數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)4.1區(qū)間估計(jì)的基本概念4.2正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間

區(qū)間估計(jì)4.3非正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間4.1區(qū)間估計(jì)的基本概念可靠度：越大越好

估計(jì)你的年齡八成在21—28歲之間區(qū)間：越小越好被估參數(shù)可靠度范圍、區(qū)間4.1.1參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題引例：在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)n

的極大似然估計(jì)為1000條.實(shí)際上，n

的真實(shí)值可能大于1000條，也可能小于1000條.為此，希望確定一個(gè)區(qū)間來估計(jì)參數(shù)n.a

使我們能以比較高的可靠程度相信它包含參數(shù)真值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的b

區(qū)間估計(jì)的精度要高.定義4.1.1：設(shè)是一個(gè)參數(shù)分布族，

其中Θ為參數(shù)空間，g(

)是定義在Θ上的一個(gè)已知函數(shù)，

X1,X2,…,Xn

是從分布族中的某總體f(x，

)中抽取的樣本.

是定義在樣本空間χ上的函數(shù)，且滿足則稱隨機(jī)區(qū)間為g(

)的一個(gè)區(qū)間估計(jì).令4.1.2區(qū)間估計(jì)的定義根據(jù)這個(gè)定義，從形式上看，任何一個(gè)滿足條件既然一個(gè)未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)有很多種，如何從中挑選一個(gè)好的區(qū)間估計(jì)？的統(tǒng)計(jì)量和都可以構(gòu)成g(

)的一個(gè)區(qū)間估計(jì)解決辦法：就需要給出刻畫區(qū)間估計(jì)優(yōu)劣的準(zhǔn)則和標(biāo)準(zhǔn).評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：可靠度與精度(精確度).1可靠度要求g(

)以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.2精度估計(jì)的精度要盡可能的高.如:要求隨機(jī)區(qū)間的平均長(zhǎng)度越短越好.即要求估計(jì)盡量可靠.Neyman提出的妥協(xié)方案在保證可靠度的前提下，選擇精度盡可能高的區(qū)間估計(jì).如果在應(yīng)用中要求可靠度和精度都很高，則必須加大樣本容量，即多做一些實(shí)驗(yàn)，才可能實(shí)現(xiàn).如何構(gòu)造可靠度和精度盡可能高的區(qū)間估計(jì)？對(duì)于一個(gè)區(qū)間估計(jì)來說，當(dāng)樣本容量固定的時(shí)候，提高可靠度就要降低精度，提高精度就得降低可靠度.為該區(qū)間估計(jì)的置信水平或置信度.不失一般性，我們假設(shè)待估參數(shù)就是

本身，即g(

)

=

.定義4.1.2：設(shè)隨機(jī)區(qū)間是參數(shù)

的一個(gè)區(qū)間估計(jì)，稱包含

的概率(1)這個(gè)概率與

有關(guān).(2)若對(duì)參數(shù)空間Θ中任一

，其置信水平都很大，

則這個(gè)區(qū)間估計(jì)就是一個(gè)好的區(qū)間估計(jì).定義4.1.3：設(shè)隨機(jī)區(qū)間是參數(shù)

的一個(gè)區(qū)間估計(jì)，置信水平在參數(shù)空間Θ上的下確界稱為該區(qū)間估計(jì)的置信系數(shù).一個(gè)區(qū)間估計(jì)的置信水平越大越好.為了計(jì)算置信水平和置信系數(shù)，需要利用統(tǒng)計(jì)量的精確分布或者漸近分布.精度的標(biāo)準(zhǔn)不止一個(gè).只介紹最常見的，隨機(jī)區(qū)間的平均長(zhǎng)度越短越好這一標(biāo)準(zhǔn)，即下面的這個(gè)例子說明了精度，置信水平(置信度)及其它們的關(guān)系.越小越好用來構(gòu)造參數(shù)μ的區(qū)間估計(jì).試分析這個(gè)區(qū)間估計(jì)的置信水平和估計(jì)精度之間的關(guān)系.令=(μ,σ2)，上述區(qū)間估計(jì)的置信水平為解：為什么用這個(gè)區(qū)間？例4.1.1設(shè)X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)，其中-∞<μ<∞,σ2>0，

