高一數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）522同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（五大題型）

5．2．2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 3題型一：已知某個三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值 3題型二：已知的值，求關(guān)于、的齊次式的值問題 5題型三：與關(guān)系的應(yīng)用 7題型四：利用同角關(guān)系化簡三角函數(shù)式 10題型五：利用同角關(guān)系證明三角恒等式 13

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點梳理】知識點一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：知識點詮釋：（1）這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角（使得函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立；（2）是的簡寫；（3）在應(yīng)用平方關(guān)系時，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對值的概念，應(yīng)注意“”的選?。R點二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1、平方關(guān)系式的變形：，，2、商數(shù)關(guān)系式的變形，．【方法技巧與總結(jié)】（1）求值題型：已知一個角的某個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值．①已知一個角的一個三角函數(shù)值及這個角所在象限，此類情況只有一組解；②已知一個角的一個三角函數(shù)值但該角所在象限沒有給出，解題時首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個角所在的象限，然后分不同情況求解；③一個角的某一個三角函數(shù)值是用字母給出的，這時一般有兩組解．求值時要注意公式的選取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的順序很容易求解，但要注意開方時符號的選取．（2）化簡題型：化簡三角函數(shù)式的一般要求是：①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化繁為簡的目的．②對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的．③對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的．（3）證明題型：證明三角恒等式和條件等式的實質(zhì)是消除式子兩端的差異，就是有目標(biāo)的化簡．化簡、證明時要注意觀察題目特征，靈活、恰當(dāng)選取公式．證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②比較法：即證左邊－右邊＝0或＝1（右邊）．【典型例題】題型一：已知某個三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值【典例11】（2024·高一·江蘇揚州·階段練習(xí)）已知α是第二象限角，，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由題設(shè)，，故.故選：B【典例12】（2024·高一·河北衡水·期中）已知，且是第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是第二象限角，所以.又，，所以.所以.故選：A【方法技巧與總結(jié)】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值的常用技巧：（1）巧用“1”進行變形，如等．（2）平方關(guān)系式需開方時，應(yīng)慎重考慮符號的選?。咀兪?1】（2024·四川樂山·三模）已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，所以，又為第二象限角，所以.故選：A.【變式12】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以．故選：B【變式13】（2024·高一·上?！て谥校┮阎堑谌笙藿牵?，則的值是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以即，又因為，所以，解得，因為是第三象限角，所以.故選：D.【變式14】（2024·高一·湖南長沙·期末）已知，為第三象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，所以，聯(lián)立，解得，因為為第三象限角，所以，故故選：C.題型二：已知的值，求關(guān)于、的齊次式的值問題【典例21】（2024·高一·陜西寶雞·期中）若，則＝【答案】【解析】.故答案為：.【典例22】（2024·高一·湖南衡陽·期中）已知，則的值為【答案】【解析】.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】①減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及、的齊次分式問題，常采用分子分母同除以（），這樣可以將被求式化為關(guān)于的式子，從而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意將分母的1化為代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達式后再求值．【變式21】（2024·高一·海南省直轄縣級單位·期末）已知，則．