安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（10月）數(shù)學(xué)試題 含解析

安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（10月）數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別解不等式得到集合和，再根據(jù)并集的運(yùn)算即可求得.【詳解】由題意得：，，所以，故選：D.2.的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：C.3.已知向量，若向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角關(guān)系得到且與不共線，即可求解.【詳解】由題意得：且與不共線，即，解得：且，所以實(shí)數(shù)的范圍是，故選：C.4.已知函數(shù)在區(qū)間上遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及條件即可求出結(jié)果.【詳解】令，則，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以，得到，故選：B.5.“為銳角三角形”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可證充分性，再根據(jù)特例可判斷必要性不成立，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】充分性：若為銳角三角形，因?yàn)?，所以，同理可得，，故．必要性：?dāng)，時(shí)，不等式成立，而此時(shí)并不是銳角三角形．故選：A6.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.-1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義先特殊值計(jì)算，再驗(yàn)證即可.【詳解】由題意知為定義在上的奇函數(shù)，所以，于是，解得：.經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，，符合題意.故選：7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法得到，結(jié)合基本不等式得到，即可得到，同理作差可比較和，即可求解.【詳解】，又，則，且，所以，則，，又，則，且，所以，則，綜上：，故選：A.8.已知函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，且滿足以下條件：①，其中；②，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先令，得到，再令，得到，根據(jù)函數(shù)的周期性得到函數(shù)的周期為，即可求解.【詳解】由題意令，得，又不是常數(shù)函數(shù)，所以，再令，得，即，則，即，故，所以函數(shù)的周期為，所以，故選：D.二?多選題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)函數(shù)，若表示不超過的最大整數(shù)，則的函數(shù)值可能是（）A.0 B. C.1 D.2【答案】AB【解析】【分析】先得到函數(shù)的值域，從而得到的范圍，結(jié)合條件即可求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以函數(shù)的值域是，則的范圍是，于是的函數(shù)值可能是或，故選：.10.已知，若點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)一定在內(nèi)部 B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)、分別是、的中點(diǎn)，依題意可得，從而得到點(diǎn)是中位線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即可判斷A，再根據(jù)面積關(guān)系判斷C、D，又平面向量線性運(yùn)算法則判斷B.【詳解】由，所以，設(shè)、分別是、的中點(diǎn)，所以，于是點(diǎn)是中位線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)一定在內(nèi)部，故A正確；又，所以，則，故B正確；由A可知，，且，所以，，即，故C正確；所以，故D錯(cuò)誤；故選：ABC11.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.B.點(diǎn)是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心C.直線也是一條對(duì)稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)【答案】CD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意函數(shù)，其對(duì)稱軸為，即，所以令，解得，對(duì)于選項(xiàng)A,因此錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，該函數(shù)沒有對(duì)稱中心，因此錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，令，解得，取，符合題意，因此C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)在單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此選項(xiàng)D正確.故選：CD12.若實(shí)數(shù)是方程的解，實(shí)數(shù)是方程的解，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可判斷A，根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性判斷B，利用均值不等式判斷C，根據(jù)關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性及做差比較判斷D.【詳解】對(duì)于：函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，故A正確；對(duì)于：如圖，是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)數(shù)是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以且，于是，故B正確；對(duì)于C：由上，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由B可知，，又在上為減函數(shù)，且，所以，而，所以成立，故D正確.故選：ABD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)單位向量滿足，則值是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)單位向量定義與等量關(guān)系可得，再利用夾角的計(jì)算公式可求得余弦值.【詳解】由題意可知：，將兩邊平方得，即，化簡得，所以.故答案：.14.鈍角中，，則的面積是__________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理與面積公式即可得【詳解】由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)，解得或，因?yàn)槭氢g角三角形，，所以，所以的面積是.故答案為：15.已知函數(shù)，設(shè)是四個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換作出時(shí)，函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象設(shè)，從而得到，且，，即可求解【詳解】當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，且，則由圖象得：，則由題意知，，且，，所以，即，則，所以的取值范圍是，故答案為：.16.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則__________；的最大值是__________.【答案】①.2②.##【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式得到，，設(shè)函數(shù)與函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而得到，進(jìn)而得到，結(jié)合條件即可求解.【詳解】由題意得：，設(shè)函數(shù)與函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，又，則，所以，，，即，又，所以當(dāng)時(shí)，的最大值是，故答案為：；.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)最小值為，周期為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的最小值可得，再利用周期公式可求得，（2）由，得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【小問1詳解】由題意，所以【小問2詳解】由題意，因?yàn)椋?，于是，所以所以函?shù)的值域?yàn)?8.已知對(duì)應(yīng)關(guān)系.（1）若，求的值；（2）若對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，在區(qū)間內(nèi)都存在唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，借助指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系計(jì)算得解.（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合函數(shù)的定義得是從到的一個(gè)函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式恒成立求解.【小問1詳解】若，則，所以.【小問2詳解】依題意，為從區(qū)間到區(qū)間的一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)?，值域?yàn)榈淖蛹虼藛栴}轉(zhuǎn)化為時(shí)，有恒成立，令，即當(dāng)時(shí)，恒成立，于是對(duì)一切恒成立，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，從而，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知是不共線的三點(diǎn)，且滿足，直線與交于點(diǎn)，若.（1）求的值；（2）過點(diǎn)任意作一條動(dòng)直線交射線于兩點(diǎn)，，求最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖象，再利用平面向量基本定理列出方程組即可求解.（2）利用已知條件和的共線得出關(guān)系，再利用基本不等式求的最小值.【小問1詳解】由題意畫出圖像，因?yàn)?，所以且，注意到共線且共線，所以解得.【小問2詳解】由（1）和圖象可知，結(jié)合.于是，所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.于是的最小值為.20.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）給定實(shí)數(shù)且，問是否存在直線，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）偶函數(shù)，證明見解析；（2）存在符合題意．【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)利用偶函數(shù)的定義證明即可；（2）假設(shè)存在直線滿足題意，則，代入后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡得，從而可求得符合題意．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：∴，又函數(shù)的定義域?yàn)?，∴函?shù)為偶函數(shù)；（2）假設(shè)存在直線，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則，∴，即，即，∴，即，∴，∴，即，∵且，∴，故存在，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于難題．21.如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形，設(shè).（1）若，求線段的長；（2）已知當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大.求圓心角的大小，并求此時(shí)矩形面積的最大值是多少？【答案】（1）（2）時(shí)最大，最大值為【解析】【分析】（1）在中，求得，在中，，代入條件得解；（2）在中，求得，，得，求得矩形的面積，再利用三角恒變換化簡，分析得到面積的最大值，得解.【小問1詳解】，，.【小問2詳解】由題意知，，，，所以當(dāng)，即時(shí)，面積最大，最大值為.22.已知函數(shù)，函數(shù).令函數(shù).（1）若曲線與直線相切，①求實(shí)數(shù)的值；②證明：；（2）若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】（1）①0；②證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上求參即可，函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性求出最值即可證明；（2）根據(jù)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性知，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理證明即可.【小問1詳解】設(shè)曲線