2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)（考題猜想熱考+壓軸 必刷53題12種題型）（原卷版）

考題猜想7-1銳角三角函數(shù)

（熱考+壓軸必刷53題12種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

盛理人集合

＞利用銳角三角函數(shù)的概念求三角函數(shù)值＞解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

＞網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值＞解非直角三角形的相關(guān)計(jì)

＞特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算＞解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用

＞根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)＞三角函數(shù)綜合

＞等角代換法求銳角三角函數(shù)值＞12345模型

＞求證同角三角函數(shù)關(guān)系式＞胡不歸模型

型大通關(guān)

一.利用銳角三角函數(shù)的概念求三角函數(shù)值（共4小題）

1.（23-24九年級上?江西,期末）如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，。是邊4B的中點(diǎn)，BE1CD,垂足

、r4

為E,BC=8,cos/-ABC-

⑴求CD的長.

⑵求NDBE的正弦值.

2.（22-23九年級上?海南僧州?期末）如圖，在正方形ABCD中，尸是BC邊上的一點(diǎn)，且BC=4PC,。是

CD的中點(diǎn).

⑴求證：AQCPjADQ；

(2)求sin/PAQ的值.

3.（22-23九年級上?北京通州?期末）如圖，在Rt△力BC中，乙4cB=90。，。是邊48的中點(diǎn)，BE1CD,垂

⑴求線段CD的長；

⑵求cosNDBE的值.

4.（22-23九年級上?河南南陽?期末）如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=4,BD1AC于點(diǎn)D

⑴求tan/ABC的值；

（2）求BD的長.

二.網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值（共4小題）

5.（2023?廣東湛江?三模）△力BC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，貝UsinB的值為

6.（22-23九年級上?山西忻州?期末）如圖，點(diǎn)A,B,C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sinN艮4C=

7.（22-23九年級上?山西太原?期末）如圖.在每個小正方形的邊長均為1的方格圖中.點(diǎn)A,C,M,N均

在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，4N與CM相交于點(diǎn)P,貝Utan/CPN的值為.

8.（21-22九年級上,江蘇揚(yáng)州?期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則tanB

三.特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算(共3小題)

9.(22-23九年級上?山東泰安?期末)計(jì)算下列各題：

(l)sin245°-V27+|(V3-2006)°+6tan30°

(2)sin230°—cos45°-tan60°+—tan45°.

10.(22-23九年級下?安徽安慶?期末)已知a是銳角，且sina=求3cos+sin(a—15o)tan(a+

15。)—Bcos(a—15。)的值.

11.(23-24九年級上,山西臨汾?階段練習(xí))⑴&sin300+tan60°-cos450+tan30°；

(2)(0+|1-V3|-2sin60°+(TT-2023)°-V8；

2

(3)已知乙4,ZB,NC是銳角三角形ABC的三個內(nèi)角，且滿足(2sin4—b)+VtanF-1=0,求NC的度

數(shù);

⑷已知tana的值是方程/一“一2=。的一個根,求式子黑黑的值?

四.根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)（共5小題）

12.（2023?浙江杭州?一模）如圖，在A4BC中,。是4B上一點(diǎn),Nl=AB,42=2。.

⑴求證：CDLAB.

（2）若產(chǎn)=j求乙4的度數(shù).

SLACD3

13.（23-24九年級上,全國?課后作業(yè)）在AaBC中，ZX.NB滿足卜inH-+『anB-=0,試判斷△

ABC的形狀，并說明理由.

14.（22-23九年級下?遼寧沈陽,開學(xué)考試）如圖，4B是。。的直徑，點(diǎn)C在4B的延長線上，點(diǎn)。、E為。

。上兩點(diǎn)，連接CD、BD、ED,乙CDB=￡E,連接8C.

⑴求證：CD是。。的切線;

(2)若8c=4,CD=4V3,求BD的長.

15.（2023,廣東河源?一模）如圖，在矩形4BCD中，AB=5,BC=10,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與

B,C重合），過點(diǎn)E作EFIDE交2B于點(diǎn)E連接DF.

