高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修一）第03講113集合的基本運(yùn)算

1.1.3集合的基本運(yùn)算TOC\o"13"\h\u題型1交集概念的簡單應(yīng)用 2◆類型1交集運(yùn)算 2◆類型2含參問題 5題型2并集概念的簡單應(yīng)用 7◆類型1并集運(yùn)算 7◆類型2含參問題 10題型3補(bǔ)集概念的簡單應(yīng)用 12◆類型1補(bǔ)集運(yùn)算 12◆類型2Venn圖解決并交補(bǔ)混合運(yùn)算 15◆類型3含參問題 17◆類型4Venn圖相關(guān)考點(diǎn) 19題型4并交補(bǔ)實(shí)際應(yīng)用 22題型5含參取值范圍問題 26◆類型1不等式相關(guān)考點(diǎn) 26◆類型2一元二次方程相關(guān)考點(diǎn) 31題型6新定義題型 34知識(shí)點(diǎn)一.交集自然語言一般地，由_所有屬于集合A或?qū)儆诩螧_的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集(unionset)，記作__A∪B__(讀作“A并B”)，符號(hào)語言A∪B＝____{x|x∈A，且x∈B},圖形語言可用Venn圖表示．2.性質(zhì)①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩?＝?；④若A?B，則A∩B＝A；⑤(A∩B)?A；⑥(A∩B)?B.知識(shí)點(diǎn)二.并集自然語言一般地，由___屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集(intersectionset)，記作_A∩B_(讀作“A交B”)，符號(hào)語言A∩B＝__{x|x∈A，或x∈B}圖形語言可用Venn圖表示．2.性質(zhì)①A∪B＝B∪A；②A∪A＝A；③A∪?＝?∪A＝A；④A?(A∪B)，B?(A∪B)；⑤A∪B＝A?B?A，A∪B＝B?A?B.知識(shí)點(diǎn)三..全集與補(bǔ)集1．全集(1)定義：如果一個(gè)集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集．(2)記法：全集通常記作U.2．補(bǔ)集自然語言對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作?UA符號(hào)語言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語言可用Venn圖表示．3.補(bǔ)集的性質(zhì)(1)A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?.(2)?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U.題型1交集概念的簡單應(yīng)用◆類型1交集運(yùn)算【例題11】(2018·高考全國卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{2，1,0,1,2}，則A∩B＝()A．{0,2}B．{1,2}C．{0}D．{2，1,0,1,2}【答案】A【解析】由題意知A∩B＝{0,2}．【變式11】1.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）集合M=2,4,6,8,10,A．{2,4} B．{2,4,6} C．{2,4,6,8} D．{2,4,6,8,10}【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)镸=2,4,6,8,10，N=故選：A.【變式11】2.（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合A=xx≥1，A．xx>?1 B．xx≥1 【答案】D【分析】由題意結(jié)合交集的定義可得結(jié)果.【詳解】由交集的定義結(jié)合題意可得：A∩故選：D.【變式11】3．（2021·全國·高考真題）設(shè)集合M={1,3,5,7,9},N=A．7,9 B．5,7,9 C．3,5,7,9 D．1,3,5,7,9【答案】B【分析】求出集合N后可求M∩【詳解】N=72故選：B.【變式11】4.（2023·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)集合A={x|?1≤x≤2}A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤【答案】A【分析】利用交集的定義即可求解.【詳解】由題意可知，Venn圖陰影區(qū)域表示的集合是A∩所以A∩故選：A.【變式11】5.（2020秋·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)A={x|x是等腰三角形}和B={A．