北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：有理數(shù)及其運算（知識歸納+題型突破）（原卷版）

第二章有理數(shù)

課標(biāo)要求

1.了解具有相反意義的量，正負(fù)數(shù)的概念；

2.理解有理數(shù)、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的概念，能正確解題；

3.理解數(shù)軸的概念，并能正確畫出數(shù)軸，，在數(shù)軸上表示數(shù)；

4.理解有理數(shù)加法、減法、乘法、除法法則、；

5.理解有理數(shù)乘方定義及運算；

6.能掌握加法、減法的運算定律和運算技巧，熟練計算；能掌握乘法的運算定律和運算技巧，熟練計算;

7.通過將減法轉(zhuǎn)化成加法和將除法轉(zhuǎn)化成乘法，初步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的歸一思想

8.進(jìn)一步掌握有理數(shù)的五則混合運算；

9.理解科學(xué)記數(shù)法，了解近似數(shù)；

10.能運用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù).

基礎(chǔ)知識歸納

知識點1正數(shù)和負(fù)數(shù)

1.概念

正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。

負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號“一”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。

注：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。

（不是帶“一”號的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而是在正數(shù)前加“一”的數(shù)。）

2.意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。

知識點2：有理數(shù)

1.概念

整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）

注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非

正整數(shù)。

2.分類：兩種

⑴按正、負(fù)性質(zhì)分類:⑵按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類:

「正有理數(shù)［正整數(shù)r正整數(shù)

有理數(shù)Jt正分?jǐn)?shù)

-整數(shù)-0

有理數(shù)j

1零負(fù)整數(shù)

I負(fù)有理數(shù)［負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

t負(fù)分?jǐn)?shù)

知識點3：數(shù)軸

1.概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。

三要素：原點、正方向、單位長度

2.對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點和有理數(shù)是一一對應(yīng)的。

「比較大?。涸跀?shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

3.應(yīng)用［_求兩點之間的距離：兩點在原點的同側(cè)作減法，在原點的兩側(cè)作加法。

（注意不帶“+”“一”號）

知識點3：相反數(shù)

1.概念代數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)。

（0的相反數(shù)是0）

幾何：在數(shù)軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。

2.性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，貝!|a+b=0,即a=-b；反之，

若a+b=0,則a與b互為相反數(shù)。

兩個符號：符號相同是正數(shù)，符號不同是負(fù)數(shù)。

3.多重符號的化簡<

多個符號：三個或三個以上的符號的化簡，看負(fù)號的個數(shù)

（注意：當(dāng)“一”號的個數(shù)是偶數(shù)個時，結(jié)果取正號當(dāng)“一”號的個數(shù)是奇數(shù)個時，結(jié)果取負(fù)號）

知識點4:絕對值

1.幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值。

一個正數(shù)的絕對值是它的本身（若|a|=|b|,則@=1）或2=-1））

2.代數(shù)意義j一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)

、0的絕對值是0

3.代數(shù)符號意義：

「a>0,|a|=a反之，|a|=a,則a20,|a|=-a,則a=0

ya=0,|a|=0

-a<0,|a|=-

注：非負(fù)數(shù)的絕對值是它本身，非正數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。

4.性質(zhì)：絕對值是a(a>0)的數(shù)有2個，他們互為相反數(shù)。即土a。

5.非負(fù)性：任意一個有理數(shù)的絕對值都大于等于零，即同之0。幾個非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個非負(fù)數(shù)都等于0o

故若|a|+|b|=O,則a=0,b=0

「1.數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

6.比較大小'

L2.代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。

兩個負(fù)數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小。

知識點5：加法法則

⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。

⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

知識點6：加法運算定律

(1)加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即a+b

+c=(a+b)+c=a+(b+c)

知識點7:減法法則

減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

即a-b=a+(-)b

知識點8：乘法法則

(1)兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。

(2)任何數(shù)同0相乘，都得0。

(3)多個不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負(fù)數(shù)，即先確定

符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。

(4)多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0,則積等于0；反之，若積為0,則至少有一個因數(shù)是0。

知識點9：除法法則

(1)除以一個(不等于0)的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

(2)兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。

(3)0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

知識點10：倒數(shù)

(1)定義：的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

(2)性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。

注意：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為.

