2018年數(shù)學（北師大版必修4）練習第1章8函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖像與性質

第一章§81．(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期為()A．4π B．2πC．π D．eq\f(π,2)解析：函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.故選C.答案：C2．為了得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,3)))的圖像，只需把函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))的圖像向________平移________個單位長度．(填寫一個正確答案即可)解析：∵y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))＝sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,18)))，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,3)))＝sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,9)))，而－eq\f(π,9)－eq\f(π,18)＝－eq\f(π,6)，∴將y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))的圖像向右平移eq\f(π,6)個單位長度可得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,3)))的圖像．答案：右eq\f(π,6)3．函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的圖像可由y＝sinx的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：方法一將函數(shù)y＝sinx的圖像依次進行如下變換．①把函數(shù)y＝sinx的圖像向右平移eq\f(π,6)個單位長度，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的圖像；②把得到的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)(縱坐標不變)，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖像；③把得到的圖像上各點的縱坐標伸長到原來的5倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖像；④把得到的圖像向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的圖像．經(jīng)過上述變換，就得到函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的圖像．方法二將函數(shù)y＝sinx的圖像依次進行如下變換．①把函數(shù)y＝sinx的圖像上各點的橫坐標縮短為原來的eq\f(1,2)(縱坐標不變)，得到函數(shù)y＝sin2x的圖像；②把得到的圖像向右平移eq\f(π,12)個單位長度，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖像；③把得到的圖像上各點的縱坐標伸長為原來的5倍(橫坐標不變)，得到y(tǒng)＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖像；④把得到的圖像向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的圖像．經(jīng)過上述變換，就得到函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的圖像．4．如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ＞0)在一個周期內的圖像，試確定A，ω，φ的值．解：由圖像可知，振幅A＝5，又eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(π,2)，因此T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在圖像上，且為第一個零點，因此，令－eq\f(π,6)×2＋φ＝0，得φ＝eq\f(π,3).5．求下列函數(shù)的單調區(qū)間：(1)y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(2x,3)))；(2)y＝－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))))).解：(1)y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(2x,3)))＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,3)－\f(π,4))).由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(2x,3)－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，得3kπ－eq\f(3π,8)≤x≤3kπ＋eq\f(9π,8)(k∈Z)，為單調減的范圍；由2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(2x,3)－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，得3kπ＋eq\f(9π,8)≤x≤3kπ＋eq\f(21π,8)(k∈Z)，為單調增的范圍．所以函數(shù)的遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3kπ－\f(3π,8)，3kπ＋\f(9π,8)))(k∈Z)，遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3kπ＋\f(9π,8)，3kπ＋\f(21π,8)))(k∈Z)．(2)y＝－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的大致圖像如圖所示．