{x|x是等腰三角形} B．C．? D．{x|【答案】B【分析】直接根據(jù)交集的概念得答案.【詳解】若A={x|x是等腰三角形}和則A∩B={故選：B.【變式11】6（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合M=x,【答案】0,2【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可.【詳解】由題意可得M∩N=x,故答案為：0,2◆類型2含參問題【例題12】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知集合A=0,a+1,a2，【答案】3或?2【分析】根據(jù)集合的交集的含義結(jié)合集合元素的互異性性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?∈A∩B故a?3≠4,1?又A=0,a+1,a2，若當(dāng)a=3時(shí)，A=0,4,9當(dāng)a=2時(shí)，A=0,3,4當(dāng)a=?2時(shí)，A=0,?1,4故a=3或?2故答案為：3或?2【變式12】1．（2023·廣東深圳·紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合A=3,4,2a?3,A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)交集結(jié)果得到a=3，a=4或【詳解】因?yàn)锳∩所以a=3，a=4或當(dāng)a=3時(shí)，2當(dāng)a=2a?3當(dāng)a=4時(shí)，2所以a=4故選：C．【變式12】2.（2023春·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知m,n∈R，集合A=2,m2A．1 B．2 C．12或1 D．【答案】D【分析】根據(jù)交運(yùn)算結(jié)果，列出方程，求得對(duì)應(yīng)參數(shù)值；再驗(yàn)證即可選擇.【詳解】因?yàn)锳∩B=1，故可得m2n=1解得m=1,n=當(dāng)m=1,n=當(dāng)m=2,n=1綜上所述，n=故選：D.【變式12】3.（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)集合A=x2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由A∩B=C可知需滿足x2【詳解】由A∩需滿足x2+8=y又x,y∈N，故x+y=9此時(shí)集合C=故集合C中的子集共有4個(gè).故選：C.題型2并集概念的簡單應(yīng)用◆類型1并集運(yùn)算【例題21】（2023春·浙江寧波·高y一統(tǒng)考期末）已知集合A=0,1,2，B=A．?1,1,2 B．0,1,2 C．?1,0 D．?1,0,1,2【答案】D【分析】根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)锳=0,1,2，所以A∪故選：D【變式21】1.（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）集合A=x0<x<8A．x12<C．x12≤【答案】B【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)锳=x0<x<8，B故選：B.【變式21】2．（2023春·廣東汕頭·高一金山中學(xué)?？计谥校┮阎螦={x∈N∣?1<x<4}A．2 B．0,1,2,3 C．2,3 D．1,2,3【答案】B【分析】先求出集合A，然后根據(jù)并集的定義可求得結(jié)果.【詳解】由A={x∈N∣?1<因?yàn)锽=所以A∪B=故選：B【變式21】3.（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測）已知集合A=0,1,2,3，B=xxA．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．64個(gè)【答案】D【分析】先求出集合B，再求出集合P，從而可求出其子集的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)锳=0,1,2,3，所以B=所以P=?1,0,1,2,3,8，則P的子集共有故選：D【變式21】4．（2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知集合A=?1,1，B=A．B=C B．BC C．B∩【答案】A【分析】利用列表法求集合A、B，進(jìn)而結(jié)合集合間的關(guān)系和運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于x+

