導數(shù)的應用（15種題型）-2025年高考數(shù)學熱點、重難點題型專項復習（原卷版）

第05講導數(shù)的應用（15種題型）

題型一：利用導數(shù)證明或求解函數(shù)的單調區(qū)間（不含參）

1.（2023春?甘肅天水?高三校考開學考試）已知函數(shù)〃x）=lnx-f+（2—a）》.

⑴當。=1時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若，（x）W0在定義域內恒成立，求a的取值范圍.

2.（2023?陜西?西安市西光中學校聯(lián)考一模）已知函數(shù)/（x）=z+lnx,其中。為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底

數(shù).

⑴當。=-1時，求“X）的單調區(qū)間；

⑵若/（X）在區(qū)間（0,e］上的最大值為2,求。的值.

3.（2023?山東?濰坊一中校聯(lián)考模擬預測）在AABC中，AB=2AC,。是邊BC上一點,

ACAD=2ABAD.

（1）若/BAC=手，求黑的值；

（2）若AC=1,求AD的取值范圍.

4.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（x）=e￡Tlnx,g（x）=x2-x.

⑴討論〃x）的單調性;

1

(2)證明:當xe(O,2)時，/(x)<g(x).

5.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=asinbx-2x+tanx(0Wx<T

⑴若。=6=1,判斷的單調性；

(2)當6=2時，不等式0恒成立，求正實數(shù)”的取值范圍.

6.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)〃x)=e%lnx+l),尸(x)是“尤)的導函數(shù).

⑴討論函數(shù)的單調性；

(2)設若函數(shù)尸(彳)=尸(彳)"，+1彳-1)-1在(0,2)上存在小于1的極小值,求實數(shù)a的取值范圍.

7.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(x-l)eX-ax-l,g(x)=(x-l)lnx-Zzx-1

⑴若a=l,b=2,試分析〃尤)和g(x)的單調性與極值；

(2)當a=b=l時，外力、g(元)的零點分別為七，巧；W，匕，從下面兩個條件中任選一個證明.(若全

2

選則按照第一個給分）

求證：①Inw+ln尤4<;

②滑4T（文也+2.

2

8.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（x）=]f（xeR）.

⑴求了（%）的單調區(qū)間；

-lo

（2）若對于任意的xe0,7-r,士辰恒成立，求證：k<~.

.2」Tie

9.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)”%）=（尤2-2辦）111?+3彳2.

⑴當4=1時，求函數(shù)八》）的單調區(qū)間；

⑵若a>L討論函數(shù)〃x）的零點個數(shù).

e

10.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)3（x）=,其中aeR且。彳0.

⑴當。=1時，求函數(shù)〃尤）的單調區(qū)間；

（2）若存在實數(shù)x0,使得/&）=%,則稱與為函數(shù)/（尤）的“不動點”求函數(shù)“X）的“不動點”的個數(shù);

（3）若關于x的方程/（/（X））=/（x）有兩個相異的實數(shù)根，求a的取值范圍.

3

11.(2023?福建福州?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx-iix+a.

(1)若。=2,試判斷“X)的單調性，并證明你的結論；

⑵若x>l,/(x)>0恒成立.

①求。的取值范圍：

②設%=—1+―=+―1+…+3，區(qū)表示不超過》的最大整數(shù).求［1。電］?(參考數(shù)據(jù)：In2。0.69)

n+1n+2n+32n

12.(2023?全國?高三專題練習)現(xiàn)定義：為函數(shù)在區(qū)間(王,馬)上的立方變化率.已知函

x+21nx+2+x

數(shù)/(x)=e*g(x)=

aa

⑴若存在區(qū)間(%%)，使得〃x)的值域為(2號2々)，且函數(shù)“X)在區(qū)間(國,當)上的立方變化率為大于

0,求實數(shù)。的取值范圍;

(2)若對任意區(qū)間(%%)，/⑺的立方變化率均大于g(x)的立方變化率，求實數(shù)。的取值范圍.

題型二：分類討論法證明或求解函數(shù)的單調區(qū)間(含參)

1.(2023秋?天津?高三統(tǒng)考期末)設函數(shù)/(無)=ln尤-JG?,g(x)=ex-bx,a,beR,已知曲線y=/(x)

在點(1J⑴)處的切線與直線x-y+i=o垂直.

