2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：最值問題之瓜豆原理模型（含答案）

最值問題之瓜豆原理模型2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)

習(xí)

最值問題之瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若兩動點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點(diǎn)的運(yùn)動路徑相同。主動點(diǎn)叫瓜，從動點(diǎn)叫豆，瓜在

直線上運(yùn)動，豆也在直線上運(yùn)動；瓜在圓周上運(yùn)動，豆的軌跡也是圓。

模型總結(jié)：

條件:主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量；

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量.

如圖，點(diǎn)。為定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為動點(diǎn)，CP=CQ,且ZPCQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動，Q的運(yùn)動軌跡是？

結(jié)論：

①主動點(diǎn)路徑做在直線與從動點(diǎn)路徑所在直線的夾角等于定角；

②當(dāng)主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離相等時(shí)，從動點(diǎn)的運(yùn)動路徑長等于主動點(diǎn)的運(yùn)動路徑長；

③主動點(diǎn)、從動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是同樣的圖形；

如圖，P是圓。上一個(gè)動點(diǎn)，4為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn).

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

分析：觀察動圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？

考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接40,取4。中點(diǎn)M■，則M■點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑兒@是0P一半，任

意時(shí)刻，均有4AMQ-AAOP,QM：PO=AQ-.AP=l-.2.

Q

結(jié)論:確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由4Q、P始終共線可得：A、河、。三點(diǎn)共線，

由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=\I2AO.Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放.根據(jù)動點(diǎn)之間的相對位置關(guān)

系分析圓心的相對位置關(guān)系;根據(jù)動點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.

結(jié)論:主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量

【模型證明】

如圖，P是圓。上一個(gè)動點(diǎn)，4為定點(diǎn)，連接AP,作AQ,4P且AQ=AP.

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

分析：Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得“，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓.接下

來確定圓心與半徑.考慮“，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心”滿足考慮AP=AQ,可得Q點(diǎn)軌跡

圓圓心M滿足AM=AO,且可得半徑MQ=PO.即可確定圓河位置，任意時(shí)刻均有△APO^^AQM.

如圖，aARQ是直角三角形，/P4Q=90°且4P=2AQ,當(dāng)P在圓。運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

分析考忠4P，4Q,可得Q點(diǎn)軌證圄II心M滿足AMI.AO;考慮APzAQ=2:1,可得Q點(diǎn)■!■心”滿

足4O:4kf=2:L即可確定園Af位量,任奇時(shí)刻均有△APOsMQM,且相叔比為2.

模型總結(jié)

為了便于區(qū)分動點(diǎn)P、Q,可稱點(diǎn)P為“主動點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動點(diǎn)”.此類問題的必要條件:兩個(gè)定量

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定式（NR4Q是定值）；

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的踞高之比走定量（4PXQ是定值）.

結(jié)論：

（1）主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的關(guān)角等于兩國心與定點(diǎn)連線的失角：NB4Q=NCMM;

（2）主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩國心到定點(diǎn)的距離之比：AP/Q=AChAi%也等于兩國半徑之

比.

按以上兩點(diǎn)即可確定從動點(diǎn)軌跡BLQ與P的關(guān)系相當(dāng)于族林+伸編.

古人云:種瓜得瓜，種豆得豆."種"圓得畫,"種”線得線，請之"M?原理

【題型演練】

一、單領(lǐng)

1.如圖，在矩形紙片4BCD中，Ab=2,40=3,點(diǎn)七是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動點(diǎn)，將

△4EF沿EF所在直線翻折，得到△4ER,則4。的長的最小值是（）

A.B.3C.V13-1D.V10-1

2.如圖，在Rt/\ABC中，/ABC=90°,AACB=30°,BC=2V3,△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，點(diǎn)

E、F分別是邊。C、BC上的任意一點(diǎn)，且。E=。斤，8石、。干相交于點(diǎn)P,則CP的最小值為（）

???

D

A.1B.V3C.yD.2

3.如圖，等腰①△ABC中，斜邊AB的長為2,。為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動點(diǎn)，OQLOP交BC

于點(diǎn)Q,M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)。時(shí),點(diǎn)V所經(jīng)過的路線長為（

4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=-yT+2上的一個(gè)動點(diǎn),將Q繞點(diǎn)P（1,0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

得到點(diǎn)Q',連接OQ',則OQ'的最小值為（）

B.V5C.D,

535

二、填空題

5.如圖，正方形ABC?的邊長為4,E為上一點(diǎn)，且BE=1,F為AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接即，以

石尸為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為

6.如圖，等邊三角形ABC中，AB=4,高線AH=2四，。是線段AH上一動點(diǎn)，以BD為邊向下作等邊

三角形也龍,當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)H的過程中，點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑為線段CM,則線段CM的長為

，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)H,此時(shí)線段BE的長為.