知識點11：乘法運算定律

C1)乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即aXb=ba

(2)乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。

即aXbXc=(aXb)Xc=aX(bXc)。

(3)乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加即aX(b+c)=

aXb+aXco

知識點12：乘方法則運算

(1)正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)

(2)負(fù)數(shù)的奇次賽是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次累是正數(shù)

(3)0的任何正整數(shù)次嘉都是0

知識點13：混合運算

(1)先乘方，再乘除，最后加減。

(2)同級運算，從左到右的順序進(jìn)行。

(3)如有括號，先算括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進(jìn)行。在進(jìn)行有理數(shù)的運算時，要分兩步

走：先確定符號，再求值。

知識點14：科學(xué)計數(shù)法

1.科學(xué)記數(shù)法概念：把一個大于10的數(shù)表示成aXlO11的形式(其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù))。

這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法。()

注：一個n為數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為aX10廠1

2.近似數(shù)的精確度：兩種形式

(1)精確到某位或精確到小數(shù)點后某位。

(2)保留幾個有效數(shù)字

注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來表示

例如：256000(精確到萬位)的結(jié)果是2.6X105

3.有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)。

4.注：(1)用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字。例如：3.0X104的有效數(shù)字是3。

(2)帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。

例如：2.605萬的有效數(shù)字是2,6,0,5o

重要題型

【題型1正負(fù)數(shù)表示的意義】

1.（2023?荔灣區(qū)一模）中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量的國家，如果將“收入60元”

記作“+60元”，那么“支出40元”記作（）

A.+40元B.-40元C.+20元D.20元

2.（2023?滕州市校級開學(xué)）在一條東西走向的道路上，若向東走3m記作+3處那么向西走

7機(jī)應(yīng)記作（）

A.ImB.-ImC.-IQmD.4m

3.（2022秋?白云區(qū)期末）某藥品說明書上標(biāo)明藥品保存的溫度是（20±2）℃,則該藥品保

存的溫度范圍是（）

A.20—22℃B.18~20℃C.18?22℃D.20~24℃

4.（2023?上城區(qū)開學(xué)）如果+5分表示比平均分高5分，那么-9分表示（）

A.比平均分低9分B.比平均分高9分

C.和平均分相等D.無法確定

5.（2022秋?姜堰區(qū)期末）2022世界杯足球比賽在卡塔爾舉行，本次世界杯揭幕戰(zhàn)于當(dāng)?shù)貢r間

H月20日19時進(jìn)行，由東道主卡塔爾對陣厄瓜多爾.已知中國北京是在東八區(qū)時區(qū)，卡

塔爾是東三區(qū)時區(qū)，卡搭爾當(dāng)?shù)貢r間比北京時間晚5小時，則揭幕戰(zhàn)是北京時間（）

A.11月20日14時B.11月20日19時

C.11月21日19時D.11月21日0時

6.（2023春?魯?shù)榭h校級期末）一種面粉的質(zhì)量標(biāo)識為“25±0.25千克”，則下列面粉中合格

的有（）

A.25.28千克B.25.18千克C.24.69千克D.24.25千克

7.（2023?巧家縣校級二模）中老鐵路是與中國鐵路網(wǎng)直接連通的國際鐵路，線路北起中國西

南地區(qū)的昆明市，南向到達(dá)老撾首都萬象市，是“一帶一路”上最成功的樣板工程.從長

期看將會使老撾每年的總收入提升21%,若+21%表示提升21%,則-10%表示（）

A.提升10%B.提升31%C,下降10%D.下降-10%

【題型2有理數(shù)的相關(guān)概念】

8.（2023春?松北區(qū)校級月考）已知下列各數(shù)：-8,2.57,6,二，-0.25,法一52，0,

234

其中非負(fù)數(shù)有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

9.（2022秋?太平區(qū)校級期末）在-2,3.14,罵，0.1414,0.101001000…中，有理數(shù)的個數(shù)

7

是（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

10.（2022秋?寶山區(qū)校級期末）下列分?jǐn)?shù)中不能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)是（）

A.11B.生C.且D.&

5244018

11.（2023春?閔行區(qū)期中）有理數(shù)分為（）

A.正數(shù)和負(fù)數(shù)B.素數(shù)和合數(shù)C.整數(shù)和分?jǐn)?shù)D.偶數(shù)和奇數(shù)

12.（2022秋?吉安期末）我們知道，無限循環(huán)小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，例如：將0』=x,則x

=0.3+_l_x,解得x=」，即01=工，仿此方法，將化成分?jǐn)?shù)是（）

103d340

A.AB.C.1D._L

1111911

13.（2023春?惠陽區(qū)校級月考）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號內(nèi)：

+8,0.35,0,-1.04,200%,TV,罵，-1,-2020.

73

整數(shù)集合{};

正數(shù)集合{};

正分?jǐn)?shù)集合{}.

