數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：區(qū)間估計(jì)的基本概念

區(qū)間估計(jì)的基本概念可靠度：越大越好

估計(jì)你的年齡八成在21—28歲之間區(qū)間：越小越好被估參數(shù)可靠度范圍、區(qū)間4.1.1參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題引例：在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)n

的極大似然估計(jì)為1000條.實(shí)際上，n

的真實(shí)值可能大于1000條，也可能小于1000條.為此，希望確定一個(gè)區(qū)間來(lái)估計(jì)參數(shù)n.a

使我們能以比較高的可靠程度相信它包含參數(shù)真值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的b

區(qū)間估計(jì)的精度要高.定義4.1.1：設(shè)是一個(gè)參數(shù)分布族，

其中Θ為參數(shù)空間，g(

)是定義在Θ上的一個(gè)已知函數(shù)，

X1,X2,…,Xn

是從分布族中的某總體f(x，

)中抽取的樣本.

是定義在樣本空間χ上的函數(shù)，且滿足則稱隨機(jī)區(qū)間為g(

)的一個(gè)區(qū)間估計(jì).令4.1.2區(qū)間估計(jì)的定義根據(jù)這個(gè)定義，從形式上看，任何一個(gè)滿足條件既然一個(gè)未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)有很多種，如何從中挑選一個(gè)好的區(qū)間估計(jì)？的統(tǒng)計(jì)量和都可以構(gòu)成g(

)的一個(gè)區(qū)間估計(jì)解決辦法：就需要給出刻畫區(qū)間估計(jì)優(yōu)劣的準(zhǔn)則和標(biāo)準(zhǔn).評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：可靠度與精度(精確度).1可靠度要求g(

)以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說(shuō)，概率要盡可能大.2精度估計(jì)的精度要盡可能的高.如:要求隨機(jī)區(qū)間的平均長(zhǎng)度越短越好.即要求估計(jì)盡量可靠.Neyman提出的妥協(xié)方案在保證可靠度的前提下，選擇精度盡可能高的區(qū)間估計(jì).如果在應(yīng)用中要求可靠度和精度都很高，則必須加大樣本容量，即多做一些實(shí)驗(yàn)，才可能實(shí)現(xiàn).如何構(gòu)造可靠度和精度盡可能高的區(qū)間估計(jì)？對(duì)于一個(gè)區(qū)間估計(jì)來(lái)說(shuō)，當(dāng)樣本容量固定的時(shí)候，提高可靠度就要降低精度，提高精度就得降低可靠度.為該區(qū)間估計(jì)的置信水平或置信度.不失一般性，我們假設(shè)待估參數(shù)就是

本身，即g(

)

=

.定義4.1.2：設(shè)隨機(jī)區(qū)間是參數(shù)

的一個(gè)區(qū)間估計(jì)，稱包含

的概率(1)這個(gè)概率與

有關(guān).(2)若對(duì)參數(shù)空間Θ中任一

，其置信水平都很大，

則這個(gè)區(qū)間估計(jì)就是一個(gè)好的區(qū)間估計(jì).定義4.1.3：設(shè)隨機(jī)區(qū)間是參數(shù)

的一個(gè)區(qū)間估計(jì)，置信水平在參數(shù)空間Θ上的下確界稱為該區(qū)間估計(jì)的置信系數(shù).一個(gè)區(qū)間估計(jì)的置信水平越大越好.為了計(jì)算置信水平和置信系數(shù)，需要利用統(tǒng)計(jì)量的精確分布或者漸近分布.精度的標(biāo)準(zhǔn)不止一個(gè).只介紹最常見的，隨機(jī)區(qū)間的平均長(zhǎng)度越短越好這一標(biāo)準(zhǔn)，即下面的這個(gè)例子說(shuō)明了精度，置信水平(置信度)及其它們的關(guān)系.越小越好用來(lái)構(gòu)造參數(shù)μ的區(qū)間估計(jì).試分析這個(gè)區(qū)間估計(jì)的置信水平和估計(jì)精度之間的關(guān)系.令=(μ,σ2)，上述區(qū)間估計(jì)的置信水平為解：為什么用這個(gè)區(qū)間？例4.1.1設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)，其中-∞<μ<∞,σ2>0，

μ

和σ2的估計(jì)量分別是樣本均值和樣本方差.顯然，k越大，置信水平越大，區(qū)間估計(jì)越可靠.下面考慮區(qū)間的平均長(zhǎng)度其中其分布與參數(shù)