⑴當(dāng)BE=2時,求tan"OF的值;

（2）當(dāng)4F=EF時，求N4DF的度數(shù)；

⑶若點(diǎn)廠為4B的中點(diǎn)，求BE的長.

16.（2023?江西?模擬預(yù)測）課本再現(xiàn)

(1)如圖1,在RtzXABC和RtAAB'C'中，zC=90°,zCf=90°,嗯=*,

求證：RtA/15CRtAA'B'C.我們在數(shù)學(xué)課上探索這一結(jié)論時進(jìn)行了分析：要證Rt△力BCsRta

28ACABAC

A'B'C可設(shè)法證蕓=k,則只需證告=k.

ArBr而'右攻而=而

請你根據(jù)以上分析，完成證明.

知識應(yīng)用（2）如圖2,在四邊形PMQN中，Z.M=APQN=90°,PQ2=PM-PN,需=乎，求NN的度

數(shù).

\

五.等角代換法求銳角三角函數(shù)值（共2小題）

17.（2024九年級下?浙江?專題練習(xí)）如圖，4B為。。的直徑，點(diǎn)C是弧48的中點(diǎn)，點(diǎn)。在圓。上，點(diǎn)、E

在A8的延長線上，且EF=ED.

V〃

c

（1）求證：是。。的切線；

（2）連接BC,若tan/BCD=|,DE=6,求4B的長.

18.（2023?浙江溫州?二模）如圖，在Rt△48c中，ZXCB=90°,。是42上一點(diǎn)，CD=BC,過點(diǎn)。作

DF1AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CEII4B交DF的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：四邊形D8CE是平行四邊形.

.”-1

（2）右8。=6,sinX=求DE的長.

19.（2023?江蘇無錫?二模）如圖，4B是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，NC4B的平分線與BC相交于點(diǎn)。，與

O。過點(diǎn)B的切線相交于點(diǎn)E.

⑴判斷ABDE的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）若力B=4,BD=2,求4D的長.

20.（2024,廣東廣州?一模）如圖，RtAdB。中，AABO=90°,AB=2,反比例函數(shù)y=—:的圖象經(jīng)過點(diǎn)

⑴求點(diǎn)A的坐標(biāo).

（2）直線C。垂直平分4。，交4。于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,求線段OE的長.

21.（24-25九年級上?北京?階段練習(xí)）如圖，在AOAB中，。4=。8,E是4B的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EC1。4于

點(diǎn)C,過點(diǎn)B作BO1OB,交CE的延長線于點(diǎn)D.

（2）若4B=12,BD=5,求。4的長.

六.求證同角三角函數(shù)關(guān)系式（共2小題）

22.（24-25九年級上?山東淄博?階段練習(xí)）如圖所示，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)回答下列問題:

①②

(1)在圖①，sin4=，cosA—，siMa+cos274=

在圖②中，z2

sinXt=,cosA1=，sinA1+cos^1=

通過以上兩個特殊例子，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用一個一般式子把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并加以證明;

sinA

(2)在圖①中，tan4=

COSTI

sin^i

在圖②中，tanAi=

COSili

通過以上兩個特殊例子，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用一個一般式子把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并加以證明.

23.(2023?河北保定?二模)嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果:

sin270+sin283°?0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°-0.372+0.932=1.0018,

sin29°+sin261°?0.482+0.872=0.9873,

sin370+sin253°~0.602+0.802=1.0000,

22

sin245°+sin245=(+(/)=1.

據(jù)此，嘉嘉猜想：對于任意銳角a,§,若a+0=90。，均有sir^a+siMS=1.

(1)當(dāng)a=30。，3=60。時，驗(yàn)證siMa+siM。=1是否成立?

(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結(jié)合如圖所示RtAABC給予證明，其中N4所對的邊為a,NB所對的邊

為b,斜邊為c；若不成立，請舉出一個反例;

⑶利用上面的證明方法，直接寫出tana與sina,cosa之間的關(guān)系.

