電動力學(xué)(2)資料講解

電動力學(xué)李佳偉jwli@學(xué)習(xí)內(nèi)容第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律第二章靜電場第三章靜磁場第四章電磁波的傳播第五章電磁波的輻射第六章狹義相對論第零章數(shù)學(xué)準(zhǔn)備丹麥物理學(xué)家

奧斯特英國物理學(xué)家法拉第英國物理學(xué)家麥克斯韋經(jīng)典電動力學(xué)1、經(jīng)典電動力學(xué)的研究對象：電磁場的基本屬性電磁場的運動規(guī)律電磁場和物質(zhì)的相互作用2、研究內(nèi)容:電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律、靜電場、穩(wěn)恒磁場、電磁波的傳播、電磁波輻射、狹義相對論以及帶電粒子和電磁場的相互作用。閑話電動力學(xué)電動力學(xué)：電－動力學(xué)，Electro-Dynamics動力學(xué)：運動規(guī)律，HowitmovesandWhy？物質(zhì)的基本屬性之一：電荷，Charge什么是基本屬性？四種相互作用引力相互作用－電磁相互作用－強相互作用－弱相互作用時間、空間和物質(zhì)時空獨立－時空關(guān)聯(lián)－時空物質(zhì)關(guān)聯(lián)實體物質(zhì)和場，兩類物質(zhì)物質(zhì)，相互作用的實體 Fermi子（半整數(shù)自旋），系統(tǒng)不允許有相同狀態(tài)的Fermi子 “光”，傳遞相互作用Bose子（整數(shù)自旋），系統(tǒng)允許有相同狀態(tài)的Bose子2025/2/81:18電動力學(xué)基本內(nèi)容電動力學(xué)基本內(nèi)容Maxwell

方程組和Lorentz

力靜電/磁場求解方法動電，即電磁波的發(fā)射（輻射）/傳播/接收（吸收）狹義相對論電動力學(xué)特點經(jīng)典電動力學(xué)＋狹義相對論是一個完備的理論宏觀電磁現(xiàn)象的規(guī)律，涉及微觀則多半失效學(xué)習(xí)參考書?

蔡圣善，等.電動力學(xué).北京:高等教育出版社，2002(7)

?

伊真，電動力學(xué)，科學(xué)出版社，2004年

?

劉覺平,電動力學(xué).北京：高等教育出版社，2004年9月?D.Jackson,ClassicalElecrodynamics(3rdEdition),影印版，2001，高等教育出版社?

張澤瑜,等.電動力學(xué).北京:清華大學(xué)出版社，1987.?

郭芳俠,電動力學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題詳解,西安:陜西師范大學(xué)出版社,2005年10月

?

林璇英張之翔，電動力學(xué)題解，北京：科學(xué)出版社1999年8月本章內(nèi)容:梯度、散度、旋度重要定理：Gausstheorem

Stokestheorem第零章數(shù)學(xué)準(zhǔn)備1、兩矢量標(biāo)量積與矢量積一.矢量代數(shù)2、混合積3、三重矢積abc不滿足交換規(guī)律4、矢量求導(dǎo)法則1、標(biāo)量場、矢量場標(biāo)量場：溫度場、質(zhì)量場…矢量場：速度場、重力場、電場、磁場…

二、梯度、散度和旋度

2、梯度（gradient）：表征標(biāo)量場內(nèi)某點附近場的變化（直角坐標(biāo)系）3、散度（divergence）：定義（直角坐標(biāo)系）4、旋度（rotation）：定義（直角坐標(biāo)系）三、算符運算公式四、重要定理S為區(qū)域V的界面L為S的邊界線高斯定理(Gausstheorem)斯托克斯定理(Stokestheorem)五、乘積的矢量微分運算公式五、球坐標(biāo)系中的算符六、常用幾個公式設(shè)：c)e)d)a)b)g)h)i)f)第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律基本實驗定律:

1.

庫侖定律

2.畢奧—薩伐爾定律

3.法拉第電磁感應(yīng)定律4.電荷守恒定律

疊加原理推廣

麥克斯韋方程組洛侖茲力

介質(zhì)電磁性質(zhì)方程

電磁場的基本方程電磁現(xiàn)象的描述電磁現(xiàn)象的描述

電場強度：

磁感應(yīng)強度：電磁場由時空變化的兩個矢量函數(shù)描述電磁場的運動規(guī)律求描述電磁場的物理量（、）的時空變化關(guān)系數(shù)學(xué)上，就是求（、）所滿足的偏微分方程第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律§1.1電荷和電場§1.2電流和磁場§1.3麥克斯韋方程組§1.4介質(zhì)的電磁性質(zhì)§1.5電磁場邊值關(guān)系§1.6電磁場的能量和能流§1.1電荷和電場一.庫侖定律(columb)得到點電荷Ｑ所激發(fā)的電場強度為電荷連續(xù)分布：yxzO描述一個靜止點電荷對另一靜止點電荷的作用力二．高斯定理（Gauss)和電場的散度方程yxzS它反映了電場是有源場，源為電荷。1、高斯定理其中是曲面Ｓ對電荷元

所在點所張的立體角．dVr￠若點在Ｓ內(nèi)，則若點在Ｓ外，則于是得：

(Ｖ為Ｓ包圍的體積)

yxzS證明如下：

在空間任取一閉合曲面Ｓ，則2、靜電場的散度結(jié)論?它又稱為靜電場高斯定理的微分形式。由于S的任意性?它說明空間某點的電場強度的散度只與該點電荷體密度有關(guān)，與其它點的無關(guān)。三、靜電場的環(huán)路定理與旋度方程1.環(huán)路定理⑴靜電場對任意閉合回路的環(huán)量為零；2、靜電場的旋度⑴環(huán)路定理的微分形式，僅適用靜電場。⑵說明回路內(nèi)無渦旋存在,靜電場是不閉合的。⑵它說明靜電場為無旋場，電力線永不閉合。

(1)電荷只直接激發(fā)其鄰近的場,遠(yuǎn)處的場則是通過場本身的內(nèi)部作用傳遞出處的.其中靜電場性質(zhì)由下面兩個方程來描述:

結(jié)論(2)在的地方,此處電場線連續(xù)通過,

不中斷;的地方,是電場線的起點.積分形式注意:力線是渦旋狀的場一定會有一些空間點的旋度不為0,

是有旋場,但力線是非旋渦狀的場,卻不一定都是無旋場.例1:電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi),求各點的電場強度,并由此直接計算電場的散度.解：由高斯定理得：可見散度只存在于有電荷分布的區(qū)域內(nèi)．例２．已知真空中某電場

求產(chǎn)生此電場的電荷分布．解：對區(qū)：對區(qū)：

可見電荷分布在Ｒ為半徑的球面上，總量為Ｑ，面密度§1.2電流和磁場一.電流密度矢量和電荷守恒定律:1.電流密度

若電流由一種帶電粒子運動形成,設(shè)電荷密度為平均速度為若有多種粒子:寫成矢量式:的大小：大?。簡挝粫r間垂直通過單位面積的電量方向：沿導(dǎo)體內(nèi)一點電荷流動的方向2、電荷守恒定律開放系統(tǒng)：單位時間流出區(qū)域V的電荷總量等于V內(nèi)電