μ

和σ2的估計(jì)量分別是樣本均值和樣本方差.顯然，k越大，置信水平越大，區(qū)間估計(jì)越可靠.下面考慮區(qū)間的平均長(zhǎng)度其中其分布與參數(shù)

無關(guān).因此，區(qū)間估計(jì)的置信水平為顯然，k越大，區(qū)間平均長(zhǎng)度越長(zhǎng)，精度越低.k越大，區(qū)間的置信水平越大，區(qū)間越可靠.由于，因此區(qū)間估計(jì)的平均長(zhǎng)度為由此例可以看出：在樣本容量n給定后，為了提高置信水平，需要增加k值，從而增加了區(qū)間長(zhǎng)度，降低了精度.置信水平與精度相互制約著.著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家Neyman提出了妥協(xié)方案：保證置信水平達(dá)到指定要求的前提下，盡可能提高精度.由此引入置信區(qū)間的概念.通常置信區(qū)間也稱為Neyman置信區(qū)間定義4.1.4：設(shè)隨機(jī)區(qū)間是參數(shù)

的一個(gè)區(qū)間估計(jì)，對(duì)給定0<α<1，如果對(duì)任意

Θ，都有成立，則稱是參數(shù)

的置信水平為1-α的置信區(qū)間.

稱為相應(yīng)的置信系數(shù).1.對(duì)于樣本(X1,X2

,…,Xn)

置信水平不小于1-α，但是在實(shí)際問題中我們常常要求取滿足.隨機(jī)區(qū)間的置信區(qū)間.說明：2.對(duì)于樣本觀察值(x1,x2

,…,xn)常數(shù)區(qū)間只有兩個(gè)結(jié)果，包含θ

和不包含θ.此時(shí)，不能說：沒有隨機(jī)變量，自然不能談概率說明：

和都是隨機(jī)變量的函數(shù)，因而也是隨機(jī)變量.但是給定樣本觀察值

就得到一個(gè)具體的閉區(qū)間，我們以1-α的概率保證未知參數(shù)在得到的100個(gè)區(qū)間中包含參數(shù)

真值的平均有95個(gè)左右，不包含參數(shù)

真值的平均有5個(gè)左右.如：取1?

=0.95.若重復(fù)抽樣100次，樣本觀察值為對(duì)應(yīng)的常數(shù)區(qū)間為3.區(qū)間估計(jì)有時(shí)用開區(qū)間或半開半閉區(qū)間，但從置信水平角度考慮，這幾種區(qū)間估計(jì)沒有本質(zhì)的區(qū)別.說明：4.實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常取α

為0.01,0.05,0.1等.在一些實(shí)際問題中，有時(shí)候感興趣的僅僅是未知參數(shù)的置信上限或者置信下限.例如：一種新材料的強(qiáng)度，關(guān)心的是它最低不少于多少；一個(gè)工廠的廢品率，關(guān)心它最高不超過多少.這些也是區(qū)間估計(jì)，稱為置信上限或者置信下限.定義如下：定義4.1.5：設(shè)總體X的分布為f(x,θ)，其中θ為未知參數(shù)，θ∈Θ，Θ為參數(shù)空間，X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本，給定0<α<1，對(duì)于任意θ∈Θ,存在統(tǒng)計(jì)量

使得存在統(tǒng)計(jì)量

使得則稱隨機(jī)區(qū)間是θ的置信水平為1?α的單側(cè)置信區(qū)間.稱為置信水平為1?α的為單側(cè)置信下限.則稱隨機(jī)區(qū)間是θ的置信水平為1?α的單側(cè)置信區(qū)間.稱為置信水平為1?α的為單側(cè)置信上限.分別稱為置信上限下限的置信系數(shù)越大，則置信下限的精度越高.