【答案】【解析】，故答案為：【變式22】（2024·高一·安徽·期末）已知，則.【答案】【解析】.故答案為：.【變式23】（2024·高一·廣東深圳·期末）已知，則.【答案】/【解析】，故原式，故答案為：【變式24】（2024·高一·上海·單元測試）若，則.【答案】1【解析】因為，所以.故答案為：1【變式25】（2024·高一·湖北·期末）已知，則的值為．【答案】/【解析】.故答案為：.題型三：與關(guān)系的應(yīng)用【典例31】（2024·高一·上海浦東新·期中）若及是關(guān)于的方程的兩個實根，則實數(shù)的值為.【答案】/【解析】利用方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，又，即，解得或，當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，原方程的根為，在區(qū)間內(nèi)，符合題意；故答案為：【典例32】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若，，則．【答案】【解析】∴..故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)求值中常見的變形公式（1），，三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們的關(guān)系是：；.（2）求或的值，要根據(jù)的范圍注意判斷它們的符號．【變式31】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知是方程的兩個根，，則角等于．【答案】【解析】∵代入，得，即．又∵，∴，，∴，．又∵，∴．故答案為：.【變式32】（2024·高一·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，則，若，則.【答案】/【解析】由題意：，得：，所以：，所以：，因為：，所以：，又因為：，得：，所以：，得：又因為：，所以：，，所以：.故答案為：；.【變式33】（2024·高二·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，，則的值為．【答案】【解析】由題意，兩邊同時平方可得，即，所以，又因為，所以，，所以，可得．故答案為：【變式34】（2024·高一·四川樂山·階段練習(xí)）已知，若，則的值為【答案】【解析】因為，，則有，有，即，，因此，所以.故答案為：【變式35】（2024·高一·山東濟寧·期末）若，，則.【答案】/【解析】，故，故，，故，，，，故.故答案為：題型四：利用同角關(guān)系化簡三角函數(shù)式【典例41】（2024·高一·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）（1）若，求的值．（2）若，化簡【解析】（1）由，得.（2）由，得，.【典例42】（2024·高一·陜西渭南·期末）（1）化簡：（2）已知，計算【解析】（1）（2）【方法技巧與總結(jié)】化簡要求（1）項數(shù)盡量少；（2）次數(shù)盡量低；（3）分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；（4）盡量不含根式；（5）能求值的盡可能求值．【變式41】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）化簡：（）.【解析】由，得，則，所以原式.【變式42】（2024·高一·上海·專題練習(xí)）（1）已知是第三象限角，化簡；（2）已知關(guān)于的方程的兩個根恰好是一個直角三角形的一個銳角的正弦和余弦，求的值．【解析】（1）是第三象限角，；（2）不妨設(shè)直角三角形的一個銳角為，方程中，，當(dāng)，方程恒有兩實根，又，所以，解得，當(dāng)時，，，滿足題意，當(dāng)時，，這與是銳角矛盾，應(yīng)舍去．綜上，.【變式43】（2024·高一·湖北荊門·期末）已知(1)化簡；(2)若為第三象限角，且，求，.【解析】（1）.（2）∵為第三象限角，∴，，又因為.故，.【變式44】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）化簡：【解析】解析：＝【變式45】（2024·高一·江蘇蘇州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊經(jīng)過點，其中.(1)求的值；(2)若為第二象限角，求的值.【解析】（1）因為,,所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上，時，；時，.（2）因為為第二象限角，所以，則，所以【變式46】（2024·高一·天津·階段練習(xí)）已知，其中是的一個內(nèi)角．(1)求的值，并判斷是銳角三角形還是鈍角三角形；(2)求的值．【解析】（1）由，兩邊平方得，即，所以；由是的一個內(nèi)角，得，則，而，則，有，所以是鈍角三角形.（2）由（1）知，，，所以.題型五：利用同角關(guān)系證明三角恒等式【典例51】證明下列恒等式：(1)；(2)．【解析】（1）左邊右邊.則恒等式成立.（2）右邊左邊.則恒等式成立.【典例52】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）求證：.【解析】.所以原等式成立．【方法技巧與總結(jié)】證明三角恒等式時，可以從左邊推到右邊，也可以從右邊推到左邊，本著化繁就簡的原則，即從較繁的一邊推向較簡的一邊；還可以將左、右兩邊同時推向一個中間結(jié)果；有時候改證其等價命題更為方便．但是，不管采取哪一種方式，證明時都要“盯住目標(biāo)，據(jù)果變形”．化簡證明過程中常用的技巧有：弦切互化，運用分式的基本性質(zhì)變形，分解因式，回歸定義等．【變式51】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）證明：.【解析】左邊右邊.所以.【變式52】（2024·高一·全國·單元測試）求證:.【解析】方法一:左邊======右邊.方法二:左邊=====

=右邊.【變式53】（202