量的減少率。一般情況積分形式一般情況微分形式⑴反映空間某點電流與電荷之間的關(guān)系，電流線一

般不閉合。

封閉系統(tǒng)：總電荷嚴(yán)格保持不變。電流：流出為正，流入為負(fù)⑵若空間各點電荷與時間無關(guān)，則為穩(wěn)恒電流。

即二、畢奧—薩伐爾(Biot-Savart)定律線電流（恒定）激發(fā)的磁場：體電流：兩電流元之間的相互作用力是否滿足牛頓第三定律？結(jié)論：不滿足。但兩通電閉合導(dǎo)體之間滿足第三定律安培作用力定律：閉合導(dǎo)線閉合導(dǎo)體三、安培環(huán)路定理和磁場的旋度方程1、環(huán)路定理：2、旋度方程1）穩(wěn)恒磁場為有旋場。2）應(yīng)用該公式必須在電流連續(xù)分布區(qū)域，不連續(xù)區(qū)只有用環(huán)路定理；3）它只對穩(wěn)恒電流磁場成立。四、磁場的通量和散度方程高斯定理：1）靜磁場為無源場（相對通量而言）2）它不僅適用于靜磁場，也適用于變化磁場五．靜磁場的基本方程（總結(jié)）☆反映靜磁場為無源有旋場，磁力線總閉合。它的激發(fā)源仍然是運動的電荷。微分形式：積分形式：☆注意：靜電場可單獨存在，穩(wěn)恒電流磁場不能單獨存在（永磁體磁場可以單獨存在，且沒有宏觀靜電場）。例：由Biot-Savart定律證明磁場的散度、旋度：式中而對于恒定電流，有：再計算結(jié)論:①恒定磁場是無源場,磁感線是閉合曲線.②在處,,旋度是局域的.★由畢—薩定律出發(fā)證明磁場的”高斯”定理,環(huán)路定理.例1.電流I均勻分布于半徑為a的無窮長直導(dǎo)線內(nèi),求空間各點的磁感應(yīng)強度,并由此計算磁場的旋度.解:磁場具有軸對稱性,作半徑為r的同軸圓環(huán)為安培環(huán)路L.例２：下面的矢量函數(shù)中哪些可能是磁場？如果是，求其源電流

（柱坐標(biāo)）解：所以不是§1.3麥克斯韋方程組通過學(xué)習(xí)麥克斯韋方程的建立過程:深刻理解理論物理學(xué)的特點；了解麥克斯韋方程在電磁場理論中的重要地位；了解麥克斯韋方程組的實驗基礎(chǔ)；一、總電場的旋度和散度方程1、電磁感應(yīng)現(xiàn)象1831年法拉第（其中）感生電場與感生電動勢的關(guān)系：2、感生電場的旋度方程1）電磁感應(yīng)的實質(zhì)：變化磁場激發(fā)電場2）感生電場為有旋場（又稱漩渦場）,與靜電場本質(zhì)不同。感生電場的散度方程：由于感生電場不是由電荷直接激發(fā)，可以認(rèn)為：總電場的旋度與散度方程：3、假定電荷分布激發(fā)的場為，則滿足：4、總電場為：有源無旋—縱場無源有旋—橫場結(jié)論：Fraddy定律揭示了變化著的磁場可以激發(fā)電場.此電場是渦旋形式,其旋度不為零,電場線是閉合線.與靜電場不同二.位移電流位移電流的假設(shè):對靜磁場：兩邊取散度，得：對非穩(wěn)恒電流：因此

對非穩(wěn)恒情況不成立。麥克斯韋假設(shè)存在位移電流：，總電流：有：位移電流的表達式是什么？麥克斯韋在多方面考慮后取(1)位移電流的實質(zhì)是電場的變化率,即變化的電場可以激發(fā)磁場;并不是真正的電流,只是從能夠產(chǎn)生磁場的角度命名的.這一表達式并不唯一,但它是最簡單而且物理意義很明確的一種形式.說明：因此將改寫為：（在穩(wěn)恒和非穩(wěn)恒的情況下都成立。）三、真空中的電磁場基本方程——麥克斯韋方程組①揭示了電磁場的內(nèi)部作用和運動.不僅電荷和電流可以激發(fā)電磁場,而且變化的電場和磁場也可以互相激發(fā).②電磁場可以獨立于電荷之外而存在.因為在的區(qū)域,仍可存在電磁場。微分形式：積分形式：四.洛侖茲(Lorentz)公式:對于點電荷受力：此式適用于任意運動的帶電粒子.對于電荷系統(tǒng)：取其中一體積元，設(shè)其運動速度為，它受的電磁力則單位體積所受的力----------力密度電磁場對電荷系統(tǒng)作的功率密度為麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式所描寫的電磁相互作用理論,是一個線性理論,而且是局域作用理論——即電荷電流只與其所在處的

和

直接發(fā)生作用.對

兩邊取散度,得由于

,代入得:例1.試由真空中的Maxwell方程組推演電荷守恒定律證明:電荷守恒定律的形式為例2.試推導(dǎo)真空中自由空間電磁波的波動方程:在電磁波存在的空間,

可見,自由空間中電磁場是以波動的形式存在的,真空中波傳播的速度大小等于真空中的光速.Maxwell正是根據(jù)這一波動方程預(yù)言了光就是電磁波.一.介質(zhì)的極化:存在兩類電介質(zhì)(dielectric)——無極分子(non-polarmolecule)電介質(zhì)和有極分子(polarmolecule)電介質(zhì).1、極化:極性分子—取向極化

無極分子—位移極化用極化強度(polarizationvector)描寫介質(zhì)的極化程度.

表示這體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和.§1.4介質(zhì)的電磁性質(zhì)2、極化電荷分布與極化強度的關(guān)系:其中

是介質(zhì)的極化強度.則由S穿出的總電荷為,應(yīng)等于S面內(nèi)凈余負(fù)電荷：微分形式為:1、非均勻極化介質(zhì)的內(nèi)部，

故會有宏觀極化體電荷分布.2、若介質(zhì)均勻極化,則有,定義電荷面密度。介質(zhì)2介質(zhì)1其中

為分界面法線方向,由介質(zhì)1指向介質(zhì)2.3.極化電流與極化強度的關(guān)系:如果作用電場隨時間變化,將引起介質(zhì)分子的束縛電荷振動而形成極化電流.由

式和電流連續(xù)性方程得：得極化電流密度：可見極化電流是由于的變化引起的.若,則4、介質(zhì)中的電場一般情況下介質(zhì)中的電場散度方程應(yīng)為：

:自由電荷體密度,

:極化電荷體密度:介質(zhì)中的總宏觀電場強度.上式變?yōu)?定義輔助場量——電位移矢量(electricdisplacement):對各向同性的線性介質(zhì):---電容率(介電常數(shù))

---極化率例1.沿軸向極化的均勻介質(zhì)圓棒,若設(shè)軸線為x軸則極化強度如圖:Oabx求：①棒內(nèi)的極化電荷密度.②棒表面的極化電荷電荷密度.解：①②

x=a處：x=b處：例２．分析線性電介質(zhì)中極化電荷的分布所以可見:極化電荷分布于介質(zhì)的不均勻處、介質(zhì)的界面處以及有自由電荷的地方．磁偶極矩:三．介質(zhì)的磁化1、在無外磁場作用時,一定體積內(nèi)分子磁矩的矢量和為零.2、在外磁場

作用下,分子磁矩

將受到力矩,介質(zhì)出現(xiàn)宏觀磁矩.微觀分子電流1、磁化強度(magnetizationvector)物理意義：介質(zhì)的磁化程度②均勻磁化：＝常量．①對真空或未磁化的介質(zhì)，順磁介質(zhì)：

取向極化，抗磁介質(zhì)：

感生磁矩，與方向相反．

２.與磁化電流的分布關(guān)系：只有那些鏈環(huán)著

的分子電流,才對于通過曲面

的磁化電流

有凈貢獻.穿過曲面Ｓ的電流由S的任意性,得：定義電流“線密度”物理意義：垂直通過橫截線的電流。則由上式得界面：３、介質(zhì)中的磁場磁場強度

實質(zhì)是電場變化率介質(zhì)中的磁場由共同決定

定義輔助場量——磁場強度:四、介質(zhì)中的麥克斯韋方程微分形式積分形式介質(zhì)中普適的電磁場基本方程，可用于任意介質(zhì)，

當(dāng)，回到真空情況。五、介質(zhì)中的電磁性質(zhì)方程1、電磁場較弱

均呈線性關(guān)系⑴各向同性線性非鐵磁介質(zhì)極化率電容率相對電容率磁化率磁導(dǎo)率相對磁導(dǎo)率電導(dǎo)率導(dǎo)體中的歐姆定律電容率張量⑵各向異性線性介質(zhì)（如晶體）

各向異性介質(zhì)電性質(zhì)方程矩陣形式磁導(dǎo)率張量電導(dǎo)率張量2、電磁場較強時

對于鐵磁物質(zhì),一般情況不僅非線性，而且非單值；在電磁場頻率很高時，介質(zhì)會出現(xiàn)色散現(xiàn)象。即使在電磁場較弱的情況

表現(xiàn)為頻率的函數(shù)。（3）電位移矢量與電場強度的關(guān)系為非線性關(guān)系例3.證明穩(wěn)恒電流情形下,均勻介質(zhì)中的磁化電流