七.解直角三角形的相關(guān)計(jì)算(共5小題)

24.(23-24九年級上?安徽合肥?期末)如圖是以△ABC的邊力B為直徑的半圓。，點(diǎn)C恰好在半圓上，過C

作CD1AB交AB于點(diǎn)0,已知cos乙4CD=],BC=4,求"的長.

25.（23-24九年級上?安徽合肥?期末）如圖，已知在A/IBC中，P是BC上一點(diǎn)，連接力P使得NC4P=

Z71BC.

⑴求證：AC2=PC-BC；

（2）若48=AC—5,sin/-ABC=求tanNAPC.

26.（2022?上海虹口?二模）如圖所示，在AABC中，ZB=45°,CD是4B邊上的中線，過點(diǎn)。作DE1

BC,垂足為E,若CD=5,sin^BCD=

⑴求BC的長；

⑵求乙4cB的正切值.

27.（24-25九年級上?河北滄州?期末）把一副三角板按如圖1的方式放置，其中乙4cB=NDEC=90。，

乙4=45。，/。=30。，斜邊4B=CD=10,將三角板DEC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，得到AMNC（如圖2）,點(diǎn)4

恰好落在MN上.

M

（圖1）（圖2）

⑴求NC4N的度數(shù)；

（2）計(jì)算點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)M的路徑長.

28.（23-24九年級上?湖南株洲?期末）如圖，在正方形4BCD中，M為BC上一點(diǎn)，連接力M,ME1AM,交

CD于點(diǎn)尸，交2。的延長線于點(diǎn)E.

（2）若48=8,tan￡=j,求△DEF的面積.

八.解非直角三角形的相關(guān)計(jì)算（共5小題）

29.（21-22九年級上?安徽安慶?期末）已知銳角AABC中，AB=AC=10,tanB=3,則8C的長

為.

30.（24-25九年級上?重慶?期中）如圖，點(diǎn)。是△ABC外一點(diǎn)，DB=DC,A8與CD相交于點(diǎn)E,乙BDC=

乙BAC,連接ZM,若4C=4,DA=V13,tan^DBA=貝.

31.（23-24九年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）在△ABC中，若AB=畫，tanB=*AC=3V5,則

BC=

32.（22-23九年級上?山東聊城,階段練習(xí)）在MBC中，4C=4加,

BC=6,NC為銳角且tanC=l.

⑴求NBC的面積；

（2）求力B的值；

（3）求cos〃BC的值.

33.（20-21九年級下?福建龍巖?期中）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對（sad）,如圖

①，在△ABC中，AB=AC,頂角A的正對記作sad4這時sacU=詈=票容易知道一個角的大小與這

個角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：

⑴sad90°=.

（2）對于0。＜AV180°,乙4的正對值sadA的取值范圍是.

⑶如圖②，已知sin4=￡,其中乙4為銳角，試求sadA的值.

九.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用（共6小題）

34.（24-25九年級上?四川成都?期中）如圖，在運(yùn)動會期間，我校在教學(xué)樓上懸掛一塊高為6米的標(biāo)語牌

CD.小明和小張?jiān)跀?shù)學(xué)活動課上測標(biāo)語牌的底部D到地面的距離（即D”的長度）.已知測角儀支架高力E=

BF=1.2m,小明在E處測得標(biāo)語牌底部點(diǎn)。的仰角為31。，小張?jiān)贔處測得標(biāo)語牌頂部點(diǎn)C的仰角為45。，

AB=10m,且圖中點(diǎn)48,。,。下,尸,“在同一平面內(nèi)，求的長.（參考數(shù)據(jù)：tan31°?0.60,sin31°?

0.52,cos31°?0.86）

35.（24-25九年級上?山東淄博,期中）如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度CD.如圖

所示，一架水平飛行的無人機(jī)在4處測得正前方河流的左岸C處的俯角為a,無人機(jī)沿水平線4F方向繼續(xù)飛

行50米至B處，測得正前方河流右岸D處的俯角為30。.線段力M的長為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)

M,C,。在同一條直線上.其中tana=2,MC=50百米.