對(duì)置信上限而言，若越小，則置信上限的精度越高.單側(cè)置信上、下限都是置信區(qū)間的特例.因此，尋求置信區(qū)間的方法可以用來求置信上、下限.單側(cè)置信限與雙側(cè)置信區(qū)間之間存在一個(gè)簡(jiǎn)單的聯(lián)系.對(duì)置信下限而言，若引理4.1.1設(shè)和分別是參數(shù)

的置信水平為1-α1和1-α2的單側(cè)置信下限和單側(cè)置信上限，且對(duì)任何樣本X1,X2,…,Xn，都有則是參數(shù)

的置信水平為

1-(α1+α2)的置信區(qū)間.在引理的假定下，下列三個(gè)事件互不相容，“三個(gè)事件之并”為“必然事件”.證明:考慮因此引理4.1.1說明:在有了單側(cè)置信上、下限后，不難求得置信區(qū)間.定義4.1.6：設(shè)有一個(gè)參數(shù)分布族，Θ是參數(shù)空間，其中.X1,X2,…,Xn是來自分布族中某總體f(x,

)的樣本.若統(tǒng)計(jì)量S(X1,X2,…,Xn

)滿足(1)對(duì)任一樣本X1,X2,…,Xn

X,S(X1,X2,…,Xn

)是Θ的一個(gè)子集；(2)對(duì)給定的0<α<1，則稱S(X1,X2,…,Xn

)是

的置信水平為1-α的置信域.稱為置信系數(shù).應(yīng)用最廣泛的區(qū)間估計(jì)的形式是：Neyman置信區(qū)間.1.樞軸變量法：基于點(diǎn)估計(jì)構(gòu)造樞軸變量.2.利用假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)造置信區(qū)間.構(gòu)造置信區(qū)間的方法：Neyman假設(shè)檢驗(yàn)如何學(xué)：統(tǒng)計(jì)思想！?。∽鳂I(yè)：習(xí)題4.1：4，54.2正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間樞軸量法的基本要點(diǎn):在參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上去構(gòu)造參數(shù)的置信區(qū)間.主要思想是：點(diǎn)估計(jì)是基于樣本獲得的最可能接近參數(shù)真值的估計(jì)量，圍繞點(diǎn)估計(jì)值構(gòu)造的區(qū)間估計(jì)包含參數(shù)真實(shí)值的可能性會(huì)大一些.4.2.1樞軸量法求參數(shù)μ

的置信水平為1-

α的置信區(qū)間.例4.2.1設(shè)X1,X2,…,Xn

是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，其中μ是未知參數(shù)，σ>0已知.下面通過一個(gè)例子來說明基于點(diǎn)估計(jì)構(gòu)造置信區(qū)間的方法.解:~N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)化選μ的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)(UMVUE)尋找一個(gè)待估參數(shù)μ和估計(jì)量的函數(shù)有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.要求：其分布已知，且與待估參數(shù)μ

無關(guān).對(duì)于給定的置信水平,根據(jù)U的分布，確定一個(gè)區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.對(duì)給定的置信水平1-

α使其中uα/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α/2分位數(shù).不等式等價(jià)變形得到因此，參數(shù)μ的置信水平為1-

α的置信區(qū)間為

樞軸量法構(gòu)造置信區(qū)間的步驟如下第一步：找待估參數(shù)

的一個(gè)良好點(diǎn)估計(jì)T(X1,X2,…,Xn)

.上例中的點(diǎn)估計(jì)是第二步：構(gòu)造T(X1,X2,…,Xn)

和

的函數(shù)

G(T，

)

，滿足(1)表達(dá)式G(T，

)與待估參數(shù)

有關(guān)(2)

G(T，

)的分布與待估參數(shù)

無關(guān)上例中且U~N(0，1).第三步：對(duì)給定的0<

<1，確定兩個(gè)常數(shù)a,b，使解括號(hào)中的不等式得到即步驟2中構(gòu)造的函數(shù)G(T(X1,X2,…,Xn)

，

)

被稱為樞軸量.上述構(gòu)造置信區(qū)間的方法稱為樞軸量法.因此是參數(shù)

的置信水平為1-

的置信區(qū)間.定義4.2.1：令G(X1,X2,…,Xn,

)

是樣本X1,X2,…,Xn和參數(shù)

的一個(gè)可測(cè)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)G(X1,X2,…,Xn,

)

的分布不依賴于參數(shù)

時(shí)，G(X1,X2,…,Xn,

)被稱為樞軸量.使用樞軸量法構(gòu)造置信區(qū)間注意以下幾點(diǎn).1.樞軸量通常不是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，但是其分布已知.2.如果被估計(jì)量為參數(shù)