可見磁化電流出現(xiàn)在介質(zhì)的不均勻處以及有自由電流的地方,對均勻介質(zhì):§1.5電磁場邊值關(guān)系麥?zhǔn)戏匠探M積分形式：一、電磁場量的法線方向分量的邊值關(guān)系1、

和

的法向分量邊值關(guān)系：(1)將應(yīng)用到界面上無限小高斯面S上。對均勻各項同性線性介質(zhì)

若：2、、的法向分量邊值關(guān)系二、切向分量邊值關(guān)系應(yīng)用到狹長回路L上,窄邊趨于零.總結(jié)得到的邊值關(guān)系:邊值關(guān)系一般表達式理想介質(zhì)邊值關(guān)系表達式一側(cè)為導(dǎo)體的邊值關(guān)系表達式(1)求介質(zhì)板內(nèi)外的電場.(2)介質(zhì)表面的束縛電荷密度.BA解:①由于介質(zhì)均勻,且不帶電,故

介質(zhì)表面均勻分布著等量異號的極化電荷.例1.在真空中有一均勻電場,在場中放一無限大的介質(zhì)板,其介電常數(shù)為ε,板面法線與

成θ角,如圖.BA利用邊值關(guān)系的夾角②例２．無窮大電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，極板上面電荷密

度為

，求電場和束縛電荷分布．解：電容器內(nèi)電介質(zhì)中的電場是均勻的．§1.6電磁場的能量和能流經(jīng)典理論把電磁場描述成連續(xù)分布的物質(zhì),它以波的形式運動.和

是描寫這種物質(zhì)分布的兩個基本物理量.電磁場的物質(zhì)性，表現(xiàn)在它具有能量、動量和質(zhì)量.電磁場與電荷的相互作用過程,遵從能量、動量守恒.場對物質(zhì)作功場能量的減少流入?yún)^(qū)域的能量

的大小等于單位時間垂直流過單位橫截面的能量?？紤]V內(nèi)有電流,電荷分布

,單位時間通過界面S流入V內(nèi)的能量等于場對V內(nèi)電荷作功的功率與V內(nèi)電磁場的能量增加率之和。即:1,能量密度:2,能流密度:3,能量守恒定律:單位體積內(nèi)的能量，量綱：J/m3描述能量在場中的分布描述能量在場中的傳播

的方向代表能量傳輸方向。一.場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律的一般形式:右方：第一項表示場對

內(nèi)電荷作的功率第二項表示

內(nèi)電磁場能量的增加率.左方：表示單位時間通過界面

進入

內(nèi)的電磁場能量.二、電磁場能量密度和能流密度表示式功率密度

能流密度的表達式是否唯一？思考數(shù)學(xué)上，可以?。海槿我馐噶浚Ｎ锢砩?，不存在。利用注意到第一種情況真空電荷分布情形：相互作用物質(zhì)是電磁場和自由電荷，能量在兩者之間轉(zhuǎn)移。

關(guān)于能量密度：第二種介質(zhì)分布情形：相互作用物質(zhì)是電磁場、自由電荷和介質(zhì)。第一項：場對自由電荷的功率密度為

，它或轉(zhuǎn)為電荷的動能或為焦耳熱。

后二項：場對介質(zhì)中束縛電荷的功，轉(zhuǎn)為極化能和磁化能儲存在介質(zhì)或部分轉(zhuǎn)化為分子熱運動消耗。

電磁場能量密度：介質(zhì)中場能量的改變量為:

對于均勻各項同性線性介質(zhì):

原因：當(dāng)外場變化極化能和磁化能變化，成為介質(zhì)中的總電磁能量。適用任意介質(zhì)適用線性介質(zhì)例:在同一空間中存在靜止電荷的靜電場和永久磁鐵的磁場.此時可能存在

矢量,但沒有能流。可以證明，對于任一閉合表面有：

是否一定有能流？思考證明：又從而：得證。電場為靜電場,且三.電磁能量的傳輸:☆電磁波情形:能量在場中傳播.☆恒定電路或低頻交流電:能量在場中傳播，而并不是由電路中的電子來傳輸.a.導(dǎo)線內(nèi)電子定向運動速度遠(yuǎn)小于能量傳輸速度.b.恒定情況下,負(fù)載前后電流I處處相等.對

的電流,?。旱茫篶.在交流電路中,電流的方向發(fā)生變化但能量傳輸方向不變.結(jié)論:電磁場能量無論是在電磁波情形和電路情形都是在電磁場中傳播的。原因：例1.同軸傳輸線半徑為a,外導(dǎo)線半徑為b,兩導(dǎo)線間為均勻絕緣介質(zhì),導(dǎo)線載有電流I,兩導(dǎo)線間的電壓為U.(1)忽略導(dǎo)線的電阻,計算介質(zhì)中的能流

和傳輸功率.(2)計及內(nèi)導(dǎo)線的有限電導(dǎo)率,計算通過內(nèi)導(dǎo)線表面進入導(dǎo)線內(nèi)的能流,證明它等于導(dǎo)線的損耗功率.忽略導(dǎo)線電阻時,σ→∞，設(shè)內(nèi)導(dǎo)線表面單位長度的電荷為τ,應(yīng)用高斯定理bIaI解：(1)在的介質(zhì)中應(yīng)用安培環(huán)路定理：有限bIaI

即為通常在電路問題中的傳輸功率表示式，此功率是在場中傳輸?shù)模橘|(zhì)中傳輸功率：由于兩導(dǎo)線間電壓：(2)設(shè)內(nèi)導(dǎo)線的電導(dǎo)率為

,在導(dǎo)線內(nèi)部有:緊貼導(dǎo)線的介質(zhì)內(nèi),電場切向分量為bIaI由邊值關(guān)系：知：流進長度為的導(dǎo)線內(nèi)的功率為:式中為該段導(dǎo)線的電阻。正是該段導(dǎo)線損耗的功率，是在場中傳輸?shù)?。討?1)在電阻負(fù)載附近電磁場能量的傳輸：相當(dāng)于很小，則：

幾乎垂直進入負(fù)載內(nèi)部。(2)在電源附近電磁場能量的傳輸：+_結(jié)論：在閉合直流電路中，能量從電源表面流向空間的電磁場，在空間電磁場中沿著導(dǎo)線方向傳遞給負(fù)載。

從電源側(cè)面流出。例2.計算正在緩慢充電的電容器的能流.解:設(shè)電容器由半徑為R的兩塊圓形平板構(gòu)成,間距為h.由于得電容器內(nèi)磁場：單位時間由電容器側(cè)面流入電容器的能量為：hZ

R結(jié)論:能量不是從導(dǎo)線中流過來的,而是從電容器外面的空間中通過電容器側(cè)面流進電容器的。電容器的能量：能量的增加率：可見：真空中的麥克斯韋方程微分形式

積分形式

總復(fù)習(xí)介質(zhì)中的麥克斯韋方程微分形式

積分形式

電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表達式,也稱連續(xù)性方程微分形式：

功與場量的關(guān)系：（場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律）第二章靜電場2025/2/81:18靜電場第二章靜電場研究的問題:給定自由電荷以及周圍空間介質(zhì)和導(dǎo)體情況下的電場

--------靜電邊值問題研究的思路:2025/2/81:18§2-1靜電勢及其微分方程§2-2唯一性定理§2-3分離變量法§2-4鏡像法§2-5格林函數(shù)法§2-6電多極矩2025/2/81:18本章目錄1．靜電勢的引入一、靜電場的標(biāo)勢靜電場標(biāo)勢[簡稱電勢]②取負(fù)號是為了與電磁學(xué)討論一致

滿足迭加原理③①

的選擇不唯一，相差一個常數(shù)，只要即可確定知道§2.1靜電勢及其微分方程2、電勢差空間某點電勢無物理意義，兩點間電勢差才有意義電勢差為電場力將單位正電荷從P移到Q點所作功負(fù)值①

電場力作正功，電勢下降

電場力作負(fù)功，電勢上升

②兩點電勢差與作功的路徑無關(guān)