￡

7.如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6,P為線段上的動點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段

垂直相交于點(diǎn)P,且滿足PC=上4.若點(diǎn)P沿方向從點(diǎn)人運(yùn)動到點(diǎn)B,則點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長

為.

8.如圖，在電△ABC中，ZACB=90°,ABAC=3Q°,BC=2,線段BC繞點(diǎn)口旋轉(zhuǎn)到RD,連ADE為

AD的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值是.

9.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,相交于點(diǎn)0,48=4,ADAC=60°,點(diǎn)尸沿線段40從點(diǎn)A

至點(diǎn)O運(yùn)動，連接DF,以DF為邊作等邊三角形DFE,點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于。斤兩側(cè)，連接OE.現(xiàn)

給出以下結(jié)論：

①ZBDE=/EFC；②ED=EC；③直線OE_LCD；④點(diǎn)、E運(yùn)動的路程是樂.

其中正確的結(jié)論是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

10.如圖，已知4。=240=8,平面內(nèi)點(diǎn)。到點(diǎn)0的距離為2,連接/。,若/4?汨=60°且80=子”,

連接4B,BC,則線段8C的最小值為.

三、解答題

11.在平面直角坐標(biāo)系中，A（a,0）、B（b,0）,且a,b滿足a2—6a+9+|fe+3|=0,C、。兩點(diǎn)分別是沙軸正

半軸、工軸負(fù)半軸上的兩個(gè)動點(diǎn)；

⑴如圖1,若。（0,4）,求△ABC的面積；

（2）如圖1,若。（0,4）,BC=5,皿=4瓦且/CBA=/CDE,求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2,若NCBA=60°,以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊△CDE,連接OE,當(dāng)OE最短時(shí)，求4

E兩點(diǎn)之間的距離.

12.如圖所示，在電ZVIBC中，48=反7=2,點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，以BD為一邊向右下方作等邊△BDE,

當(dāng)。由點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長.

13.如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,點(diǎn)。是直線AB上一點(diǎn).將線段CD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到

線段Z2E,連結(jié)8E.

（1）若點(diǎn)。在邊上（不與A,B重合）請依題意補(bǔ)全圖并證明AO=BE；

（2）連接當(dāng)AE的長最小時(shí)，求CD的長.

14.如圖①，在A4BC中，4B=AC=3,/R4C=100°,。是的中點(diǎn).

圖②圖③

小明對圖①進(jìn)行了如下探究:在線段人。上任取一點(diǎn)P,連接PR,將線段繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)80°,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,連接BE,得到ABPE.小明發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，

點(diǎn)E的位置也在變化,點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上,還可能在直線AD的右側(cè).

請你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：

（1）當(dāng)點(diǎn)E在直線AO上時(shí),如圖②所示.

①NBEP=；②連接CE,直線CE與直線AB的位置關(guān)系是.

（2）請?jiān)趫D③中畫出ABPE,使點(diǎn)E在直線AD的右側(cè),連接CE,試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)

系，并說明理由.

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段4D上運(yùn)動時(shí)，求AE的最小值.

15.如圖，過拋物線夕=十d一上一點(diǎn)A作工軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)8,交“軸于?點(diǎn)CM,已知點(diǎn)

A的橫坐標(biāo)為一2.

(1)求拋物線的對稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)在上任取一點(diǎn)P,連結(jié)OP,作點(diǎn)。關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)。；

①連結(jié)BD,求BD的最小值；

②當(dāng)點(diǎn)。落在拋物線的對稱軸上,且在?軸上方時(shí),求直線PD的函數(shù)表達(dá)式.

16.如圖所示,在等腰Rt/\ABC中，AC=22，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中

點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)8時(shí)，求點(diǎn)河運(yùn)動的路徑長.

17.如圖所示，點(diǎn)P(3,4),?P的半徑為2,4(2.8,0),3(5.6,0)，點(diǎn)河是◎P上的動點(diǎn)，點(diǎn)。是MB的中

點(diǎn)，求AC的最小值.

18.如圖所示，A4BO為等腰直角三角形，4(—4,0),直角頂點(diǎn)8在第二象限，點(diǎn)C在,軸上移動，以8C

為斜邊向上作等腰直角△BCD,我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)O點(diǎn)隨著。點(diǎn)的移動也在一條直線上移動,求這條

直線的函數(shù)解析式.

19.如圖1,在△ABC中，乙4cB=90°,AC=2,2通，以點(diǎn)B為圓心，四為半徑作圓.點(diǎn)尸為。B

上的動點(diǎn)，連接PC,作P'C±PC,使點(diǎn)P'落在直線BC的上方,且滿足P'C-.PC=1：V3,連接BP,

AP'.

(1)求/R4C的度數(shù)，并證明ZVIPC?△BPC；

(2)如圖2,若點(diǎn)P在4b上時(shí)，連接求8P的長；

(3)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，8P是否有最大值或最小值？若有，請求出當(dāng)口戶取得最大值或最小值時(shí)，

NPBC的度數(shù);若沒有，請說明理由.