xy11120102可得集合B=對(duì)于x?

xy11102120可得集合C=?2,0,2，所以則B=C成立，BC不成立，所以A正確，B、C、D錯(cuò)誤.故選：A.【變式21】5.(多選)（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合P={x|A．P∩B．PC．PD．P【答案】ABD【分析】根據(jù)題意求出集合P,【詳解】因?yàn)榧螾={集合T={所以P∩T={y|故選：ABD.【變式21】6.點(diǎn)集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，則A∪B中的元素不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】A【解析】由題意得，A∪B中的元素是由橫坐標(biāo)小于0或縱坐標(biāo)小于0的點(diǎn)構(gòu)成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．◆類型2含參問題【例題22】（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知集合A=a,5?a,4，BA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)并集的結(jié)果，分類討論當(dāng)2a+1=2、【詳解】A={當(dāng)2a+1=2即a=當(dāng)2a+1=5即a=2時(shí)，A所以a=2故選：B.【變式22】1．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合A=0,1,a2，B=A．1或?2 B．?2 C．?1或2 D．2【答案】B【分析】分析可知A?B，利用集合的包含關(guān)系可出關(guān)于a的等式，結(jié)合集合元素滿足互異性可得出實(shí)數(shù)【詳解】因?yàn)锳=0,1,a2，B=所以，2?a=1或若2?a=1，則a=1，此時(shí)，a2=1若a2=2?a，可得a2+a?2=0因此，a=?2故選：B.【變式22】2.（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合B滿足{1,3}∪B={1,3,5}，則滿足條件的集合A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)題目條件，得出集合B必有元素5，可能有元素1或3，即可列出滿足條件的集合B，從而得出答案．【詳解】因?yàn)閧1,3}∪B所以集合B中必有元素5，可能有元素1或3，則滿足條件的集合為：{5}，{5,1}，{5,3}，{5,1,3}，共有4個(gè)，故選：D．【變式22】3.（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．【答案】a=0或【分析】先由A∪B＝A，得到B?A.再含參討論解出集合B，進(jìn)行討論即可.【詳解】∵A∪B＝A，∴B?A.∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B＝A.當(dāng)B＝?時(shí)，方程ax＋1＝0無解，此時(shí)a＝0.當(dāng)B＝A時(shí)，此時(shí)a≠0，則B=∴－1a∈A，即有－1a＝－2，得a＝綜上，a＝0或a＝12題型3補(bǔ)集概念的簡單應(yīng)用【方法總結(jié)】解決集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的技巧(1)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合交集、并集、補(bǔ)集的定義來求解．在解答過程中常常借助于Venn圖來求解．這樣處理起來，相對(duì)來說比較直觀、形象且解答時(shí)不易出錯(cuò)．(2)如果所給集合是無限集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后進(jìn)行交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算．解答過程中要注意邊界問題．◆類型1補(bǔ)集運(yùn)算【例題31】（2023秋·山西大同·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=1,2,3,4,5,6，B=2,3，A．2,4,6 B．1,3,4,5,6 C．4,6 D．2【答案】C【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榧螦=1,2,3,4,5,6，B=所以?AB=故選：C.【變式31】1.（2023春·云南昆明·高一統(tǒng)考期中）設(shè)全集U=Z,A=x∈Z|A．x|x≤0,或x≥6 C．x|0≤x【答案】D【分析】根據(jù)集合的并運(yùn)算即可求解.【詳解】由于U=Z,A=x∈Z|故選：D【變式31】2．（2023春·貴州·高一貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合A=x2≤x≤5A．2,4,5 B．x2≤xC．x2≤x≤3或4≤x≤5【答案】B【分析】利用補(bǔ)集的定義可求得集合?A【詳解】因?yàn)榧螦=x2≤x≤5，B故選：B.【變式31】3.（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）設(shè)全集U=R，A=?2,?1,0,1,2，B=xxA．{1，2} B．?1,0,1C．?2,?1,0 D．?2,?1,0,1【答案】D【分析】由交集和補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)锽=xx≥2所以∴A∩?UB故選：D.【變式31】4.（2023·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)全集U=R，M=A．x|?1≤x<0 B．x|0<x<5 【答案】C【分析】求得?U【詳解】由題意M=x|1≤故M∩(故選：C【變式31】5.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合U=R，集合M=xxA．?UM∪C．?UM∩【答案】A【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為x|【詳解】由題意可得M∪N=?UM=M∩N=x|?1<?UN=x|x≤?1或x故選：A.【變式31】6.（2021秋·高一課前預(yù)習(xí)）設(shè)全集U={x|x是三角形}，A={x|【答案】A∩B=?，【解析】根據(jù)三角形分類和交集、并集的定義可求得A∩B和A∪【詳解】根據(jù)三角形的分類可知：A∵A∪B=xx【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算，關(guān)鍵是熟悉三角形的分類，屬于基礎(chǔ)題.◆類型2Venn圖解決并交補(bǔ)混合運(yùn)算【例題32】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知全集U={a,b,c,d,e}，?UM∩A．P={a} B．M={a,【答案】D【分析】由題意畫出Venn圖，即可得出答案.【詳解】由題意畫出Venn圖如下，

