《大學(xué)物理(下冊)》課件-第15章

第15章相對論15.1伽利略時(shí)空變換與牛頓力學(xué)時(shí)空觀15.2邁克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn)15.3相對論的基本原理和洛侖茲變換15.4相對論的時(shí)空觀15.5-相對論動(dòng)力學(xué)15.6廣義相對論簡介本章小結(jié)習(xí)題

15.1伽利略時(shí)空變換與牛頓力學(xué)時(shí)空觀

15.1.1伽利略時(shí)空變換

在力學(xué)中,描述物體的運(yùn)動(dòng)離不開參考系的選擇。滿足牛頓力學(xué)定律的參考系稱為慣性參考系(簡稱慣性系)。假設(shè)有兩個(gè)慣性系S(Oxyz)和S'(O'x'y'z'),如圖15.1所示,它們對應(yīng)的坐標(biāo)軸相互平行,且S'系相對于S系以速度v沿Ox軸正向做勻速直線運(yùn)動(dòng)。圖15.1S和S'系相對運(yùn)動(dòng)示意圖

起始時(shí)刻(t=t'=0),兩個(gè)坐標(biāo)系重合。在S系中t時(shí)刻測量到質(zhì)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),在S'系中t'時(shí)刻測量到質(zhì)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x',y',z')。時(shí)間在各個(gè)參考系中均勻流逝,時(shí)間的量度不隨參考系的不同而變化。由于起始時(shí)刻相同,那么經(jīng)過相同的時(shí)間間隔(即t=t')后,測量到的同一物體P在兩個(gè)慣性系中的時(shí)空坐標(biāo)有如下對應(yīng)關(guān)系:

這些變換式稱為伽利略時(shí)空變換式(以下簡稱為伽利略變換式),它以數(shù)學(xué)形式表達(dá)了經(jīng)典力學(xué)的時(shí)空觀。

式(15-4)表明,同一質(zhì)點(diǎn)的加速度在不同慣性系中的大小和方向均相同,即同一質(zhì)點(diǎn)的加速度對伽利略變換式來講為一個(gè)不變量,它不依賴于慣性系的選擇。在經(jīng)典力學(xué)中,質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是與其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)的常量,當(dāng)然也不因慣性系的不同而改變;質(zhì)點(diǎn)所受的力也與慣性系的選擇無關(guān)(F=F')。所以在S和S'這兩個(gè)慣性系中,牛頓第二定律也應(yīng)有相同的形式

式(15-5)表明,對于不同的慣性系,牛頓第二定律對伽利略變換式來講是不變的,這就是伽利略相對性原理。它說明,在一個(gè)慣性系的內(nèi)部,任何力學(xué)實(shí)驗(yàn)都不能測出本慣性系相對于其他慣性系勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度,相互之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性系是完全等價(jià)的。

15.1.2牛頓力學(xué)時(shí)空觀

伽利略變換式反映了牛頓力學(xué)(即經(jīng)典力學(xué))的絕對時(shí)空觀,是它的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式。伽利略變換式可以寫成另外一種形式:

在S系和S'系中,時(shí)間間隔相等,說明在各個(gè)慣性系中,時(shí)間在均勻地流逝,與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān),也與參考系的選擇無關(guān),時(shí)間是絕對的。在S和S'兩個(gè)不同的慣性系中測量一直桿的長度分別為

由于測量中需同時(shí)確定兩端的坐標(biāo),即Δt'=Δt=0,所以Δs=Δs'。上式表明,在慣性系S和S'中分別測量同一物體的長度時(shí),按照伽利略變換式,所測得的值相同,與兩個(gè)慣性系之間的相對速度無關(guān)。也就是說,空間的量度不依賴參考系的選擇,是絕對的。

總之,經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為空間是物體占據(jù)的場所,與其中的物質(zhì)完全無關(guān),并且是永恒不變、完全靜止的;時(shí)間是事件發(fā)生的順序,絕對的、真正的和數(shù)學(xué)的時(shí)間自身在流逝著,而且由于其本性,時(shí)間均勻地、與任何外界事物無關(guān)地流逝著。空間和時(shí)間是彼此獨(dú)立的。

15.2邁克爾遜－莫雷實(shí)驗(yàn)

在低速范圍內(nèi),伽利略變換式和牛頓力學(xué)定律符合實(shí)際情況。原則上,人們可以用伽利略變換式和牛頓力學(xué)定律來解決任何慣性系內(nèi)低速運(yùn)動(dòng)的問題。由于經(jīng)典力學(xué)與人們的日常生活相符合,因而就會(huì)不自覺地接受和采納這種觀點(diǎn),理所當(dāng)然地認(rèn)為時(shí)空是絕對的和孤立的。然而,這種觀點(diǎn)推廣到高速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)是否仍然適用呢?