AB

⑴求無人機(jī)的飛行高度2M；（結(jié)果保留根號）

（2）求河流的寬度CD.（結(jié)果保留根號）

36.（24-25九年級上?重慶九龍坡?階段練習(xí)）如下圖，2、B、C、。是某個景區(qū)的四個游客休息區(qū)（只有

AB,BC可騎行），4在B的正西方向，。在2的正北方向；C在。的北偏東60。方向，C在8的北偏西37。方

向，且在4的東北方向,CD=1600米.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.6,sin37°?0.6,cos37°?0.8,tan37°?

0.75,V2?1.4,V3?1.7）

（2）周末小義和小飛相約一起去公園游玩，他們到達(dá)4后發(fā)現(xiàn)有兩條路線可到C,小義選擇路線①2一。一

C,步行速度為每分鐘90米；小飛選擇路線②4—他租了一輛共享單車，騎行速度為每分鐘240

米，中途在8處停留5分鐘觀賞風(fēng)景，請你通過計(jì)算說明，小義和小飛誰先到達(dá)C.

37.（24-25九年級上,全國?期末）為了維護(hù)海洋權(quán)益，新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度.一

天，我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的4、B兩處巡邏，同時發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍的船只停在C處海

域.如圖所示，43=60（通+&）海里，在B處測得C在北偏東45。的方向上，4處測得C在北偏西30。的方

向上，在海岸線4B上有一燈塔。，測得力D=120（連-魚）海里.

⑴求出A與C距離4C（結(jié)果保留根號）.

（2）已知在燈塔。周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，我在4處海監(jiān)船沿4C前往C處盤查，途中有無觸礁的危險(xiǎn)

（參考數(shù)據(jù)：&=1.41,百=1,73,V6=2.45）.

38.（24-25九年級上,山東德州,階段練習(xí)）水務(wù)部門為加強(qiáng)防汛工作，決定對某水庫大壩進(jìn)行加固，大壩

的橫截面是梯形4BCD.如圖所示，已知迎水坡面的長為16米，AB=60°,背水坡面CD的長為16舊

米，加固后大壩的橫截面為梯形2BED,CE的長為8米.

⑴已知需加固的大壩長為120米，求需要填土石方多少立方米？

（2）求加固后大壩背水坡面DE的坡度.

39.（2024?安徽?模擬預(yù)測）某超市自動扶梯路線如圖所示，一樓扶梯CD段坡角為20。，中轉(zhuǎn)平臺DE||

BC,二樓扶梯4E段坡角為30。，已知CD=15m,DE=6m,AE=12m,求水平距離BC的長.（結(jié)果精確

到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.34,cos20°?0.94,tan20°?0.36,V3?1.73）

A

一十.三角函數(shù)綜合（共6小題）

40.（22-23九年級上,江蘇徐州,階段練習(xí)）如圖（1）,AABC中，AC=b,AB=c,CD14B于點(diǎn)D由

直角三角形邊角關(guān)系，可將三角形的面積公式變形為SMBC=：%-sinA①，即三角形的面積等于兩邊之長

與夾角正弦值之積的一半

DBADB

圖1圖2

如圖(2),在△ABC中，CD14B于點(diǎn)。，AACD=a,乙DCB=0,

回SMBC=SMDC+SABDC，由公式①，-BCsin(a+0)=|XC-CDsina+^BC-CDsin/?,即：AC-

BCsin(a+/?)=AC-CDsina+BC-CDsin。.

⑴請證明等式：sin(a+/?)=sincrcos/?+cosasin，；

(2)請利用結(jié)論求出sin75。的值.

41.(22-23九年級上?江蘇泰州?期末)如圖，在等腰△ABC中，已知力B=4C=5,BC=6,。為力B上一

點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE14B交BC邊于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF1BC交4c邊于點(diǎn)R

備用圖

⑴求cosB的值;

(2)當(dāng)BD長為何值時，以點(diǎn)F為圓心，線段凡4為半徑的圓與BC邊相切;

⑶過點(diǎn)產(chǎn)作FP14C,與線段DE交于點(diǎn)G,設(shè)BD長為3△EFG的面積為S,求S關(guān)于i的函數(shù)表達(dá)式及f

的取值范圍.