可得：P={a,d,e}故選：D.【變式32】1.（2023·全國·高一專題練習(xí)）集合U={x|x≤10且x∈N?}，A?UA．4,5,6,7 B．4,5,6，9 C．4,5,9,10 D．4,5,6,9,10【答案】C【分析】根據(jù)已知條件利用Venn圖進(jìn)行求解即可．【詳解】作出Venn圖如圖所示，則A={1,2,3,4,5}，B故選：C．【變式32】2.（2022秋·湖南衡陽·高一衡陽市一中校考階段練習(xí)）已知A∩B=6,(【答案】1,8,9【分析】由題意可畫出Venn圖，即可求得答案.【詳解】由題意,(?故畫Venn圖如圖:即得?U故答案為：1,8,9【變式32】3.（2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預(yù)測）已知全集U=A∪B=A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】利用列舉法表示全集U，再根據(jù)交集運(yùn)算可得?UB，得到集合【詳解】∵U=A∪∴?UB={1,3,5}∴B={0,2,4,6}，∴B故選：B．◆類型3含參問題【例題33】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一校聯(lián)考期末）設(shè)全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,aA．?3 B．?3和?2 C．?2 D．2【答案】C【分析】利用集合補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)閁=1,2,3,4,5，集合A=由補(bǔ)集的定義可知a+6當(dāng)a+6=3即a=?3時(shí)，當(dāng)a+6=4即a=?2時(shí)，a2綜上a=?2故選：C【變式33】1.（多選）（2023秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）（多選題）設(shè)全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．?UA．0 B．13 C．15【答案】ABC【分析】首先求集合U，再結(jié)合補(bǔ)集的定義，討論a=0和a≠0兩種情況，求實(shí)數(shù)【詳解】U＝{3，5}，若a＝0，則?U若a≠0，則?UA＝此時(shí)1a＝3或1∴a＝13或a＝1綜上a的值為0或13或1故選：ABC【變式33】2.（2022秋·遼寧沈陽·高一沈陽市第一二〇中學(xué)校考期中）設(shè)全集U=2,3,m2+A．?2 B．2 C．?3 D．?4【答案】B【分析】根據(jù)題意可確定m2【詳解】由題意全集U=2,3,m可得m2+m?2=4，解得當(dāng)m=?3時(shí)，|m+1|=2m=2時(shí)，A=2,3，?故選：B.【變式33】3.（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）已知全集U=1,2,m2，集合A={2,【答案】0【分析】由?UA={【詳解】由集合A={2,m+1}，可得m又由?UA={可得m2=mm+1=1所以實(shí)數(shù)m的值為0.故答案為：0.◆類型4Venn圖相關(guān)考點(diǎn)【例題34】（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知全集U=R，集合A={xx≥4或x

A．?2,0 B．?2,0C．?2,0∪4 【答案】D【分析】利用集合的交并補(bǔ)的定義，結(jié)合Venn圖即可求解.【詳解】因?yàn)锳={xx≥4或x≤0}所以A∪B={xx≥4或A∩B={xx≥4或由題意可知陰影部分對(duì)于的集合為?U所以?U?UA∩故選：D.【變式34】1.（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)全集U=

A．?1,3 B．?1,3 C．2,3 D．2,3【答案】D【分析】圖中陰影部分表示B∩?【詳解】圖中陰影部分表示B∩?UA，A=x∣?1≤x因?yàn)锽所以B=0,1,2,3,B∩故選：D．【變式34】2.（2021秋·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D所示，兩個(gè)大圓和一個(gè)小圓分別表示集合M、S、P，它們是V的三個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（

）

A．(M∩PC．(M∩S【答案】C【分析】題圖中的陰影部分是M∩S的子集，但該子集中不含集合P中的元素，且該子集包含于集合【詳解】由圖知，首先陰影部分是M∩S的子集，其次不含集合P中的元素且在集合可得陰影部分所表示的集合是(M∩S故選：C.【變式34】3.（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，集合A,B均為U的子集，