邁克爾遜莫雷實(shí)驗(yàn)裝置如圖15.2所示。圖15.2邁克爾遜莫雷實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

由光源P發(fā)出波長為λ的光,入射到半反半透鏡G后,一部分反射到平面鏡M1上,再由M1反射回來透過G到達(dá)望遠(yuǎn)鏡T;另一部分透過G到達(dá)平面鏡M2,再由M2反射回來到達(dá)G,然后由G反射到達(dá)T。兩列光束在T相遇產(chǎn)生干涉條紋。假設(shè)G到M1和M2的距離均為L。把固定在地球的整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置當(dāng)作運(yùn)動(dòng)參考系,即S'系,設(shè)它相對于絕對參考系(以太)S以速度v運(yùn)動(dòng)。

若速度的方向與光束①平行,從S'系看,G到M2的光束速度為c-v,M2到G的光束速度為c+v,則光束①從G出發(fā)到M1,再到被反射回G所需時(shí)間為

光束②自G到M1和自M1再到G的速度均為(c2-v2)1/2。所以,從S'系看,光束②從G到M1,然后再由M1回到G所需時(shí)間為

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邁克爾遜莫雷實(shí)驗(yàn)以及其他一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果使人們產(chǎn)生了困惑,似乎相對性原理只適用于牛頓定律,而不適用于麥克斯韋電磁場理論?？磥硪鉀Q這一難題必須在物理觀念上來個(gè)變革。這時(shí)許多物理學(xué)家都預(yù)感到一個(gè)新的基本理論即將產(chǎn)生。在洛侖茲、龐加萊等人為探求新理論所做的先期工作的基礎(chǔ)上,一位具有變革思想的青年學(xué)者———愛因斯坦于1905年創(chuàng)立了狹義相對論,為物理學(xué)的發(fā)展樹立了新的里程碑。

15.3相對論的基本原理和洛侖茲變換

15.3.1相對論的基本原理

(1)愛因斯坦相對性原理:物理定律在所有的慣性系中都具有相同的表達(dá)形式,即所有的慣性系都是等價(jià)的。這就是說,在慣性系內(nèi)部不能確定該慣性系的運(yùn)動(dòng)或靜止。對運(yùn)動(dòng)的描述只有相對意義,絕對靜止的參考系是不存在的。這是對經(jīng)典力學(xué)相對性原理的繼承和發(fā)展。

(2)光速不變原理:真空中的光速是常量,在任意慣性系中觀察速度都恒為c,它與光源和觀察者的運(yùn)動(dòng)無關(guān),即不依賴于參考系的選擇。顯然該原理否定了伽利略變換式。

這兩條原理是狹義相對論的基礎(chǔ)。由這兩條原理出發(fā)可以推導(dǎo)出狹義相對論的全部內(nèi)容。當(dāng)然,這兩條原理的正確性要由它們所導(dǎo)出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)事實(shí)是否相符來判定。

15.3.2洛侖茲時(shí)空變換

我們已經(jīng)知道,伽利略變換式不具有普遍性,它與光速不變原理不相容,那么就需要找出與狹義相對論相容的變換式。其實(shí)這一變換式在愛因斯坦提出相對論之前已經(jīng)被洛侖茲發(fā)現(xiàn)了,但也可以通過狹義相對論的兩條基本原理來導(dǎo)出,這反過來說明了兩個(gè)基本假設(shè)的正確性與簡潔性。下面就從狹義相對論的兩條基本原理來導(dǎo)出洛侖茲時(shí)空變換式(以下簡稱為洛侖茲變換式)。

有兩個(gè)慣性系S(Oxyz)和S'(O'x'y'z'),它們的對應(yīng)坐標(biāo)軸互相平行,且S'系相對于S系以速度v沿Ox軸的正向做勻速直線運(yùn)動(dòng),如圖15.3所示。圖15.3洛侖茲變換示意圖

開始時(shí),兩個(gè)慣性系重合,即t=t'=0時(shí),x=x',y=y',z=z',在此時(shí)刻,從一個(gè)重合點(diǎn)O(O')發(fā)出一束光。在S系中,這束光在此后t時(shí)刻到達(dá)P點(diǎn);在S'系中,到達(dá)P點(diǎn)的時(shí)刻為t'。根據(jù)光速不變原理,OP=ct,O'P=ct',所以有下列時(shí)空坐標(biāo)間的關(guān)系式:

式(15-7)中,(x,y,z)為S系中t時(shí)刻P點(diǎn)的坐標(biāo);式(15-8)中,(x',y',z')為S'系中t'時(shí)刻P點(diǎn)的坐標(biāo)。

由于兩參考系在y,z方向沒有相對運(yùn)動(dòng),所以參照伽利略變換式有y=y',z=z'。由于兩個(gè)參考系在x軸方向做速度恒定的相對運(yùn)動(dòng),而且對于任何一個(gè)參考系,時(shí)間和空間應(yīng)該是均勻的,所以x和x'應(yīng)該是線性關(guān)系,t和t'也應(yīng)該是線性關(guān)系。假設(shè)它們的關(guān)系為

由洛侖茲變換式可看出,當(dāng)慣性系S'相對于慣性系S的運(yùn)動(dòng)速度v遠(yuǎn)小于光速c時(shí),β=v/c?1,洛侖茲變換式就轉(zhuǎn)化為伽利略變換式。由此可知,在物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí),洛侖茲變換式與伽利略變換式等效,伽利略變換式只適用于低速運(yùn)動(dòng)物體的時(shí)空變換。也就是說,伽利略變換是洛侖茲變換在低速(v?c)下的近似。另外,根據(jù)洛侖茲變換式可以看出,任何物體的速度均不能達(dá)到或超過光速,即真空中的光速速率c是一切物體運(yùn)動(dòng)速率的極限。

