等式與不等式的性質(zhì)-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第3講等式與不等式的性質(zhì)

知識(shí)梳理

1、比較大小基本方法

方法

關(guān)系做差法做商法

與。比較與1比較

a>ba-b>00>1（。，Z?〉0）或0<1（。，Z?<0）

bb

a-ba—b=O@=1S#O）

b

a<ba-b=Q@<1（。，?！?）或0>1（。，bvO）

bb

2、不等式的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

對(duì)稱(chēng)性a>bob<a；a<bQb>a

傳遞性a>b,b>c^>a>c；a<b,b<c^>a<c

可加性a>b<^>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^ac<bc

同向a>c,c>d^>a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>0,c>d>0^ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>6,nEN*na">b"

【解題方法總結(jié)】

1、應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時(shí)要做到言必有據(jù)，特

別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.

2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、

利用函數(shù)的單調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與。的大小；（4）下結(jié)論.

作商比較大小（一般用來(lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利

于0或1比較大小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，

且是塞或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法.

必考題型全歸納

題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【解題方法總結(jié)】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說(shuō)明.

2、充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷.

3、小題可以用特殊值法做快速判斷.

例1.（多選題）（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知a>b>c,ac>0,則下列關(guān)系式一定

成立的是（）

A.c2>bcB.Z?c（?-c）>0

cb一

C.ct+b>cD.-H—>2

bc

【答案】BD

【解析】因?yàn)椤╟>0,所以a>b>c>0或

當(dāng)人>。>0時(shí)，bc>c1,A不成立，Z?c（tz-c）>0,a+b>c,

由5>0造>0,故￡+幺22、厘=2,當(dāng)且僅當(dāng)￡=2,即b=c時(shí)，等號(hào)成立，

bcbe\bcbc

因?yàn)閎>c,故等號(hào)不成立，故5+2>2；

bc

當(dāng)0>〃>b>c時(shí)，bc<$,bc^a-c）>Q,

不妨設(shè)0>T>—2>—3,貝!Ja+Z?=c,故此時(shí)C不成立，

由5>0,2>0,故￡+32、M=2,當(dāng)且僅當(dāng)5=2,即b=c時(shí)，等號(hào)成立，

bcbe\bcbc

ch

因?yàn)閎>c,故等號(hào)不成立，故：+g>2；

bc

綜上：BD一定成立.

故選：BD

例2.（多選題）（2024?山東?校聯(lián)考二模）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足0>〃>c,且

Q+b+C=O,則下列說(shuō)法正確的是()

A.----->---B.a-c>2bC.a2>b2D.ab+bc>0

a—cb—c

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,*：a>b>c,:.a-c>b-c>0/.—-—<——,A錯(cuò)誤；

fa-cb-c

對(duì)于B,\,a>b>c,〃+Z?+c=O,:.a>0,c<0,:.b+c=—a<G,a-b>0,

:.a-b>b+c,BPa-c>2b,B正確；

對(duì)于C,\-a-b>0,a+b=-c>Q,-b2=(a+Z?)(a-/?)>0,即標(biāo)>〃，c正確；

對(duì)于D,ab+bc=b^a+c)=-b1<0,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

例3.(多選題)(2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若a>0>b>c,則下列結(jié)論正確的是

()

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.a—c>Z?)(Z?-c)

【答案】ACD

【解析】?：a>0>b>c,則b-c>0,bc>0,=0,即A正

cbbecb

確；

例如。=1,6=一2,c=-3,/"=(一2)2=4,。2。=(一3)2=9,顯然4<9,B錯(cuò)誤；

,a-bba(c-b)八_a_hA一八

由。>0>b>c得c一人<0,a-c>0,----------二一(------7>°，即---->一，C正確；

a-ccc{a-c)a—cc

易知Q-C>0,a-b>0,b-c>0,

a-c-2J(a-b)(b—c)—(a-Z?)+(Z?-c)-2J(a-/?)((-c)—(Ja—b-y/b—c)220,

ci—c^2d(a-b)(b-c),D正確；

故選：ACD.

題型二：比較數(shù)(式)的大小與比較法證明不等式

【解題方法總結(jié)】

比較數(shù)(式)的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利

用函數(shù)的單調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大??；（4）下結(jié)論.

作商比較大小（一般用來(lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大??；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利

于0或1比較大小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，

且是累或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：

bbb

右。>0,5>0,貝|一>lob>a；—<\<^b<a；—=lob=a；

aaa

bbb

若。<0,/?<0,則一—<l<^b>a；—=lob=a.

aaa

例4.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若Ovavb,a+b=l,則將。,。,；,2〃友〃2+/?2從小到大

排列為.

【答案】a<2ab<-<a2+b2<b

2

12

［解析】??,0vav〃，a+〃=l,不妨令〃=耳力=耳，

則有2〃。=54，4+。2=§5,

.,.有b>+/>X>2ab>a,

2

即a<2ab<—<a2+b2<b.

2

故答案為：Q<<—<a2+b2<b.

2

例5.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如果〃>/?,給出下列不等式：

①②〃3>力3；（§）.@2ac2>2bc2；⑤色>1；@a2+b2+l>ab+a+b.

cio>b

其中一定成立的不等式的序號(hào)是.