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ【答案】B【分析】根據(jù)集合間的運(yùn)算分析判斷.【詳解】因?yàn)?U所以?UB∩故選：B.題型4并交補(bǔ)實(shí)際應(yīng)用【例題4】（2021秋·河南洛陽·高一?？茧A段練習(xí)）移動(dòng)支付、高鐵、網(wǎng)購與共享單車被稱為中國的新“四大發(fā)明”.某中學(xué)為了解本校學(xué)生中新“四大發(fā)明”的普及情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中使用過移動(dòng)支付或共享單車的學(xué)生共90位，使用過移動(dòng)支付的學(xué)生共有80位，使用過共享單車且使用過移動(dòng)支付的學(xué)生共有60位，則該校使用共享單車的學(xué)生人數(shù)為（

）A．50 B．60 C．70 D．80【答案】C【分析】由題意可知：只使用過共享單車但沒使用過移動(dòng)支付的學(xué)生有10人，使用過共享單車且使用過移動(dòng)支付的學(xué)生共有60位，再計(jì)算即可得解.【詳解】根據(jù)題意使用過移動(dòng)支付、共享單車的人數(shù)用韋恩圖表示如下圖，使用過共享單車或移動(dòng)支付的學(xué)生共有90位，使用過移動(dòng)支付的學(xué)生共有80位，則可得：只使用過共享單車但沒使用過移動(dòng)支付的學(xué)生有9080=10人，又使用過共享單車且使用過移動(dòng)支付的學(xué)生共有60位，即使用過共享單車的學(xué)生人數(shù)為10+60=70，故選:C.【變式41】1.（2023·全國·高一假期作業(yè)）某班30人，其中17人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，9人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為_________．【答案】11【分析】設(shè)喜歡籃球且喜歡乒乓球的人數(shù)為x人，借助Venn圖列出方程，求出x，進(jìn)而求得喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)即可．【詳解】設(shè)喜歡籃球且喜歡乒乓球的人數(shù)為x人，則只喜愛籃球的有(17－x)人，只喜愛乒乓球的有(10－x)人，由(17－x)＋(10－x)＋x＋9＝30，解得x＝6，所以喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為17－x＝11人．故答案為：11．【變式41】2.（2023·全國·高一專題練習(xí)）向某50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A，B兩事件的態(tài)度，其中有30人贊成A，其余20人不贊成A；有33人贊成B，其余17人不贊成B；且對(duì)A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)比對(duì)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)的三分之一多1人，則對(duì)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為__________．【答案】21【分析】根據(jù)給定條件利用集合并結(jié)合Venn圖列出方程求解作答.【詳解】記贊成A的學(xué)生組成集合A，贊成B的學(xué)生組成集合B，50名學(xué)生組成全集U，則集合A有30個(gè)元素，集合B有33個(gè)元素.設(shè)對(duì)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則集合?U(A由Venn圖可知，(30?x)+(33?x)+x所以對(duì)A，B都贊成的學(xué)生有21人.故答案為：21.【變式41】3．（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期末）某疫情防控志愿者小組有20名志愿者，由黨員和大學(xué)生組成，其中有15人是黨員，有9人是大學(xué)生，則既是黨員又是大學(xué)生的志愿者人數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】因?yàn)橹驹刚咝〗M有20名志愿者，由黨員和大學(xué)生組成，其中有15人是黨員，有9人是大學(xué)生，所以由Venn可得既是黨員又是大學(xué)生的志愿者人數(shù)為．故選：C【變式41】4．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）某城市數(shù)、理、化競賽時(shí)，高一某班有26名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，25名學(xué)生參加物理競賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競賽，其中參加數(shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數(shù)、化兩科的有5名．若該班學(xué)生共有51名，則沒有參加任何競賽的學(xué)生共有（

）名A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】畫出圖，由題意求出分別單獨(dú)參加物理、數(shù)學(xué)和化學(xué)的人數(shù)，即可求出參賽人數(shù)，進(jìn)而求出沒有參加任何競賽的學(xué)生.【詳解】畫三個(gè)圓分別代表數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的人，因?yàn)橛?6名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，25名學(xué)生參加物理競賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競賽，參加數(shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、化兩科的有5名，只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，所以單獨(dú)參加數(shù)學(xué)的有26?6+7+5單獨(dú)參加物理的有25?6+7+8=4人，單獨(dú)參加化學(xué)的有故參賽人數(shù)共有8+4+3+6+7+8+5=41人，沒有參加任何競賽的學(xué)生共有51?41=10人.故選：D.