20.如圖所示，在扇形中，OA=3,NAOB=120°,點(diǎn)。是短上的動點(diǎn)，以為邊作正方形

BCDE,當(dāng)點(diǎn)、C從點(diǎn)、A移動至點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長.

21.如圖所示,在矩形ABCD中，40=4,4D=2,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動點(diǎn)，P為DF的中點(diǎn),

連接尸B,求P8的最小值.

22.如圖,在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,連接BD,將AABD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)后的三角形

為,旋轉(zhuǎn)角為a(O°<a<360,且a￥180°).

B'

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)H落在線段上時(shí),求A'B的長；

(2)連接AA、A'B,當(dāng)ZBAB'=90°時(shí),求tanZA'AD；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若△DAA的重心為G,則CG的最小值=.

23.在菱形ABCD中,ABAD=120°,E是對角線上的一點(diǎn)，連接AE.

⑴當(dāng)E在AB的中垂線上時(shí),把射線EA繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后交CD于F,連接BF.如圖①，若

48=4,求EF的長.

(2)在⑴的條件下,連接8斤，把ABEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ABHR如圖②,連接CH,點(diǎn)、N為CH

的中點(diǎn)，連接/N,求AN的最大值.

24.如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形0ABe是矩形點(diǎn)4。分別在宓軸和沙軸的正半軸上,

連結(jié)AC,OA=3,tan/OAC=￥，。是的中點(diǎn).

O

(1)求OC的長和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵如圖2,河是線段OC上的點(diǎn)，O朋';等。。,點(diǎn)P是線段(W上的一個(gè)動點(diǎn)，經(jīng)過P,。,口三點(diǎn)的拋

物線交c軸的正半軸于點(diǎn)瓦連結(jié)DE交AB于點(diǎn)、F

①將^DBF沿DE所在的直線翻折，若點(diǎn)B恰好落在AC上,求此時(shí)BF的長和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②以線段。F為邊,在。斤所在直線的右上方作等邊^(qū)DFG,當(dāng)動點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)河時(shí)，點(diǎn)G也

隨之運(yùn)動,請直接寫出點(diǎn)G運(yùn)動路徑的長.

y

最值問題之瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若兩動點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點(diǎn)的運(yùn)動路徑相同。主動點(diǎn)叫瓜，從動點(diǎn)叫豆，瓜在

直線上運(yùn)動，豆也在直線上運(yùn)動；瓜在圓周上運(yùn)動，豆的軌跡也是圓。

模型總結(jié)：

條件:主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量；

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量.

如圖，點(diǎn)。為定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為動點(diǎn)，CP=CQ,且NPCQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動，Q的運(yùn)動軌跡是？

結(jié)論：

①主動點(diǎn)路徑做在直線與從動點(diǎn)路徑所在直線的夾角等于定角；

②當(dāng)主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離相等時(shí)，從動點(diǎn)的運(yùn)動路徑長等于主動點(diǎn)的運(yùn)動路徑長；

③主動點(diǎn)、從動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是同樣的圖形；

如圖，P是圓。上一個(gè)動點(diǎn)，4為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn).

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

分析：觀察動圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？

考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接40,取4。中點(diǎn)M■，則M■點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑兒@是0P一半，任

意時(shí)刻，均有4AMQ-AAOP,QM：PO=AQ-.AP=l-.2.

Q

結(jié)論:確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由4Q、P始終共線可得：A、河、。三點(diǎn)共線，

由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=\I2AO.Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放.根據(jù)動點(diǎn)之間的相對位置關(guān)

系分析圓心的相對位置關(guān)系;根據(jù)動點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.

結(jié)論:主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量

【模型證明】

如圖，P是圓。上一個(gè)動點(diǎn)，4為定點(diǎn)，連接AP,作AQ,4P且AQ=AP.

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

分析：Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得“，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓.接下

來確定圓心與半徑.考慮“，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心”滿足考慮AP=AQ,可得Q點(diǎn)軌跡

圓圓心M滿足AM=AO,且可得半徑MQ=PO.即可確定圓河位置，任意時(shí)刻均有△APO^^AQM.

如圖，aARQ是直角三角形，/P4Q=90°且4P=2AQ,當(dāng)P在圓。運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

分析考忠4P，4Q,可得Q點(diǎn)軌證圄II心M滿足AMI.AO;考慮APzAQ=2:1,可得Q點(diǎn)■!■心”滿

足4O:4kf=2:L即可確定園Af位量,任奇時(shí)刻均有△APOsMQM,且相叔比為2.

模型總結(jié)

為了便于區(qū)分動點(diǎn)P、Q,可稱點(diǎn)P為“主動點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動點(diǎn)”.此類問題的必要條件:兩個(gè)定量

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定式（NR4Q是定值）；

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的踞高之比走定量（4PXQ是定值）.