【答案】②⑥

【解析】令。=1，。=-1,->7,排除①，壇=后,排除③選項(xiàng)，7=-l<h排除⑤.

abb

當(dāng)C=0時(shí)，排除④.由于暴函數(shù)>=尤3為R上的遞增函數(shù)，故〃3>63,②是一定成立的.由于

a2+b2+l—（^ab+a+b^=——Z?）+（a-1）+（/?-1）J>0,ijla2+b2+1>ab+a+b.^@1E

確.所以一定成立的是②⑥.

ha

例6.(2024?高三課時(shí)練習(xí))(1)已知〃>b>0,c<d<0,求證：——<——；

a-cb-d

(2)設(shè)X,yeR,比較(V-y2『與孫(x-y)2的大小.

【解析】(1)由。>/?>①c<d<0,得一c>—d>0,a—c>b—d>0,從而得

0<^—.

ci—cb—d

又a>b>0,所以上<￡.

a-cb-d

(2)因?yàn)?f—y2)2-xy(x-)；)2=x4+y4-xiy-xy3=^3(%-y)+^3(y-^)

=(x-^)(x3-/)=(x-y)2(x2+Ay+y2)=(x-^)2(工+口+#>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等

號(hào)成立，

所以當(dāng)x=y時(shí)，，_力-=孫(彳_了)2；

當(dāng)XW時(shí)，(12_,2)2>沖(尤_,)2.

例7.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))(1)試比較(x+l)(x+5)與(％+3)2的大?。?/p>

(2)已知a>h,—<v,求證：ab〉0.

ab

【解析】(1)由題意，(x+l)(x+5)-(x+3)2

—+6%+5—-6%—9-—4v0,

所以(％+1)(%+5)<(%+3).

(2)證明：因?yàn)楣?lt;《，所以工一；<0,即?<0,

ababab

而。>。，所以b-a<0,貝得證.

題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

【解題方法總結(jié)】

在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí)，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每

個(gè)變量的范圍，否則會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.

例8.(多選題)(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足

—3<x+2y<2,—1<2x—y<4,貝I」()

A.x的取值范圍為(-1,2)B.V的取值范圍為(-2.1)

C.%+丫的取值范圍為(-3,3)D.x—V的取值范圍為(-L3)

【答案】ABD

【解析】因?yàn)橐?<2無(wú)一，<4,所以一2<4x-2y<8.因?yàn)橐?<x+2y<2,所以

-5<5x<10,則-l<x<2,故A正確；

因?yàn)?3<x+2y<2,所以一6<2尤+4y<4.因?yàn)?l<2x-y<4,所以-4<-2x+y<l,所以

-10<5y<5,所以-2<y<l,故8正確；

936114

因?yàn)橐?<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以一《<《（》+2丫）<],-[<《（2》一〉）<1，貝!|

-2<x+y<2,故C錯(cuò)誤；

2133312

因?yàn)橐?<x+2y<2,-l<2無(wú)一y<4,所以一]<一巳0；+2丫）<2，-：<：（2%—>）<號(hào)，則

-l<x-y<3,故。正確.

故選：ABD.

例9.（2024?廣東?高三校聯(lián)考期末）已知iWa-6W3,3<a+b<7,則5a+b的取值范

圍為（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

,、/\fm+n=5=2

1^5a+b=m\a-b}+n（a+b}=\m+n}a+\n-m）b,所以，=><,

\ji—m=\[〃=3

貝|5。+人=2（。一/7）+3（々+6）,Xl<?-&<3,3<a+Z?<7

所以242（。一切46,9<3（a+fe）<21,由不等式的性質(zhì)得：1142（a—6）+3（a+6）427,

則5a+b的取值范圍為[11,27].

故選：D.

例10.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知lWaW2,-1<&<4,則。-2》的取值范圍是

()

A.—l<a—2b<4B.—6<a—2b<9

C.6<a-2b<9D.-2<a-2b<8

【答案】A

【解析】因?yàn)橐籰〈b44,所以一84—2Z?V2,

由1KaW2,—7Wa-2bW4.

故選：A.

例11.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c,當(dāng)c>0時(shí)，6W2a+3c且

bc=a2,則二^的取值范圍是____________.

b

【答案】仆:

【解析】當(dāng)c>0時(shí)滿(mǎn)足：2。+3c且儀：=

2a+3c,BPa2-2ac-3c2<0,進(jìn)而(馬,一2.4一3,,0,解得一啜d3.

cCCC

C1C

所以或￡w-i,

a3a

a-2cac-2c2ceV「‘c、

一一2-二〃一)，

—br-=---a-2—=ayaja

「1、

令_c=-,+cokj(-oo-l],

f(1)-—2〃+/'=—2ti+r

由于felu（-oo-l]

所以〃。在t?（?,1]單調(diào)遞增，在以景？字單調(diào)遞減，

當(dāng)"<時(shí),嚕=|'當(dāng)年T時(shí)，〃-1）=一3，

所以外產(chǎn)！

幺1

故答案為:受，蒲

題型四：不等式的綜合問(wèn)題

【解題方法總結(jié)】

綜合利用等式與不等式的性質(zhì)

例12.（多選題）（2024?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知。>0,

4151

b>G,且滿(mǎn)足—+7，b>-+-.則/+〃的取值可以為（）

abba

A.10B.11C.12D.20

【答案】CD

【解析】因?yàn)榇恕?+「1。丁5+1—,

abba

所以+/?2>5+—,

ba

故/+/>4+—+5+—>9+2/—-—=11,

ba\ba

當(dāng)/=4+f,從=5+2且f=而。=/，時(shí)/片后，即等號(hào)不能同時(shí)成立，

baba

所以/+。2>11,故AB錯(cuò)誤，CD正確.

