不等式與基本不等式-2025年高考數(shù)學考試易錯題（新高考解析版）

專題02不等式與基本不等式

目錄

題型一：不等式性質(zhì)及解法

易錯點01忽略不等式性質(zhì)成立的前提條件

易錯點02解分式不等式時變形不等價

易錯點03一元二次型不等式恒成立問題混淆范圍

易錯點04解含參不等式討論不全

易錯點05多變量不等式問題混淆主元

題型二基本不等式

易錯點06基本不等式求最值忽略前提條件

題型一：不等式性質(zhì)及解法

易錯點01：忽略不等式性質(zhì)成立的前提條件

般易錯陷阱與避錯攻略

典例2.（24-25高三上?上海?期中）若a、b、ceR,a>b,則下列不等式中成立的是（）

A.-<-

ab

———>———

c+1c+1

【答案】C

【分析】由不等式的性質(zhì)和反例即可判斷.

【詳解】對于AB：取。=1,6=7,滿足“>'顯然,<?，">62不成立，錯誤;

———>———正確;

c+1c+1

對于D：取c=0,顯然Hd>6忖不成立，錯誤,

故選：C

【易錯剖析】

在應用不等式性質(zhì)進行判斷時，若忽略。力是否同號，容易錯選4若忽略a,6不一定同大于零，容易錯選

B,由于忽略c是否為零，容易錯選。.

【避錯攻略】

1不等式的性質(zhì)及推論

性質(zhì)1：不等式的傳遞性：設a,6,c均為實數(shù)，如果a>b且6",那么a>c

性質(zhì)2：不等式的加法性質(zhì)：設a,b,c均為實數(shù)，如果a>b,那么a+c>b+c

性質(zhì)3：不等式的乘法性質(zhì)：設a,6,c均為實數(shù)，如果a>b且c>0,那么ac>bc,如果a>b且c<0,那么ac<bc

推論1.如果a>A,c>d那么a+c>6+d

推論2.如果a>6,c<d那么。一c>Z?-d

推論3.如果4>b>0,01>0那么。（?>6]

推論4.如果a>6>0,那么!<!

ab

推論5.如果。>6>0,d>c>0那么

cd

推論6.如果a>6>0,那么a">6"（〃是正自然數(shù)）

j.

推論7.如果a>8>0,那么a">6"（〃是正自然數(shù)）

【提醒】（1）不等式的性質(zhì)3中在不等式兩邊同乘一個因式時一定要判斷正負；

（2）推論1逆命題不成立，且“同向不等式只能相加，不等號方向不變，不能相減

（3）推論3、推論5、推論6、推論7中要注意成立的前提條件，即均為正數(shù)的同向不等式相乘，得同

向不等式，并無相除式.

2判斷不等關(guān)系成立的常用方法：

（1）直接利用不等式的性質(zhì)進行推理判斷.；

（2）比較法：一是作差比較：即作差、變形、判斷差式與0的大小、下結(jié)論；二是作商法：即作商、變形、

判斷商式與1的大小、下結(jié)論.

（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性；

（4）特殊值排除法.

易錯提醒：（1）一般數(shù)學結(jié)論都有前提，不等式性質(zhì)也是如此.在運用不等式性質(zhì)之前，一定要準確把握前

提條件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件.

（2）不等式性質(zhì)包括“充分條件（或者是必要條件）”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ)，后

者一般是解不等式的理論基礎(chǔ).

舉一反三

1.（24-25高三上?河北滄州?期中）已知。>8>c,則下列不等式一定成立的是（）

A.ab>bcB.ac2>bc2

ab

c.>----D.a(a—c)>b(b—c)

Q—CCl—C

【答案】c

【分析】對A,舉反例；對B,舉反例；對C,根據(jù)不等式性質(zhì)推理可得；對D,舉反例說明.

【詳解】對于A,當。=1/=-1,。=-2時，不滿足必>bc,故A錯誤；

對于B,當c=0時，ac2=be1,故B錯誤；

對于C,因為a>O>c,所以a-c>0,所以」一>0,則一乙>—七，故C正確；

a-ca—ca—c

對于D,當a=-l,6=-2,c=-3時，不滿足a（a-c）>匕g-c）,故D錯誤.