【例15.1】S'系相對于S系以速度v沿著S系的x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)。在慣性系S中靜止的觀測者豎直上拋一個(gè)物體。物體的初速度為u0,重力加速度為g,運(yùn)動(dòng)方程為

利用洛侖茲變換式求出此物體在慣性系S'中的運(yùn)動(dòng)方程。

15.3.3洛侖茲速度變換

利用洛侖茲變換式可以得到它的速度變換式。在洛侖茲變換式兩邊微分得

由速度定義,S'系和S系中物體運(yùn)動(dòng)的速度分別為

由此可得它們的速度分量之間的關(guān)系為

此式即為洛侖茲速度變換式。同理可以得到式(15-12)的逆變換式為

若一個(gè)光束在S系中沿x軸傳播,速度為c,即ux=c,S'系相對于S系以速度v沿Ox軸方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)洛侖茲速度式可得到光束相對于S'系的速度為

也就是說,無論兩參考系的相對速度為何值,光相對于S系和S'系的速度相等。這個(gè)結(jié)論顯然與伽利略變換式的結(jié)果不同,但符合前述實(shí)驗(yàn)事實(shí)和光速不變原理。

【例15.2】從高能加速器中發(fā)射出兩個(gè)方向相反的粒子,速率都是0.6c。問兩個(gè)粒子的相對速率是多少?

【解】由題意可知,粒子相對于地球的速率為0.6c,所以設(shè)地球?yàn)镾系,兩個(gè)粒子分別沿Ox軸正向和負(fù)向運(yùn)動(dòng),甲粒子的速度為0.6c,則乙粒子的速度為-0.6c。把S'系設(shè)在甲粒子上,則甲粒子相對于S'系靜止,S'系相對于S系的速度即為0.6c。乙粒子相對于甲粒子的速度由速度變換式可得

15.4相對論的時(shí)空觀

狹義相對論的時(shí)空觀是關(guān)于時(shí)間和空間的理論,它在高速運(yùn)動(dòng)時(shí)才顯現(xiàn)出來。從洛侖茲變換中可以看到時(shí)間、空間和運(yùn)動(dòng)密切相關(guān),它集中反映了相對論的時(shí)空觀。因?yàn)槿藗冊谌粘Ｉ钪兴龅降倪\(yùn)動(dòng)大多是低速運(yùn)動(dòng),所以在高速運(yùn)動(dòng)的情況下,利用洛侖茲變換可以得到許多與我們?nèi)粘Ｉ罱?jīng)驗(yàn)大相徑庭的重要結(jié)論。

15.4.1同時(shí)的相對性

在經(jīng)典的時(shí)空觀中,若在一個(gè)慣性系中觀測到兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生,那么在另一個(gè)慣性系中觀測到的結(jié)果也是兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生,即同時(shí)性是絕對的,與慣性系的選擇無關(guān)。但是狹義相對論則認(rèn)為,它們的觀察結(jié)果依賴于慣性系的選擇。也就是說,在一個(gè)慣性系中觀測到兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生,而在另一個(gè)慣性系中觀測到的結(jié)果卻不是同時(shí)發(fā)生。這一結(jié)論稱為同時(shí)的相對性。

現(xiàn)在我們考慮一個(gè)假想實(shí)驗(yàn),如圖15.4所示。設(shè)想一列勻速前進(jìn)的列車(S'系)以速度v相對于地面(S系)水平勻速運(yùn)動(dòng),列車的A、B兩端分別有一個(gè)接收光信號(hào)的儀器,在列車的中點(diǎn)有一個(gè)光源P。P發(fā)出的光信號(hào)被A、B兩點(diǎn)接收。按照經(jīng)典時(shí)空觀,S'系和S系中可以觀測到A、B兩點(diǎn)同時(shí)接收到光信號(hào)。圖15.4同時(shí)的相對性實(shí)驗(yàn)示意圖

下面我們按照狹義相對論的時(shí)空觀來分析。在S'系中,光源P和A、B兩點(diǎn)的距離相等,光速恒定,所以光信號(hào)同時(shí)到達(dá)A、B兩點(diǎn);在S系中,A迎著光信號(hào)前進(jìn),光信號(hào)需要傳播的距離變短,B背向光信號(hào)前進(jìn),光信號(hào)需要傳播的距離變長,而光速恒定,所以A點(diǎn)先收到光信號(hào),B點(diǎn)后收到光信號(hào)。

由式(15-14)我們可以得出以下兩個(gè)結(jié)論:

(1)如果在S'系中發(fā)生的兩個(gè)事件同時(shí)不同地,則在S系中一定不同時(shí)。

(2)如果在S'系中發(fā)生的兩個(gè)事件同時(shí)同地,則在S系中一定同時(shí)。對式(15-14)進(jìn)行變換得

15.4.2時(shí)間延遲

牛頓力學(xué)的經(jīng)典時(shí)空觀認(rèn)為,發(fā)生一個(gè)物理事件所經(jīng)歷的時(shí)間間隔不依賴于慣性系的選擇,是絕對的;狹義相對論認(rèn)為,這一時(shí)間間隔依賴于慣性系的選擇,是相對的。