故選：CD.

例13.（多選題）（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知尤2（/+1）=1,貝I］（）

1

A.xy<1B.x9y>--

o5

C.x+xy<lD.x+xy<—

【答案】ABD

【解析】由必（產(chǎn)+1）=1得/=］_/尸，由于產(chǎn)20,所以

所以無(wú)2y2=］一無(wú)2?［0,］）,因此一1<個(gè)<1且沖力0,故A正確，

2y尤2y—————=——-——1

尤尸￥7,當(dāng)><。時(shí)，y2+l、―1，由于y+—W-2,當(dāng)且僅當(dāng)y=T時(shí)，等號(hào)

y+1y+—y

y

c11

0>----->——cl

成立，故2,當(dāng)>2。時(shí)，x2y>0,所以/丁之一萬(wàn)，故B正確，

y

%2（l+y）2=x2（i+2y+y2）=%2（y2+i）+2%2y=i+2x2y<i+f0+y2）=2,當(dāng)且僅當(dāng)

2y=1+/?y時(shí)取等號(hào)，故—在4Ml+y）=x+wW/，所以C錯(cuò)誤，

x2+xy=l-x2y2+xy=-(xy-^\+|<|,當(dāng)且僅當(dāng)孫=(取等號(hào)，又/(y+i/i,所以

X當(dāng)戶(hù),或者，=$尸$等號(hào)成立，

故選：ABD

1

例14.（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a,6滿(mǎn)足>飛，則（

A.log0.2023a<l°g0.2023bB.a3cb3

_bb+1D-"+看的最小值為1

C.->---

aQ+1

【答案】BC

【解析】由下>亍可知。>0,b>0,由不等式的性質(zhì)可知,貝U0<a<6.

7a7bab

選項(xiàng)A：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logo.2023尤為減函數(shù)，0<a<b,所以Iogo2023a>l°go2023），故A

錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由函數(shù)丫=尤3的單調(diào)性可知/<獷，故B正確;

bb+\b(a+l]-a(b+l)

選項(xiàng)C：因?yàn)?-----—1―—Lb-a>0,所以2h>安/7+1，故c正確;

aa+\6Z(6Z+1)Q(I+1)aa+1

選項(xiàng)D：ab+—^—=(ab+\\+———l>2j(<7&+l)x———1=1,

ab+1'7ab+1V7ab+1

當(dāng)且僅當(dāng)必+1=1二，即而=0時(shí)取得等號(hào)，顯然等號(hào)不成立，故D錯(cuò)誤.

ab+1

故選：BC.

例15.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知實(shí)數(shù)〃，b,c滿(mǎn)足a+Z?+c=0,a2-^-b2+c2=1,則

。的最大值是一.

【答案】池

3

222

【解析】?.?〃+"+c=0,a+b+c=lf

b+c=-a,b2+c2=l-a2,

be=^-(2bc)=+c)2-(b2+c?)]=a?一；

:?b、c是方程：]2+〃]+〃2一：=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

2

A>0

/—4("——■)>0

即tz2<-

3

:在

33

即。的最大值為逅

3

故答案為：逅.

3

題型五：糖水不等式

【解題方法總結(jié)】

糖水不等式：若。>6>0,機(jī)>0,則一定有j>2,或者”生<2.

a+mab+mb

例16.(多選題)(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知6g糖水中含有ag糖(人>。>0),若

再添加mg糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大)，根據(jù)這個(gè)事

實(shí)，下列不等式中一定成立的有（）

aa+ma+ma+2m

A.—<------------<------

bb+mb+mb+2m

21

C.(?+2m)(Z?+m)<(6i+m)(Z?+2m)D.—7--<--r

3i-l3°T

【答案】ABD

【解析】對(duì)于4由題意可知:〈產(chǎn)，正確;

bb+m

工D中在cm二匚I、IQ+ma+m+2m-ma+2m

對(duì)于5,因?yàn)榧?lt;2M，所以-----<-------------=------,正確;

b+mb+m+2m—mb+2m

a+ma+m+ma+2相口□/\/\/。\/、…、口

對(duì)于C,-----<---------=------即(<2+m)(&7+2nm)<(a+2m)(Z?7+m),錯(cuò)誤；

b+mb+m+mb+2m

.丁22+1311十環(huán)

對(duì)于小正z〈剪，I=3=F<F'正確.

故選：ABD

例17.（2024?山西?統(tǒng)考一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