2025/2/81:18等勢面：電勢處處相等的曲面與等勢面垂直，即點電荷電場線與等勢面+電偶極子的電場線與等勢面均勻場電場線與等勢面2025/2/81:18參考點通常選無窮遠(yuǎn)為電勢參考點（1）電荷分布在有限區(qū)域，P點電勢為將單位正電荷從P移到∞電場力所做的功。（2）電荷分布在無限區(qū)域不能選無窮遠(yuǎn)點作參考點，否則積分將無窮大。3、電荷分布在有限區(qū)幾種情況的電勢（1）點電荷2025/2/81:18（2）電荷組

產(chǎn)生的電勢

（3）無限大均勻線性介質(zhì)中點電荷

點電荷在均勻介質(zhì)中的空間電勢分布（Q為自由電荷）（4）連續(xù)分布電荷

產(chǎn)生的電勢

靜電問題歸結(jié)為電勢的求解2．靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系(1)電介質(zhì)內(nèi)均勻介質(zhì)Poisson方程(2)電介質(zhì)界面上自由電荷分布介質(zhì)內(nèi)電勢（電場）(3)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)部電場強度為零自由電荷不會分布于導(dǎo)體內(nèi)部，只分布于表面(4)導(dǎo)體與電介質(zhì)界面上導(dǎo)體內(nèi)部電勢處處相等導(dǎo)體表面外側(cè)電場沿法向表面為等勢面導(dǎo)體外電勢（電場）導(dǎo)體表面自由電荷分布三．靜電場的能量

一般方程：

能量密度

若已知

總能量為

不是能量密度總能量

僅討論均勻介質(zhì)2025/2/81:18導(dǎo)出過程：該公式只適合于靜電場情況。能量不僅分布在電荷區(qū)，而且存在于整個場中。2025/2/81:18例1.真空中靜電場的電勢為求產(chǎn)生該電場的電荷分布解:由靜電勢的方程因此電荷只能分布在x=0面上，設(shè)電荷面密度為σ

根據(jù)邊值關(guān)系

2025/2/81:18例2.帶電Q的導(dǎo)體球（半徑為a）產(chǎn)生的電勢及靜電場的總能量。解：電荷分布在有限區(qū)，參考點選在無窮遠(yuǎn)。根據(jù)對稱性，導(dǎo)體產(chǎn)生的場具有球?qū)ΨQ性，電勢也應(yīng)具有球?qū)ΨQ性。當(dāng)考慮較遠(yuǎn)處場時，導(dǎo)體球可視為點電荷。滿足

aQP2025/2/81:18此題也可用高斯定理（積分形式）求解。

=

=

本節(jié)主要內(nèi)容靜電場唯一性定理導(dǎo)體存在的唯一性定理導(dǎo)體系的疊加原理2025/2/81:18§2.2唯一性定理唯一性定理的表述(1)在區(qū)域中每個均勻的子區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程：空間區(qū)域內(nèi)靜電場唯一確定的條件為：(2)在區(qū)域中每兩子區(qū)域邊界上滿足邊值條件：（

n由i區(qū)域指向j區(qū)域）(4)給定區(qū)域表面上或之值。(3)已知區(qū)域內(nèi)的電荷密度、；2025/2/81:18唯一性定理的證明(1)在任一子區(qū)域內(nèi)：(2)在子區(qū)域界面上：(3)區(qū)域表面上:或設(shè)有、同時滿足上述條件，令：,則子區(qū)域1子區(qū)域2子區(qū)域3子區(qū)域42-3

1

導(dǎo)體存在時唯一性定理（1）導(dǎo)體內(nèi)部無電荷，電荷以面電荷形式分布于表面（2）（孤立）導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，導(dǎo)體是等勢體導(dǎo)體的靜電平衡條件：對給定電勢值，將導(dǎo)體看成是區(qū)域邊界之一即可

若區(qū)域中存在導(dǎo)體，給定導(dǎo)體上的電勢值或總電荷

值，其他區(qū)域條件如前述，則電場唯一確定。

導(dǎo)體內(nèi)電場為零對給定電荷值，只要包圍導(dǎo)體的表面有：2025/2/81:18導(dǎo)體系疊加定理對由導(dǎo)體構(gòu)成的系統(tǒng)，

各導(dǎo)體仍為等勢體，新的分布是合理的分布，也是唯一的分布空間電勢同樣滿足疊加原理

若各導(dǎo)體上電荷為時，電荷密度為

各導(dǎo)體上電荷為時，電荷密度為

則當(dāng)各導(dǎo)體上電荷為時，電荷密度必為例1：靜電屏蔽之解釋

唯一性定理說：S面內(nèi)的電場由內(nèi)部電荷及S上的電勢決定。（與外面的電荷及電場無關(guān)）

不影響S面內(nèi)部

不影響S面外部

靜電屏蔽效果此題說明：屏蔽是說屏蔽導(dǎo)體內(nèi)部電場的變化不會引起外部電場的變化，反之亦然。2025/2/81:18因電荷分布在有限區(qū)，外邊界條件導(dǎo)體表面電荷Q已知，電場唯一確定。設(shè)

滿足，

帶電荷Q的半徑為a的導(dǎo)體球放在均勻無限大介質(zhì)中，求空間電勢分布。在導(dǎo)體邊界上2025/2/81:18解：導(dǎo)體球具有球?qū)ΨQ性，電荷只分布在外表面上。假定電場也具有球?qū)ΨQ性，則電勢坐標(biāo)與無關(guān)。解:設(shè)兩種介質(zhì)內(nèi)電勢、電場、位移分別為例3.如圖兩同心導(dǎo)體球殼之間充以兩種介質(zhì),左半部分電容率為右半部分電容率為

,設(shè)內(nèi)球殼帶總電荷Q,外球殼接地,求電場和球殼上的電荷分布.由電勢的邊界條件，假設(shè)介質(zhì)1、2中仍保持球?qū)ΨQ，即設(shè)此嘗試解在介質(zhì)1，2分界面上滿足2025/2/81:18對內(nèi)導(dǎo)體面：2025/2/81:18但可驗證可見內(nèi)球面上總電荷(自由,極化電荷)是均勻分布的,故總電場仍為球?qū)ΨQ.2025/2/81:18§2.3拉普拉斯方程的解

——分離變量法、分離變量法的適用條件四、應(yīng)用實例（例題）三、解題步驟二、拉普拉斯方程的解在坐標(biāo)系中的形式2025/2/81:181、空間，自由電荷只分布在某些介質(zhì)（或?qū)w）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界，可用拉普拉斯方程。一、拉普拉斯方程的適用條件2、在所求區(qū)域的介質(zhì)中若有自由電荷分布，則要求

自由電荷分布在真空中產(chǎn)生的勢為已知。

一般所求區(qū)域為分區(qū)均勻介質(zhì)，則不同介質(zhì)分界面上有束縛面電荷。區(qū)域V中電勢可表示為兩部分的和，即，為已知自由電荷產(chǎn)生的電勢，不滿足

，為束縛電荷產(chǎn)生的電勢，滿足拉普拉斯方程但注意，邊值關(guān)系還要用而不能用2025/2/81:18二、拉普拉斯方程在幾種坐標(biāo)系中解的形式1、直角坐標(biāo)

（1）令

令2025/2/81:18（2）若

（3）若

，與無關(guān)。

注意：在（1）、（2）兩種情況中若考慮了某些邊界條件，將與某些正整數(shù)有關(guān)，它們可取1，2，3，…，只有對它們?nèi)『秃蟛诺玫酵ń狻?025/2/81:18

柱坐標(biāo)

討論

，令

有兩個線性無關(guān)解、單值性要求，只能取整數(shù)，令若

，2025/2/81:183．球坐標(biāo)

——締合勒讓德函數(shù)（連帶勒讓德函數(shù)）

若不依賴于，即具有軸對稱性，通解為

-----為勒讓德函數(shù)

若與均無關(guān)，具有球?qū)ΨQ性，通解：2025/2/81:18三．解題步驟

根據(jù)具體條件確定常數(shù)選擇坐標(biāo)系和電勢參考點坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀，參考點主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限；分析對稱性、分區(qū)寫出拉普拉斯方程在所選坐標(biāo)系中的通解；（1）外邊界條件：電荷分布有限2025/2/81:18注意：邊界條件和邊值關(guān)系是相對的。導(dǎo)體邊界可視為外邊界，給定（接地）,或給定總電荷Q，或給定。電荷分布無限，電勢參考點一般選在有限區(qū)。如