無(wú)關(guān).因此，區(qū)間估計(jì)的置信水平為顯然，k越大，區(qū)間平均長(zhǎng)度越長(zhǎng)，精度越低.k越大，區(qū)間的置信水平越大，區(qū)間越可靠.由于，因此區(qū)間估計(jì)的平均長(zhǎng)度為由此例可以看出：在樣本容量n給定后，為了提高置信水平，需要增加k值，從而增加了區(qū)間長(zhǎng)度，降低了精度.置信水平與精度相互制約著.著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家Neyman提出了妥協(xié)方案：保證置信水平達(dá)到指定要求的前提下，盡可能提高精度.由此引入置信區(qū)間的概念.通常置信區(qū)間也稱為Neyman置信區(qū)間定義4.1.4：設(shè)隨機(jī)區(qū)間是參數(shù)

的一個(gè)區(qū)間估計(jì)，對(duì)給定0<α<1，如果對(duì)任意

Θ，都有成立，則稱是參數(shù)

的置信水平為1-α的置信區(qū)間.

稱為相應(yīng)的置信系數(shù).1.對(duì)于樣本(X1,X2

,…,Xn)

置信水平不小于1-α，但是在實(shí)際問題中我們常常要求取滿足.隨機(jī)區(qū)間的置信區(qū)間.說(shuō)明：2.對(duì)于樣本觀察值(x1,x2

,…,xn)常數(shù)區(qū)間只有兩個(gè)結(jié)果，包含θ

和不包含θ.此時(shí)，不能說(shuō)：沒有隨機(jī)變量，自然不能談概率說(shuō)明：

和都是隨機(jī)變量的函數(shù)，因而也是隨機(jī)變量.但是給定樣本觀察值

就得到一個(gè)具體的閉區(qū)間，我們以1-α的概率保證未知參數(shù)在得到的100個(gè)區(qū)間中包含參數(shù)

真值的平均有95個(gè)左右，不包含參數(shù)

真值的平均有5個(gè)左右.如：取1?

=0.95.若重復(fù)抽樣100次，樣本觀察值為對(duì)應(yīng)的常數(shù)區(qū)間為3.區(qū)間估計(jì)有時(shí)用開區(qū)間或半開半閉區(qū)間，但從置信水平角度考慮，這幾種區(qū)間估計(jì)沒有本質(zhì)的區(qū)別.說(shuō)明：4.實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常取α

為0.01,0.05,0.1等.在一些實(shí)際問題中，有時(shí)候感興趣的僅僅是未知參數(shù)的置信上限或者置信下限.例如：一種新材料的強(qiáng)度，關(guān)心的是它最低不少于多少；一個(gè)工廠的廢品率，關(guān)心它最高不超過多少.這些也是區(qū)間估計(jì)，稱為置信上限或者置信下限.定義如下：定義4.1.5：設(shè)總體X的分布為f(x,θ)，其中θ為未知參數(shù)，θ∈Θ，Θ為參數(shù)空間，X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，給定0<α<1，對(duì)于任意θ∈Θ,存在統(tǒng)計(jì)量

使得存在統(tǒng)計(jì)量

使得則稱隨機(jī)區(qū)間是θ的置信水平為1?α的單側(cè)置信區(qū)間.稱為置信水平為1?α的為單側(cè)置信下限.則稱隨機(jī)區(qū)間是θ的置信水平為1?α的單側(cè)置信區(qū)間.稱為置信水平為1?α的為單側(cè)置信上限.分別稱為置信上限下限的置信系數(shù)越大，則置信下限的精度越高.

對(duì)置信上限而言，若越小，則置信上限的精度越高.單側(cè)置信上、下限都是置信區(qū)間的特例.因此，尋求置信區(qū)間的方法可以用來(lái)求置信上、下限.單側(cè)置信限與雙側(cè)置信區(qū)間之間存在一個(gè)簡(jiǎn)單的聯(lián)系.對(duì)置信下限而言，若引理4.1.1設(shè)和分別是參數(shù)

的置信水平為1-α1和1-α2的單側(cè)置信下限和單側(cè)置信上限，且對(duì)任何樣本X1,X2,…,Xn，都有則是參數(shù)

的置信水平為

1-(α1+α2)的置信區(qū)間.在引理的假定下，下列三個(gè)事件互不相容，“三個(gè)事件之并”為“必然事件”.證明:考慮因此引理4.1.1說(shuō)明:在有了單側(cè)置信上、下限后，不難求得置信區(qū)間.定義4.1.6：設(shè)有一個(gè)參數(shù)分布族，Θ是參數(shù)空間，其中.X1,X2,…,Xn是來(lái)自分布族中某總體f(x,

)的樣本.若統(tǒng)計(jì)量S(X1,X2,…,Xn

)滿足(1)對(duì)任一樣本X1,X2,…,Xn

X,S(X1,X2,…,Xn

)是Θ的一個(gè)子集；(2)對(duì)給定的0<α<1，則稱S(X1,X2