的函數(shù)g(

)

，g(

)是定義在參數(shù)空間

Θ上的單調(diào)增函數(shù)，假設(shè)已知參數(shù)

的置信區(qū)間為，

則

g(

)的置信區(qū)間為.如果

g(

)是定義在參數(shù)空間

Θ上的單調(diào)減函數(shù)，

則

g(

)的置信區(qū)間為.3.上述樞軸量方法中，最關(guān)鍵在于構(gòu)造樞軸量.由于一個(gè)“好”

的點(diǎn)估計(jì)量落在被估計(jì)量附近處的概率比較大，盡量用好的

估計(jì)量構(gòu)造置信區(qū)間，使得置信區(qū)間有更好的精度.4.經(jīng)常選取a,b滿足.這是一種習(xí)慣做法，此時(shí)，置信區(qū)間不一定是最短的.5.上面的方法對(duì)于置信上限和置信下限也適用.

選取常數(shù)a(或b)，使得由此可以構(gòu)造參數(shù)

的函數(shù)g

(

)的置信上限或置信下限.4.2.2單個(gè)正態(tài)總體均值的置信區(qū)間正態(tài)分布

N(μ,σ2)是常用的分布.尋求它的兩個(gè)參數(shù)

μ

和

σ2

的置信區(qū)間是實(shí)際中常遇到的問題,下面分幾種情況加以討論.設(shè)X1,X2,…,Xn

是來自正態(tài)總體

N(μ,σ2)

的樣本.記分別為樣本均值和樣本方差.下面，我們分兩種情況來討論正態(tài)總體均值參數(shù)置信區(qū)間的構(gòu)造方法.一σ2已知，求參數(shù)μ

的置信區(qū)間這個(gè)問題已經(jīng)在例4.2.1進(jìn)行了討論.σ2已知情況下，參數(shù)μ

的置信水平為1-α的置信區(qū)間為置信區(qū)間的長(zhǎng)度為說明：2.置信區(qū)間的中心是樣本均值；1.ln越小，置信區(qū)間提供的信息越精確；3.樣本容量n給定的情況下，

2

越大，則ln越大，精度越低.因?yàn)榭傮w方差越大，隨機(jī)影響越大，參數(shù)μ的估計(jì)變得不容易了.說明：5.樣本容量n越大，置信區(qū)間越短，精度越高；4.

減小α

的值，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)uα/2增大，

區(qū)間的置信水平1?α增加，但是區(qū)間長(zhǎng)度也隨之

增加，區(qū)間精度降低.

因此，置信區(qū)間長(zhǎng)度越長(zhǎng)，精度越低.

6.給定置信水平置信水平1?α，可以利用上述關(guān)系來確定合適的樣本容量.置信水平1?α固定，要使區(qū)間長(zhǎng)度其中l(wèi)0為給定的常數(shù),則其中[x]表示實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分.例4.2.2假設(shè)某流水線生產(chǎn)的某型號(hào)電容元器件的容量服從正態(tài)分布，N(μ,0.052),通過簡(jiǎn)單隨機(jī)采樣獲得下面一組樣本的觀察值(單位：μF)0.993,0.877,1.043,1.057,1.073,0.875.試求參數(shù)μ的置信水平為95%的置信區(qū)間.如果希望獲得的區(qū)間估計(jì)的長(zhǎng)度不超過0.05，還應(yīng)該增加多少樣本觀察值?解:由于1-α=0.95，σ=0.05，n=6查表得uα/2=u0.025(5)=1.96代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到μ的置信水平為95％的置信區(qū)間為上述區(qū)間估計(jì)的長(zhǎng)度為0.08>0.05.要達(dá)到區(qū)間長(zhǎng)度不大于0.05的要求，就需要增加樣本容量，即所以，如果讓區(qū)間估計(jì)長(zhǎng)度不超過0.05就需要再增加10個(gè)觀察值.不是統(tǒng)計(jì)量二σ2未知，求參數(shù)μ

的置信區(qū)間方差σ2已知，均值μ

的置信區(qū)間為方差σ2未知想法：用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替總體標(biāo)準(zhǔn)差

.包含了未知參數(shù)

不能作為樞軸變量

由抽樣分布定理知：由于T的表達(dá)式與μ

有關(guān)，而T的分布與μ無關(guān)，因此取T作為樞軸量.

