《直線與角》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）知識講解

《直線與角》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）知識講解撰稿：孫景艷審稿：吳婷婷【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界抽象幾何圖形的過程，能說出常見的幾何體和平面圖形；2．掌握直線、射線、線段、角這些基本圖形的概念、表示方法、性質(zhì)、及畫法；3．初步學(xué)會應(yīng)用圖形與幾何的知識解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實(shí)際問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、幾何圖形1.幾何圖形的分類要點(diǎn)詮釋：在給幾何體分類時，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類結(jié)果.2.幾何圖形的構(gòu)成元素幾何體是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的.點(diǎn)動成線，線與線相交成點(diǎn)；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成.要點(diǎn)二、線段、射線、直線1.直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本事實(shí)(1)直線:兩點(diǎn)確定一條直線．(2)線段:兩點(diǎn)之間線段最短．要點(diǎn)詮釋：①本知識點(diǎn)可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.②兩條直線相交只有一個交點(diǎn).③兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離.3．線段的長短比較與運(yùn)算（1）線段的比較：①度量法；②疊合法；③估算法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.（3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：.要點(diǎn)詮釋：①線段中點(diǎn)的等價表述：如上圖，點(diǎn)M在線段上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn).②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn)，則有.要點(diǎn)三、角1．角的概念及其表示（1）角的定義：從一點(diǎn)引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，這個點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：要點(diǎn)詮釋：①角的兩種定義是從不同角度對角進(jìn)行的定義.②當(dāng)一個角的頂點(diǎn)有多個角的時候，不能用頂點(diǎn)的一個大寫字母來表示.2.角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β＝90°90°<∠β<180°∠β＝180°∠β＝360°3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.要點(diǎn)詮釋：①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進(jìn)行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一成60.4.角的比較與運(yùn)算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法；③估算法.（2）角的平分線：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.5.余角、補(bǔ)角（1）定義：如果兩個角的和等于一個平角，那么我們就稱這兩個角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ).如果兩個角的和等于一個直角，那么我們就稱這兩個角互為余角，簡稱互余.（2）性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等.要點(diǎn)詮釋：①余角(或補(bǔ)角)是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個角不能稱其為余角(或補(bǔ)角).②一個角的余角(或補(bǔ)角)可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”．6.方位角以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.要點(diǎn)詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測繪等實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛.要點(diǎn)四、用尺規(guī)作線段與角1.尺規(guī)作圖幾何中，通常用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圓，這種畫圓的方法叫做尺規(guī)作圖.2.用尺規(guī)作線段（1）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段.要點(diǎn)詮釋：畫一條線段等于已知線段①度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.②用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝ａ，如下圖：（2）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的倍數(shù).（3）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的和.（4）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的差.3.用尺規(guī)作角（1）用尺規(guī)作一個角等于已知角.（2）用尺規(guī)作一個角等于已知角的倍數(shù).（3）用尺規(guī)作一個角等于已知角的和.（4）用尺規(guī)作一個角等于已知角的差.【典型例題】類型一、幾何圖形1.觀察圖中的立體圖形，分別寫出它們的名稱．【答案】從左向右依次是：球、六棱柱、圓錐、正方體、三棱柱、圓柱、四棱錐、長方體．【解析】針對立體圖形的特征，直接填寫它們的名稱即可．【總結(jié)升華】熟記常見立體圖形的特征是解決此類問題的關(guān)鍵．類型二、線段和角的概念或性質(zhì)2.下列說法正確的是()A.射線AB與射線BA表示同一條射線.B.連結(jié)兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)之間的距離.C.平角是一條直線.D.