⑴求a的值；

(2)求g(x)的單調區(qū)間；

(3)若好(x)+bx〈xg(x)對Vxe(0,+oo)成立，求b的取值范圍.

4

2.（2021.浙江?統(tǒng)考高考真題）設a,b為實數(shù)，且。＞1,函數(shù)=a*-bx+e2（xeR）

（1）求函數(shù)〃x）的單調區(qū)間；

（2）若對任意6＞2/,函數(shù)〃x）有兩個不同的零點，求a的取值范圍；

（3）當。=e時，證明：對任意6＞入函數(shù)有兩個不同的零點和吃,仁＞西），滿足要玉+，.

（注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）

3.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（》）=/-五+/.

（1）討論/（x）的單調性；

（2）若/（元）有三個零點，求左的取值范圍.

4.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/0）=尤3-尤2+ax+l.

（1）討論的單調性；

（2）求曲線y=/（x）過坐標原點的切線與曲線＞=/（%）的公共點的坐標.

5

5.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(%)=%*-el

(1)當〃=1時，討論八幻的單調性;

⑵當％>0時，/(%)<-1,求〃的取值范圍;

設〃證明:/+/+…+/>\n(n+1)

(3)EN*,V12+1也2+2\Jn2+n

6.(2023秋?河北衡水?高三河北衡水中學?？茧A段練習)已知函數(shù)〃x)=eXsinx+ox,JCG0.|

(1)若。=-1,求/(X)的最小值；

(2)若/(X)有且只有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

7.(2023春?廣東珠海?高三珠海市第一中學?？茧A段練習)已知函數(shù)

y(^)=ln^-at-2(?GR),g(x)=xev-^-a(x+l).

(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；

(2)若不等式FOO<g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

6

8.（2023春?河南?高三洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)〃尤）=。優(yōu)-2*-（無-2戶.

⑴當。=1時，討論〃x）的單調性；

⑵若存在極小值，求〃尤）的極小值的最大值.

9.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（%）=依-加皿％-6乂〃/￡11）.

⑴當6=0時，討論〃x）的單調性；

⑵若gCx）=：尤'-e',求證：當a=Z?=l時，對Vxe（0,+oo）,恒有

題型三：已知函數(shù)單調區(qū)間求參數(shù)范圍

1.（2023?陜西咸陽?校考模擬預測）已知函數(shù)"x）=e'+aln（T）+l,八x）是其導函數(shù)，其中aeR.

（1）若/⑺在（-8,0）上單調遞減，求a的取值范圍；

⑵若不等式于（X）＜/'⑺對Vxe（-oo,0）恒成立，求a的取值范圍.

7

2.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=lnx-：

⑴若。=-3,求函數(shù)的極值；

(2)若函數(shù)在［e,e3］上單調遞增，求°的取值范圍.

3.(2023?河南信陽?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=e*+sinx-cosx-ax.

(1)若函數(shù)/(無)在［0,+")上單調遞增，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)設函數(shù)g(x)=/(%)—ln(l—x),若g(x)N0,求。的值.

4.(2022?湖南?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)/(x)=asinx+bcosx+cx,且

(1)若。=1,且〃x)在R上單調遞增，求c的取值范圍

(2)若/(X)圖像上存在兩條互相垂直的切線，求a+b+c的最大值

5.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)““二X3—ar2+3x,awR.

8

(1)若x=3是/(無)的極值點，求/(x)的極值；

(2)若函數(shù)/(x)是R上的單調遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

6.(2022?天津?二模)已知/(x)=alnx-x」iw,7'(x)為/(x)的導函數(shù).

⑴求“X)在的切線方程；

(2)討論尸(x)在定義域內的極值；

(3)若/(X)在(0,+8)內單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍.

7.(2022?全國?高三專題練習)設函數(shù)/(x)=一天.

(1)若函數(shù)f(x)在R上單調遞增，求。的值；

⑵當。>1時，

①證明：函數(shù)了(無)有兩個極值點4，x2(xl<x2),且％-玉隨著。的增大而增大;

②證明：〃%)<1+皿產.

9

題型四：構造函數(shù)并利用函數(shù)的單調性判斷函數(shù)值的大小

一、解答題

1.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=e"-sinx.