假設(shè)S'系中兩個(gè)事件在同一地點(diǎn)發(fā)生,用S'系中一個(gè)相對于該坐標(biāo)系靜止的鐘表測得兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為Δt',我們把相對于慣性系靜止的鐘表所測得在該慣性系中同一地點(diǎn)發(fā)生的兩個(gè)事件經(jīng)歷的時(shí)間間隔稱為固有時(shí)間,記為Δt0。

用S系中一個(gè)相對于該坐標(biāo)系靜止的鐘表測得兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為Δt。若S'系相對于S系以速度v沿Ox軸做勻速直線運(yùn)動(dòng),則S系中兩個(gè)事件的時(shí)間間隔由式(15-14)得

由于所以Δt>Δt0,固有時(shí)間最短,這稱為時(shí)間延遲效應(yīng)。時(shí)間延遲現(xiàn)象已被大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)。時(shí)間延遲效應(yīng)說明時(shí)間間隔的測量是相對的,依賴于參考系的選擇。

牛頓力學(xué)處理的是低速運(yùn)動(dòng)的情形,當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí),γ≈1,所以Δt≈Δt0,兩事件的時(shí)間間隔近似為一絕對量,與參考系的選擇無關(guān),這就是經(jīng)典時(shí)空觀中的絕對時(shí)間概念。由此可見,牛頓力學(xué)是相對論在低速情形下的近似處理。

【例15.3】一列火車以108km/h的速度勻速行駛。

(1)地面上一信號(hào)燈閃光10s,問從火車上觀察閃光延續(xù)了多長時(shí)間?

(2)火車上一電燈閃光10s,問地面上觀察閃光延續(xù)了多少時(shí)間?

15.4.3長度收縮

經(jīng)典時(shí)空觀中,兩點(diǎn)的距離或?qū)ξ矬w長度的測量量與參考系無關(guān),是一個(gè)絕對量;在相對論中,距離或?qū)ξ矬w長度的測量量依賴于參考系的選擇,是相對的。

測量運(yùn)動(dòng)物體的長度需同時(shí)確定物體兩端坐標(biāo)。假設(shè)S'系中一根靜止的細(xì)棒沿Ox'軸放置,相對于S'系靜止的觀察者測得細(xì)棒的長度為l0,l0=x'2-x'1,稱為細(xì)棒的固有長度。S'系相對于S系以速度v沿Ox軸勻速前進(jìn)。相對于S系靜止的觀察者測得細(xì)棒的長度為l,l=x2-x1。根據(jù)洛侖茲變換式有

S系中測量細(xì)棒長度需同時(shí)確定其兩端坐標(biāo),即t1=t2,上面兩式相減,得

即

顯然l<l0。這一結(jié)果表明,當(dāng)細(xì)棒沿其長度方向以速率v相對于S系運(yùn)動(dòng)時(shí),在S系中的觀察者測得該棒的長度小于其固有長度。也就是說,物體沿運(yùn)動(dòng)方向長度發(fā)生收縮。

長度收縮是一種相對論效應(yīng)。表面上看,它與我們的日常生活經(jīng)驗(yàn)不相符,這是由于在日常生活中所遇到的運(yùn)動(dòng)速度都比光速慢很多。對于這些運(yùn)動(dòng),由于β?l,因此式(15-16)可簡化為l≈l0。所以,對于相對運(yùn)動(dòng)速度較小的慣性系來說,長度可近似看做一個(gè)絕對量,與參考系的選擇無關(guān)。在地球上宏觀物體所能達(dá)到的最大速度遠(yuǎn)小于光速,長度收縮一般可忽略不計(jì)。

【例15.4】如圖15.5所示,一根長為1m的棒靜止地放在O'x'y'平面內(nèi)。在S'系內(nèi)的觀察者測得此棒與O'x'軸成45°角。設(shè)S'系以v=3c/2的速率沿Ox軸相對于S系勻速運(yùn)動(dòng)。試問從S系的觀察者來看,此棒的長度以及棒與Ox軸的夾角是多少?圖15.5-例15.4圖

【解】設(shè)棒靜止于S'系的長度為l',它與O'x'軸的夾角為θ'。此棒在O'x'軸和O'y'軸上的分量分別為

由于S'系相對于S系只沿Ox軸方向勻速運(yùn)動(dòng),故從S系的觀察者看來,棒沿Ox軸方向和Oy軸方向的分量分別為

所以棒的長度l及其與Ox軸的夾角θ的正切分別為

代入數(shù)據(jù)得

由此可知,從S系的觀察者來看,運(yùn)動(dòng)著的棒不僅長度要收縮,而且還要轉(zhuǎn)向。

15.5-相對論動(dòng)力學(xué)

根據(jù)相對論的相對性原理,不同的慣性系內(nèi),物理規(guī)律應(yīng)該在洛侖茲變換下保持不變。牛頓運(yùn)動(dòng)方程和動(dòng)量守恒定律在伽利略變換下可以保持不變,而對洛侖茲變換卻不能滿足保持不變這一要求。因此要建立狹義相對論動(dòng)力學(xué)就需要對經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律進(jìn)行修改,使之滿足在洛侖茲變換下保持不變,又能在運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)能回歸為經(jīng)典力學(xué)的形式。

