等腰三角形中由動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論問(wèn)題（原卷版）

專題24等腰三角形中由動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論問(wèn)題

【模型展示】

等腰三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用，并能分析動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。這類問(wèn)題屬于比較難得問(wèn)題，歷年

都以中考?jí)狠S題的形式出現(xiàn)，在分析的過(guò)程中要有分類討論的思想，再結(jié)合圖形的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。

已知底邊畫(huà)等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外.

在討論等腰三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，一般都要先分類.

如果A45C是等腰三角形，那么存在①4B=NC,@BA=BC,?CA=CB三種情況.

解等腰三角形的存在性問(wèn)題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，

幾何法一般分三步：分類、畫(huà)圖、計(jì)算.哪些題目適合用幾何法呢？

如果的乙4（的余弦值）是確定的，夾41的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來(lái),

那么就用幾何法.

①如圖1,如果AB=AC,直接列方程;

特點(diǎn)②如圖2,如果BA=BC,那么l/2/C=4BcosA4;

③如圖3,如果CA=CB,那么1/24B=/Ccos乙4.

圖1圖2圖3

代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng),分類列方程，解方程并檢驗(yàn).

如果三角形的三個(gè)角都是不確定的,而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來(lái)，那么根據(jù)兩

點(diǎn)間的距離公式，三邊長(zhǎng)（的平方）就可以羅列出來(lái).

結(jié)論等腰三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用

【題型演練】

一、單選題

I.如圖，等腰三角形N8C的底邊8C的長(zhǎng)為4,面積是16,腰NC的垂直平分線EF分別交4C,邊于

E,斤點(diǎn)，若點(diǎn)。為2C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)〃為線段E尸上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）

E

M

F\B

A.7B.8C.9D.10

2.如圖，已知A42C是等邊三角形，。是2c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)2、C）,過(guò)點(diǎn)。作DE14B,垂足

為E,的垂直平分線分別交NC、8c于點(diǎn)RG,連接ED,FE,當(dāng)點(diǎn)。在3c邊上移動(dòng)時(shí)，有下列三個(gè)

結(jié)論：①一定為等腰三角形；②△CFG一定為等邊三角形；③△陽(yáng)C可能為等腰三角形.其中正確

的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

3.如圖，N8C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是3c邊上的中線，有一動(dòng)點(diǎn)尸由點(diǎn)/出發(fā)勻速向點(diǎn)2運(yùn)動(dòng),

到點(diǎn)8后停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△/LPD為等腰三角形時(shí)，NP的長(zhǎng)為（）

D?不或?

C.也或拒

4.如圖，在ZU8C中，AB=AC,乙8=40。，。為線段8c上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)以點(diǎn)C重合），連接/。，作4DE

=40。，交線段NC于點(diǎn)￡.以下四個(gè)結(jié)論①NCDE=NBAD；②當(dāng)。為8C中點(diǎn)時(shí)，DEL4C；③當(dāng)NBAD

=30。時(shí)，BD=CE；④當(dāng)ZADE為等腰三角形時(shí)，zEDC=30°.其中正確的結(jié)論有（）

月

E

BDC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.如圖，在正方形/BCD中，E、尸是對(duì)角線/C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸是正方形四邊上的任意一點(diǎn)，且/8=

4,EF=2,設(shè)/￡=無(wú).當(dāng)0<x<4百-2，尸是等腰三角形時(shí),,下列關(guān)于尸點(diǎn)個(gè)數(shù)的說(shuō)法中，尸點(diǎn)最多

有（）

AP

B

A.8個(gè)B.10個(gè)C.12個(gè)D.14個(gè)

6.如圖，在正方形48CD中，AB=4,對(duì)角線NC上的有一動(dòng)點(diǎn)P,以DP為邊作正方形。尸尸G.

①在尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，尸點(diǎn)始終在射線2C上;

②在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，/CPD可能為135。；

③若E是。C的中點(diǎn)，連接EG,則EG的最小值為夜;

④為等腰三角形時(shí)，/P的值為2/或4血-4

以上結(jié)論正確是（）

A.①③④B.②④C.①②③D.②③④

7.如圖，點(diǎn)"是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作九CVLx軸于點(diǎn)N,點(diǎn)尸是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，MP1NP,

且APMN為等腰三角形時(shí)點(diǎn)的長(zhǎng)為（）

y=2x+3

y

M/

/N\O~^X

A.34或亞B.也C.逅或3亞D.逑

44

8.如圖，在A/3C中，N8=2C,點(diǎn)。為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C重合），連接40,作

NADE=NB=40。,0E交線段/C于點(diǎn)E.下列結(jié)論：

@ZDEC=ABDA；

②若AD=DE,則8O=CE；

③當(dāng)。E1/C時(shí)，則。為BC中點(diǎn)；

④當(dāng)YADE為等腰三角形時(shí)，NBAD=40°.

其中正確的有個(gè).（）

/740"^^\

40°\

RDC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

9.如圖，已知在直角梯形/BCD中，ADWBC,ABLBC,AD=11,8c=13,48=12.動(dòng)點(diǎn)P、。分別在邊

AD和BC上，且20=2。尸.線段尸。與AD相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF||2C,交CD于點(diǎn)尸，射線P尸交2C

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,設(shè)。P=x.下列說(shuō)法正確的有幾個(gè)（）

13

（1）四邊形尸。。。為平行四邊形時(shí)，尤=了；

（2）—=y;

CF2

OQQ

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形斯GQ的面積始終等于昔；

（4）當(dāng)APOG是以線段尸0為腰的等腰三角形時(shí)，則》=^、2或晟.