（直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo)），電勢可選在坐標(biāo)原點。均勻場中，（2）內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上一般討論分界面無自由電荷的情況2025/2/81:18四．應(yīng)用舉例1、兩無限大平行導(dǎo)體板，相距為，兩板間電勢差為V(與

無關(guān))，一板接地，求兩板間的電勢和。xyOVZ解：（1）邊界為平面，故應(yīng)選直角坐標(biāo)系下板

，設(shè)為參考點（2）定性分析：因在（常數(shù)），可考慮與無關(guān)。2025/2/81:18(4)定常數(shù)：

(5)電場為均勻場常數(shù)電勢：(3)列出方程并給出解：

方程的解：2025/2/81:182.一個內(nèi)徑和外徑分別為和的導(dǎo)體球殼,帶電荷Q,同心的圍著一個半徑為的導(dǎo)體球(),使這個導(dǎo)體球接地,求空間各點的電勢和這個導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷.2025/2/81:18代入上述邊界條件中，得解得：2025/2/81:18導(dǎo)體球上電荷為2025/2/81:18→+3.在均勻電場中置入一帶均勻自由電荷的絕緣介質(zhì)球，電容率為(

），求空間各點的電勢。zoθozoθ2025/2/81:182025/2/81:182025/2/81:18邊界條件對場的影響研究區(qū)域內(nèi)的電荷分布不變滿足原靜電場基本方程滿足原邊界條件調(diào)整像電荷位置和電量邊界外部假想電荷像電荷邊界內(nèi)電場電荷與像電荷共同激發(fā)的電場唯一性定理保證兩靜電問題在研究區(qū)域內(nèi)同解例1、

點電荷與半無限大接地導(dǎo)體的電場邊界條件自由電荷分布導(dǎo)體外的電場分布§2.4鏡象法像電荷導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷面密度總感應(yīng)電荷思考題：半無限大導(dǎo)體改為電介質(zhì)，如何求解?例2、點電荷與接地導(dǎo)體球的電場邊界條件導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷面密度總感應(yīng)電荷思考題：若導(dǎo)體球電中性且不接地，情況又如何？例3、半無限大導(dǎo)體電極中有恒定電流流出導(dǎo)電液體絕緣體導(dǎo)體內(nèi)部電流恒定恒定電流電場的基本方程與靜電場相同靜磁場電極處帶電界面上恒定電流界面處電場沿切向等勢面垂直于界面自由電荷分布邊界條件像電荷思考題：如何求絕緣體內(nèi)部的電勢分布與界面上的總電荷面密度？無自由電荷邊界條件電勢在界面上連續(xù)像電荷

格林等效層定理（不證明）*（1）等勢面包圍的體積V內(nèi)的電荷在V外產(chǎn)生的電勢與在此等勢面上置一導(dǎo)體面，并將V內(nèi)電荷都搬到導(dǎo)體上所產(chǎn)生的電勢完全一樣。（2）相反，帶電導(dǎo)體所產(chǎn)生的電勢也可以用導(dǎo)體面內(nèi)一定等效電荷分布來代替，只要它產(chǎn)生與導(dǎo)體表面完全重合的等勢面。

等勢面VQP導(dǎo)體面QPQQ’2025/2/81:18另外幾種容易求解又常見的情況：2025/2/81:18§2.6電多極矩二、電多極矩一、電勢的多極展開三、電荷體系在外電場中

的能量(相互作用能)主要內(nèi)容2025/2/81:18§6電多極矩討論電荷分布在小區(qū)域內(nèi),而場點又距電荷分布區(qū)較遠(yuǎn),即

l<<r一、電勢的多極展開：2025/2/81:18二、電多極矩:

﹡電四極矩張量重新定義：*證明：它不改變，只有5個獨立分量

有9個分量電四極矩有6個不同分量2025/2/81:18電四極矩最簡單體系舉例：

四個點電荷在一直線上按（+，-，-，+）排列，可看作一對正負(fù)電偶極子。體系總電荷、總電偶極矩為零依定義其它分量均為零zORr+r-Px+--+a-ab-b它與直接計算結(jié)果完全一致（）：

2025/2/81:18x++--yz四個點電荷在x軸四個點電荷在

y軸x-y平面x-z

平面y-z平面電四極矩其它例子2025/2/81:18三、電荷體系在外電場中的能量（相互作用能）1．設(shè)外場電勢為，場中電荷分布為，體系具有的總能量為：

可證明：zyx因此：+稱為體系的相互作用能，或帶電體系在外場中的能量。2．帶電體系為小區(qū)域時相互作用能的展開將對電荷所在小區(qū)域展開為麥克勞林級數(shù)2025/2/81:183．相互作用能的意義：體系電荷集中在原點時，在外場中的能量；體系等效電偶極子在外場中的能量；體系等效電四極子在外場中的能量。若外場為均勻場4.帶電體系在外場中受到的力和力矩設(shè)W為帶電體系在外場中的靜電勢能，則帶電體系在外場中受到的力

（假定Q不變）以下僅討論

和2025/2/81:18力：相當(dāng)于帶電體系集中在一點上點電荷在外場中受到的作用力若為均勻場電偶極子只在非均勻場中受力。2025/2/81:18假定在外場作用下不變，設(shè)為與之間的夾角，則

可見即使均勻場，但力矩：2025/2/81:18本章內(nèi)容：1、矢勢的引入和它滿足的微分方程、靜磁場的能量2、引入磁標(biāo)勢的條件及磁標(biāo)勢滿足的方程與靜電勢方程的比較第三章靜磁場3-1

矢勢及其微分方程2-2

磁標(biāo)勢2-3

磁多極矩※2-4

阿哈羅諾夫-玻姆效應(yīng)※2-5

超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)第三章靜磁場§3.1矢勢及其微分方程一、穩(wěn)恒電流磁場的矢勢1．穩(wěn)恒電流磁場的基本方程穩(wěn)恒電流磁場：傳導(dǎo)電流（即運動電荷）產(chǎn)生的不隨時間變化的磁場?；痉匠踢呏店P(guān)系這時靜電場和磁場可以分離

實際上當(dāng)建立一個與電荷一起運動的參照系時，

在這個參照系中觀測，只有靜電場。本節(jié)僅討論情況，即非鐵磁的均勻介質(zhì)。2．矢勢的引入及意義靜電場

（a）與的關(guān)系穩(wěn)恒電流磁場其中S為回路L為邊界的任一曲面（b）磁通量只與曲面L的邊界有關(guān)，與曲面的具體形狀無關(guān)

沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過由該回路為邊界的任一曲面的磁通量，而每點A無直接物理意義。（c）物理意義３、矢勢的不唯一性令可減少矢勢的任意性規(guī)范條件二．矢勢滿足的方程及方程的解1．滿足的方程（1）與靜電場形式相同（2）矢勢為無源有旋場無界空間：不同的坐標(biāo)系，形式不同。（1）直角坐標(biāo)系（2）柱坐標(biāo)（3）球坐標(biāo)系已知電流密度，可從方程直接積分求解，但一般電流分布與磁場相互制約，因此一般情況需要求解矢量泊松方程。3．的解這正是畢奧--薩伐爾定律與靜電場類比（線電流）2．矢勢的形式解4．的邊值關(guān)系(a)12Δlh(b)特殊情況：①分界面為柱面，柱坐標(biāo)系中，若②分界面為球面，若zxyxzy5*．矢量泊松方程解的唯一性定理定理：給定V內(nèi)傳導(dǎo)電流和V邊界S上的或V內(nèi)穩(wěn)恒電流磁場由和邊界

條件唯一確定。A的方程和邊值關(guān)系歸結(jié)為如下：三．穩(wěn)恒電流磁場的能量均勻介質(zhì)中總能量為1．在穩(wěn)恒場中有

能量分布在磁場內(nèi)，不僅分布在電流區(qū)。不是能量密度。

2.