【題型3利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】

14.（2022秋?在平區(qū)校級期末）如圖，點A和3表示的數(shù)分別為。和0,下列式子中，不正

確的是（）

A,B

-1ao1b

A.a>-bB.ab<0C.a-Z?>0D.〃+b>0

15.（2023?番禺區(qū)一模）如圖，若點A,B,C所對應(yīng)的數(shù)為a,b,c,則下列大小關(guān)系正確的

是（）

DCA

I1glIJI?I>

-3-2-10123

A.a<b<-cB.b<-c<aC.-a<c<bD.〃Vc<-b

16.（2023?白山模擬）把有理數(shù)b在數(shù)軸上表示，如圖所示，則下列說法正確的是（)

A.a-Z?<0B.a>-bC.1>1D.1<-1

b

17.（2022秋?裕華區(qū)校級期末）a、6兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，將a、。、-a、-6用“<

連接，正確的是（）

A.-b<a<.-a<bB.a<-b<-a〈bC.a<b<-a<-bD.-Z?<-a<a<b

18.（2022秋?濱海新區(qū)校級期末）已知數(shù)a,b,c的大小關(guān)系如圖所示，則下列各式：

①a"c>0；

②a+b-c>0；

@bc-。>0；

@\a-b\~\c+ci\+\b-c|=-2a,其中正確個數(shù)是（）

---?---------?—-------------------?

a0b---------------c

A.1B.2C.3D.4

19.（2022秋?豐都縣期末）若機(jī)、”是有理數(shù)，滿足|加|>|川,且機(jī)>0,〃<0,則下列選項中，

正確的是（）

A.〃<-m<m<-/?B.-m〈n<-n<mC.-n<--m<n<mD.-m<-n<-n<.m

【題型4絕對值非負(fù)性的運用】

20.（2022秋?封開縣期末）若|x-2|+|2y-6|=0,則x+y的值為（）

A.9B.5C.-5D.-6

21.（2022秋?墊江縣期末）如果|a+2|+|b-1|=0,那么（a+6）2022的值為（）

A.-1B.1C.-2022D.2022

22.（2022秋?泗陽縣期中）式子|x-2|+1的最小值是（）

A.0B.1C.2D.3

23.（2022秋?海林市期末）已知|詞=4,回=6,Km+n=\m+n\,則冽-〃的值是（）

A.-10B.-2C.-2或-10D.2

24.（2022秋?洛寧縣期中）已知|a|=2,\b\=3,且在數(shù)軸上表示有理數(shù)6的點在。的左邊，則

a-b的值為（）

A.-1B.-5C.-1或-5D.1或5

25.（2022秋?依安縣期中）如果|加+川=|詞+|川,則（）

A.m、〃同號

B.m、九異號

C.機(jī)、〃為任意有理數(shù)

D.m、n同號或m、n中至少一■個為零

26.（2022秋?利州區(qū)校級期末）若|a-1|與族-2|互為相反數(shù),則a+b的值為.

【題型5化簡絕對值】

27.（2022秋?營口期中）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：貝！!代數(shù)式|a|+|a+0|+|c-a--c|

的值等于（）

baoc

A.-3aB.2c-aC.2a-2bD.b

28.（2021秋?宣化區(qū)期末）若a<0,b>0,則|a|+|a-。|=（）

A.b-2aB.a-lbC.2a+bD.-2a-b

29.（2022秋?勤州區(qū)期中）若"cWO,則_h_L+_LLL+存的值為（）

abIcI

A.±3或±1B.±3或0或±1C.±3或0D.0或±1

30.（2022秋?河池期末）若x>0,|x-2|+|x+4|=8,則x=.

31.（2023春?松江區(qū)期中）如果a<l,化簡：\2-a\-\a-1|=.

32.（2022秋?吉安期末）已知有理數(shù)機(jī)，〃滿足wzWO,則［懺如鼻力、=.

33.（2022秋?蓮湖區(qū)期末）若x為任意實數(shù)，則|x+4|+|x-2|的最小值是.

34.（2022秋?福清市校級期末）如果|加|=|-3|,那么加=_.

35.（2022秋?農(nóng)安縣期末）有理數(shù)a,3c在數(shù)軸上的位置如圖所示,且|。|=瓦化簡|c-a|+|c

-b\+\a+b\.

~a(5cft

36.（2022秋?富縣期中）已知國=2,3Tl=5,且求2（x-y）的值.

37.（2022秋?南安市期中）若⑷=5,以=3,

(1)若仍>0,求a+6的值；

(2)^\a+b\=a+b,求a-6的值.

38.(2022春?龍鳳區(qū)期末)已知a、b、。三個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點如圖，其中。為原點，化簡宙

_a\~\2a-例+|a-c|-|c|.

cba

______I___I_?__I___I；.I___I-?__I___I___L>

-7-6-5-4-3-2-1012345

【題型6有理數(shù)的混合運算】

39.（2023?香坊區(qū)校級開學(xué)）計算：

（1）4+（-2）2X5-（-8）4-4；

⑵（-36）x（找各

40.(2023?光澤縣校級開學(xué))計算下列各題：

(1)8+(廿~)-5-(-0.25)；(2)3.5+[1-(卷)]；

(3)-36x(工總^);(4)(-3)X2+|-4|-(-2)：

36129

41.（2022秋?曲阜市期末）計算題

(1)(-2)-(-3)+(+7)-(+11)；(2)-24X

(3)-12022+164-(-2)3X|-3-1|.