⑴當。=2時，求函數(shù)在x=0處的切線方程;

(2)若關于尤的不等式y(tǒng)-sinx2？-cosx在xe[O,+<?)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

2.(2022春?天津西青?高三?？茧A段練習)已知實數(shù)a>0,函數(shù)”司="-Inx.

(1)(i)若函數(shù)y=/(x)在(。,日)上恰有一個零點，求實數(shù)。的值;

(ii)當時，證明：對任意的4/€卜2,+?),

讓I有兩個不同的實數(shù)根玉,%(不<々)，證明：魚±!>/-ina.

⑵當0<a<正時，方程/(%)=

a

10

3.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=ae"+a(a>0),g(x)=2卜+Jlnx.

⑴若〃x)在點(OJ(O))處的切線與g(x)在點(l,g(D)處的切線互相平行，求實數(shù)。的值;

⑵若對Vx>0,/(x)Ng(x)恒成立,求實數(shù)。的取值范圍.

4.(2022?浙江?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=aei—]nx+lna.

⑴若曲線y=在點(2,〃2))處的切線方程為，=|》-1,求a的值;

(2)若/(力22恒成立，求a的取值范圍

5.(2022春.浙江溫州.高三統(tǒng)考開學考試)已知函數(shù)/(x)=e'-cosx(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求證：xc(O,%)時，/(x)<x+l；

⑵設〃了)=根(一2萬<彳<2")的解為玉(，=1,2,%>%+[.

①當尤,時，求x,一"x,+J的取值范圍；

7T

②判斷是否存在耳<%，使得%+%+1》萬成立，并說明理由.

6.(2022?河南?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)〃x)=ln(x+l),g(x)=e*-1.

11

(1)判斷函數(shù)Mx)=/(x)-g(x)的零點個數(shù);

⑵比較ln(e27n2),2-/(ln2),g(e?-的大小，并說明理由.

題型五：利用導數(shù)求解函數(shù)的極值

2

1.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(%)=%+q2+―+。在％=1與％=一§時，都取得極值.

(1)求〃，6的值；

(2)若/(-I)V，求,3的單調增區(qū)間和極值.

2.(2022?全國?高三專題練習)設函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)求/(x)的極值；

⑵設g(x)=/(x+l),若對任意的x.O,都有g(x).如成立，求實數(shù)加的取值范圍;

(3)若證明：0<f(a)+f(b)-2/(^)<(ft-a)In2.

3.(2022?全國?高三專題練習)設函數(shù)/(%)=%2+(〃一2)%-。1口%(〃￡氏).

(1)若〃=1,求的極值；

(2)討論函數(shù)的單調性.

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4.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/'(x)=x2—(q+4)x+2alnx.

(1)當a=l時,求函數(shù)y=的極值；

(2)討論函數(shù)y=/(x)的單調性.

5.(2022?河北衡水?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)=W0SeR).

⑴當4=1時,求函數(shù)/(X)的極值;

⑵若曲線y="x)_*有4，赴(與<%)兩個零點.

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：存在一組加，n(?>?>0),使得的定義域和值域均為何,”].

6.(2023?全國?高三專題練習)已知對于不相等的正實數(shù)a,b,有疝<,,<"成立,我們稱其

Ina-lnb2

lnx+1

為對數(shù)平均不等式.現(xiàn)有函數(shù)/(%)=

x

13

⑴求函數(shù)/（X）的極值;

（2）若方程/（x）=機有兩個不相等的實數(shù)根毛，巧.

①證明：1<\X<―--

2m

②證明:人-x2|<2-21nm.

題型六:利用函數(shù)的極值求參數(shù)值

1.（2022?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（x）=M〃a+3ox+2）-3or+4.

⑴若/（X）在口，+8）上是減函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

（2）若/（X）的最大值為6,求實數(shù)a的值.

2.（2022秋.黑龍江牡丹江.高三校考階段練習）已知函數(shù)〃x）=Q2+Rnx在x=l處有極值，

（1）求實數(shù)。、6的值；

（2）判斷函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，并求極值.

3.（2018?北京?高考真題）設函數(shù)/（x）=[ax2-（3a+l）x+3a+2]e".