結(jié)論：

（1）主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的關(guān)角等于兩國心與定點(diǎn)連線的失角：NB4Q=NCMM;

（2）主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩國心到定點(diǎn)的距離之比：AP/Q=AChAi%也等于兩國半徑之

比.

按以上兩點(diǎn)即可確定從動點(diǎn)軌跡BLQ與P的關(guān)系相當(dāng)于族林+伸編.

古人云:種瓜得瓜，種豆得豆."種"圓得畫,"種”線得線，請之"M?原理

【題型演練】

一、單領(lǐng)

1.如圖，在矩形紙片4BCD中，Ab=2,40=3,點(diǎn)七是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動點(diǎn)，將

△4EF沿EF所在直線翻折，得到△4ER,則4。的長的最小值是（）

A.B.3C.V13-1D.V10-1

【答案】。

【詳解】以點(diǎn)E為圓心，AB長度為半徑作圓，連接CE,當(dāng)點(diǎn)4在線段CE上時(shí)，4。的長取最小值，如圖所

示，?M

D

根據(jù)折疊可知：4E=AE=/AB=1.

在RtABCE中，BE=^AB=1,BC=3,ZB=90°,

CE=y/BE2+BC2=V10,

4。的最小值=?！辍?E=〃m-L

故選D

2.如圖，在Rt/\ABC中,ZABC=90°,AACB=30°,BC=2四,/\ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，點(diǎn)

E、F分別是邊。C、BC上的任意一點(diǎn)，且。斤相交于點(diǎn)P,則CP的最小值為（）

【答案】。

【詳解】解:連接AD,因?yàn)?ACB=30°,所以ABCD=60°,

因?yàn)镃B=CD,所以△CBD是等邊三角形，

所以BD=DC

因?yàn)镈E=CF,4EDB=NFCD=60°,

所以LEDB空AFGD,所以4EBD=4FDC,

因?yàn)镹FDC+ABDF=60°,

所以AEBD+NBDF=60°，所以ZBPD=120°,

所以點(diǎn)P在以4為圓心，AD為半徑的弧BD上，

直角△ABC中，NACB=30°,BC=273，所以AB=2,AC=4,

所以4P=2

當(dāng)點(diǎn)力，P,。在一條直線上時(shí)，CP有最小值，

CP的最小值是AC—AP=4—2=2

故選D

3.如圖，等腰電中，斜邊AB的長為2,。為的中點(diǎn)，。為AC邊上的動點(diǎn)，OQLOP交

于點(diǎn)Q,河為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)河所經(jīng)過的路線長為（）

A.0兀B.冬兀C.1D.2

42

【答案】。

【詳解】連接OC,作PE_L于AB于QF_LAB于F,如圖，

△ACS為等腰直角三角形，

:.AC=BC=^AB=?,/A=/B=45。，

：O為AB的中點(diǎn)，

OC±AB,OC平分/ACS,OC=OA=OB=1,

/.ZOCB=45°,

ZPOQ=90°,ACOA=90°,

NAOP=NCOQ,

在Rt^AOP和/\COQ中

(ZA=/OCQ

[AO=CO,

[AAOP^ACOQ

:.Rt4AOP法4COQ,

：.AP=CQ,

易得AAPE和/\BFQ都為等腰直角三角形，

:.PE=%AP=%CQ,。尸=夸BQ,

PE+QF=^(CQ+BQ)=^BC=^-xV2=l,

點(diǎn)為PQ的中點(diǎn)，

A為梯形PEFQ的中位線，

：.MH=^{PE+QF)=^,

即點(diǎn)初到AB的距離為。，而CO=1,

.?.點(diǎn)M■的運(yùn)動路線為△ABC的中位線，

當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)4運(yùn)動到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)河所經(jīng)過的路線長=/AB=1,

故選C.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y+2上的一個(gè)動點(diǎn),將Q繞點(diǎn)P(l,0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

得到點(diǎn)Q',連接OQ',則OQ'的最小值為()

【答案】B

【詳解】解：作QW_Lc軸于點(diǎn)河，QW_Lc軸于N,

設(shè)Q(m,—■1-m+2),則PM=m—1,QM=—■+2,

?/ZPMQ=/LPNQ'=ZQPQ'=90°,

AQPM+4NPQ，=APQ'N+/.NPQ',

：.ZQPM=APQ'N,

在APQM和AQ'PN中，

\AQPM=APQ'N,

[PQ=Q'P

APQM^4Q'PN(AAS),?M

:.PN=QM=--^-m+2,Q'N=PM=m—1,

/.ON=1+PN=3-|-m,

Qf(3—1—m),

OQ'2=(3-pm)+(1—m)2=5m+10=-1-(m-2)2+5,

當(dāng)館=2時(shí)，OQ'2有最小值為5,

.?.O(7的最小值為，

故選：B.