42.（2022秋?海門市期末）計算:

(1)-2.4-(+3.3)-(-4.4)+(-5.7)；(2)(-5)x￡；

(3)(-3)3+3X[(-3)2+2]；(4)7X-|--15X2—+7X1-^—X15-

9494

43.(2022秋?市中區(qū)校級期末)計算：

(1)(-5)-(-6)+(-7)-(-4)；(2)(-1)202」(-18)X|-2|-44-(-2).

9

【題型7倒數(shù)的運用】

44.（2023?泗洪縣模擬）-2023的倒數(shù)是（）

A.-2023B.2023C.-1D.1

20232023

45.（2022秋?梁山縣期末）下面各組數(shù)中互為倒數(shù)的是（）

A.3.1和1.3B.0.5和2C.0.25和0.52D.■!和工

88

46.（2022?包頭）若a,6互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4,則3a+3。-4c的值為（）

A.-8B.-5C.-1D.16

47.（2023?九江一模）若加、n互為相反數(shù)，p、q互為倒數(shù)，則W023m+-&W023”的值是

pq

48.（2022秋?林州市期中）已知：有理數(shù)機(jī)所表示的點與-1表示的點距離4個單位，a,b

互為相反數(shù)，且都不為零，c,d互為倒數(shù).

求：2a+26+（a+b-3cd）-m的值.

【題型8科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)】

49.（2023?羅山縣校級開學(xué)）2021年10月16,我國的神舟十三號載人飛船搭載著翟志剛、王

亞平、葉光富三名宇航員成功飛天，開啟了歷時六個月的太空任務(wù).載人飛船在太空的飛

行速度可達(dá)28440加仍.將28440用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.844X104B.28.44X103C.2.844X103D.0.2844X105

50.（2022秋?管城區(qū)校級期末）“中國疫苗，助力全球戰(zhàn)疫”.據(jù)法國《費加羅報》網(wǎng)站10月

15日報道，預(yù)計到今年年底，全球新冠疫苗產(chǎn)量將超過120億劑，其中一半將來自中國制

造商，這是歐盟計劃在2021年生產(chǎn)的30億劑新冠疫苗數(shù)量的兩倍.中國已經(jīng)向全球100

多個國家提供了疫苗，數(shù)據(jù)120億劑用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.12X1011齊UB.1.2X1010齊IJ

C.12X109劑D.120X108劑

【題型9計算“24”點】

51.（2022秋?源城區(qū)校級期末）做數(shù)學(xué)“24點”游戲時，抽到的數(shù)是：-2,3,4,-6；你

列出算式是：（四個數(shù)都必須用上，而且每個數(shù)只能用一次.可以用加、減、

乘、除、乘方運算，也可以加括號，列一個綜合算式，使它的結(jié)果為24或-24）.

52.（2022秋?海城市期中）“24點游戲”指的是將一副撲克牌中任意抽出四張，根據(jù)牌面上的

數(shù)字進(jìn)行加減乘除混合運算（每張牌只能使用一次），使得運算結(jié)果是24或者是-24,現(xiàn)

抽出的牌所對的數(shù)字是4,-5,3,-1,請你寫出剛好湊成24的算式.

53.（2022秋?蓬萊區(qū)期中）你會玩“24點”游戲嗎？共一副撲克牌（去掉“大王”、“小王”）

中任意抽4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運算（每張牌只能用一次），使得運算結(jié)果為

24.其中/,Q,K分別代表11,12,13.如小明抽到了3,3,7,7,可用算式7X（3+3

4-7）得到24；如圖是小剛抽到的四張牌，請用算式得到24：.

54.（2022秋?惠東縣期中）有一種“24點”的游戲，規(guī)則為：將4個給定的有理數(shù)進(jìn)行加減

乘除四則運算（每個數(shù)只能用一次），使其結(jié)果為24.例如1,2,3,4可做如下運算：（1+2+3）

X4=24.

（1）現(xiàn)有4個有理數(shù)：-6,3,4,10,運用上述規(guī)則，寫出一個算式，使其結(jié)果為24：

（2）現(xiàn)有4個有理數(shù)：1,2,4,-8,在上述規(guī)則的基礎(chǔ)上，再多給你一種乘方運算，請

你寫出一個含乘方的算式，使其結(jié)果為24.

【題型10有理數(shù)應(yīng)用綜合】

55.（2023?光澤縣校級開學(xué)）某校七年級（1）班學(xué)生在勞動課上采摘成熟的白蘿卜，一共采

摘了10筐，以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，相等的千克數(shù)記作0,不足的

千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，稱重后記錄如下：

①②|③