c+e,即％+3=9,

解得：x=6.

故選：3C.□

S□

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵.

4.（2023秋?青島期末）幻方是相當(dāng)古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載的龜背圖是最早的幻方.如

圖所示，若將數(shù)字1?9填入這個(gè)3x3幻方中，恰好能使每一橫行，每一豎列以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和

相等，則根的值為.

M

nn□

二

□

一l-2m

【分析】根據(jù)幻方中每一橫行和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和相等，即可得出關(guān)于根的一元一次方程，解之即

可求出m的值.

【解答】解：依題意得：7+2=5+（l-2m）,

解得：m=——.

2

故答案為：-

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?椒江區(qū)校級(jí)期末）幻方是科學(xué)的結(jié)晶與吉祥的象征，發(fā)源于中國古代的《洛書》一九宮圖.三

階幻方有如下規(guī)律：處于同一橫行、同一豎列、同一斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等（如圖1）.則圖2的九

格幻方中的9個(gè)數(shù)的和為（用含“的式子表示）

276a—4a

951a+4

438

【分析】根據(jù)同一橫行、同一豎列、同一斜對(duì)角線上的二個(gè)數(shù)的和都相等做出圖形，設(shè)右下角為6,列方程

求解，

【解答】解：右下角的數(shù)為6.

可知左上角為6+8，

所以最中間的格內(nèi)的數(shù)為a+a+4+b-（b+8+b）=2a-b-4,

同理可求，第二行左側(cè)格內(nèi)的數(shù)為26-a+4,

第三行中間格內(nèi)的數(shù)為％-。+12,

左下角格內(nèi)的數(shù)為26-a+8,

所以a+a+4+6=2b—a+8+2Z?一a+12—b，

整理得b=a-4,

所以a+a+4+b=3a,

所以圖2的九宮格幻方中的9個(gè)數(shù)的和為3ax3=9a,

故答案為：9a.

b+8a—4a

2b-a+42a—b—4a+4

2b-a+82b-a+12b

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于熟練掌握運(yùn)算法則，

6.（2023秋?高新區(qū)期末）將9個(gè)數(shù)填入幻方的九個(gè)格中（如圖1）,使處于同一橫行、同一豎列、同一斜對(duì)

角線上的三個(gè)數(shù)的和相等,若將滿足條件的另外9個(gè)數(shù)中的三個(gè)數(shù)填入了圖2,則這9個(gè)數(shù)的和為_9a+18

（用含。的整式表示）.

492

357a+3

816aa+5

圖1圖2

【分析】根據(jù)同一橫行、同一豎列、同一斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和相等作出圖形，根據(jù)題意列出關(guān)于。與x

的方程，可得x=a+l,進(jìn)一步求出這9個(gè)數(shù)的和即可.

【解答】解：如圖所示：

x+2-a+2x-33a-2x+6

a+32a+3—x-a+2x—1

aQ+5X

圖2

ci+2a+3—x+3a—2x+6=a+a+5+%，

角窣得光=a+1,

a+a+5+x=2a+5+a+1=3a+6,

3（3a+6）=9Q+18.

故答案為：9a+18.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列代數(shù)式，整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

7.（2023秋?漳州期末）探尋神奇的幻方

幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”.把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，就是一個(gè)三

階幻方（如圖1）,將9個(gè)數(shù)填在3x3（三行三列）的方格中，如果滿足每個(gè)橫行、每個(gè)豎列、每條對(duì)角線上

的三個(gè)數(shù)字之和都相等，就得到一個(gè)三階幻方.

（1）研究發(fā)現(xiàn)：三階幻方最中間的數(shù)字與9個(gè)數(shù)字的和有確定的數(shù)量關(guān)系.如果設(shè)三階幻方最中間的數(shù)字

為〃，9個(gè)數(shù)字和為s,則5=（用含〃的代數(shù)式表示）；

（2）圖2是一個(gè)未完成的三階幻方，求a,6的值;

（3）圖3是一個(gè)未完成的三階幻方，求c的值.