二、填空題

5.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為上一點(diǎn)，且皿=1,9為A6邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接即，以

EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG，連接CG,則CG的最小值為.

【答案居

【詳解】由題意可知，點(diǎn)F是主動點(diǎn)，點(diǎn)G是從動點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動

將AEFB繞點(diǎn)、E旋轉(zhuǎn)60°,使EF與EG重合,得到^EFB=AEHG,

從而可知AEBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于KE的直線HN上,

作CM_LHN,則CM即為CG的最小值，

作EP_LCM,可知四邊形HEPM為矩形，

則CM^MP+CP^HE+^EC=l+^-=-^-.

故答案為年.

6.如圖，等邊三角形ABC中，AB=4,高線2g,。是線段A8上一動點(diǎn)，以BD為邊向下作等邊

三角形瓦加,當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)H的過程中，點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑為線段CM,則線段W的長為

,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)此時(shí)線段BE的長為.

【答案】2瓜2

【詳解】解:如圖，連接EC

1/l\ABC,都是等邊三角形，

/.BA=BC,BD=BE,NABC=ADBE=60°,

：.AABD=ACBE,

在△ABD和△CBE中，

(BA=BC

〈NABDjCBE,

、BD=BE

：.△ABD2△CBE(SAS),

:.AD=EC,

?.?點(diǎn)。從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)H,

.?.點(diǎn)E的運(yùn)動路徑的長為CM=AH=2用,

當(dāng)重合，而(即△跳㈤)為等邊三角形,

：.BE=BH,

■：AB=4,AH=2V3,AH±BC,

BH=742-(2V3)2=2,

/.BE=2,

故答案為：2遍,2.

7.如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6,P為線段上的動點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段

垂直相交于點(diǎn)P,且滿足PC=P4.若點(diǎn)P沿48方向從點(diǎn)人運(yùn)動到點(diǎn)則點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長

為.

?M

【答案】6?.

【詳解】解:如圖，由題意可知點(diǎn)。運(yùn)動的路徑為線段，點(diǎn)E運(yùn)動的路徑為E0,由平移的性質(zhì)可知

=EE，，在Rt^ABC中，易知AB==6,4ABe=90°，,EE'=AC=V62+62=6V2,故答案為

6V2.

8.如圖，在Rt/\ABC中，AACB=90°,ABAC=30°,=2,線段8。繞點(diǎn)口旋轉(zhuǎn)到BD,連AD,E為

AD的中點(diǎn),連接CE,則CE的最大值是______.

【答案】3

【詳解】解：???BC=2,線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到,

:.BD—2,

由題意可知，。在以B為圓心，BD長為半徑的圓上運(yùn)動,

E為AD的中點(diǎn),

.?.E在以B4中點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動,

CE的最大值即C到BA中點(diǎn)的距離加上—D長.

?../ACB=90°,ABAC=30°,=2,

到R4中點(diǎn)的距離即^48=2,

又己BD=1,

CE的最大值即yAB+-j-BL>=2+1=3.

故答案為3.

9.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,口。相交于點(diǎn)O,AB=4,ADAC=60°,點(diǎn)F沿線段40從點(diǎn)入

至點(diǎn)。運(yùn)動，連接。尸，以。尸為邊作等邊三角形OFE,點(diǎn)E和點(diǎn)人分別位于。尸兩側(cè)，連接OE.現(xiàn)

給出以下結(jié)論：

①ABDE=/EFC；②即=EC；③直線OELCD；④點(diǎn)E運(yùn)動的路程是2展.

其中正確的結(jié)論是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①②③

【詳解】解:①ZZMC=60°,OD=OA,

：.△04。為等邊三角形，

ADOA=ADAO=NODA=60°,AD=OD,

???△DFE為等邊三角形，

NEDF=AEFD=ZDEF=60°,DF=DE,

?：ABDE+AFDO=AADF+AFDO=60°,

NBDE=AADF,

■：AADF+ZAFD+ADAF^180°,

AADF+AAFD=180°—NDAF=120°,

AEFC+NAFD+NDFE=180°,

AEFC+AAFD=180°-ADFE=120°,

NADF=AEFC,

：.NBDE=AEFC,

故結(jié)論①正確；

②如圖，連接OE,

在ADAF和ADOE中，

(AD=OD

{NADF=NODE,

[DF=DF

：.△DA*△DOE(SAS),

：./。0石=/。”=60°,

4cOD=180°-AAOD=120°,

4cOE=ACOD-ZDOE=120°-60°=60°,

AZCOE=NDOE,

在△ODE和中，

(OD=OC

l/LDOE=ACOE,

[OE^OE

/XODEZ4OCE（SAS）,

ED=EC,ZOCE=NODE,

故結(jié)論②正確；

③；/ODE=NADF,

：.NADF=/OCE,即NADF=NECF,

故結(jié)論③正確；

④如圖，延長OE至廳,使。&=8,連接DE，,

?/ADAF空4DOE,NDOE=60°,

.?.點(diǎn)F在線段4O上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)。沿線段OE，運(yùn)動到E',

OE'=OD=AD=AB-tanAABD=4-tan30°=,

o

.?.點(diǎn)E運(yùn)動的路程是冬￡,

o

故結(jié)論④錯(cuò)誤.

