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第一章§81.(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))的最小正周期為()A.4π B.2πC.π D.eq\f(π,2)解析:函數(shù)f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))的最小正周期T=eq\f(2π,2)=π.故選C.答案:C2.為了得到函數(shù)y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x-\f(π,3)))的圖像,只需把函數(shù)y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(π,6)))的圖像向________平移________個單位長度.(填寫一個正確答案即可)解析:∵y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(π,6)))=sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,18))),y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x-\f(π,3)))=sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,9))),而-eq\f(π,9)-eq\f(π,18)=-eq\f(π,6),∴將y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(π,6)))的圖像向右平移eq\f(π,6)個單位長度可得到y(tǒng)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x-\f(π,3)))的圖像.答案:右eq\f(π,6)3.函數(shù)y=5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))+1的圖像可由y=sinx的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?解:方法一將函數(shù)y=sinx的圖像依次進行如下變換.①把函數(shù)y=sinx的圖像向右平移eq\f(π,6)個單位長度,得到函數(shù)y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,6)))的圖像;②把得到的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)(縱坐標不變),得到函數(shù)y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))的圖像;③把得到的圖像上各點的縱坐標伸長到原來的5倍(橫坐標不變),得到函數(shù)y=5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))的圖像;④把得到的圖像向上平移1個單位長度,得到函數(shù)y=5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))+1的圖像.經(jīng)過上述變換,就得到函數(shù)y=5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))+1的圖像.方法二將函數(shù)y=sinx的圖像依次進行如下變換.①把函數(shù)y=sinx的圖像上各點的橫坐標縮短為原來的eq\f(1,2)(縱坐標不變),得到函數(shù)y=sin2x的圖像;②把得到的圖像向右平移eq\f(π,12)個單位長度,得到函數(shù)y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))的圖像;③把得到的圖像上各點的縱坐標伸長為原來的5倍(橫坐標不變),得到y(tǒng)=5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))的圖像;④把得到的圖像向上平移1個單位長度,得到函數(shù)y=5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))+1的圖像.經(jīng)過上述變換,就得到函數(shù)y=5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))+1的圖像.4.如圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ>0)在一個周期內的圖像,試確定A,ω,φ的值.解:由圖像可知,振幅A=5,又eq\f(T,2)=eq\f(π,3)-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6)))=eq\f(π,2),因此T=π,ω=eq\f(2π,T)=eq\f(2π,π)=2.由于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),0))在圖像上,且為第一個零點,因此,令-eq\f(π,6)×2+φ=0,得φ=eq\f(π,3).5.求下列函數(shù)的單調區(qū)間:(1)y=eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-\f(2x,3)));(2)y=-eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4))))).解:(1)y=eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-\f(2x,3)))=-eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,3)-\f(π,4))).由2kπ-eq\f(π,2)≤eq\f(2x,3)-eq\f(π,4)≤2kπ+eq\f(π,2),得3kπ-eq\f(3π,8)≤x≤3kπ+eq\f(9π,8)(k∈Z),為單調減的范圍;由2kπ+eq\f(π,2)≤eq\f(2x,3)-eq\f(π,4)≤2kπ+eq\f(3π,2),得3kπ+eq\f(9π,8)≤x≤3kπ+eq\f(21π,8)(k∈Z),為單調增的范圍.所以函數(shù)的遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3kπ-\f(3π,8),3kπ+\f(9π,8)))(k∈Z),遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3kπ+\f(9π,8),3kπ+\f(21π,8)))(k∈Z).(2)y=-eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))))的大致圖像如圖所示.
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