15.5.1動(dòng)量與質(zhì)量

在牛頓力學(xué)中,質(zhì)量為m、速度為v的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量表達(dá)式為

在沒有外力作用下,系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。從動(dòng)量守恒這一基本定律出發(fā),經(jīng)過洛侖茲變換后應(yīng)該保持動(dòng)量守恒定律的形式不變,由此可以導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量與其運(yùn)動(dòng)速率v之間的關(guān)系。

如圖15.6所示,設(shè)A、B兩球?qū)ν蛔鴺?biāo)系靜止時(shí)的質(zhì)量相同,令A(yù)和B兩球在平行于x'軸的方向上運(yùn)動(dòng)并發(fā)生完全非彈性碰撞。圖15.6兩球在S系和S'系中的運(yùn)動(dòng)

在S'系中,碰撞前A球的速度為u,方向沿x'軸正向,B球的速度為-u,方向沿x'軸負(fù)向,在完成碰撞的瞬間,由動(dòng)量守恒可知,兩球的速度為零;設(shè)S'系相對于S系以速度u沿Ox軸作勻速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)洛侖茲變換式,在S系中,碰撞前A球的速度為方向沿x軸正向,B球的速度vB=0,碰撞后的共同速度為u。在S系中,由動(dòng)量守恒定律可得

因此

由于mB為B球相對于S系靜止時(shí)的質(zhì)量,而A、B兩球相對于同一坐標(biāo)系靜止時(shí)質(zhì)量應(yīng)該相同,所以上式可寫為

式(15-17)中,m0為質(zhì)點(diǎn)靜止時(shí)的質(zhì)量,稱為靜質(zhì)量,而質(zhì)量m與速度有關(guān),稱為相對論性質(zhì)量。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度遠(yuǎn)小于光速時(shí),相對論性質(zhì)量近似等于靜質(zhì)量。這時(shí)可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為一常量,與參考系的選擇無關(guān),由此可過渡到經(jīng)典力學(xué)的范疇。

其動(dòng)量的表達(dá)式應(yīng)為

當(dāng)外力F作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí),由相對論動(dòng)量表達(dá)式可得

式(15-19)為相對論力學(xué)的基本方程,由于質(zhì)量隨速度增大而增大,當(dāng)速度為光速時(shí),質(zhì)量為無窮大,而加速度為零,所以物體運(yùn)動(dòng)的速度不可能超過光速。對于靜質(zhì)量不為零的物體,其運(yùn)動(dòng)速度不可能達(dá)到光速?？梢钥闯?在洛侖茲變換下該方程滿足相對性原理。

15.5.2動(dòng)能和能量

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在外力F作用下,由靜止開始運(yùn)動(dòng),由動(dòng)能定理可知,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于外力所做的功,即

由于從靜止開始加速,開始時(shí)速度為零,動(dòng)能為零,質(zhì)量為靜質(zhì)量,對上式積分得

因此得

式(15-20)即為相對論動(dòng)能的表達(dá)式,它與經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)能表達(dá)式毫無相似之處,然而在v?c的極限情況下,有(1-v2/c2)-1/2≈1+v2/2c2。代入式(15-20),得

這是經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)能表達(dá)式?？梢?經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)能表達(dá)式是相對論力學(xué)動(dòng)能表達(dá)式在物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)的近似。

若將式(15-20)改寫為

式(15-21)等號(hào)兩端的量都為能量的量綱,愛因斯坦對此做出了具有深刻意義的說明,他認(rèn)為mc2是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的總能量,而相應(yīng)地,m0c2是質(zhì)點(diǎn)靜止時(shí)具有的靜能量。也就是說,質(zhì)點(diǎn)的總能量等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和其靜能量之和。

如果以E代表質(zhì)點(diǎn)的總能量,則有

式(15-22)也可寫成

這就是著名的質(zhì)能關(guān)系式,它是狹義相對論的一個(gè)重要結(jié)論,揭示了物質(zhì)的質(zhì)量和能量這兩個(gè)基本屬性之間不可分割的聯(lián)系:任何質(zhì)量的變化都伴隨有能量的變化,反之亦然。也就是說,沒有脫離質(zhì)量的能量,也沒有脫離能量的質(zhì)量。

15.5.3能量和動(dòng)量的關(guān)系

相對論中,靜質(zhì)量為m0,運(yùn)動(dòng)速度為v的質(zhì)點(diǎn)的總能量和動(dòng)量分別由下述公式表示:

在上面兩個(gè)公式中消去速度v后,就得到能量和動(dòng)量之間的關(guān)系為

狹義相對論的建立是物理學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑,它具有劃時(shí)代的意義。狹義相對論揭示了空間和時(shí)間之間、時(shí)空和運(yùn)動(dòng)物質(zhì)之間的深刻聯(lián)系,即時(shí)空是運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)的存在形式,它比經(jīng)典物理學(xué)更客觀、真實(shí)地反映了自然界的物理規(guī)律。目前,狹義相對論已經(jīng)被大量的實(shí)驗(yàn)所證實(shí),并成為研究宇宙星體、粒子物理、工程物理等一系列科學(xué)問題的基礎(chǔ)。當(dāng)然,隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,還會(huì)有許多新的、目前尚不了解的事實(shí)被發(fā)現(xiàn),也還會(huì)產(chǎn)生新的理論,但是以大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)為基礎(chǔ)的狹義相對論在科學(xué)中的地位是無法被否定的。