故選：C.

2.（2024?福建泉州?一模）若實數(shù)則下列不等式一定不成立的是（）

A.0.3"<0.3〃B.\ga>\gbC.D.?>&

a-1o-l

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B,利用特殊值判斷C,根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)

判斷D.

【詳解】因為y=0.3'在定義域R上單調(diào)遞減且所以0.3"<0.3"，故A正確；

因為y=lgx在定義域（0,+“）上單調(diào)遞增且所以lga>lg6,故B正確；

當。>1>6>0時，——>0>—,故C不正確；

a-1b-1

因為y=?在定義域［0,+8）上單調(diào)遞增且所以夜>揚，故D正確.

故選：C.

3.（24-25高三上?山東泰安?期中）（多選）已知a,b,xeR,則下列命題正確的是（）

A.若則a>Z?B.若。>萬，則改*>6/

ab

A-L1h/7

C.右a>Z?>0,則--->—D.若In—>0,貝（

a+\ab

【答案】BC

【分析】由不等式的基本性質(zhì)即可判定各個選項.

【詳解】A選項：當〃=一1,6=2時，但〃</?,故A錯誤；

ab

B選項：???y>0,?,?當8時，aex>be\故B正確；

C選項：a>b>0f/.a+ab>b+ab,a(l+Z?)>Z?(l+a),由<〃+l>0,a>0,

1+b_a(l+b)>b(1+a)_b

故C正確;

l+〃a(l+a)I(1+Q)a

D選項：Iny>0,則￡>1,當b<0時，a<b,故D錯誤.

bb

故選：BC.

?易錯題通關(guān)

1.(24-25高三上?上海?期中)己知貝U()

A.y-<1B.—<—C.ab<b2D.a2>b~

bab

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷，錯誤的可舉例說明.

【詳解】a<b<0,例如〃=一2,/?=—1,止匕時f=2>l,—=-^->-1=7，ab=2>l=b2,ABC均錯;

ba2b

2222

avbvO時，a-b<0,a+b<0fa-b=(a-b)(a+b)>0,BPa>bD正確.

故選：D.

2.(23-24高三上?四川瀘州?階段練習)若a>b>0,c<0,則下列結(jié)論正確的是()

A.ac>bcB.a-\-c<b+c

C.—<—D.a—c<b—c

ab

【答案】c

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及作差法可求得結(jié)果.

【詳解】對于A：因為a>b>0,c<0,利用不等式的性質(zhì)得ac<6c,故A錯誤；

對于B：根據(jù)不等式可加性可知：a>b>0,c<0,則o+c>Z?+c,故B錯誤；

對于C：作差可得工一3==,因為a>6>0,所以ab>0］一。<0,貝九!<?，故C正確；

ababab

對于D：c<0,則-c>。，根據(jù)不等式可加性可知：a-c>b-c,故D錯誤.

故選：C.

3.(24-25高三上?山東臨沂?期中)已知非零實數(shù)0,方滿足。〉人，則()

A.—〈丁B.a2>b2C.a3>b3D.ac1>bc~

ab

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)以及作差法，可得答案.

【詳解】對于A,當。>0〉匕時，->0>y,故A錯誤；

對于B,當〃=1/=-2時，顯然但是〃2<。2,故B錯誤；

對于C,當曲>0時，a3-b3=（a-b）（a1+ab+b2^>0,當必<0時，a>0〉b,則故C正確;

對于D,當c=0時，ac2=bc2=0,故D錯誤.

4.（24-25高三上?廣東?階段練習）下列結(jié)論正確的是（）

A.若a>b>4,則B.若,>?，則

ab

C.〃+—22D.a22a—3

a

【答案】D

【分析】對于A,B,C用特殊值即可排除，對于D,用作差法即可比較大小.

【詳解】對于A,取/=（）,此時碇2=兒2,故A錯誤；

對于B,取〃=1,〃=-1,滿足此時?！?，故B錯誤；

ab

對于C,取Q=—1,止匕時=一2，故C錯誤；

a

對于D,因為"—（2〃—3）=（a—1）+2〉0,故/>2a—3，所以a2>2a-3正確.

故選：D.