對(duì)給定的置信水平1-α

,確定分位數(shù)tα/2(n-1)使即不等式等價(jià)變形得到其中

tα/2(n-1)

是自由度n-1的t分布的上??/2分位數(shù).μ

的置信水平為1-α的置信區(qū)間為解:由于1-α=0.95，n=6查表得tα/2(n-1)=t0.025(5)=2.571代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到μ的置信水平為95％的置信區(qū)間為例4.2.3假設(shè)某流水線生產(chǎn)的某型號(hào)電容元器件的容量服從正態(tài)分布，N(μ,σ2),通過簡(jiǎn)單隨機(jī)采樣獲得下面一組樣本的觀察值(單位：μF)0.993,0.877,1.043,1.057,1.073,0.875.試求參數(shù)μ的置信水平為95%的置信區(qū)間.例4.2.4根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)知道某式槍彈底火殼二臺(tái)高X服從正態(tài)分布N(

,

2)，現(xiàn)在隨機(jī)抽取底火殼20個(gè)，測(cè)得二臺(tái)高X的結(jié)果(單位：mm)為4.964.954.924.944.964.944.974.964.974.97

5.014.974.985.014.974.984.994.985.005.00(1)當(dāng)

2=0.0172已知時(shí)，求底火殼二臺(tái)高X的均值

的置信水平為95%的置信區(qū)間.(2)當(dāng)

2未知時(shí)，求底火殼二臺(tái)高X的均值

的置信水平為95%的置信區(qū)間.解：(1)因?yàn)?/p>

2已知，因此底火殼二臺(tái)高X的均值

的置信區(qū)間為計(jì)算得易知

n=20代入上式得到

的置信區(qū)間為[4.964,4.979]這就是說，我們有95%的把握斷定區(qū)間[4.968,4.979]包含底火殼二臺(tái)高X的均值EX.查表得(2)當(dāng)

2未知時(shí)，均值

的置信水平為95%的置信區(qū)間為查表得計(jì)算得代入上式得到

的置信區(qū)間為[4.96,4.983]說明：從上面兩個(gè)例子可以看出，當(dāng)σ2未知時(shí)，參數(shù)

的區(qū)間估計(jì)相對(duì)會(huì)變長(zhǎng)，精度會(huì)降低.解：選方差σ2的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)為(UMVUE)且表達(dá)式與σ2有關(guān)，但其分布與σ2

無關(guān)，因此，取其作為樞軸量.一

μ

已知，求參數(shù)σ2

的置信區(qū)間設(shè)X1,X2,…,Xn

是來自正態(tài)總體

N(μ,σ2)

的樣本，其中均值μ

已知，求方差σ2的置信水平為1-α的置信區(qū)間.4.2.3單個(gè)正態(tài)總體方差的置信區(qū)間對(duì)給定的置信水平1-α

,取c1和

c2滿足滿足上式的

c1和

c2

有無窮對(duì)，其中有一對(duì)c1和

c2

使得區(qū)間長(zhǎng)度最短.但是這樣一對(duì)

c1和

c2不易求得且表達(dá)式復(fù)雜，應(yīng)用不方便.一般令c1和

c2滿足其中從中解得即為參數(shù)σ2置信水平為1-α的一個(gè)置信區(qū)間.解：例4.2.5假設(shè)某流水線生產(chǎn)某品牌的罐裝橙汁，按照要求罐裝橙汁量的均值為350ml并且服從正態(tài)分布，為了評(píng)估該流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品的一致性，通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得下面的觀察值348.04,354.59,354.46,348.03,351.54,352.04,345.93,347.68,351.60,349.67.試求該流水線生產(chǎn)產(chǎn)品方差σ2的置信水平為95%的置信區(qū)間.由于n=10，μ=350查表得因此代入數(shù)據(jù)得到參數(shù)σ2的置信水平為95%的置信區(qū)間為：σ2的置信水平為1-α的一個(gè)置信區(qū)間.取樞軸量對(duì)給定的置信水平1-α

,確定分位數(shù)使從中解得二

μ

未知，求參數(shù)σ2

的置信區(qū)間

2的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)為S2(UMVUE).且知：選取兩個(gè)常數(shù)均值μ