【變式41】5.（2022秋·湖北恩施·高一恩施市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某小學(xué)為落實(shí)雙減，實(shí)現(xiàn)真正素質(zhì)教育，在課后給同學(xué)們增設(shè)了各種興趣班.為了了解同學(xué)們的興趣情況，某班班主任對(duì)全班女生進(jìn)行了關(guān)于對(duì)唱歌?跳舞?書法是否有興趣的問卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項(xiàng)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有21人喜歡唱歌，17人喜歡跳舞，10人喜歡書法，同時(shí)喜歡唱歌和跳舞的有12人，同時(shí)喜歡唱歌和書法的有6人，同時(shí)喜歡跳舞和書法的有5人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為（

）A．27 B．23 C．25 D．29【答案】A【分析】借助韋恩圖處理集合運(yùn)算的容斥問題.【詳解】作出韋恩圖，如圖所示，可知5人只喜歡唱歌，2人只喜歡跳舞，1人只喜歡書法，同時(shí)喜歡唱歌和跳舞但不喜歡書法的有10人，同時(shí)喜歡唱歌和書法但不喜歡跳舞的有4人，同時(shí)喜歡跳舞和書法但不喜歡唱歌的有3人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為5+2+1+10+4+3+2=27.故選：A題型5含參取值范圍問題【方法總結(jié)】(1)在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，若條件中出現(xiàn)A∩B＝A或A∪B＝B，應(yīng)轉(zhuǎn)化為A?B，然后用集合間的關(guān)系解決問題，并注意A＝?的情況．(2)集合運(yùn)算常用的性質(zhì)：①A∪B＝B?A?B；②A∩B＝A?A?B；③A∩B＝A∪B?A＝B.◆類型1不等式相關(guān)考點(diǎn)【例題51】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合A={x|?2≤(1)若A∪(2)當(dāng)C={【答案】(1)?∞,3(2)254【分析】（1）依題意有B?A，分B=?（2）由集合C中元素個(gè)數(shù)，求C的非空真子集的個(gè)數(shù).【詳解】（1）∵A∪B=①若B=?，則m+1>2m②若B≠?，則m+1≤2m由B?A可得m+1≥?22m綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是?∞,3.（2）∵C={因此，集合C的非空真子集個(gè)數(shù)為28【變式51】1.（2023·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)集合A=(1)若m=4，求A(2)若B∩A=【答案】(1)A∪(2)?∞,3.【分析】（1）根據(jù)并集的定義運(yùn)算即得；（2）由題可得B?【詳解】（1）當(dāng)m=4時(shí)，B=x（2）∵B當(dāng)B=?時(shí)，滿足題意，此時(shí)m+1＞2m當(dāng)B≠?時(shí)，?2≤m+1∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為?∞,3.【變式51】2.（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知A=x-1<【答案】m>3或m【分析】根據(jù)B??RA，分【詳解】已知集合A=x-1<?RA當(dāng)B=?時(shí)，m≥3m當(dāng)B≠?時(shí)，且B則m<1+3m3m+1≤?1綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為m>3或m故答案為：m>3或m【變式51】3.（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)全集U=R，M=x(1)若a=0，求?(2)若M??U【答案】(1)?U(2)?∞,?7【分析】（1）利用集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算知識(shí)即可求解.（2）求出?UP，M?【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)，M=x所以?UM={xx（2）∵全集U=R，P∴?UP∵M(jìn)∴分M=?，（1）當(dāng)M≠?時(shí)，如圖可得，3a<2∴a≤?7（2）當(dāng)M=?時(shí)，應(yīng)有：3a≥2綜上可知，∴a≤?7故得實(shí)數(shù)a的取值范圍?∞,?7【變式51】4.