5.（24-25高三上?重慶?期中）已知a>b,c<d<0f貝!J（）

A.a+ob+dB.a+c2>b+d2C.ac>bdD.ac2>bd1

【答案】B

【分析】由不等式的性質(zhì)可得B；舉出反例可得A、C、D.

【詳角軍】對A：取a=l,b=0,c=-2,d=-l,止匕時a+c=Z?+d=-l,故A錯誤；

對B：由cvdvO,則/〉"2,又a>b,故^+才會+屋，故B正確；

對C：取a=l,b=0,c=—2,d=—1,止匕時ac=-2vM=0,故C錯誤；

對D：取〃=—1,b=—2,c=—2-）d=-1,止匕時a，=t<人/=—2,故D錯誤；

故選：B.

6.（24-25高三上?山東聊城?期中）已知a?c￡RM>8,則下列不等式一定成立的是（）

A.a2>b1B.—+-^>2C.<Uac1>be1

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分別舉出反例即可判斷ABD,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C.

【詳解】取。=1,6=-2,滿足a>b,但是/<〃，故A錯誤；

取a=l,6=-2,滿足但是+=-2+[-〈]=-：<2,故B錯誤；

ab72）2

因為>=在R上單調(diào)遞減，由”>b可得g],故C正確；

取0=1/=—2,c=0,滿足〃>>，但是砒2=歷2,故D錯誤；

故選：C

7.（24-25高三上?江蘇無錫?階段練習）下列命題中，真命題的是（）

A.若a<b,貝|—>—

ab

B.若a>b,貝！Ja?>[匕>/

C.若a>b>c>0,貝畔

bb+c

D.若0<a<b<c,貝ljlog,a<logcb

【答案】C

【分析】利用特殊值判斷A、B、D,利用作差法判斷C.

【詳解】對于A：當〃=一1,b=l時，滿足a<b,但是故A錯誤；

ab

對于B：當a=l,人=一1時，滿足a>b,但是/二〃〉々〃，故B錯誤；

g羊八用小々^+c_^+c]-b（a+c）_c（a-b）

對于C：因為了一了二一一麗包一一而了

又a>b>c>0,所以a—b>0,所以[―三:,。，即，〉等，故C正確;

bb+cb勺yb:一+c"）]bb+c

對于D：當0<c<l時yulogoX在（0,+8）上單調(diào)遞減，又。<a<b<c,所以log,a>log*,故D錯誤.

故選：C

8.（24-25高三上?江蘇無錫?期中）（多選）下列說法中正確的有（）

A.若。>6>0,c<d<0,貝！|ac<6d

B.若a>6>0,c<0,貝小>￡

ab

C.若1<Q<3,-1<Z?<O,貝Ij2<a—Z?<3

D.若avO,ab>a1,貝！

【答案】ABD

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳角軍】對于A選項，因為。>人>0,c<d<0f則一c>-d>0,

由不等式的基本性質(zhì)可得--Ad,貝！JacvM,A對；

對于B選項，因為。>6>0,不等式的兩邊同時除以/可得

因為c<0,由不等式的基本性質(zhì)可得￡>5,B對；

對于C選項，因為1<。<3,-1<Z?<O,則。<—><1,

由不等式的基本性質(zhì)可得l<a-b<4,C錯；

對于D選項，因為。<0,ab>a2,由不等式的基本性質(zhì)可得6<。<0,則-6>-。>0,

由不等式的基本性質(zhì)可得"<〃，D對.

故選：ABD.

9.（24-25高三上?河南安陽?期中）（多選）已知a,6,c,d為實數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）

A.若則

B.若a>b,c>d,貝［Ja+c>Z?+d

C.若e">e",貝讓<?

ab

D.若Ina>Inline>Ind,則

【答案】BD

【分析】由不等式的基本性質(zhì)即可判斷選項AB,不等式的基本性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C選項,

不等式的基本性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D選項.

【詳解】A選項，當cWO時結(jié)論不成立，A錯誤；

B選項，由不等式的性質(zhì)可知B正確；

C選項，由e">e",得a>b,當a>O>b時，結(jié)論不成立，C錯誤；

D選項，由Ina>Inb,Inc>Ind,得。>6>0,c>d>。，由不等式的性質(zhì)可知,D正確.

故選：BD.

