高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末知識(shí)清單填空（含答案）

必修二第八章與選必一第一章：立體幾何與空間向量知識(shí)清單

一、必備公式

1.空間幾何體的表面積與體積公式：

（1）基本公式：①圓：面積$圓=,周長。國=;

②扇形：弧長/扇形=，面積S扇形==,周長C扇形=.

（2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

-----:一，&*1;

側(cè)面展開圖1\㈤'、/'2司

辭/

側(cè)面積公式s圓柱側(cè)-----------s圓錐側(cè)一__________s圓臺(tái)側(cè)-----------

（3）柱、錐、臺(tái)和球的體積公式

①柱體（棱柱和圓柱）：S表面積=S惻+2S底，%=:②錐體（棱錐和圓錐）：S表面積=S側(cè)+S底，/錐=:

③臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）：s表面積=S惻+S上+S下，嗅=：④球：5球=，k球=

2.平行關(guān)系的判定及性質(zhì)定理:

（1）線〃面的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

平面外的一條直線與_________的一條直線平行，則該直線與?_______，________，_______

判定定理//

此平面平行.（簡記為“線線平行=線面平行”）.\l//a

一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面?_______，_______，________

性質(zhì)定理

的與該直線平行.（簡記為“線面平行一線線平行”）：.l//b

（2）面〃面的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一個(gè)平面內(nèi)的兩條____________與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)"：a"B,6〃6,_________，aUa,

判定定理ZX/

平面平行.（簡記為“線面平行一面面平行”）/7bUa??a//p

兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的_______平行?，，

性質(zhì)定理/L

（簡記為“面面平行一線線平行”）^7：.allb

注意：面面平行性質(zhì)公理：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意直線與另一個(gè)平面,（簡記為“面面平行=線面平行”）

3.垂直關(guān)系的判定及性質(zhì)定理:

（1）線，面的判定定理及性質(zhì)定理

文字語言圖形語言l符號(hào)語言

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的___________直線都垂直，則該直l_Lb,a、bUa,_______

判定定理

線與此平面垂直.（簡記為“線線垂直=線面垂直”）z/.\l-La

a

Vtz_La,b-La

性質(zhì)定理垂直于______平面的兩條直線平行.L_T/

（2）面，面的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_______,則這兩個(gè)平面垂直.

判定定理,_______工。"

（簡記為“線面垂直=＞面面垂直”）b

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于_______的直線與另一IUB，,

性質(zhì)定理

個(gè)平面垂直.（簡記為“面面垂直一線面垂直”）也

注意：線面垂直性質(zhì)定理：一條直線垂直于一個(gè)平面，則該平面內(nèi)的任意直線，（簡記為“線面垂直=線線垂直”）

4.空間向量與立體幾何的求解公式：

（1）異面直線成角：設(shè)6分別是兩異面直線/1,/2的方向向量，則/1與/2所成的角。滿足：cos6=:

（2）線面成角：設(shè)直線/的方向向量為a,平面a的法向量為〃，。與"的夾角為小

則直線I與平面a所成的角為6滿足：sin。=|________尸.

（3）二面角：設(shè)"1,"2分別是二面角a—/一￡的兩個(gè)半平面a,￡的法向量,

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則二面的成角。滿足：|cosq=|cos〈"1，〃2〉1=；

注意：二面角的平面角大小是向量"1與"2的夾角或是向量"1與"2的夾角的，具體情況要判斷確定.

(4)點(diǎn)到平面的距離：如右圖所示，已知為平面a的一條斜線段，〃為平面a的法向量，以

則點(diǎn)8到平面a的距離為：|劭尸,即向量尻)在法向量”的方向上的投影長.//

二、必備結(jié)論

1.直觀圖與原圖的關(guān)系：

(1)作圖關(guān)系：①位置：性、性不變；②長度：平行x(z)軸的長度,平行y軸的長度.

(2)面積關(guān)系:S直觀圖'=—XS原圖；

2.幾個(gè)與球有關(guān)的內(nèi)切、外接常用結(jié)論：

(1)正方體的棱長為a,球的半徑為R,則：①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2尺=；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；③球與正方體的各棱相切，則2尺=/以

(2)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則外接球直徑=長方體對(duì)角線，即：2R=.

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為：.

3.幾種常見角的取值范圍：①異面直線成角e②二面角e

③線面角e④向量夾角e⑤直線的傾斜角e

三'必備方法

1.三視圖還原方法：法，具體步驟：①根據(jù)三視圖輪廓畫長方體或正方體；②在底面畫

③綜合正視圖和左視圖進(jìn)行提點(diǎn)連線；④驗(yàn)證與完善.

2.平行構(gòu)造的常用方法：①三角形法；②平行四邊形線法；③法.

注意：平行構(gòu)造主要用于：①異面直線求夾角；②平行關(guān)系的判定.

3.垂直構(gòu)造的常用方法：①等腰三角形法；②法；③投影法.

4.用向量證明空間中的平行關(guān)系

(1)線線平行：設(shè)直線/1和/2的方向向量分別為m和。2,則/1〃/2(或與/2重合)0.

(2)線面平行：設(shè)直線/的方向向量為小平面a的法向量為“，貝心〃a或/UaO.