電流分布在外磁場中的相互作用能相互作用能Wi

設(shè)為外磁場電流分布，為外磁場的矢勢；為處于外磁場中的電流分布，它激發(fā)的場的矢勢為?？偰芰浚合嗷プ饔媚?/p>

由可得相互作用能量例1.無窮長直導(dǎo)線載有電流I,求磁場的矢勢和磁場應(yīng)強度.解法一:dzzpRP0解法2:RIPR0P0l例2.一導(dǎo)線垂直通入地下,導(dǎo)線電流為I,地下電流沿各方向均勻分布,求空間磁場.AθI思考題:若一無限長載流導(dǎo)線所在空間的一半存在均勻介質(zhì)μ,令一半為真空,且導(dǎo)線垂直于分界面,求磁場分布.例3.半徑為a的導(dǎo)線圓環(huán)載流電流為I,求矢勢和磁感應(yīng)強度.xyzP·θrR在球坐標(biāo)系中，二共點的矢量之間的夾角為上式可用橢圓積分表出§2.磁標(biāo)勢原因：靜磁場一般不為零，即靜磁場作功與路徑有關(guān)，即使在能引入的區(qū)域標(biāo)勢一般也不是單值的。一．引入磁標(biāo)勢的兩個困難2．在電流為零區(qū)域引入磁標(biāo)勢可能非單值。1．磁場為有旋場，不能在全空間引入標(biāo)勢。二．引入磁標(biāo)勢的條件無自由電流分布的單連通區(qū)域可引入磁標(biāo)勢。討論：1）在有電流的區(qū)域必須根據(jù)情況挖去一部分區(qū)域；2）若空間僅有永久磁鐵，則可在全空間引入。公式表示顯然只能在區(qū)域引入，且在引入?yún)^(qū)域中任何回路都不能與電流相鏈環(huán)。三．磁標(biāo)勢滿足的方程1．引入磁標(biāo)勢區(qū)域磁場滿足的場方程

不僅可用于均勻各向同性非鐵磁介質(zhì)，而且也可討論鐵磁介質(zhì)或非線性介質(zhì)。2．引入磁標(biāo)勢3．滿足的泊松方程與靜電場類比將分子電流看作由一對假想磁荷組成的磁偶極子，磁化后便出現(xiàn)假想磁荷分布。假想磁荷密度:4．邊值關(guān)系①若兩種介質(zhì)均為線性非鐵磁介質(zhì):②若介質(zhì)1為鐵磁質(zhì)，介質(zhì)2為非鐵磁，邊值關(guān)系:邊值關(guān)系:四．靜電場與靜磁場方程的比較靜磁場靜電場靜電勢與磁標(biāo)勢的差別：

因為到目前為止實驗上還未真正發(fā)現(xiàn)以磁單極形式存在的自由磁荷。對靜磁場人們認(rèn)為分子電流具有磁偶極矩，它們由磁荷構(gòu)成，不能分開。

靜電場可在全空間引入，無限制條件；靜磁場要求在無自由電流分布的單連通域中才能引入。②靜電場中存在自由電荷，而靜磁場無自由磁荷。③

從物理本質(zhì)上看只有磁感應(yīng)強度才與電場強度地位相當(dāng)。磁場強度僅是個輔助量。證明：12μμ0磁場邊值關(guān)系在該磁性物質(zhì)外面，H2與表面垂直，因而表面為等磁勢面。例1、證明

的磁性物質(zhì)表面為等磁勢面。則表面上任意兩點的磁標(biāo)勢之差，表面為磁等勢面。此結(jié)果對設(shè)計磁極很重要：一般磁鐵材料的很大。因之磁化后表面近似為等磁勢面，由表面=常數(shù)的邊界條件可以解出磁極之間的磁場。適當(dāng)選擇磁極表面的形狀可以獲得不同的磁場。解：可以把線圈看成許多逆時針方向的小電流線圈，小電流線圈的磁矩為產(chǎn)生的磁標(biāo)勢（電偶極矩產(chǎn)生的電勢為：

）電流線圈在x點產(chǎn)生的磁標(biāo)勢x

點在上方時，W>0；x點在下方時，W<0。如果線圈構(gòu)成平面，x點從上方趨于平面時，W趨于2p；x點從下方趨于平面時，W趨于-2p。可見，在跨越平面時，W存在4p的躍變。對于線圈圍成的曲面，4p躍變?nèi)匀淮嬖?。曲面選取具有任意性，4p躍變并不是客觀事實，依賴于曲面的選取。實際上，磁標(biāo)勢也與曲面選取有關(guān)，也不是一個具有獨立物理意義的量，它只能是個輔助物理量。另一方面，由于在曲面兩邊，磁標(biāo)勢存在躍變，但是物理上要求磁標(biāo)勢在其定義區(qū)域連續(xù)（滿足Poisson方程），所以定義磁標(biāo)勢的區(qū)域必須扣除線圈圍成的一個曲面。例3、求電流線圈產(chǎn)生的磁標(biāo)勢。

§3磁多極矩一.矢勢的多極展開討論問題:電流分布在小區(qū)域內(nèi),而場點又距電流分布區(qū)較遠(yuǎn),即:l<<r

或者：將電流分為許多小的閉合的電流管，對每一電流管因而證明:由于所以-----磁單極勢一般證明參見蔡圣善電動力學(xué)p130其中電流體系的磁矩方法二：將電流分為許多閉合小電流管，對一個電流管：考慮即.o其中對平面線圈對體電流，將得二、磁偶極矩的場和磁矢勢由于時，注：上式只能在r>>l時成立由于磁偶極子的磁標(biāo)勢,與電偶極子電勢相似:討論：宏觀電流線圈的磁偶極矩?？紤]以宏觀電流線圈為周界的任一曲面。設(shè)想，面上布滿電流為I的小電流環(huán)，在內(nèi)部，電流相互抵消。這一假想系統(tǒng)與原系統(tǒng)等效。系統(tǒng)總磁矩？：宏觀電流線圈的磁矩依賴于曲面的選擇嗎？再選擇另一曲面S2，且根據(jù)電流環(huán)繞方向規(guī)定dS2方向。所以，宏觀電流線圈的磁矩不依賴曲面的選擇。

例1.半徑為a的均勻帶電圓板,電荷密度為σ,繞通過圓心垂直于板面的軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動,求圓板的磁偶極矩及遠(yuǎn)處的矢勢.

zrRo三.小區(qū)域電流在外磁場中的能量.相互作用能對線電流

與外電場中的電偶極子的能量相比差了一個負(fù)號.是否意味著磁偶極子受外場作用時將會傾向于外磁場的反向呢?討論:①若外場均勻,,以后各項均為0,則相互作用能只有磁偶極項.

不是的!原因是場對線圈作的功等于磁能的增量而不是減少量.分析如下:磁能的改變?nèi)舨蛔?要使不變,由于變化,電源必須提供能量以抵抗感應(yīng)電動勢作功并不違背能量守恒,因為在無電源情況下,轉(zhuǎn)動或移動線圈時并不能保持外場能量及不變,事實上,要使不變,電源必須提供能量.定義力學(xué)中的勢函數(shù),使作的功等于勢函數(shù)的減小,應(yīng)有:ΦB有通電螺線管，且外部磁場Ｂ＝０，干涉條紋移動§3.4阿哈羅諾夫-玻姆效應(yīng)

Aharonov-Bohm(A-B)1.A-B效應(yīng)的存在說明磁場的物理效應(yīng)不能完全用B描述2.矢勢A具有可觀測效應(yīng),可影響電子波束的相位3.在量子力學(xué)中能夠完全恰當(dāng)描述磁場的物理量是相因子

一些元素、化合物、合金等，當(dāng)溫度下降到某臨界值Tc以下時，電阻率下降為零的現(xiàn)象稱為超導(dǎo)電性。Tc以下的狀態(tài)稱為超導(dǎo)態(tài)，臨界磁場為：一．超導(dǎo)電性

在1986年以前，人們所發(fā)現(xiàn)的超導(dǎo)材料的臨界溫度都非常低（大約在3～5k左右。1986年以來，人們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了一系列有較高臨界溫度的超導(dǎo)材料，這些高溫超導(dǎo)材料具有非常廣闊的應(yīng)用前景。3.5超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)二．邁斯納效應(yīng)

超導(dǎo)體內(nèi)部（不包括導(dǎo)體的表面層）的磁感應(yīng)強度為零，且與超導(dǎo)體所經(jīng)歷的歷史無關(guān)。若物體原來處于超導(dǎo)態(tài)，當(dāng)加上外磁場時，只要磁場強度不超過Hc，則B不能進入超導(dǎo)體。