15.6廣義相對論簡介

狹義相對論是在研究與運(yùn)動(dòng)物體相聯(lián)系的電磁現(xiàn)象的過程中產(chǎn)生的,不涉及引力場,不能采用非慣性系。廣義相對論是在研究引力理論的過程中產(chǎn)生的,是包括非慣性系在內(nèi)的相對論。廣義相對論是狹義相對論的邏輯推廣,是研究時(shí)間、空間和引力的理論。廣義相對論應(yīng)用于中子星的形成和結(jié)構(gòu)、黑洞物理和黑洞探測、引力輻射理論和引力波探測、大爆炸宇宙學(xué)等廣闊的領(lǐng)域,是物理學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論。本節(jié)簡略介紹廣義相對論的基本原理和時(shí)空特性的概念。

15.6.1廣義相對論的等效原理

1.慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等

在經(jīng)典力學(xué)中曾引入兩種質(zhì)量:在引力定律

m反映物體產(chǎn)生和接受引力的能力,稱為引力質(zhì)量;在牛頓第二定律F=m'a中,m'反映物體慣性的大小,稱為慣性質(zhì)量。

就定義而言,同一物體的引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量是完全不同的兩個(gè)概念,愛因斯坦曾經(jīng)以石塊和地球?yàn)槔齺黻U明這一點(diǎn):“地球以引力吸引石塊而對其慣性質(zhì)量一無所知,地球的‘召喚力’與引力質(zhì)量有關(guān);而石塊所‘回答’的運(yùn)動(dòng)則與慣性質(zhì)量有關(guān)”。

為了更好地理解引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量,下面我們來觀察電磁作用。慣性質(zhì)量為m'的電荷質(zhì)點(diǎn),在電磁場作用下所受的力滿足下述規(guī)律:

顯然,“召喚”力由物體的電荷q決定,而所“回答”的運(yùn)動(dòng)則與物體的慣性質(zhì)量m'有關(guān),二者沒有關(guān)系。

伽利略落體實(shí)驗(yàn)指出,瞬時(shí)地置于重力場中同一點(diǎn)的一切物體,在重力作用下,具有完全相同的重力加速度,與物體所具有的性質(zhì)無關(guān)。設(shè)物體A、B從同一高處下落,則對A、B物體有

由上述兩式可得

根據(jù)實(shí)驗(yàn)可測得a=g,由此得到引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等的結(jié)論。

2.等效原理

愛因斯坦從物體的引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量相等的實(shí)驗(yàn)事實(shí)出發(fā),揭示出引力場與慣性力場的內(nèi)在聯(lián)系,并將其作為廣義相對論的一條基本原理。

愛因斯坦指出,一個(gè)物體在均勻引力場中的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)與此物體在加速參考系中的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)是不可區(qū)分和等效的,即引力場和慣性力場的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)是局部不可分辨的。這就是廣義相對論的等效原理。

【實(shí)驗(yàn)1】升降機(jī)中觀測者手中的球被釋放后加速落向底板。他認(rèn)為球加速下落的原因可能是由于升降機(jī)在一個(gè)方向向下的引力場中靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng),球受到引力作用而下落,也可能是升降機(jī)在沒有引力場的環(huán)境中加速上升,球受到向下慣性力的作用而下落。二者無法區(qū)分。

【實(shí)驗(yàn)2】升降機(jī)中的觀測者看到球懸浮在空中不動(dòng)。他認(rèn)為其原因可能是升降機(jī)在引力場中靜止或自由下落,球既受向下的引力,又受向上的慣性力,二者平衡,也可能是升降機(jī)在沒有引力場的環(huán)境中做勻速直線運(yùn)動(dòng),球不受力的作用。二者也無法區(qū)分。

由此,在升降機(jī)內(nèi)無法用實(shí)驗(yàn)區(qū)分其參考系是有引力的慣性系還是無引力的非慣性系(實(shí)驗(yàn)一),也無法區(qū)分其參考系是有引力的非慣性系還是無引力的慣性系(實(shí)驗(yàn)二)。也就是說,無法找到引力和慣性力的差異,引力場與慣性力場等價(jià)。必須指出,這里所講的等效原理只適用于均勻引力場(或引力場中范圍很小的區(qū)域)和勻加速參考系。

15.6.2廣義相對性原理

狹義相對論認(rèn)為一切慣性系都是等價(jià)的,而客觀的物理規(guī)律在洛侖茲變換下不變。事實(shí)上,宇宙中并不存在嚴(yán)格的慣性系,人們不可避免地要在非慣性系中研究物理規(guī)律。既然如此,人們希望發(fā)展一種理論,它能拋棄慣性系的概念,而使所有參考系都能等價(jià)地表述物理規(guī)律。等效原理填平了慣性系和非慣性系之間的鴻溝,從根本上取消了慣性系在描述物理規(guī)律中的特殊優(yōu)越地位。愛因斯坦把相對性原理擴(kuò)大到一切參考系,提出了廣義相對性原理:一切參考系(慣性系、非慣性系)都是等價(jià)的,物理規(guī)律在一切參考系中的數(shù)學(xué)形式相同。