題型五：規(guī)律探究一一幻圓規(guī)律（共7題）

1.（2023秋?黃島區(qū)校級(jí)期末）“幻方”最早記載于春秋時(shí)期的《大戴禮》中，現(xiàn)將1、2、3、4、5、7、8、

9這8個(gè)數(shù)字填入如圖1所示的“幻方”中，使得每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都與中間正方形四個(gè)

頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等.現(xiàn)有如圖2所示的“幻方”，則的值是（）

圖1圖2

A.-27B.-1C.8D.16

2.（2023秋?錫山區(qū)期末）同學(xué)們都熟悉“幻方”游戲，現(xiàn)將“幻方”游戲稍作改進(jìn)變成“幻圓”游戲，將

-6,8,-10,12,-14,16,-18,20分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩個(gè)正方形頂點(diǎn)處圈內(nèi)

4個(gè)數(shù)字之和都相等，則a+6的值為（）

A.-28或-10B.-28或10C.2或一2D.2或一16

3.（2023秋?商南縣校級(jí)期末）愛動(dòng)腦筋的小青同學(xué)設(shè)計(jì)了一種“幻圓”游戲，將-1、2、-3、4、-5、6、

-7、8分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，他已經(jīng)將4、6、-7、8

這四個(gè)數(shù)填入了圓圈，則圖中6的值為（）

4.（2023秋?香洲區(qū)期末）愛動(dòng)腦筋的小亮同學(xué)設(shè)計(jì)了一種“幻圓”游戲，將1,-2,-3,3,4,6,-7,

8分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，他已經(jīng)將4,6,-7,8這四

個(gè)數(shù)填入了圓圈，則圖中a+b的值為.

5.（2023秋?常德期末）“幻方”最早記載于春秋時(shí)期的《大戴禮記》中，如圖1所示，每個(gè)三角形的三個(gè)

頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都與中間正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等，現(xiàn)將T,-2,-1,2,3,4,6,7填入如

圖2所示的“幻方”中，部分?jǐn)?shù)據(jù)已填入，則。+6的值為—.

6.（2021秋?南安市期中）現(xiàn)有七個(gè)數(shù)-1,-2,-2,-4,-4,-8,-8將它們填入圖1（3個(gè)圓兩兩相交分

成7個(gè)部分）中，使得每個(gè)圓內(nèi)部的4個(gè)數(shù)之積相等，設(shè)這個(gè)積為加，如圖2給出了一種填法，此時(shí)機(jī)=64,

在所有的填法中，機(jī)的最大值為

7.（2023秋?光明區(qū)期末）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”（如圖1）.“洛書”是一

種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)圖案，它是以黑點(diǎn)與白點(diǎn)為基本要素，以一定方式構(gòu)成若干不同組合.“洛書”用

今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來就是一個(gè)三階幻方（如圖2）.三階幻方又名九宮格，是一種將數(shù)字（1至9,數(shù)字不

重復(fù)使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和對(duì)角線上的數(shù)字和都相等.

（1）根據(jù)“洛書”中表達(dá)的意思，將圖2中的三階幻方補(bǔ)充完整；

（2）改變圖2幻方中數(shù)字的位置，可以得到一個(gè)新的三階幻方（如圖3）,請(qǐng)補(bǔ)全這個(gè)新的三階幻方；

（3）如圖4,有3個(gè)正方形，每個(gè)正方形的頂點(diǎn)處都有一個(gè)“O”.將-11、-9、-7、-5、-3、-1、2、

4、6、8、10、12這12個(gè)數(shù)填入恰當(dāng)?shù)奈恢茫〝?shù)字不重復(fù)使用），使每個(gè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)處中的數(shù)

的和都為2.請(qǐng)直接寫出〃俏的值.

題型六：規(guī)律探究一一特殊結(jié)構(gòu)（共6題）

1.（2022秋?黃石港區(qū)期中）對(duì)于自然數(shù)”，將其各位數(shù)字之和記為與，如的>19=2+0+1+9=12,

%020=2+0+2+0=4,貝%+4+4+—+々2019+“2020=（）

A.28144B.28134C.28133D.28131

2.（2023秋?金臺(tái)區(qū)期末）觀察下表三行數(shù)的規(guī)律，回答下列問題：

第1列第2歹1」第3歹U第4歹1」第5歹U第6歹U

第1行-24-8a-3264

第2行06-618-3066

第3行-12-48-16b

（1）第1行的第四個(gè)數(shù)，是—；第3行的第六個(gè)數(shù)。是

（2）若第1行的某一列的數(shù)為c,則第2行與它同一列的數(shù)為—；

（3）已知第〃列的三個(gè)數(shù)的和為2562,若設(shè)第1行第〃列的數(shù)為X,試求x的值.

