北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)常見題型專練：勾股定理的應(yīng)用（3種題型）（原卷版）

第03講勾股定理的應(yīng)用（3種題型）

W【知識(shí)梳理】

--勾股定理的應(yīng)用

（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，

關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)

用.

（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線

段的長度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為

邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和.

③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正

整數(shù)的直角三角形的斜邊.

二.平面展開-最短路徑問題

（1）平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之

間的最短路徑.一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題.

（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們?cè)?/p>

解決有關(guān)結(jié)合問題時(shí)的關(guān)鍵就是能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.

W【考點(diǎn)剖析】

題型一.勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

例1.如圖，一棵樹從3帆處折斷了，樹頂端離樹底端距離4〃z,那么這棵樹原來的高度是（

）

4m

A.8mB.5mC.9mD.7m

【變式】如圖在實(shí)踐活動(dòng)課上，小華打算測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到

地面后還多出1〃?，當(dāng)她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時(shí)，測(cè)得繩子底端距

離旗桿底部5加，由此可計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度是（）

A.8mB.10mC.12mD.15”？

例2.如圖，一個(gè)直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外

2cm,當(dāng)木棍倒向杯壁時(shí)（木棍底端不動(dòng)），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長度.

【變式】小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m,當(dāng)他把繩子

的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高.

題型二.平面展開-最短路徑問題

例3.如圖，長方體的底面邊長是1cm和3cm,高是6cm,如果用一根細(xì)線從點(diǎn)4開始經(jīng)

過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)3,那么用細(xì)線最短需要（）

A.12cmB.10cmC.13cmD.11cm

例4.一個(gè)上底和下底都是等邊三角形的盒子,等邊三角形的高為70cm,盒子的高為240cm,

M為AB的中點(diǎn)，在M處有一只飛蛾要飛到E處，它的最短行程多少？

A

M

【變式】如圖①，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm,底面半徑等于3c在圓柱的底面A

點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少？（n

取3）

題型三：勾股定理中的折疊問題

例5.如圖，矩形紙片ABCD中，AB^4,45=3,折疊紙片使的邊與對(duì)角線重合,

A.1B.-D.2

32

【變式】如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)。恰好落在邊上尸點(diǎn)處，已知

CE=3cm,AB=8cm,求圖中陰影部分的面積.

AD

【過關(guān)檢測(cè)】

選擇題

1.如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉

向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（

B.11尺C.12尺D.13尺

2.如圖，已知圓柱底面的周長為12cm,圓柱高為8cm,在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌

有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（

A.10cmB.20cmC.V208cmD.100cm

3.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離

為0.7米，頂端距離地面2.4米.若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端

距離地面1.5米，則小巷的寬度為（）

A.0.8米B.2米C.2.2米D.2.7米

4.如圖，臺(tái)階階梯每一層高20c〃，寬30M,長50C〃，一只螞蟻從4點(diǎn)爬到8點(diǎn)，最短路

程是（

A.10A/89B.5075C.120D.130

二.填空題

5.如圖，圓柱的高為8cm,底面半徑為2cm,在圓柱下底面的4點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃

到上底面B處的食物，已知四邊形AO8C的邊4。、BC恰好是上、下底面的直徑，問：螞蟻

吃到食物爬行的最短距離是

.（F取3）

B

D

6.《九章算術(shù)》中的"引葭赴岸”問題：今有池方一丈，葭（一種蘆葦類植物）生其中央,

出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？其大意是：有一個(gè)邊長為10尺的正方形池

塘，一棵蘆葦生長在它的正中央，高出水面1尺.如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻?/p>

部恰好碰到岸邊（如圖所示），則水深尺

7.《九章算術(shù)》是我國古代一部著名的數(shù)學(xué)專著，其中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題：今

有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，問折者高幾何？其意思是：有一根與地面垂直且高一

丈的竹子（1丈=10尺），現(xiàn)被大風(fēng)折斷成兩截，尖端落在地面上，竹尖與竹根的距離為三

尺，問折斷處離地面的距離為.

三.解答題

8.《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”

問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖

所示，△ABC中，NACB=90°，AC+AB=10,BC=4,求AC的長.

9.如圖，一架25米長的梯子A3斜靠在一豎直的墻AO上，梯子底端3離墻A0有7

米.

（1）求梯子靠墻的頂端A距地面有多少米？

（2）小燕說"如果梯子的頂端A沿墻下滑了4米，那么梯子的底端3在水平方向就滑動(dòng)了

4米.”她的說法正確嗎？若不正確，請(qǐng)說明理由.

10.已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)

量EL4=90。，AB=3m,BC=12m,CD=13m,0A=4m,若每平方米草皮需要200元，問要

多少投入?

11.我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載"今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問：

折者高幾何？"

譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離

原竹子根部3尺遠(yuǎn).問：原處還有多高的竹子？（1丈=10尺）

12.如圖，一個(gè)梯子AB,頂端A靠在墻AC上，這是梯子的頂端距地面的垂直高度為24

米，若梯子的頂端下滑4米，底端將水平滑動(dòng)了8米，求滑動(dòng)前梯子底端與墻的距離CB

是多少？

13.（2022春?蜀山區(qū)期中）在一款名為超級(jí)瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個(gè)高為10米的高臺(tái)

A,利用旗桿頂部的繩索，劃過90。到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為17米，高為3米的矮臺(tái)B,

（1）求高臺(tái)A比矮臺(tái)B高多少米？

（2）求旗桿的高度OM;

（3）瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點(diǎn)的高度/WN.

14.如圖，四邊形ABC。是舞蹈訓(xùn)練場(chǎng)地，要在場(chǎng)地上鋪上草坪網(wǎng).經(jīng)過測(cè)量得知：NB=

90°,4B=24m,BC=7m,CD=15m,AD^20m.

（1）判斷/。是不是直角，并說明理由；

（2）求四邊形A8C。需要鋪的草坪網(wǎng)的面積