10.（24-25高三上?山東煙臺?期中）（多選）已知a<0,b>0S.a+b>0,貝|（）

A.a1<b2B.a2+ab>0C.—J--<0D.（a—1）（^—1）<0

ab

【答案】AC

【分析】利用作差法結(jié)合平方差公式判斷A正確；利用不等式的性質(zhì)可知選項B錯誤；通分之后判斷分子

和分母的符號可得選項C正確；舉反例說明選項D錯誤.

【詳解】A.,由a<0,b>0得a-b<0,

因為a+b>0,所以〃2一從=（〃+力（1一力<0,即〃2<方2,選項A正確.

B.由〃<0,a+b>0,a（a+b）<0,BP+tzZ?<0,選項B錯誤.

C.由avO,b>0^ab<0,

因為a+b>0,所以工+?="<0,選項C正確.

abab

D.令。=-（,6=1,則（4一1）3一1）<0不成立，選項D錯誤.

故選：AC.

易錯點02：解分式不等式時轉(zhuǎn)化不等價

易錯陷阱與避錯攻略

2—x

典例（24-25甘肅蘭州?期中）不等式一^21的解為（）

X

A.{^|0<x<l}B.{x\x<0^x>l]

C.{x|0<x<l}D.[x\x<0^x>l}

【答案】A

【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，即可得解.

【詳解】由三21,得三-120,即上妥0,因此*：注0,解得0<E,

XXX[九WU

所以原不等式的解集為{x10<x41}.

故選：A

【易錯剖析】

型三年時容易忽略x*1這一條件而造成化簡不等價而出錯.

【避錯攻略】

1.基本思路：應用同號相乘（除）得正，異號同號相乘（除）得負，將其轉(zhuǎn)化為同解整式不等式.在此

過程中，變形的等價性尤為重要.

2.基本方法：

①通過移項，將分式不等式右邊化為零；

②左邊進行通分，化為形如坐的形式；

③常見同解變形:

(1)44>0o/(x).g(x)>。；

g(無)

(2)^7^<0<s>/(x)-g(x)<0；

g(x)

〃尤)>o°J/a)-g(無

⑶m一"NUoq；

g(x)[g(x)w。

(4)明40。七了物。；

g(x)口(丈)二。

易錯提醒:求解不等式時，一定要注意化簡的等價性，如去分母時要保證分母不為0、平方時范圍不能變大、

兩邊同乘（除）一個因式時要注意判斷因式的符號等.

?舉一反三

1.（24-25高三上?北京?階段練習）函數(shù)=的定義域為（）

A.(1,4)B.[1,4)

C.(-oo,l)U(4,+<x>)D.(-oo,l]o(4,+oo)

【答案】D

【分析】函數(shù)定義域：二次根式被開方數(shù)為非負數(shù).

【詳解】由題設=20,

x-4

.|（x-l）（x-4）＞0

1%-4wO

XG（一8,1]U（4,+8）.

故選：D

2.（24-25高一上?上海?期中）“x＞l”是工＜1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由^＜1得{x|x＜?；驘o＞1},進而根據(jù)概念直接求解即可.

1111—Y

【詳解】解：解不等式一＜1得：一vlo1＜0O------＜。Ox（l—X）V。OXV?；蚬ぃ?,

XXXX

因為{x|x>l}是{x|x<0或X>1}的真子集，

所以，{x|x>l}是{x|x<0或尤>1}的充分不必要條件,

即“X>1”是，<1”的充分不必要條件.

X

故選：A

3.（24-25高三上?安徽?階段練習）已知集合M=k|Gi<2},N=[x\x2-x-2<o],則〃nN=（）

A.n-1<%<5}B.1x|l<x<5|

C.|x|-l<x<2!D.{x|l<x<2|

【答案】D

【分析】分別求出不等式的解集，再利用交集的運算法則求解.

【詳解】由已知得M={鄧一<5},N={x\-l<x<2],

即A/cN=?x<2}

故選：D.

■易錯題通關(guān)

1.（24-25高三上?江蘇宿遷?期中）若集合4={-1,0,1,2},)

A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1}

【答案】B

【分析】解出集合8,再根據(jù)交集含義即可得到答案.