未知，標(biāo)準(zhǔn)差σ

的置信水平1-α

的置信區(qū)間為均值μ

未知，方差σ2

的置信水平1-α

的置信區(qū)間為解：例4.2.6假設(shè)某流水線生產(chǎn)某品牌的罐裝橙汁，按照要求罐裝橙汁量服從正態(tài)分布，但是均值未知，為了評(píng)估該流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品的一致性，通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得下面的觀察值348.04,354.59,354.46,348.03,351.54,352.04,345.93,347.68,351.60,349.67.試求該流水線生產(chǎn)產(chǎn)品方差σ2的置信水平為95%的置信區(qū)間.由于n=10，μ=350查表得因此代入數(shù)據(jù)得到參數(shù)σ2的置信水平為95%的置信區(qū)間為：σ2的置信水平為1-α的置信區(qū)間為待估參數(shù)其它參數(shù)樞軸量及分布置信區(qū)間μσ2已知σ2未知σ2μ未知μ已知單個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間(置信水平為1-α)在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)碰到對(duì)兩個(gè)正態(tài)總體的均值或者方差進(jìn)行比較的問題.比如比較工藝改進(jìn)之后生產(chǎn)線的產(chǎn)量是否有提升(均值比較)比較兩個(gè)流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量波動(dòng)大小(方差比較).我們分四種情況討論均值差μ2-μ1的置信水平為1?α的置信區(qū)間.設(shè)X1,X2,…,Xm是來自正態(tài)總體N(μ1,σ12)的樣本，Y1,Y2

,…,Yn是來自正態(tài)總體N(μ2,σ22)的樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立分別表示兩個(gè)樣本的樣本均值和樣本方差4.2.4兩個(gè)正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間由正態(tài)分布的性質(zhì)可得由于

2?

1一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)為且有一

12,

22均已知，求μ2-μ1的置信區(qū)間取T作為樞軸量對(duì)于置信水平1?α，選擇分位數(shù)為

uα/2，可得將其標(biāo)準(zhǔn)化后得：可將上式等價(jià)轉(zhuǎn)化為均值差

2?

1的置信水平為1?α的單側(cè)置信上、下限為因此，均值差

2?

1的置信水平為1?α的置信區(qū)間為易知由于σ2未知，可用樣本方差S2代替.？相互獨(dú)立二

12=

22=

2未知，求μ2-μ1的置信區(qū)間可得其中取T作為樞軸量對(duì)于置信水平1?α，選擇分位數(shù)tα/2(m+n?2)，有樞軸量因此，均值差

2?

1的置信水平1?α的置信區(qū)間為均值差

2?

1的置信水平為1?α的單側(cè)置信上、下限為令Zi=Yi

Xi，i=1,2,…,n，則且Z1,Z2,…,Zn獨(dú)立同分布，故

Z1,Z2,…,Zn可視為從總體

中抽取的樣本，令則三

12，

22

不相等且未知，但m=n，求μ2-μ1的置信區(qū)間作為樞軸量.類似于單正態(tài)總體時(shí)，均值的區(qū)間估計(jì)方法，得

2?

1的置信水平為1?α的置信區(qū)間為均值差

2?

1的一個(gè)置信水平為1?α的單側(cè)置信上、下限為一般地，這個(gè)方法在m=n很大時(shí)使用，較小時(shí)不常用.四

12，

22

未知，且不相等，

m，n也不相等，求μ2-μ1的置信區(qū)間著名的Behrens-Fisher問題.這是Behrens在1929年從實(shí)際應(yīng)用中提出的問題，它的幾種特殊情況已經(jīng)得到解決.但一般情況沒有簡(jiǎn)單、精確的解法.Fisher首先研究了這個(gè)問題，并對(duì)一般情況給出近似的解法例4.2.7在某電子產(chǎn)品的試驗(yàn)過程中，工程師們需要了解兩個(gè)路線上的電壓差.因此，用相同精度的儀器對(duì)兩個(gè)路線上的電壓進(jìn)行5次重復(fù)測(cè)量，獲得的數(shù)據(jù)為儀器設(shè)備的測(cè)量方差為σ2=0.0225已知.試分析兩個(gè)路線上的電壓差的置信水平為95%的置信區(qū)間.第一條路線40.059,39.921,39.692,40.101,40.123第二條路線61.189,61.317,61.445,61.099,61.391解:首先，這個(gè)問題是一個(gè)方差已知的均值差置信區(qū)間的構(gòu)造問題.兩個(gè)樣本的樣本容量n=m=5.均值差

2?