（I）若曲線>=/（尤）在點（2J（2））處的切線斜率為0,求°；

（II）若/（X）在X=1處取得極小值，求。的取值范圍.

14

4.(2023?全國?高三專題練習)己知函數(shù)/(%)=尤-尤+a(aeR),在其定義域內有兩個不同的極值

點.

(1)求。的取值范圍；

(2)記兩個極值點為毛，巧，且％<馬，當％」時，求證：不等式恒成立.

5.(2023?湖南衡陽?校考模擬預測)已知函數(shù)〃x)=y+lnx-x(a>0).

⑴若a=l,討論〃x)的單調性；

(2)若函數(shù)存在兩個極小值點占，巧，求實數(shù)a的取值范圍；

⑶當時，設歹(x)=/(x)-121nx-x+[,求證：F(x)>-Inx+e-1.

6.(2017?全國?高考真題)已知函數(shù)/(%)=/一依一尤n1x，且〃龍”0.

(1)求Q；

(2)證明：存在唯一的極大值點》,且/</(%)<2之

15

題型七：利用導數(shù)求解函數(shù)的最值

1.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)己知函數(shù)/(x)=at-'-(a+l)lnx.

x

(1)當。=0時，求F(x)的最大值;

(2)若/(x)恰有一個零點，求。的取值范圍.

2.(2021?全國?高考真題)設函數(shù)/(x)=a，2+ax-31nx+l,其中。>0.

(1)討論〃x)的單調性；

(2)若y=的圖象與X軸沒有公共點，求。的取值范圍.

3.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=sin2xsin2x.

(1)討論了(%)在區(qū)間(0,兀)的單調性；

(2)證明：〃⑺區(qū)攣;

8

、3,

(3)設〃￡N*,證明：sin2A：sin22xsin24x...sin22nx<—.

16

3-?r

4.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（尤）=點三.

（1）若a=0,求曲線y=/（x）在點。，/⑴）處的切線方程；

（2）若/（x）在x=-1處取得極值，求/（x）的單調區(qū)間，以及其最大值與最小值.

題型八：利用導數(shù)解決函數(shù)的極值點問題

1.（2021.全國?統(tǒng)考高考真題）設4H0,若x為函數(shù)/（x）=aa-“）2（無一切的極大值點，貝|（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

二、多選題

2.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（無）=尤3—尤+1,則（）

A./5）有兩個極值點B./（x）有三個零點

C.點（0,1）是曲線y=/（x）的對稱中心D.直線y=2x是曲線>=/（尤）的切線

三、填空題

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知無=網和x=%分別是函數(shù)/（x）=2優(yōu)-e/（a>0且。中1）的極小值點

和極大值點.若再<%,則。的取值范圍是.

四、解答題

4.（2021?天津?統(tǒng)考高考真題）已知。>0,函數(shù)/（幻=依-犯，.

（I）求曲線y=/（元）在點（。"（0））處的切線方程：

（II）證明A%）存在唯一的極值點

（III）若存在a,使得了（尤）4。+8對任意xeR成立，求實數(shù)b的取值范圍.

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題型九：利用導數(shù)解決恒成立問題

一、單選題

丫_O"XIOzy丫1

一，':若關于X的不等式/(x)..O在R

｛x-amx,x>l,

上恒成立，則。的取值范圍為

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.\l,e]

2.(2023?全國?高三專題練習)已知不等式x+alnx+e〉/對xe(l,+s)恒成立，則實數(shù)a的最小值為

e

()

e

A.—\/eB.—C.—eD.-2e

2

二、解答題

3.(2020?海南?高考真題)已知函數(shù)/(x)=ae"T—Inx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若不等式〃尤)21恒成立，求a的取值范圍.

4.(2022秋?遼寧?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)〃x)=x。-alnx),acR.

(1)討論/(x)的單調性；

⑵若時，都有求實數(shù)。的取值范圍；

1+InX、

(3)若有不相等的兩個正實數(shù)花，巧滿足771-----二一，證明：X1+x2<eXX

ii-inX]X]\2.

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題型十：利用導數(shù)解決函數(shù)零點、交點或方程根的問題

一、解答題

1.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)己知函數(shù)/(x)=e*-融和g(x)=ox-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)證明：存在直線y=b,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交

點的橫坐標成等差數(shù)列.