3.（2022秋?常德期末）閱讀理解：給定一列數(shù)，把這列數(shù)中的第一個(gè)數(shù)記為q,

第二個(gè)數(shù)記為電，第三個(gè)數(shù)記為例，以此類推，第幾個(gè)數(shù)記為45為正整數(shù)），符號(hào)“fq”表示從這列

Z=1

數(shù)的第一個(gè)數(shù)開始依次加到第〃個(gè)數(shù)的和，即$>,.=%+%+/++?，例如：一列數(shù)1，3,4,7,9中，

Z=1

3

q=l，a2=3，。3=4，。4=7，Q5=9，工6=a1+%+q=1+3+4=8；

i=l

4

〉:（2-=4+a2+q+“4=1+3+4+7=15.

i=i

請(qǐng)解決下面的問題：

5

（1）已知一列數(shù)一1,2,-3,4,-5,6,-7,8,-9,10,求的值；

（=1

（2）已知一列數(shù)0,-3,6,-9,12,-15,18,-21,24,-27,按照規(guī)律可以無限寫下去，那么

100

Goo的值是多少？并求的值；

1=1

（3）在（2）的條件下，是否存在正整數(shù)〃使等式|=2022成立，若存在請(qǐng)求出〃的值，不存在請(qǐng)說明

1=1

理由.

4.（2022秋?嶗山區(qū)校級(jí)期末）現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)：觀察一列數(shù)：2,4,8,16,這一列數(shù)按規(guī)律排列，我們把

它叫做一個(gè)數(shù)列，其中的每個(gè)數(shù)，叫做這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于2,

我們把這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)2叫做這個(gè)等比數(shù)列的公比.

一般地，如果一列數(shù)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，這一列數(shù)就叫做等比數(shù)列，

這個(gè)常數(shù)就叫做等比數(shù)列的公比.

解決問題：

（1）已知等比數(shù)列3,6,12,24...,那么它的第八項(xiàng)是—.

（2）己知一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且第2項(xiàng)是10,第4項(xiàng)是40,則它的公比為—.

（3）如果等比數(shù)列%,a2,a3,a4,...?公比為q,那么有：a2=44,0,=的"=（44）4=,…，.（用

%與4的式子表示，其中"為大于1的自然數(shù)）

拓展應(yīng)用：

等比數(shù)列3,6,12,24...,那么它的第〃項(xiàng)是.

5.（2022秋?宛城區(qū)期末）（1）觀察一列數(shù)q=3,%=9,%=27,a4=81,a5=243...,由此我們發(fā)現(xiàn)這

一列數(shù)從第二個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是—，根據(jù)此規(guī)律，如果為（〃

為正整數(shù)）表示這一列數(shù)的第"個(gè)數(shù)，那么：4=—，%=一?（可用幕的形式表示）

（2）如果想要求l+2+2?+23+,+2i°的值，可令Si。=1+2+2?+23+...+21°①，

將①式兩邊同乘以2,得2工0=②，

由②減去①式，得1+2+22+23++嚴(yán)=/=_..

（3）若（1）中這一列數(shù)共有20個(gè)，設(shè)$2。=3+9+27+81+...+32°,請(qǐng)利用上述規(guī)律和方法計(jì)算工。的值.

（4）設(shè)一列數(shù)1,1,,白的和為S“，則S,的值為—.（提示等式=

6.（2020秋?科爾沁區(qū)期末）給定一列數(shù)，我們把這列數(shù)中的第一個(gè)數(shù)記為4,第二個(gè)數(shù)記為〃2,第三個(gè)數(shù)

記為〃3，以此類推，第〃個(gè)數(shù)記為（幾為正整數(shù)），如下面這列數(shù)1,3,5,7,9中，q=l,%=3,

〃3=5,%=7，。5=9.規(guī)定運(yùn)算s〃皿4:%）=/+/+/+…+?！?即從這列數(shù)的第一個(gè)數(shù)開始依次加到第

〃個(gè)數(shù)，如在上面的一列數(shù)中，s〃加（弓：叼）=%+W+/=1+3+5=9.

（1）已知一列數(shù)1,一2,3,-4,5,-6,7,一8,9,一10,則。3=，sum{ax：^10）=.