這一效應(yīng)表示超導(dǎo)體不能簡單的看作通常導(dǎo)體當(dāng)電導(dǎo)率時的極限。通常導(dǎo)體內(nèi)常矢量對于交變電流

，因此導(dǎo)體內(nèi)仍然有電阻損耗。但是對于一般低頻交變電流，損耗很小。為超導(dǎo)電流密度，ns為超導(dǎo)電子密度。對于穩(wěn)恒電流：導(dǎo)體內(nèi)電流完全為超導(dǎo)電流。內(nèi)部三．超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)方程1．倫敦第一方程2.倫敦第二方程

，它表明了超導(dǎo)體磁場與電流互相制約的關(guān)系。

倫敦兩個方程與麥斯韋方程是相容的，并且從兩個方程可以導(dǎo)出邁斯納效應(yīng)。

經(jīng)上述分析，可以清楚的看到超導(dǎo)體中的電流和磁場只能存在于超導(dǎo)體的表面層內(nèi)，而不能深入到導(dǎo)體的內(nèi)部。電磁波傳播問題應(yīng)用：無線電通訊、光信息處理、微波技術(shù)、雷達和激光等領(lǐng)域。電磁波:隨時間變化的運動電荷和電流輻射電磁場，電磁場在空間互相激發(fā)，在空間以波動的形式存在.傳播問題是指：在分界面上，電磁波會產(chǎn)生反射、折射、衍射和衰減等，因此傳播問題本質(zhì)上是邊值問題。第四章電磁波的傳播第四章電磁波的傳播4.1

平面電磁波4.2電磁波在介質(zhì)分界面

上的反射和折射4.3有導(dǎo)體存在時電磁波的傳播4.4諧振腔4.5波導(dǎo)管4.1平面電磁波一、真空中電磁波的波動方程

在沒有電荷、電流分布的真空中電磁場的運動規(guī)律(5)令：同理可得我們可以得到真空中的波動方程真空中電磁場的傳播速度為(6)由(5)、(6)得在無電流、電荷的空間，電磁場可以獨立地以波動形式存在，依賴于電磁場內(nèi)部的運動變化。1.介質(zhì)的色散：表現(xiàn)：不同頻率的電磁波在介質(zhì)中傳播的速度不同，從而折射率也不同。若有、兩種成分的電磁波進入線性介質(zhì)，則：可見，對非單色電磁場，顯然不成立，二、介質(zhì)中的時諧電磁波的波動方程介質(zhì)中的波動方程為v為電磁波在介質(zhì)中傳播的速度由于

和

隨頻率變化，因此v也會隨頻率變化2、在導(dǎo)電媒質(zhì)中電導(dǎo)率歐姆定律3、時諧波（又稱定態(tài)波）及其方程這種波的空間分布與時間t無關(guān)，時間部分可以表示為

，因此有以下關(guān)系成立：以及磁場滿足的方程時諧波是指以單一頻率

做正弦（或余弦）振蕩的電磁波（又稱為單色波或者定態(tài)電磁波）。

對單一頻率成立。介質(zhì)中波動方程為：

（或者）同理對定態(tài)波稱為時諧波的亥姆霍茲方程（其中稱為波矢量）同理可以導(dǎo)出磁感應(yīng)強度滿足的方程

小結(jié)：電磁波在介質(zhì)中的傳播滿足亥姆霍茲方程，其解即顯示了電磁波在介質(zhì)中如何傳播。平面波：波陣面與波矢垂直的平面，平面上的點相位相等。亥姆霍茲方程：它的一個解是是常矢量（1）（2）zSPyx場強的全表示式為S是等相面表示沿波矢方向傳播的平面波左圖中三、平面波電磁波方向代表波傳播的方向，數(shù)值k稱為圓波數(shù)。以上為了計算方便，把場強表示成復(fù)數(shù)形式，實際存在的場強應(yīng)理解為上式的實數(shù)部分，即對相位有相速度在介質(zhì)中，不同頻率的電磁波具有不同的相速度，這就是介質(zhì)的色散現(xiàn)象。由于沿電磁波傳播方向相距為的兩點有相位差

，因此這兩點的距離為波長

，即因此，磁場也垂直于波矢量，即磁場也是橫波，是成右手螺旋，三個互相正交矢量，且和相位相同，振幅比為上式表明，平面電磁波是橫波，可在垂直于的任意方向上振蕩。每一個波矢量存在兩個獨立的偏振波。（1）（2）（3）在真空中，平面電磁波的電場和磁場比值為綜上述，平面電磁波有如下特征：電磁波為橫波同相，比值為注意：如果不是平面電磁波就沒有上述的特征。即平面電磁波中電場能量密度和磁場能量密度相等，因此電磁場能量密度為：四、平面電磁波的能量和能流電磁場的能量密度為在定態(tài)條件下則在平面波條件下能流密度的物理意義是帶著能量沿著電磁波傳播方向以速度v運動。能流密度為周期為T，能量密度平均值為可得其中利用了平均能流密度（1）反射定律：如圖，入射角等于反射角，即4.2電磁波在介質(zhì)分界面上的反射和折射電磁波入射于介質(zhì)界面時，會發(fā)生反射和折射現(xiàn)象。表明了光也是一種電磁波。（2）折射定律：如圖，入射角和折射角滿足是從介質(zhì)2相對于介質(zhì)1的折射率21一、反射定律和折射定律任何電磁波都可用傅立葉分析方法分解為平面波，因此下面僅考慮平面波的情況。入射波反射波折射波21z1、反射定律對定態(tài)波函數(shù)，界面上的邊值條件為因為則此式必須對整個界面成立，則是獨立變量由于由于取入射波矢在平面上，則有即入射波矢、折射波矢和反射波矢都在同一平面上2、角度關(guān)系入射角等于反射角為反射定律取為界面，則有折射定律二、振幅關(guān)系，菲涅耳公式電場、磁場的邊值關(guān)系為應(yīng)用電磁場的邊值關(guān)系，可以很快地求出兩種情況下的振幅關(guān)系因為是的函數(shù)，因此不同，也不同會產(chǎn)生色散現(xiàn)象?；?、入射波電場垂直入射面n

zx

2

2

1

1

利用得：代入（2）式，得：(1)(2)應(yīng)用折射率公式可得2、入射波電場平行入射面zxn

2

2

1

1

(3)(4)即此時反射波平行分量為零，滿足這樣條件入射角稱為布儒斯特角，設(shè)布儒斯特角為，則有由（3）式可得比如光從空氣進入玻璃3．相位關(guān)系分析（1），從光疏煤質(zhì)到光密煤質(zhì)但是與總是同相位。

（2），從光密媒質(zhì)到光疏媒質(zhì)但與相位總是相同結(jié)論：（1）入射波與折射波相位相同，沒有相位突變；（2）入射波與反射波在一定條件下有相位突變。

對于垂直入射情況：由于按假定方向，與同方向，即同相位；若與假定反向，與反方向，即相位差，這種現(xiàn)象稱為半波損失。5．正入射（）的菲涅爾公式其中為相對折射率三、全反射當(dāng)電磁波從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)的分界面時，由折射定律可得當(dāng)這時折射波沿界面掠過。若入射角面增大時，即當(dāng)這時發(fā)生全反射，此時為純虛數(shù)，因此，折射波波矢量的z分量也為純虛數(shù)（1）折射波電場表示式變?yōu)檫@種波僅存在于的半空間中，且由于其場強沿Z軸方向指數(shù)衰減，因此這種電磁波僅存在于界面附近一薄層內(nèi)，厚度為（2）全反射的能流平均入射能流平均反射能流由以上兩式可以看出，這兩個能流密度大小比值為由菲涅耳公式可得垂直分量與平行分量反射與入射振幅比為：將代入以上兩式中得則有由于則可得因此即入射能流全部被反射，這就是全反射。在全反射中，第二介質(zhì)是起作用的。在半周內(nèi)，電磁能量透過第二介質(zhì)，在界面附近薄層內(nèi)儲存起來，在另一半周內(nèi)，該能量釋放出來變?yōu)榉瓷洳芰俊！?.3有導(dǎo)體存在時電磁波的傳播（1）真空或介質(zhì)中電磁波傳播可視為無能量損耗，電磁波無衰減；（2）電磁波遇到導(dǎo)體，電磁波的能量不斷損耗，因此在導(dǎo)體內(nèi)部電磁波是一種衰減波；（3）導(dǎo)體中電磁波傳播不同于真空或介質(zhì)中電磁波的傳播形式。一．導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷分布