[詳解]由題意得解得0Vx<2,即3={x|0<x<2},

I2—xw0

則Ac3={0,1}.

故選：B.

2.（24-25高三上?重慶?階段練習）“x>l”是“-1<1”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

【答案】A

【分析】將-工<1化簡，再根據(jù)充分必要條件關(guān)系判斷.

X

1jr_1_1

【詳解】<1<=>----->。<=>%（%+1）>。<=>%<—1或%>。，

XX

由％>1成立可以推出x<-1或x>0,但x<-1或x>0成立不能推出%>1,

所以無>1是-l<1的充分不必要條件.

X

故選：A.

3.（24-25高三上?河南?階段練習）不等式丁與二<0的解集為（）

x一2%+3

A.RB.[x\x>l}C.{x\x<l}D.{^|x<-l}

【答案】C

【分析】判斷分母的正負，再去分母求解即得.

【詳解】由/一2了+3>0,得，丁、<0o尤-l<0ox<L

x--2x+3

故選：C

4.（2024?陜西西安?三模）若集合4=卜|炭《2）,8={-3,-1,0,1,3},則40臺=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3）

【答案】C

【分析】先求解根式不等式，化簡集合4然后再根據(jù)集合交集運算規(guī)則即可求解.

【詳解】依題意得4=卜|?42}=[0,4],則Ac3={0,l,3}.

故選：C.

1-2r

5.（24-25高三上?山東德州?期中）已知P：x<a,4：^-<0,若。是4的充分不必要條件，則a的取

x+2

值范圍是（）

A.a<-2B.-2

C.。<—D.aW—

22

【答案】A

【分析】先解分式不等式，根據(jù)充分不必要條件的定義結(jié)合集合間的基本關(guān)系計算即可.

1_OY1

【詳解】由^^40可得（1—2x）（x+2）W0（x+2w0）,解之得XV—2或X〉：

設P：x<a,對應A=(-oo,a],

q：上三40,其解集對應8=（-8,-2）ul+s],

尤+2|_2）

則P是4的充分不必要條件等價于A是B的真子集，所以。<-2.

故選：A

6.（24-25高三上?河南?階段練習）使不等式—41成立的一個必要不充分條件是（）

2-x

A.(―0°,—l)U(2,+°°)B.(-oo,-l]U(2,+℃)

C.(-<x),-l)u[2,+oo)D.(-co,-l]u[2,+oo)

【答案】D

【分析】利用分式不等式化簡可得%22或x<-l,即可根據(jù)真子集關(guān)系求解.

【詳解】由"一<1可得與出40=嚴力解得x>2或xV-1,

2-尤2-x[2-xwO

3

設不等式：41成立的一個必要不充分條件構(gòu)成的集合是A,

則（-力,-1]U（2,+8）是A的一個真子集，結(jié)合選項可知A可以為（十,-1]口[2,"）,

故選：D

7.（24-25高三上?上海?期中）不等式2三x+^3<0的解集為______.

x-1

【答案】Tj

【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.

2%+3f(2x+3)(x-l)<03

【詳解】<00<O——<X<1

x-1[x-17t02

3

故答案為：[--J）.

8.（24-25高三上?上海?階段練習）已知不等式二■>：!的解集為A,若5eA,則實數(shù)。的取值范圍為—

ax-1

【答案】?>|Wca<0

【分析】根據(jù)條件，利用分式不等式的解法,得到（辦-1）[（1-?？?5]>0,再結(jié)合5eA,從而得到5a（5a-1）20,

即可求解.

【詳解】由二■>：!,得到（1一短I>o,等價于（axT）[（l-a）x—5]>0,

ax-1ax-1

因為5eA,貝ij有即5。（5。-1）20,解得a'g或aWO,

故答案為：ci>—^a<0.

9.（24-25高三上?上海浦東新?期中）不等式小丁W3的解集為__________.

x-1

【答案】「3,1）

【分析】根據(jù)條件，利用分式不等式的解法即可求出結(jié)果.

【詳解】由可（3,得到生駕W0,

等價于，解得一3W，

所以不等式的解集為卜3,1）.

故答案為：［-3,1）.