（2）已知一列有規(guī)律的數(shù)：（-Dil,（-1）2x2,（-1）3x3,（-1）4x4,…，按照規(guī)律,這列數(shù)可以無限的

寫下去.

①求S"皿q：%020）的值；

②是否有正整數(shù)〃滿足等式帆（q:〃,）=-50成立？如果有，求〃的值，如果沒有，說明理由.

題型七：規(guī)律探究一一數(shù)形規(guī)律（共7題）

1.（2023秋?九龍坡區(qū)期末）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成.第1個(gè)圖案中有

4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色

圓片，…，依此規(guī)律，第10個(gè)圖案中的白色圓片個(gè)數(shù)為（）

m8W88Wa8-

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

A.20個(gè)B.22個(gè)C.24個(gè)D.26個(gè)

2.（2023秋?景縣期末）如圖所示，第1個(gè)圖中將正方形取上下對(duì)邊中點(diǎn)連線后，再取右側(cè)長方形的長邊中

點(diǎn)連線；第2個(gè)圖中，將第一個(gè)圖中的右下方正方形繼續(xù)按第一個(gè)圖的方式進(jìn)行操作，…，按此規(guī)律操作

下去，則第“5為正整數(shù)）個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)是（）

D.4〃一1

3.（2023秋?歷城區(qū)期末）如圖，將形狀大小完全相同的★按照一定規(guī)律擺成下列圖形，圖1中★的個(gè)數(shù)為

4,圖2中★的個(gè)數(shù)為電，圖3中★的個(gè)數(shù)為生…，以此類推，第〃幅圖中★的個(gè)數(shù)為a,,,則

★★★★★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★

★★★★★

'+'+'+...+-一的值為（）圖1圖2圖3圖4

q%”302023

2023n20222024口2025

AA.------B.------c

20242023.2023?2024

4.（2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）圖1中的1,3,6,10,…，由于這些數(shù)能夠表示成二角形，將其稱為二角

形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16,這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)

的是（）

1361014916

圖I圖2

A.15B.25C.36D.49

5.（2022秋?東源縣期末）按照如圖所示的方法排列黑色小正方形地磚，則第14個(gè)圖案中黑色小正方形地

磚的數(shù)量是（）

C.365D.369

6.（2022秋?梁子湖區(qū)期末）圖中都是由棱長為。的正方體疊成的幾何體.第1個(gè)幾何體由1個(gè)正方體疊成,

第2個(gè)幾何體由4個(gè)正方體疊成，第3個(gè)幾何體由10個(gè)正方體疊成，…，按此規(guī)律，記第〃個(gè)幾何體由相

個(gè)正方體疊成，其中〃=1,2,3,則++―L—+…++的值為（）

X2-X1x3-X2x4-x3x9-X8石o—X9

2021

A.2B.WD.

1111TTTT

7.（2023秋?和田地區(qū)期末）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第

10個(gè)圖形共有個(gè)O.

oooooooo

o

第4個(gè)

題型八：規(guī)律探究一一列代數(shù)式解決面積問題（共4題）

1.（2024秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中）小方家的住房戶型呈長方形，平面圖如下（單位：米）.現(xiàn)準(zhǔn)備鋪設(shè)地面,

三間臥室鋪設(shè)木地板，其他區(qū)域鋪設(shè)地磚.

（1）求a的值;

（2）鋪設(shè)地面需要木地板和地磚各多少平方米？（用含x的代數(shù)式表示）

（3）按市場(chǎng)價(jià)格，木地板單價(jià)為300元/平方米，地磚單價(jià)為100元/平方米.裝修公司有A、3兩種活動(dòng)

方案，如表:

活動(dòng)方案木地板價(jià)格地磚價(jià)格總安裝費(fèi)

A8折8.5折2000元

B9折8.5折免收

已知x=2,則小方家應(yīng)選擇哪種活動(dòng)，使鋪設(shè)地面總費(fèi)用（含材料費(fèi)及安裝費(fèi)）較低？

2x

產(chǎn)——>

廚房衛(wèi)生間

臥室2

臥室14

餐廳

v

客廳

臥室34

Vv

106

2.（2023秋?蒼南縣校級(jí)月考）根據(jù)以下素材，嘗試解決問題.

我是小小預(yù)算師