等效原理和廣義相對性原理是構(gòu)建廣義相對論理論的基石,前者依據(jù)引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等的實(shí)驗(yàn)事實(shí),后者來自物理學(xué)對自然規(guī)律對稱性的堅(jiān)定信念,它們都不能直接證明,其正確性取決于理論預(yù)言能否被實(shí)驗(yàn)證實(shí)。

15.6.3廣義相對論時(shí)空特性的幾個(gè)例子

1.引力場中光線的彎曲

電梯靜止在無引力場的空間中,若從電梯左壁上水平射入一條光線,則電梯中的觀測者可以看到光速沿水平直線傳播,如圖15.7(a)所示。如果電梯在無引力場的空間中勻加速上升,那么電梯中的觀測者可以看到光線做平拋運(yùn)動(dòng),如圖15.7(b)所示。圖15.7光線彎曲示意圖

2.引力頻移

廣義相對論預(yù)言,光在引力場中傳播時(shí),如果光從引力強(qiáng)的地方傳到引力弱的地方,其頻率要減少,這一效應(yīng)稱為引力紅移;如果光從引力弱的地方傳到引力強(qiáng)的地方,其頻率要增大,這一效應(yīng)稱為引力藍(lán)移,如圖15.8所示。圖15.8引力頻移

頻率變化對應(yīng)著周期變化,因此,引力頻移現(xiàn)象與時(shí)間測量聯(lián)系在一起。從引力場強(qiáng)的地方發(fā)射來的光線頻率變低,對應(yīng)原子振動(dòng)周期變長;從引力場弱的地方發(fā)射來的光線頻率變高,對應(yīng)原子振動(dòng)周期變短。也就是說,強(qiáng)引力場中的鐘表比弱引力場中的鐘表走得慢。雷達(dá)回波延遲現(xiàn)象證實(shí)了這一點(diǎn)。

3.黑洞

廣義相對論的又一個(gè)預(yù)言是黑洞。現(xiàn)代宇宙學(xué)指出,引力特別強(qiáng)的地方是黑洞。當(dāng)天體由于其本身質(zhì)量的相互吸引而坍縮成密度極大的致密星體時(shí),引力就變得非常強(qiáng)烈,使得光和一切輻射都不能發(fā)射出來,這時(shí)就形成黑洞。由第二宇宙速度公式可知,質(zhì)點(diǎn)要從質(zhì)量為m、半徑為R的星體表面上逃逸出星體的束縛力,其逃逸速度為若以光速c代替速度v,可求出星體的臨界半徑為

狹義相對論和廣義相對論在物理學(xué)的不同領(lǐng)域所起的作用不相同,在宏觀、低速的情況下,兩種作用的效應(yīng)均可略去。狹義相對論在微觀、高能物理中取得了輝煌的成就,它是人們認(rèn)識(shí)微觀世界和高能物理的基礎(chǔ),它和弱相互作用、電磁相互作用、強(qiáng)相互作用有著密切的聯(lián)系;廣義相對論則適用于大尺度的時(shí)空,它的結(jié)論要在宇觀世界里才能顯現(xiàn)出來。

廣義相對論是當(dāng)代的引力理論,它同牛頓的引力理論一樣,都是暫時(shí)的理論,隨著科技的發(fā)展和人們認(rèn)識(shí)的逐漸深入,未來必定會(huì)有更好的引力理論超越它。

本章小結(jié)

1.伽利略變換和牛頓力學(xué)時(shí)空觀

伽利略變換式集中反映了牛頓力學(xué)時(shí)空觀,是其數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式。牛頓力學(xué)時(shí)空觀認(rèn)為空間是絕對靜止的,時(shí)間是絕對的和均勻流逝的,時(shí)空相互獨(dú)立,它們不依賴于運(yùn)動(dòng)的物體而存在。

2.洛侖茲變換和狹義相對論時(shí)空觀

1)狹義相對論的基本原理

物理定律在所有的慣性系中都具有相同的表達(dá)形式。

真空中的光速為常量,與光源或觀察者的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。

2)洛侖茲變換

其中

3)狹義相對論時(shí)空觀

同時(shí)的相對性:如果兩個(gè)事件在一個(gè)慣性系中被同時(shí)觀察到,那么在另一個(gè)慣性系中一般不再是同時(shí)的。

3.狹義相對論動(dòng)力學(xué)

4.廣義相對論的兩條基本原理

等效原理:一個(gè)物體在均勻引力場中的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)與此物體在加速參考系中的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)是不可區(qū)分和等效的,即引力場和慣性力場的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)是局部不可分辨的。

廣義相對性原理:一切參考系(慣性系、非慣性系)都是等價(jià)的,物理規(guī)律在一切參考系中的數(shù)學(xué)形式相同。

習(xí)題

一、思考題

15-1根據(jù)伽利略變換式,對時(shí)間、空間、同時(shí)性分別能得出什么結(jié)論?

15-2什么是力學(xué)相對性原理?在一個(gè)參考系中做力學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芊駵y出這個(gè)參考系相對于其他慣性系的加速度?