1的置信水平1?α的置信區(qū)間為通過計(jì)算及查表可以獲得令X1,X2,…,X5表示第一條路線的樣本來自正態(tài)分布N(μ1,0.152)，Y1,Y2

,…,Y5

表示第二條路線的樣本來自正態(tài)分布N(μ2,0.152)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到例4.2.8在某電子產(chǎn)品的試驗(yàn)過程中，工程師們需要了解兩個(gè)路線上的電壓差.因此，用相同精度的儀器對(duì)兩個(gè)路線上的電壓進(jìn)行5次重復(fù)測(cè)量，獲得的數(shù)據(jù)為儀器設(shè)備的測(cè)量方差未知.試分析兩個(gè)路線上的電壓差的置信水平為95%的置信區(qū)間.第一條路線40.059,39.921,39.692,40.101,40.123第二條路線61.189,61.317,61.445,61.099,61.391解:首先，這個(gè)問題是一個(gè)方差未知但相等的均值差置信區(qū)間的構(gòu)造問題.均值差

2?

1的置信水平為1?α的置信區(qū)間為通過計(jì)算及查表可以獲得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到待估參數(shù)條件樞軸量及其分布置信區(qū)間

2?

1未知但m=n兩個(gè)正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間(置信水平為1-α)在實(shí)際中，我們也經(jīng)常會(huì)碰到比較兩個(gè)總體方差的問題.例如，流水線設(shè)備進(jìn)行升級(jí)換代以后，生產(chǎn)的產(chǎn)品指標(biāo)的一致性之間的差異比較問題.同樣，在方差比置信區(qū)間的構(gòu)造問題中，均值是討厭參數(shù)，我們也需要分情況來進(jìn)行討論.我們分兩種情況討論方差比σ12/σ22的置信水平為1?α的置信區(qū)間.設(shè)X1,X2,…,Xm是來自正態(tài)總體N(μ1,σ12)的樣本，Y1,Y2

,…,Yn是來自正態(tài)總體N(μ2,σ22)的樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立分別表示兩個(gè)樣本的樣本均值和樣本方差4.2.5兩個(gè)正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間記和顯然由于和相互獨(dú)立，因此一

均值

1和

2均已知，求σ12/σ22

的置信區(qū)間.由于F的表達(dá)式與

12/

22有關(guān)，但是其分布與

12/

22無關(guān).取F作為樞軸量.對(duì)于給定置信水平1-α,找c1和c2使得滿足上式的c1和c2有無窮對(duì)，其中有一對(duì)c1和c2使得區(qū)間長(zhǎng)度最短.但是這樣一對(duì)c1和c2不易求得且表達(dá)式復(fù)雜，應(yīng)用不方便.一般令c1和c2滿足根據(jù)F分布上分位數(shù)得到c1=F1?α/2(m,n)和c2=Fα/2(m,n)利用不等式等價(jià)變形得到均值均已知情形下，方差比

12/

22的置信水平為1?α的置信區(qū)間為其中二

均值

1和

2均未知，求σ12/σ22

的置信區(qū)間.

12/

22一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)為S12/S22,且有相互獨(dú)立所以有樞軸量由于F的表達(dá)式與

12/

22有關(guān)，但是其分布與

12/

22無關(guān).F作為樞軸量.對(duì)于給定置信水平1-α,找c1和c2使得滿足上式的c1和c2有無窮對(duì)，其中有一對(duì)c1和c2使得區(qū)間長(zhǎng)度最短.但是這樣一對(duì)c1和c2不易求得且表達(dá)式復(fù)雜，應(yīng)用不方便.一般令c1和c2滿足均值均未知情形下，方差比