若∠1+∠2＝900,∠1+∠3＝900,則∠2＝∠3.【答案】D【解析】選項(xiàng)A中端點(diǎn)和延伸方向不同，所以是兩條射線；選項(xiàng)B中兩點(diǎn)之間的距離是指線段的長度，是一個數(shù)值，而不是圖形；C中角和直線是兩種不同的概念，不能混淆.【總結(jié)升華】理解概念，掌握概念與概念的本質(zhì)區(qū)別，并進(jìn)行“比較”性分析和記憶．舉一反三：【變式】下列結(jié)論中，不正確的是（）．A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間，直線最短C．等角的余角相等 D．等角的補(bǔ)角相等【答案】B3.如圖所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方開溝，才能使溝最短?畫出圖來，并說明原因．【答案與解析】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．所以在點(diǎn)D沿CD開溝，才能使溝最短，原因是從直線外一點(diǎn)到直線上所有各點(diǎn)的連線中，垂線段最短．【總結(jié)升華】“如何開溝、使溝最短”，實(shí)質(zhì)上是如何過C點(diǎn)向AB引線段，使線段最短，這就是最熟悉的垂線的性質(zhì)的應(yīng)用．4.(廣西欽州)鐘表分針的運(yùn)動可看作是一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，一只標(biāo)準(zhǔn)時鐘的分針勻速旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過15分鐘旋轉(zhuǎn)了________度．【思路點(diǎn)撥】畫出圖形，利用鐘表表盤的特征解答．【答案】90【解析】根據(jù)鐘表的特征；整個鐘面是360°，分針每5分鐘旋轉(zhuǎn)30°，所以經(jīng)過15分鐘旋轉(zhuǎn)了90°．【總結(jié)升華】在鐘表問題中，常利用時針與分針轉(zhuǎn)動的度數(shù)關(guān)系：時鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一分鐘時的度數(shù)為6°，時針一分鐘轉(zhuǎn)過的度數(shù)為0.5°；兩個相鄰數(shù)字間的夾角為30°，每個小格夾角為6°，并且利用起點(diǎn)時間時針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形．舉一反三：【變式】100°－60°52′10″＝【答案】39°7′50″類型三、線段或角的計(jì)算1.方程的思想方法5.如圖所示，在射線OF上，順次取A、B、C、D四點(diǎn)，使AB:BC:CD＝2:3:4，又M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，已知AD＝90cm，求MN的長．【思路點(diǎn)撥】有關(guān)比例問題，可設(shè)每一份為x，列方程求解，再利用中點(diǎn)定義，找出線段的和、差．【答案與解析】解：設(shè)線段AB，BC，CD的長分別是2xcm，3xcm，4xcm，∵AB+BC+CD＝AD＝90cm，∴2x+3x+4x＝90，x＝10，∴AB＝20cm，BC＝30cm，CD＝40cm，∴MN＝MB+BC+CN＝AB+BC+CD＝10+30+20＝60(cm)．【總結(jié)升華】當(dāng)已知某線段被分成的幾條線段的長度比時，可根據(jù)比設(shè)未知數(shù)x，用x的式子表示相關(guān)的線段的長度，列方程求出x的值，進(jìn)而求出線段的長．舉一反三：【變式】如圖所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC和∠COD的度數(shù)．【答案】解：設(shè)∠AOB的度數(shù)為2x，則∠AOD的度數(shù)為7x．由∠AOD＝∠AOB+∠BOD及∠BOD＝100°，可得7x＝2x+100°．解得x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°．所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°＝60°，∠COD＝∠BOD-∠BOC＝100°-60°＝40°．2.分類的思想方法6.以∠AOB的頂點(diǎn)O為端點(diǎn)的射線OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4．(1)若∠AOB＝18°，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)；(2)若∠AOB＝m，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)．【答案與解析】解：(1)分兩種情況：①OC在∠AOB的外部，可設(shè)∠AOC＝5x，則∠BOC＝4x得∠AOB＝x，即x＝18°所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°②OC在∠AOB的內(nèi)部，可設(shè)∠AOC＝5x，則∠BOC＝4x∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x所以9x＝18°，則x＝2°所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8°（2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，則∠AOC＝，∠BOC＝，或∠AOC＝5m，∠BOC＝4m．【總結(jié)升華】本題中的已知條件沒有明確地說明OC在∠AOB的內(nèi)部或外部，所以兩個問題都必須分類討論．舉一反三：【變式1】已知線段AB＝8cm，在直線AB上畫線段BC＝3cm，求線段AC的長．【答案】解：分兩種情況：(1)如圖(1)，AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)；(2)如圖(2)，AC＝AB+BC＝8+3＝11(cm)．所以線段AC的長為5cm或11cm．【變式2】下列判斷正確的個數(shù)有()．①已知A、B、C三點(diǎn)，過其中兩點(diǎn)畫直線一共可畫三條．②過已知任意三點(diǎn)的直線有1條．③三條直線兩兩相交，有三個交點(diǎn)．A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】A3.類比的思想方法【高清課堂：圖形認(rèn)識初步章節(jié)復(fù)習(xí)\o"查看資源信息"399079類比思想例5】7.(1)如圖,線段AD上有兩點(diǎn)B、C,圖中共有______條線段.(2)如圖，在∠AOD的內(nèi)部有兩條射線OB、OC，則圖中共有個角.【答案】（1）6；（2）6.【解析】（1）以A為端點(diǎn)的線段有3條，同樣以B,C,D為一個端點(diǎn)的線段也各有3條，又因?yàn)樗芯€段均重復(fù)了一次，所以共有線段條數(shù)：（條）.（2）以射線OA為一邊的角有3個，同樣以O(shè)B，OC，OD為一邊的角也各有3個，又因?yàn)樗薪蔷貜?fù)一次，所以共有角的個數(shù)：（個）.【總結(jié)升華】用同樣的方法解決了不同的問題，用已知的知識類比地學(xué)習(xí)未知的內(nèi)容.類型四、線段或角的