變化電磁場中，導(dǎo)體不再處于靜電平衡狀態(tài)，1．靜電場中導(dǎo)體上的電荷分布

靜電平衡時，電荷僅分布在表面上，導(dǎo)體內(nèi)部無電荷，且電場強度垂直導(dǎo)體表面。2．變化場情況下的電荷分布本節(jié)僅討論均勻?qū)w。影響反過來影響導(dǎo)體中的電磁波為特征時間或馳豫時間，表示減小到所需時間。3．良導(dǎo)體條件良導(dǎo)體內(nèi)，電荷僅分布在導(dǎo)體表面薄層內(nèi)。二．導(dǎo)體內(nèi)的電磁波1．基本方程（導(dǎo)體內(nèi)部）

時諧（定態(tài)）與介質(zhì)中相比僅多了一項。2．導(dǎo)體中的平面波解（1）引入復(fù)介電常數(shù)實部為位移電流的貢獻；虛部為傳導(dǎo)電流的貢獻，引起能耗（耗散功率）。（2）直接寫出亥姆霍茲方程

（3）平面波解仍可寫作3．、的意義及表示式（1）平面電磁波解改寫為：----描述波振幅在導(dǎo)體內(nèi)的衰減程度衰減因子傳播因子----描述波空間傳播的位相關(guān)系（2）、與間的關(guān)系式

由？與垂直的平面是等相面。與垂直的平面是等振幅面。設(shè)介質(zhì)中波矢為，導(dǎo)體中為，則，并設(shè)

在平面，即；即得，。

（即分界面指向?qū)w內(nèi)部，波沿方向衰減）由

（3）平面波從介質(zhì)入射到導(dǎo)體表面由

解出：令與軸夾角為，由得，從而定出良導(dǎo)體情況：三．穿透深度和趨膚效應(yīng)波幅降至原值的傳播距離1．穿透深度在導(dǎo)體中的平面波為（在情況下）良導(dǎo)體3．導(dǎo)體內(nèi)磁場與電場的關(guān)系（垂直入射）對良導(dǎo)體2．趨膚效應(yīng)：

對于良導(dǎo)體，當(dāng)電磁波頻率為交變頻率時，電磁場及交頻電流集中在導(dǎo)體表面薄層。例如，銅當(dāng)

且

，因此，電場與磁場有的相位差。振幅比：則有；在真空或介質(zhì)中，兩者比較可見導(dǎo)體中磁場比真空或介質(zhì)中磁場重要的多，金屬中電磁能主要是磁場能量。四．導(dǎo)體表面上的反射真空正入射反射系數(shù)為反射能流與入射能流之比（能流大?。┪?、導(dǎo)體內(nèi)功率損耗問題導(dǎo)體內(nèi)的電場為：其中略去了因子，可見導(dǎo)體內(nèi)的電流密度為導(dǎo)體內(nèi)單位體積內(nèi)的平均功耗為：導(dǎo)體表面單位面積的功耗為：定義表面電流密度：通過單位橫截線的電流。δ0xyzds=dxdy因為故得由此可見：在高頻情況下：所以與平均功率比較即§4.4諧振腔TEM波：電場和磁場在垂直傳播方向上振動的電磁波。平面電磁波在無界空間中傳播時就是典型的TEM波。一．有界空間中的電磁波1．無界空間中橫電磁波（TEM波）2．有界空間中的電磁波――邊值問題

金屬一般為良導(dǎo)體，電磁波幾乎全部被反射。因此，若空間中的良導(dǎo)體構(gòu)成電磁波存在的邊界。二．理想導(dǎo)體邊界條件討論的理想導(dǎo)體(一般金屬接近理想導(dǎo)體)。假定它的穿透深度（）。1．一般邊值關(guān)系（由于邊界為理想導(dǎo)體，故認(rèn)為導(dǎo)體內(nèi)，因此只有面電流分布）設(shè)為導(dǎo)體的電磁場量，為真空或絕緣介質(zhì)中的電磁場量，2．理想導(dǎo)體內(nèi)部，用代替則在界面上：在介質(zhì)中

，應(yīng)用到界面上有（在界面上）。定態(tài)波3．理想導(dǎo)體為邊界的邊值問題理想導(dǎo)體邊值問題三．諧振腔

低頻電磁波可采用回路振蕩器產(chǎn)生，頻率越高，輻射損耗越大，焦耳熱損耗越大（因為，越小，電容電感不能集中分布電場和磁場，只能向外輻射；又因趨膚效應(yīng)，使電磁能量大量損耗）。

用來產(chǎn)生高頻振蕩電磁波的一種裝置由幾個金屬板或反射鏡（光學(xué)）構(gòu)成，稱為諧振腔。（1）由6個金屬壁構(gòu)成的空腔6個面在直角坐標(biāo)中表示為（2）設(shè)為腔內(nèi)的任意一個直角分量每個分量都滿足1．矩形諧振腔的駐波解

（3）分離變量法求解2．邊界條件確定常數(shù)

（1）考慮

對

，假定同理（2）考慮再由3．諧振波型（1）電場強度兩個獨立常數(shù)由激勵諧振的信號強度來確定（2）諧振頻率（本征頻率）：（3）討論

給定一組，解代表一種諧振波型（在腔內(nèi)可能存在多種諧振波型的迭加）；只有當(dāng)激勵信號頻率時，諧振腔才處于諧振態(tài)。

中不能有兩個為零,若則

對每一組值，有兩個獨立的偏振波模。

設(shè)，則最低諧振頻率為最低頻率的諧振波型（1，1，0）型但在一般情況下為橫電磁振蕩281在諧振腔中的電磁場，在x、y、z方向上都是駐波場對所有模式，電場與磁場之間相差一個因子i，即/2的相位差在諧振腔中，當(dāng)電場能量最大時，磁場能量為零而磁場能量最大時，電場能量為零即在腔中電場能量與電磁場的時間平均值總是相等的而在時間上，電場能量與磁場能量相互轉(zhuǎn)換，形成振蕩3、諧振腔中關(guān)心的問題品質(zhì)因數(shù)Q：表征諧振系統(tǒng)的頻率選擇特性，并決定頻率響應(yīng)282諧振腔的能量按洛倫茲型的頻率分布，即諧振曲線分布的半寬度為時間常數(shù)譜線值下降到峰值一半時，儲能減少到起始值的一半Q值越高，帶寬越窄，頻率選擇性越好，峰越尖銳§4.5波導(dǎo)管1．低頻電路情況對于低頻電力系統(tǒng)一般用雙線傳輸或采用同軸線傳輸。同軸線傳輸是為了避免電磁波向外輻射的損耗及周圍環(huán)境的干擾，但是頻率變高時，內(nèi)線半徑小，電阻大，焦耳熱損耗嚴(yán)重，趨膚效應(yīng)也嚴(yán)重。一．高頻電磁波能量的傳輸在有線通訊中，高頻電磁波若用雙線或同軸線傳輸，能量因熱損耗損失嚴(yán)重。在高頻情況常常用一根空心金屬管（波導(dǎo)管）傳輸電磁波，多用于微波范圍。2．高頻情況二．矩形波導(dǎo)中的電磁波1．矩形波導(dǎo)管讓電磁波沿軸傳播2．解的形式四個壁構(gòu)成的金屬管，四個面為其中滿足亥姆霍茲方程令代表電場強度任意一個直角坐標(biāo)分量，它也必然滿足上述方程。令：則有特解為：3．邊界條件定常數(shù)與諧振腔討論相似其余兩個常數(shù)由激發(fā)源功率確定。（1）當(dāng)為橫波（橫電波，即TE波）由上式得出，所以、不能同時為橫波；4．的解由確定不能同時為零（2）當(dāng)為橫波，，，橫磁波（TM波）（3）不同的，有不同的TE和TM（）三．截止頻率波矢，由激發(fā)