易錯點03：解含參不等式討論不全面出錯

,易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25山東高三聯(lián)考）（多選）對于給定實數(shù)。，關(guān)于元的一元二次不等式（以-1）（工+1）<0的解集可

能是

（）

x|—1<x<—1B.1}C.1%I-<%<—1：D.R

A.

【答案】AB

【詳解】由（公-1）（%+1）<0,分類討論〃如下：

當〃>0時，-1</<—；

a

當a=0時，x>—1；

當一IvavO時，x<—或X〉一1；

a

當Q=—1時，龍W—1;

當QV-1時，X<-1^X>—.

a

故選：AB.

【易錯剖析】

本題在求解過程中對參數(shù)〃的分類討論容易不全面而漏解失分.

【避錯攻略】

1.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關(guān)系

項目zl>0J=0/<0

VV

y=ax1+bx+c(a>0)

的圖象

0\Xi=X2XO\X

有兩個相等的實數(shù)根

ax1+fox+c=0(。>0)有兩個不相等的實數(shù)沒有

b

的根根11，X2（X1<X2）口2=一五實數(shù)根

ax1+bx+c>0(a>0)

{x\x<Xl，或X>X2}R

的解集I2aJ

or2-\~bx~\-C<0(Q>0)

{X\X1<X<X2)00

的解集

2解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

第一步（化標準）:通過對不等式變形，使不等式右側(cè)為0,二次項系數(shù)為正;

第二步（判別式）：對不等式左側(cè)進行因式分解，若不易分解，則計算相應方程的判別式;

第三步（求實根）：求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根；

第四步（畫圖象）：根據(jù)一元二次方程根的情況畫出相應的二次函數(shù)的圖象；

第五步（寫解集）：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

3解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

【注意】

求解方程的根時可優(yōu)先考慮用因式分解的方法求解，不能因式分解時再求判別式/,用求根公式計算.

易錯提醒：含參數(shù)一元二次不等式的求解最容易出現(xiàn)的錯誤就是討論不全面，在求解過程緊抓三點就可以

有效的避免失誤：一是分析二次項系數(shù)是否需要討論；而是分析方程根的存在型是否需要討論；三是根的

大小關(guān)系是否需要討論.

舉一反三

1.(24-25高三上?安徽?階段練習)設實數(shù)皿〃滿足根+〃>0,則關(guān)于x的不等式(x-M(x+〃)>0的解集為

()

A.{x\x<-n^x>m}B.{x\x<-m^x>n}

C.[x\-n<x<m}D.{x|-/n<x<n]

【答案】A

【分析】根據(jù)二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，給合題意，可得答案.

【詳解】因為相>一〃，所以不等式的解集為{xl或

故選：A.

2.(23-24江蘇徐州.階段練習)(多選)對于給定的實數(shù)。，關(guān)于實數(shù)元的一元二次不等式。(x-a)(x+l)>0的

解集可能為()

A.0B.{-1}

C.(。，-1)D.(-℃,-l)U(a，+°°)

【答案】ACD

【分析】首先討論。=。，。>。，〃<。，三種情況討論不等式的形式，再討論對應方程兩根大小，得不等式的

解集.

【詳解】對于一元二次不等式。(％-。)(》+1)>0,則4片0

當a>0時，函數(shù)y=a(x-a)(x+l)開口向上，與x軸的交點為“,-1,

故不等式的解集為xe(-8,-l)u(a,+8);

當a<0時，函數(shù)y=q(x-a)(尤+1)開口向下，

若。=-1,不等式解集為0；

若不等式的解集為(-U),

若a<-L,不等式的解集為(a,-1),

故選：ACD

3.(24-25高三上?江蘇鹽城?開學考試)(多選)已知集合人={.4<尤<4},B={%|%2-(a+l)%+G<0),則下

列命題中正確的是()

A.A\JB=B,則a24

B.若A|J3=A,則

C.若5IA=5,則1<〃<4

D.若4仆3=0,貝ijavl

【答案】AB

【分析】討論〃，求集合B,在結(jié)合集合關(guān)系在各選項的條件下列不等式求。的范圍，由此可判斷各選項.

［詳解］5={.爐_（〃+］）%+〃<o}={.（%_］）（%_〃）<0}.

當時，5={x|l<%va}；

當〃=1時，B=0；

當a<1時，3={Ra<%<1}.