故答案為①②③.

10.如圖，已知人。=240=8,平面內(nèi)點(diǎn)。到點(diǎn)0的距離為2,連接入「,若/4?33=60°且8「=2入。,

連接AB,BC,則線段的最小值為.

【詳解】解:如圖所示，延長PB到。使得PB=,

?：BP=^-AP,

:.AP=PD=2PB,

又ZAPS=60°,

△APD是等邊三角形，

?.?B為PD的中點(diǎn)，

/.AB±DP,即ZABP=90°,

/B4P=30°,

以AO為斜邊在AC下方作Rt/\AMO,使得AMAO=30°,連接CM,過點(diǎn)M作_LAC于H,

：.COsAOAM=^-=^~,

JT.Cz/

同理可得筆=岑，

??,ZOAM=30°=4PAB,

??.ABAM=APAO,

胃,,AM_AB_V3

?~AO~~AP~~2~,

：./\AMB-/\AOP,

D???

.BM_ABV3

"~OP~^P'

?.?點(diǎn)P到點(diǎn)。的距離為2,即。P=2,

.?.點(diǎn)B在以M為圓心，以，^為半徑的圓上，

連接aw交圓w（半徑為J3）于m,

當(dāng)M、B、。三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)B在點(diǎn)?的位置時(shí)，BC有最小值,

?/AC=2AO=8,

：.AO=4,

AM—AO,cosZ.OAM=2V3,

AH=AM-cosAMAH=3,HM=AM-sinZMAH=V3,

：.CH=5,

：.CM=JHM2+CIP=2V7,

B'C=CM-MB'=2V7—V3,

B。的最小值為2々一g,

故答案為：2，7—四.

三、解答題

11.在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0)、B(b,0),且a,b滿足a?—6a+9十—+3|=0,C、。兩點(diǎn)分別是4軸正

半軸、力軸負(fù)半軸上的兩個(gè)動點(diǎn)；

圖1圖2

(1)如圖1,若。(0,4),求△ABC的面積；

⑵如圖1,若。(0,4),BC=5,B0=AE,且NCBA=NCD￡；,求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶如圖2,若NCSA=60°,以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊△CDE,連接OE,當(dāng)OE最短時(shí)，求4

E兩點(diǎn)之間的距離.

【答案】⑴△ABC的面積為12;⑵。點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0);(3)4E兩點(diǎn)之間的距離為年

【詳解】解：⑴???a2-6a+9+|b+3|=0,

(a—3)2+|b+3|=0,

由非負(fù)性可知，仁：=:，解得：9=3

16+3=016=—3

???A(3,0),B(-3,0),AB=3—(-3)=6,

AOC=4,

.??5?=十人歷。0=*6X4=12;

(2)由(1)知A(3,0),B(—3,0),

:.OA=OB,

???OCVAB,

：./AOC=/BOC=90°,

在△AOC和△BO。中，

(OA=OB

bAOC=ABOC

[oc=oc

：.A4O。衛(wèi)△BOC(SAS),

???/CBO=/CAO,

???/CDA=/CDE+AADE=ABCD+ACBA,/CBA=/CDE,

：./ADE=/BCD,

在△BCD和△4DE中，

(ZBCD=ZADE

bcBD=ZDAE

[BD=AE

：.ABCDn△4DE(44S),

:?CB=AD,

???B(—3,0),0(0,4),

OB=3,OC=4,

：.BC=y/OB2+OC2=5,

：.AD—BC—5,

vA(3,0),

???D(—2,0);

(3)由⑵可知CB=CA,

vZCBA=60°,

???△48。為等邊三角形，/6。4=60°,ZDBC=120°,

???△CDE為等邊三角形，

：.CD=CE,znce=60°,

???ZDCE=ADCB+/BCE,ABCA=/BCE+AECA,

??.ADCB=AECA,

在△OB和△ECA中，

(CD=CE

1/DCB=/ECA

(CB=CA

：.ADCBn/\ECA(SAS),

???/DEC=/EAC=120°,

???ZEAC+AACB=120°+60°=180°,

：.AE//BC,

即:隨著。點(diǎn)的運(yùn)動，點(diǎn)E在過點(diǎn)A且平行于BC的直線PQ上運(yùn)動,

-.?要使得OE最短，

如圖所示，當(dāng)OE_LPQ時(shí)，滿足。E最短,此時(shí)NOEA=90°,

ZDBC=NEAC=120°,ZCAB=60°,

ZOAE=ZEAC-ZCAB=60°,NAOE=30°,

OA—3,

：.AE=^-OA=j-,

：.當(dāng)OE最短時(shí)，4,E兩點(diǎn)之間的距離為9.