2.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)己知函數(shù)〃x)=C-lnx+x-a.

⑴若外力薄0,求。的取值范圍；

(2)證明：若/(X)有兩個零點占,三,貝也々<1.

3.(2022.全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+owT

⑴當a=l時，求曲線y=/(x)在點(。，〃。))處的切線方程；

⑵若“X)在區(qū)間(-1,。),(。,y)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

4.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知〃>0且〃W1,函數(shù)/(x)=1(x>0).

a

(1)當4=2時，求“X)的單調區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，求。的取值范圍.

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5.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0

代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的

且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=i)=p,"=0,l,2,3).

(1)已知Po=0.4,Pi=0.3也=0.2,03=0」，求E(X)；

23

(2)設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：pQ+Plx+p2x+p3xx

的一個最小正實根，求證：當E(X)V1時，p=l,當E(X)>1時，p<l.

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結論的實際含義.

題型十一：利用導數(shù)證明不等式

一、單選題

3111

1.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知。=—,b=cos—,c=4sin—,貝ij()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、解答題

2.(2021.全國?統(tǒng)考高考真題)設函數(shù)/(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=獷(力的極值點.

(1)求Q；

(2)設函數(shù)g(x)=:.證明:g(x)<l.

20

3.(2022.北京?統(tǒng)考高考真題)己知函數(shù)/(尤)=e'ln(l+x).

(1)求曲線>=/(x)在點(0"(0))處的切線方程；

⑵設g(x)=/'(x)，討論函數(shù)g(x)在。+⑹上的單調性；

(3)證明:對任意的sje(0,+oo),<f(s+t)>f(s)+f(t).

4.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)已知a,6eR,函數(shù)/(無)=e*-asinx,g(x)=氏6

⑴求函數(shù)y=在(。,〃。))處的切線方程；

⑵若y=/(x)和y=g(x)有公共點，

(i)當a=0時，求b的取值范圍；

(ii)求證：a2+b2>e.

5.(2022?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/(x)=e*+sinx-cos%,/'(九)為了(尤)的導數(shù).

⑴證明:當xNO時，r(x)>2；

(2)設g(x)=/(尤)—2x—1,證明：g(無)有且僅有2個零點.

題型十二：利用導數(shù)解決雙變量問題

一、解答題

1.(2022.浙江，統(tǒng)考高考真題)設函數(shù)〃x)=『+lnx(尤>0).

⑴求Ax)的單調區(qū)間;

21

(2)已知a,6eR,曲線y=/(x)上不同的三點(尤2，/(%2))，(無3，“X3))處的切線都經過點(。㈤?證

明：

(i)若"e,貝!)。<"-/(°)<'1(-1［；

..m,2e-a112e-a

(ii)右0<Q<e,須</<%3,則—?T~<1<------

e6ex{x3a6e

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

2.(2022秋?福建寧德?高三?？计谥?已知函數(shù)/(x)=ei-a(x-l).

(1)討論了(X)的零點個數(shù).

(2)若/")有兩個不同的零點占,三,證明：+x2>4.

3.(2023春?青海西寧?高三統(tǒng)考開學考試)已知/(x)=21nx+?x2(aeR).

⑴討論函數(shù)“X)的單調性；

(2)當a=-4■時，證明：函數(shù)/'(尤)有且僅有兩個零點蒼,三，且為+%>2e.

e

題型十三：參變分離解決導數(shù)問題

一、單選題

1.(2023?全國?高二專題練習)設函數(shù)〃x)=2x-、-alnx在(1,2)上單調遞減，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.[4,5]B.(5,+00)C.[4,+oo)D.[5,+co)

fxx0

2.(2022.全國.高三專題練習)已知函數(shù)〃x)='一，若函數(shù)g(x)=/(x)-〃-x)有5個零點，則

Iainx,x>u

22

實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-e,0)B.Lo)C.(-8,-e)D.(-0-：

3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=，-nx,當x>l時，不等式〃x)Nx+l恒成立，貝隈的

取值范圍是()

A.(-<?,-e]B.(-00,T]C.(-00,-e2]D.(-℃,0]

二、解答題

4.(2022?全國?高三專題練習)己知函