PD

C.3D.4

二、填空題

10.如圖，等腰三角形4BC的底邊2c長(zhǎng)為4,面積是12,腰NC的垂直平分線即分別交NC,48于點(diǎn)

E、F,若點(diǎn)。為底邊2C的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段即上一動(dòng)點(diǎn)，則△CW的周長(zhǎng)的最小值為.

11.如示意圖，在A42C中，AC=BC,4ELBC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)3作ZABC的角平分線8尸交/E于G,點(diǎn)。

是射線2尸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)。在足？。外部，連接4D.乙C=2UDB,當(dāng)A1DG為等腰三角形，貝吐C

的度數(shù)為_(kāi)___________

12.如圖，已知/G〃CF,ABLCF,垂足為B,AB=BC=3，點(diǎn)P是射線/G上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A

重合），點(diǎn)。是線段C3上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是線段N5的中點(diǎn)，連接PD并延長(zhǎng)交AF于點(diǎn)E,連接尸。，

設(shè)4P=2f,CQ=t,當(dāng)△P0E是以PE為腰的等腰三角形時(shí)，/的值為.

COBE

13.如圖，等腰三角形ABC的底邊2C長(zhǎng)為4,面積是12,腰48的垂直平分線即分別交48,NC于點(diǎn)

E、F,若點(diǎn)。為底邊8C的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為—.

A

BDC

三、解答題

14.已知：如圖，在RtZ\4BC中，/C=90。，AB=5cm,AC=4cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)5出發(fā)沿射線BC以Icm/s

的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒.

AAA

——zL

BpCBCBC

(1)求2C邊的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)△/BP為直角三角形時(shí)，求，的值；

(3)當(dāng)尸為等腰三角形時(shí)，求才的值.

15.如圖，在△NBC中，zC=90°,AB=5cm,5C=3cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，沿—氏4的路線運(yùn)動(dòng)，且

速度為每秒2cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

(1)4。=_______cm；

(2)出發(fā)0.5秒后，求△/B尸的周長(zhǎng)；

(3)當(dāng)f為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？

(4)另有一動(dòng)點(diǎn)。，從點(diǎn)C出發(fā)，沿G4向終點(diǎn)/運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,若尸、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)f為

何值時(shí)，直線P0把△/BC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？

16.如圖，在四邊形48CD中，AD//BC,/C=90。，BC=16,DC=12,47=21,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā),

沿射線的方向以每秒2兩個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)0從點(diǎn)C出發(fā)，在線段C8上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的

速度向點(diǎn)2運(yùn)動(dòng),點(diǎn)尸，0分別從點(diǎn)。，C同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2時(shí)，點(diǎn)尸隨之停止運(yùn)勁，設(shè)運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為/(秒).

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，以3,Q,D,尸為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

⑵當(dāng)/為何值時(shí)，以3,D,P為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？

(3)當(dāng)f為何值時(shí)，以3,P,0三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

17.如圖，在必中，乙42c=90。，AB=20,3c=15,點(diǎn)。為/C邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā),

沿邊。往N運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)/時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位

長(zhǎng)度.

(1)當(dāng)f=2時(shí)，CD=；4D=；

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，是等腰三角形？并說(shuō)明理由.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線N=x+2與x軸，＞軸分別交于/,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C(2,M為直線＞=x+2上

一點(diǎn)，直線y=-x+6過(guò)點(diǎn)c.

VA

/o\PD*X

⑴求相和6的值;

⑵直線＞=-x+6與x軸交于點(diǎn)。，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與

點(diǎn)。，點(diǎn)4重合).設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(秒.

①若點(diǎn)P在線段ZX4上，且A4cp的面積為10,求f的值；

②是否存在/的值，使A4cp為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.已知，在AABC中，/3=/C=5,3C=8,點(diǎn)K是射線G4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是邊2C上的動(dòng)點(diǎn)，且

OC=OE,射線OE交射線BA于點(diǎn)D.

圖1備用圖備用圖

(1)如圖1,如果。C=2,求^^的值；

、AODB

⑵聯(lián)結(jié)/。，如果是以/E為腰的等腰三角形，求線段OC的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在邊NC上時(shí)，聯(lián)結(jié)BE,CD,/DBE=NCDO,求線段OC的長(zhǎng).

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形048C的頂點(diǎn)4在N軸正半軸上，邊48、OA(AB＞OA)的長(zhǎng)分別

是方程*-1立+24=0的兩個(gè)根，。是43上的一動(dòng)點(diǎn)(不與月、8重合).

(2)若動(dòng)點(diǎn)D滿足ABOC與^AOD相似，求直線OD的解析式.

r)A3

(3)若動(dòng)點(diǎn)。滿足-=￡,且點(diǎn)尸為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△取￡＞是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐

DB5

標(biāo).

21.如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形O/8C是矩形，點(diǎn)/,C分別在x軸和y軸的正半軸上,

連結(jié)NC,CM=3,/O/C=30。，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn).

(2)若點(diǎn)￡在