對于選項A,若AU5=B,則AqB,之4,故正確.

對于選項B,若A|J5=A,則BqA,故l4a44,故正確.

對于選項C,若51A=3,則故lVa44,故錯誤.

對于選項D,Ap|B=0,貝！Ja?l,故錯誤.

故選：AB.

易錯題通關(guān)

1-x

1.（24-25高三上?湖北?階段練習）已知集合人=%=爐_(2a+l)x+a(a+l)<0},若“％wA”

x+2

是“工￡5”的必要不充分條件，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<-3^a>lB.aW—3或a>l

C.av—3或a21D.av—3或〃>1

【答案】C

【分析】由題意確定A,列出不等式即可求解.

<0|={x|%21或％v—2}

【詳解】A=x

B={N尤2_(2a+l)x+a(a+l)〈o}={%|a<x<a+l^

因為“％￡A”是“工￡5”的必要不充分條件，所以A,

所以。+1<—2或aNl.解得:a<-3或a21.

故選:C

2.(24-25高三上?北京?階段練習)已知4={xeR|尤2+2皿+蘇-4<0},B={xeN||x|<l},且Ap|8=8,

那么實數(shù)相的取值范圍是()

A.(-1/)B.[—1,1]C.(-2,2)D.[-2,2]

【答案】C

【分析】解不等式化簡集合A3,再利用交集的結(jié)果列式求解即得.

【詳解】不等式f+(X+7W+2)(X+7〃-2)<0,解得m-2<x<Tn+2,

則A={x|-〃2-2<x<-〃z+2},而8={0},由Af|3=3,得OeA,

H1th-m-2<0<-m+2,解得一2<〃?<2,

所以實數(shù)力的取值范圍是(-2⑵.

故選：C

3.(23-24高三上?浙江紹興.期末)(多選)已知aeR,關(guān)于尤的一元二次不等式(◎-2)(*+2)>0的解集可

能是()

A.卜x>2或了<一2}B.{小>-2}

C.^x|—2<x<—1D.—<x<—2,

【答案】ACD

2

【分析】分。=0，a>0,。<0三種情況結(jié)合一與-2的大小關(guān)系討論，可得不等式的解集.

a

【詳角軍】當a=0時，(Q一2)(x+2)=—2(x+2)>0=>x<—2；

當〃>0時，(以一2)(%+2)=〃[%一2)(%+2)>0=%>2或xv—2,故A正確；

當〃<0時，(QX_2)(X+2)=Q[X_2)(X+2),

2

若4=-2na=-l,則解集為空集；

a

22

若一v—2n—lVQ〈0,則不等式的解為：—<x<—2,故D正確；

aa

22

若一>-2則不等式的解為：—2<x<一,故C正確.

aa

故選：ACD

4.（23-24高三上?河北邢臺?階段練習）（多選）關(guān)于尤的不等式（依-l）（x+2a-2）＞0的解集中恰有4個整

數(shù)，則。的值可以是（）

123

A.——B.——C.——D.-1

234

【答案】AD

【分析】利用已知條件判斷。的符號，求出不等式對應方程的根，然后列出不等式求解即可.

【詳解】關(guān)于x的不等式（◎-1）（》+22）＞。的解集中恰有4個整數(shù)，

所以。＜0,因為。20時，不等式的解集中的整數(shù)有無數(shù)多個.

不等式（四-l）（x+2a-2）＞0,對應的方程為：（依-l）（x+2a-2）=。，

方程的根為：,和2-2a；

a

由題意知，-＜0,則2-2aV4,解得。2-1；

a

當。=-1時，不等式的解集是（-1,4）,解集中含有4個整數(shù)：0,1,2,3；滿足題意.

當。=-g時，不等式的解集是（-2,3）,解集中含有4個整數(shù)：-1,0,1,2；滿足題意.

當ae（-l,-g）時，不等式的解集是（‘2-2"），此時[e（—2,-1）,2-2ac（3,4）,

解集中含有5個整數(shù)：-1,04,2,3;不滿足題意.

當時，不等式的解集是（，,2-2°）,je（-a＞,-2）,2-2ae（2,3）,

解集中含有整數(shù)個數(shù)多于4個，不滿足題意.