12/

22的置信水平為1?α的置信區(qū)間為根據(jù)F分布上分位數(shù)得到

利用不等式等價(jià)變形得到其中待估參數(shù)條件樞軸量及其分布置信區(qū)間

1，

2均已知

1,

2

均未知

方差比置信區(qū)間的含意1.若

12/

22的置信上限小于1，則說明總體N(μ1,σ12)的波動(dòng)性較小.2.若

12/

22的置信下限大于1，則說明總體N(μ1,σ12)的波動(dòng)性較大.3.當(dāng)置信區(qū)間包含數(shù)1，則難以從這次試驗(yàn)中判定兩個(gè)總體波動(dòng)性

的大小.作業(yè)：習(xí)題4.2：1，4，5，9，11，14，1618，20，214.3非正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間樞軸量的分布有時(shí)容易求得，有時(shí)并不容易求得.當(dāng)樞軸量的精確分布不容易獲得的時(shí)候，就需要利用大樣本理論來獲得樞軸量的漸近分布，并基于漸近分布構(gòu)造參數(shù)的置信區(qū)間.下面，我們來介紹非正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間的構(gòu)造方法：

一是小樣本方法，即樞軸量的精確分布已知.二是大樣本方法，即樞軸量的精確分布不容易獲得.4.3.1小樣本方法一指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間其中λ>0是未知參數(shù)設(shè)X1,X2,…,Xn是來自指數(shù)分布總體X

的樣本，其密度函數(shù)為問題：構(gòu)造參數(shù)λ

或者1/λ

的置信水平為1-α的置信區(qū)間.背景：指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間在實(shí)際工程和科學(xué)研究中，特別是在可靠性分析中有非常廣泛的應(yīng)用.解:1/λ的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)(且是UMVUE)，因此，取作為樞軸量.由于對(duì)給定置信水平1-α

(0<α<l)，只要取c1

和c2

滿足如何確定c1

和c2，滿足上式的c1

和c2有無窮對(duì)，其中有一對(duì)c1

和c2使得區(qū)間長(zhǎng)度最短.但是這樣一對(duì)c1

和c2不易求得且表達(dá)式復(fù)雜，應(yīng)用不方便.通常采用下列方法，一般令c1

和c2滿足其中這樣找到的c1

和c2雖不能使置信區(qū)間的精度最高，但是表達(dá)式簡(jiǎn)單，可通過χ2分布的上α分位數(shù)表求得，應(yīng)用上很方便.因此有利用不等式等價(jià)變形得λ的置信水平為l-α的置信區(qū)間為同理得到λ

的置信水平為1-α的置信下限和上限分別為1/λ

的置信水平為1-α的置信區(qū)間為例4.3.1

某工廠生產(chǎn)某種電子元器件，為了了解該電子元器件的壽命，工程師從生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了10個(gè)樣品進(jìn)行測(cè)試并獲得其壽命數(shù)據(jù)為(單位：千小時(shí))：51.198，29.092，154.949，94.141，54.775，225.471，79.341，38.891，205.883，195.727已知這種電子元器件的壽命分布為指數(shù)分布E(λ)，試根據(jù)上述試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析該電子元器件平均壽命1/λ的置信水平為95%的置信區(qū)間.解：則1/λ的置信水平為95%的置信區(qū)間為n=10，由樣本算得，查表得二均勻分布參數(shù)的置信區(qū)間設(shè)X1,X

2,…，Xn

是來自均勻分布U[0,θ],θ>0,的樣本，問題：構(gòu)造參數(shù)θ的置信水平為1-α的置信區(qū)間.解：X(n)是θ

的極大似然估計(jì)又是充分統(tǒng)計(jì)量，的密度函數(shù)為因此取作為樞軸量對(duì)給定置信水平1-α(0<α<1)，只要取c1和c2滿足而等價(jià)變形為考慮區(qū)間平均長(zhǎng)度最短的要求得到因此，θ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為即：4.3.2大樣本方法背景：兩點(diǎn)分布在實(shí)際應(yīng)用和科學(xué)研究中的應(yīng)用也比較廣泛.比如，工程師經(jīng)常用兩點(diǎn)分布來描述生產(chǎn)線上產(chǎn)品的狀態(tài).問題：令X表示產(chǎn)品的狀態(tài)，取值為{0(正品)，1(次品)}，則X的分布為兩點(diǎn)分布.工程師關(guān)心