12.如圖所示,在RtAABC中，AB=BC=2,點(diǎn)。是人。上一點(diǎn)，以BD為一邊向右下方作等邊4BDE,

當(dāng)。由點(diǎn)/運(yùn)動到點(diǎn)。時(shí)，求點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長.

【答案】點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長為20

【詳解?點(diǎn)B為定點(diǎn),

BE可以看作是BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而來，

.?.點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長等于點(diǎn)。運(yùn)動的路徑長，即為的長，

；AB=BC=2,90°,

AC=20

.?.點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長為2

13.如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,點(diǎn)。是直線A8上一點(diǎn).將線段CD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到

線段0E,連結(jié)BE.

（1）若點(diǎn)。在AB邊上（不與A,B重合）請依題意補(bǔ)全圖并證明AD=BE；

（2）連接AE,當(dāng)AE的長最小時(shí)，求CD的長.

【答案】（1）見解析；（2）277

【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，AD=BE,理由如下:

?/ZvlBC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC,ZA=ZB=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：NACB=NDCE=6Q°,CD=CE,

：.NACD=4BCE,

：.AACD法△BCE（SAS）,

/.AD=BE.

（2）如圖2,過點(diǎn)A作4F_LEB交EB延長線于點(diǎn)F.

?：AACD^ABCE,

：.ACBE=AA=60°,

.?.點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是直線BE,

根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與F重合時(shí)，AE的值最小，

此時(shí)CD=CE=CF,

/ACB=/CBE=60°,

AC//EF,

■：AF±BE,

：.AF±AC,

在Rt^ACF中,

CF=^AC2+AF2=V42+（2V3）2=277,

:.CD=CF=25.

14.如圖①，在A4BC中，4B=AC=3,/R4C=100°,。是BC的中點(diǎn).

小明對圖①進(jìn)行了如下探究:在線段/。上任取一點(diǎn)P,連接PB,將線段P8繞點(diǎn)P按逆?時(shí)針M方向旋

轉(zhuǎn)80°,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,連接BE,得到ABPE.小明發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，

點(diǎn)E的位置也在變化,點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上,還可能在直線AD的右側(cè).

請你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：

(1)當(dāng)點(diǎn)E在直線AO上時(shí),如圖②所示.

①NBEP=；②連接CE,直線CE與直線AB的位置關(guān)系是.

(2)請?jiān)趫D③中畫出ABPE,使點(diǎn)E在直線AD的右側(cè),連接CE,試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)

系，并說明理由.

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段4D上運(yùn)動時(shí)，求AE的最小值.

【答案】（1）①50°;②EC7/AB;（2）AB//EC-,（3）AE的最小值3.

【詳解】⑴①如圖②中，

?/NJ3PE=80°,PB=PE,

NPEB=NPBE=50°,

②結(jié)論：ABIIEC.

理由：???AB=4。，BD=DC,

：.AD±BC,

：.NBDE=90",

：./EBD=90°-50°=40°,

?.?AE垂直平分線段BC,

：.EB=EC,

：.ZECB=4EBC=4G,

?：AB^AC,ABAC=100°,

A/ABC=乙4cB=40°,

AZABC=NECB,

：.ABIIEC.

故答案為50,ABIIEC.

（2）如圖③中，以P為圓心，PB為半徑作。P.

AD垂直平分線段BC,

:.PB=PC,

：.NBCE=yNBPE=40°,?M

/ABC=40°,

AABIIEC.

（3）如圖④中，作4H_LCE于H,

?.?點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)AE的最小值=AB=3.

15.如圖，過拋物線夕=十4―2］上一點(diǎn)A作立軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)_B,交y軸于點(diǎn)C,已知點(diǎn)

A的橫坐標(biāo)為一2.

（1）求拋物線的對稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在上任取一點(diǎn)P,連結(jié)。尸，作點(diǎn)。關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)。；

①連結(jié)BD,求BD的最小值；

②當(dāng)點(diǎn)O落在拋物線的對稱軸上，且在比軸上方時(shí),求直線PD的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】⑴立=4;73（10,5）.（2）?5V5—5.②y=—■—x+.

OO

【詳解】試題分析：（1）確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用對稱軸公式求出對稱軸，再根據(jù)對稱性可得點(diǎn)B坐標(biāo)；

（2）①由題意點(diǎn)。在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上,推出當(dāng)。、。、B共線時(shí)，的最小值=OB—OD;

②當(dāng)點(diǎn)。在對稱軸上時(shí),在Rt^OD=OC=5,OE=4,可得DE=y/OD2-OE2=V52-42=3,求出P、。

的坐標(biāo)即可解決問題.