綜上知，。的值可以是-1和—.

2

故選：AD

5.（24-25高三上?河南安陽?期中）已知不等式加+次+°＞o的解集為{%[-1＜%＜2}.若不存在整數(shù)x滿足不

等式（〃丘+6/?+2c）（2c—6x）＜。，則實數(shù)上的取值范圍是.

【答案】口，4]

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集，結(jié)合韋達定理可得。＜0,b=-a,c=-2a,然后代入目標不等式化簡

即可得解.

【詳解】不等式依2+云+°＞0的解集為{彳|-1＜尤＜2},

貝lja＜0,且-1,2分別為方程依2+bx+c=。的兩根,

-1+2」，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得Q即6=—a,c=—2a.

-1x2=-,

a

將b=—a,c=—2Q代入不等式+左之+2c)(2c—fex)<0,

化簡得/[kx-k2-4）（無一4）V0,即（Ax-^2-4）（x-4）<0.

容易判斷左=0或左V。時，均不符合題意，所以左>0.

所以原不等式即為1-《盧,尤-4）<0,

依題意應有34*^——+4W5且左>0,所以1W上W4.

k

故答案為：[L4]

6.（2024高三.全國?專題練習）解關(guān)于x的不等式：?x2-（3a+l）x+3<0（其中。>0）.

【答案】答案見解析

【分析】因式分解，結(jié)合分類討論，根據(jù)一元二次不等式的解的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為。>0,不等式可化為（尤-3）1-：[<0,下面分類討論：

①當3=工，即。=工時，不等式化為（了-3><0,此時不等式無解；

a3

②當3<一,即0<。<—時，解得3<x<—；

a3a

③當一<3,即〃>7時，解得—<x<3；

a3a

綜上：當時，解集為0；

當0<“<3時，解集為1尤3（尤

當時，解集為x—<x<3

a

7.（24-25高三上?甘肅白銀?階段練習）已知關(guān)于x的一元二次不等式就?+尤+6>o的解集為

(-co,-2)u(l,+oo)

⑴求。和6的值

（2）求不等式ax1-（2。+。+2）cv+c~-1<0的解集

【答案】（l）a=l,b=-2

（2）（c-l,c+l）

【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解、根與系數(shù)關(guān)系列方程組來求得。泊.

（2）先因式分解，進而求得不等式的解集.

【詳解】（1）依題意，關(guān)于x的一元二次不等式加+x+b>0的解集為（f,-2）U（1,+8）

a>0

所以-2+1=-',解得"1,6=-2.

a

,1b

-2x1=—

、a

2

（2）由干a=l、b=—2,所以不等式ttv—（2〃+/?+2）夕+，—1<。，

即X2—2cx+c2—1=[%—（c—（c+1）]<0,由于c—lvc+1,

所以不等式的解集為C-1VXVC+1,

所以不等式辦2—（2a+Z?+2）cx+c2—1<。的解集（c—l,c+l）.

易錯點04：二次型不等式恒成立問題混淆范圍

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?山東臨沂?期中）“。<3”是“不等式好一分+220在（0,+8）上恒成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】分離參數(shù)得到X+—*在（0,+8）上恒成立，由基本不等式求出x+得到a<2及，根據(jù)

XX

a<3^a<2^/2.,aV2及na<3求出答案.

【詳解】不等式f-依+220在（0,+e）上恒成立，

2

即x+-2〃在（0,+8）上恒成立,

X

其中工+232、11=2應，當且僅當x=2,即》=五時，等號成立，

xVxx

故aW2加，

由于"3%?<2應，a<2A/2a<3>

故a<3是不等式Y(jié)一分+220在（0,+8）上恒成立的必要不充分條件.

故選:B

【易錯剖析】

本題求解時容易忽略在（0,+“）上這一條件而誤認為在R上恒成立而而出錯.

【避錯攻略】

對于一元二次型不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸

上方，恒小于。就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方，解決一元二次不等式中的恒

成立、能成立問題常常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或分離參數(shù)后求最值的方法解決問題.

1、在R上的恒成立問題

。>0[a=b=0,

①二次型不等式以2+法+c>o在R上恒成立或者解集為氏時，滿足4或1

A<0[c>0

a>0