15-3假設(shè)光子在某慣性系中的速度等于c,那么是否存在這樣一個(gè)慣性系,光子在這個(gè)慣性系中速度不等于c?

15-4用洛侖茲速度變換式說明邁克爾遜莫雷實(shí)驗(yàn)。

15-5-一列火車在前進(jìn)中,車頭和車尾均遭到一次閃電轟擊。車上的觀測者測定這次轟擊同時(shí)發(fā)生。地面上的觀測者是否能測定轟擊仍然同時(shí)發(fā)生?如果不同時(shí),何處先遭到轟擊?

15-6有人推導(dǎo)S系中運(yùn)動(dòng)著的棒的長度變短時(shí),使用了下面的洛侖茲變換式

令Δt'=0,則

從而得出了運(yùn)動(dòng)中棒的長度Δx比靜止時(shí)棒的長度Δx'長的結(jié)論。請指出何處發(fā)生了錯(cuò)誤?

15-7洛侖茲變換式中哪些量是不變量?加速度是不變量嗎?

15-8兩個(gè)觀察者分別處于慣性系S和慣性系S'中。兩個(gè)慣性系中各有一根分別與S系和S'系相對靜止的同樣長的米尺,兩個(gè)米尺分別沿Ox軸和O'x'軸放置。這兩個(gè)觀察者在測量中發(fā)現(xiàn),在另一個(gè)慣性系中的米尺總比自己慣性系中的米尺要短一些,你怎樣看待這個(gè)問題?

15-9在麥克斯韋的經(jīng)典電磁理論中,電磁波的波長和頻率有下述關(guān)系λν=c。按狹義相對論的觀點(diǎn)來看,這個(gè)關(guān)系是否仍成立?1試問:

5-10在慣性系S中某地先后發(fā)生兩事件A和B,其中事件A超前于事件B,

(1)在慣性系S'中,事件A和B是否仍發(fā)生在同一地點(diǎn)?

(2)在慣性系S'中,事件A總是超前于事件B嗎?

15-11在狹義相對論中,下列說法中哪些是正確的?

(1)一切運(yùn)動(dòng)物體相對于觀察者的速度都不能大于真空中的光速。

(2)質(zhì)量、長度、時(shí)間的測量結(jié)果都隨著物體與觀察者的相對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而改變。

(3)在一個(gè)慣性系中發(fā)生于同一時(shí)刻、不同地點(diǎn)的兩個(gè)事件,在其他一切慣性系中也同時(shí)發(fā)生。

(4)慣性系中的觀察者觀察一個(gè)與他做勻速相對運(yùn)動(dòng)的鐘表時(shí),會(huì)看到這個(gè)鐘表比與他相對靜止的相同的鐘表走得慢一些。

15-12在相對論中能否認(rèn)為粒子的動(dòng)能為

15-13一個(gè)具有能量的粒子是否一定具有動(dòng)量?一個(gè)具有動(dòng)量的粒子是否一定具有能量?如果該粒子的靜止質(zhì)量為零,情況又如何?

15-14若一粒子的速率由1.0×108m·s-1增加到2.0×108m·s-1,該粒子的動(dòng)量是否增加2倍?其動(dòng)能是否增加4倍?

二、選擇題

15-15-下面的說法中正確的是()。

A.如果兩個(gè)相互作用的粒子系統(tǒng)對某一慣性系滿足動(dòng)量守恒,則對另一慣性系不一定滿足動(dòng)量守恒

B.在真空中光的速度依賴于以太的性質(zhì)

C.在任意坐標(biāo)系內(nèi),真空中的光沿任何方向傳播的速率都相等

D.光速不變原理滿足伽利略變換式

15-16按照相對論時(shí)空觀,下列說法中正確的是()。

A.在一個(gè)慣性系中兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件,在另一個(gè)慣性系中一定同時(shí)發(fā)生

B.在一個(gè)慣性系中兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件,在另一個(gè)慣性系中一定不同時(shí)發(fā)生

C.在一個(gè)慣性系中兩個(gè)同時(shí)同地發(fā)生的事件,在另一個(gè)慣性系中一定同時(shí)同地發(fā)生

D.在一個(gè)慣性系中兩個(gè)同時(shí)同地發(fā)生的事件,在另一個(gè)慣性系中只可能同時(shí)但不同地發(fā)生E.在一個(gè)慣性系中兩個(gè)同時(shí)同地發(fā)生的事件,在另一個(gè)慣性系中只可能同地但不同時(shí)發(fā)生

15-17有一根細(xì)棒固定在S'系中,它與O'x'軸的夾角為60°,如果S'系以速度u沿Ox軸方向相對于S系運(yùn)動(dòng),S系中的觀察者測得細(xì)棒與Ox軸的夾角()。

A.等于60°B.大于60°C.小于60°

D.當(dāng)S'系沿Ox軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)大于60°,當(dāng)S'系沿Ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)小于60°

15-18一飛船的固定長度為L,相對于地面以速度v1做勻速直線運(yùn)動(dòng),從飛船后端向飛船前端的一個(gè)靶子發(fā)射一顆相對于飛船速度為v2的子彈,在飛船上測得子彈從射出到擊中靶的時(shí)間間隔為()。(c為真空中光速)

三、計(jì)算題

15-19