試題解析：（1）由題意2,5）,對稱軸/=----=4,

?「A、關(guān)于對稱軸對稱,

???5（10,5）.???

⑵①如圖1中，

由題意點(diǎn)。在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，

當(dāng)。、。、5共線時(shí)，5。的最小值=OB—。口=后下乖一5=50一5.

當(dāng)點(diǎn)D在對稱軸上時(shí)，在AtZXODE中，OD=OC=5,OE=4,

：.DE=Von2-OS2=-52-42=3,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,3).

設(shè)PC=PD=a;,在_R"\PDK中，d=(4-re)?+22,

.'.x=^,

???嗚，5)，

直線PD的解析式為y=~^x+孕.

oo

考點(diǎn):拋物線與a;軸的交點(diǎn);待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

16.如圖所示，在等腰放ZVIBC中，47=BC=22，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中

點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)8時(shí)，求點(diǎn)河運(yùn)動的路徑長.

p

【答案】點(diǎn)河運(yùn)動的路徑長為兀.

【詳解】解:如圖所示，取AB的中點(diǎn)O,AC的中點(diǎn)E,BC的中點(diǎn)F,連接OC、OP、OM、OE、OF、EF,

?.?在等腰Rt/\ABC中，AC=BC=2V2,

AB=V2BC=4.

：.OC=OP=/AB=2.

為PC的中點(diǎn),

:.OM±PC.

.?.ZCMO=90°.

.?.點(diǎn)M■在以O(shè)C為直徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)、E重合：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)M■與點(diǎn)F重合，易得四邊形CEOF為正

方形，EF=OC=2,

.?.點(diǎn)Af運(yùn)動的路徑為以EF為直徑的半圓.

.?.點(diǎn)河運(yùn)動的路徑長為y-27fl=7t.

17.如圖所示，點(diǎn)P(3,4),?P的半徑為2,4(2.8,0),6(5.6,0),點(diǎn)河是。P上的動點(diǎn)，點(diǎn)。是MB的中

點(diǎn)，求人。的最小值.

【答案】AC的最小值為日.

【詳解】解:如圖所示,連接OP交?P于點(diǎn)、M，,連接OM,BM',

?.?F(3,4),

由勾股定理得：OP=V32+42=5,

■：OA=AB,CM=CB,

：.AC^^-OM.

：.當(dāng)O“最小時(shí)，AC最小

當(dāng)M■運(yùn)動到M'時(shí)，0Al最小.

此時(shí)AC的最小值為^OM'=y(OP-PM')=-1-X(5—2)=卷.

18.如圖所示，△ABO為等腰直角三角形，A(—4,0),直角頂點(diǎn)8在第二象限，點(diǎn)。在y軸上移動，以8C

為斜邊向上作等腰直角△BCD,我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)。點(diǎn)隨著。點(diǎn)的移動也在一條直線上移動,求這條

直線的函數(shù)解析式.

【答案】直線的函數(shù)解析式為y=—c+2.

【詳解】如圖所示.當(dāng)BC與劣軸平行時(shí)，過點(diǎn)B作BE，，軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。F，2軸于點(diǎn)F,交BC于

點(diǎn)G,

?/△ABO是等腰直角三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一4,0),

AO=4,

：.BC=BE=AE=EO=GF=^-OA=2,

又???△BDC是等腰直角三角形，

：.OF=DG=BG=CG=TBC=1,DF=DG+GF=3,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,3).

當(dāng)。與原點(diǎn)O重合時(shí)，。在沙軸上，

此時(shí)OD=BE=2,即。(0,2),

設(shè)所求直線解析式為：V=kc+b(%W0),

將(—1,3)、(0,2)代入得

(-k+b=3,解性=一1,

U=2,解K=2,

直線的函數(shù)解析式為y--x+2.

19.如圖1,在△ABC中，/ACB=90°,4。=2,8。=2燃，以點(diǎn)B為圓心為半徑作圓.點(diǎn)P為。B

上的動點(diǎn)，連接PC,作P'C±PC,使點(diǎn)P,落在直線的上方,且滿足P'C-.PC=1：V3,連接BP,

AP'.

（1）求/R4C的度數(shù)，并證明ZVIPC?△BPC；

⑵如圖2,若點(diǎn)P在43上時(shí)，連接BP,求8P的長；

（3）點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，8P是否有最大值或最小值？若有，請求出當(dāng)口戶取得最大值或最小值時(shí)，

/P8C的度數(shù);若沒有，請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）BP=〃I7;（3）有.①當(dāng)BP取得最大值時(shí)，/PBC=120°;②當(dāng)取得最小值

時(shí)，ZFBC=60°.

【詳解】（1）在R