（多選）（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中學(xué)校考階段練習(xí)）已知全集U=R，集合A=xA．m|6≤m≤10C．m|?2<m<?【答案】BC【分析】根據(jù)B=?和B【詳解】①當(dāng)B=?時(shí)，令m+1＞2m?1，得②當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m則?UB=因?yàn)锳??UB，所以解得m＞6或m因?yàn)閙≥2，所以m綜上，m的取值范圍為m＜2或m故選：BC【變式51】5.（2022秋·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=xm<x(1)當(dāng)m=3時(shí)，求A(2)在①A??RB，②A∩（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)A(2)條件選擇見解析，m【分析】（1）當(dāng)m=3時(shí)，利用補(bǔ)集和并集可求得集合A（2）若選①，分A=?、A≠?兩種情況討論，根據(jù)A??R若選②，分A=?、A≠?兩種情況討論，在A=?時(shí)直接驗(yàn)證A∩B=?即可，在A≠?若選③，分析可得A?【詳解】（1）解：當(dāng)m=3時(shí)，A=x3<x所以，?RB=（2）解：若選①，當(dāng)A=?時(shí)，則m≥2m時(shí)，即當(dāng)m當(dāng)A≠?時(shí)，即當(dāng)m<2m由A??RB可得m≥?5綜上，m≤2若選②，當(dāng)A=?時(shí)，則m≥2m時(shí)，即當(dāng)m當(dāng)A≠?時(shí)，即當(dāng)m<2m由A∩B=?可得m≥?52綜上，m≤2若選③，由A∩?R當(dāng)A=?時(shí)，則m≥2m時(shí)，即當(dāng)m當(dāng)A≠?時(shí)，即當(dāng)m<2m由A??RB可得m≥?5綜上，m≤2◆類型2一元二次方程相關(guān)考點(diǎn)【例題52】（2022秋·遼寧沈陽·高一沈陽市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合A=x(1)若集合A為?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若A∩B=【答案】(1)?∞,?(2)5【分析】（1）結(jié)合題意，將問題轉(zhuǎn)化為方程x2（2）由A∩B=【詳解】（1）因?yàn)锳=xx所以方程x2?ax解得a<?257所以a的取值范圍為?∞,?2（2）因?yàn)锳∩B=又因?yàn)锳=xx所以?a=?5a當(dāng)a=5時(shí)，A所以a=5【變式52】1.（2021秋·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合A=xx(1)若A∩B=(2)若A∪B=【答案】(1)a(2)a【分析】（1）由A∩B=2可知2∈B，代入集合B（2）根據(jù)并集結(jié)果可得B?A，再對(duì)集合B是否為空集進(jìn)行分類討論即可得出實(shí)數(shù)【詳解】（1）由集合A=xx由A∩B=故4+4(a+1)+a2?5=0當(dāng)a=?1時(shí)，B=?2,2當(dāng)a=?3時(shí)，B故a=?3（2）由A∪B=當(dāng)Δ=4(a+1)2?4(當(dāng)Δ=0時(shí)，即a=?3時(shí)，B當(dāng)Δ>0時(shí)，即a>?3時(shí)，2(a+1)=0綜上可得，a≤?3或a即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a∈(?∞,【變式52】2.（2023·高一單元測試）設(shè)A={xx2+4x=0},【答案】a=1或【分析】由A∩B=B得【詳解】由A∩B=對(duì)于集合B有：Δ=4當(dāng)Δ=8a+8<0，即a<?1時(shí)，B當(dāng)Δ=8a+8=0，即a=?1時(shí)，B當(dāng)Δ=8a+8>0，即a>?1時(shí)，B中有兩個(gè)元素，而B∴B=?4,0得綜上，a=1或a【變式52】3.（2021秋·廣東深圳·高一深圳市龍華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合A={x|x2【答案】(?∞,?3]∪【分析】由A∪B=A，B?A，分【詳解】由題知，A由x2?3x+2=0得x因?yàn)锳∪所以B?當(dāng)B=?時(shí)，方程x即Δ=a?12?4a當(dāng)B≠?時(shí)，方程x若只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，Δ=(a?1)2?4(當(dāng)a=?3時(shí)，B當(dāng)a=73所以a=?3若只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則B