42.(21-22九年級上?江蘇泰州?期末)如圖1,△2BC中,乙48c的平分線和外角乙4CD的平分線交于點(diǎn)E,

我們把NE叫做△4BC中〃的好望角.

⑴如圖1,已知AABC,點(diǎn)。是BC延長線上的一點(diǎn)，NE是AABC中乙4的好望角，乙48c=60。，^ACB=

80°,求NE的度數(shù)；

(2)如圖2,四邊形A3CO內(nèi)接于O。，且AC是O。的直徑，點(diǎn)E是弧4D上的動點(diǎn)，弧40=弧2。，CD

和BE的延長線交于點(diǎn)F連接。E,AE,當(dāng)NF是△ABC中NB4C的好望角時.

①求“AC的度數(shù)；

②求證4E=EF；

③若4B=8,CD=5,求O。的直徑.

43.(20-21九年級上?江蘇揚(yáng)州?期末)如圖，已知等邊2MBe的邊長為8,點(diǎn)M、N分別在48、江邊上，

CN=3.

A

A

(1)把/4BC沿MN折疊,使得點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)4落在4B邊上(如圖1).求折痕MN的長度;

(2)如圖2,若點(diǎn)P在8c上運(yùn)動，且始終保持NMPN=60。

①請判斷/MBP和4PCN是否相似？并說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)P在何位置時線段長度最大，并求出線段長度的最大值.

44.(22-23九年級上,海南?？?期末)如圖1,正方形4BCD中，P是邊AD上任意一點(diǎn)，。是對角線4C上的

點(diǎn)，且滿足NPBQ=45。.

(1)①求證：4PDB”AQCB；

(2汝口圖2,矩形ABCD中，AB=12,AD=5,P、0分別是邊4。和對角線北上的點(diǎn)，乙PBQ=^ACB,

DP=3,求CQ的長；

(3)如圖3,菱形2BCD中，DH1B4交BA的延長線于點(diǎn)H.若DC=5,對角線AC=6,P、。分別是線

段和AC上的點(diǎn)，tan/PBQ=：,PH=?,求CQ的長.

45

45.(22-23九年級上?江西九江,期末)初識圖形

(1)如圖1,E、尸分別為正方形48CD的CD邊和BC邊上的點(diǎn)，連接4E、DF,且2E1OF.貝1|一n17=一.

D

圖I

(2)如圖2,矩形4BCD中，點(diǎn)E、尸分別在邊AB、CD上，連接BD、EF,S.BD1EF,AC=5,AB=

4,c=

類比探究

(3)如圖3,RtA/lBC中，D、尸分別為AC、BC邊上的點(diǎn)，AB=6,AC=8,CD=3,連接B。，AF1

BD交BD千點(diǎn)、E.求CF長.請說明理由.

拓展應(yīng)用

(4)如圖4,在矩形4BCD中，E、F分別為2D和BC邊上的一點(diǎn)，以EF為折痕，將四邊形4BFE翻折，交

DC于尸和Q,A和B的翻折后的位置分別是//和G.AB=18,DP=6,EP=10,PQ=會請直接寫

出折痕EF的長.

一十一.12345模型(共4小題)

46.（22-23九年級上,河南南陽,期末）如圖，在RtA4BC中，zc=90°,BC=逐，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，連

接BD.若tan乙4=tanzXBD=則BD的長為（）

A.2V5B.V10C.3D.V8

47.（22-23九年級上?福建泉州?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-比+爪分別交x軸，y軸于

A,8兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2,0）,點(diǎn)P為線段08的中點(diǎn)，連結(jié)P4PC,若“P2=乙48。，則小的值為.

48.（2022,浙江寧波,一模）如圖，在矩形紙片2BCD中，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊AB、4D上，將矩形紙片

沿CE、CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)。落在G處，點(diǎn)C、H、G恰好在同一直線上，若48=9,AD=6,BE=

3,則DF的長是（）

9A/2

AB.4