(3)面面平行：設(shè)平面a和￡的法向量分別為“1,“2,貝!Ja.

5.用向量證明空間中的垂直關(guān)系

(1)線線垂直：設(shè)直線和/2的方向向量分別為和。2,則.

(2)線面垂直：設(shè)直線/的方向向量為0,平面a的法向量為"，貝!]/，。。.

(3)面面垂直：設(shè)平面a和￡的法向量分別為“1和“2,貝Ua_L￡o“i_L“2O.

6.點(diǎn)面距常用方法：①作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離；②法；③向量法

7.外接球常用方法：①將幾何體補(bǔ)成長方體或正方體，則球直徑=；

②過兩個(gè)三角形的外接圓圓心作圓面垂線，則垂線交點(diǎn)即為外接球，找到球心即可求半徑.

四、必備細(xì)節(jié)

1.證明平行和垂直關(guān)系時(shí)，條件羅列要全面；

2.用法向量求二面角時(shí)，要注意判斷法向量夾角就是二面角還是二面角的補(bǔ)角;

3.在解決角度和距離問題時(shí)，一定要遵循“一作、二、三求解”的原則。

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選擇性必修一第二章：直線方程與圓的方程知識(shí)清單

一、必備公式

1.斜率公式

(1)若直線I的傾斜角aW90。，則斜率k=.

(2)尸1(X1,J1),尸2(必/)在直線/上，且X1WX2,貝的斜率上=.

2.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式—不含直線X=XQ

斜截式不含垂直于X軸的直線

兩點(diǎn)式不含直線x=xi(陽W]2)和直線ynyi(yi^y2)

截距式—不含垂直于坐標(biāo)軸和_________的直線

一般式____________⑷+―珂）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

3.幾種距離公式

⑴兩點(diǎn)B(xi，H),尸2(x2,玖)之間的距離：巧P2尸.

(2)點(diǎn)尸o(xo,yo)到直線/：Ax~t~By~\~C—0的距置：d—.

(3)兩條平行線4v+2y+G=0與/x+3y+C2=0(其中C1NC2)間的距離：d=.

4.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x—a)2+(y—6)2=八&>0),其中為圓心，為半徑.

5.圓的一般方程：/+產(chǎn)+瓜+4+尸=0

該方程表示圓的充要條祥是,其中圓心為,半徑尸.

6.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法

⑴幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑廠的大小關(guān)系：=相交；=相切；=相離.

(2)代數(shù)法：利用判別式/=尻-4℃進(jìn)行判斷：o相交；o相切；Q相離.

7.圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓。1：(x—ai)2+(y—/>i)2=r?(n>0),圓Q：(x~a2)2+(y—Z>2)2=r5(r2>0).JUO：

o外離；o外切；o相交；o內(nèi)切；o內(nèi)含

二、必備結(jié)論

1.斜率與傾斜角的關(guān)系：由正切圖象可以看出:①當(dāng)ae仇工]時(shí)，斜率左e[0,+oo)且隨著a增大而

②當(dāng)a=時(shí)，斜率不存在，但直線存在；③當(dāng)ad時(shí)，斜率左e(—co,0)且隨著a增大而.

2.兩條直線的位置關(guān)系

(1)斜截式判斷法：

①兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線/1、/2：

(i)若其斜率分別為后、ki,則有/i〃/2=.(近)當(dāng)直線/卜為不重合且斜率都不存在時(shí)，Zih.

②兩條直線垂直：。)如果兩條直線/1、/2的斜率存在，設(shè)為左1、后，則有/l_L/2=.

(ii)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為時(shí)，/1±/2.

(2)一般式判斷法：設(shè)兩直線4x+Biy+Ci=0與/獷+&丫+。2=0,則有：

①IM/12_____________且AiC2W/2Ci；②/1_L/2C.

3.直線系方程：

(1)平行線系：與直線/x+3y+C=0平行的直線方程可設(shè)為：+加=0(%#。；

(2)垂直線系：與直線/x+3y+C=0垂直的直線方程可設(shè)為：+"=0；

(3)交點(diǎn)線系：過/ix+3y+G=0與/加+&、+。2=0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：4工+3/+。1+"/加+32了+。2)=0.

4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)2+(y—6)2=戶，一般方程/+產(chǎn)+瓜+4+尸=0,點(diǎn)M(xo，yo),則有:

(1)點(diǎn)在圓上：(x()—a)2+(y()—6)2="，xo2+j^o2+￡)xo+￡'j;o+^，=O；

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(2)點(diǎn)在圓外：(xo—a)2+(yo-bYi2,xo2+j^o2+Dxo+Eyo+F0；

(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(xo—a)2+(yo—r2,xo2+>>o2+Dxo+Ej^o+Z70.

5.圓的切線方程常用結(jié)論

(1)過圓/+產(chǎn)=產(chǎn)上一點(diǎn)p(xo,yo)的圓的切線方程為：.

(2)過圓(x-a)2+(y—6)2=W上一點(diǎn)口枇，州)的圓的切線方程為：.

(3)過圓C：/+產(chǎn)+m+4+尸=0外一點(diǎn)M(xo,/)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程的求法：

法一：①以M為,切線長為求圓”的方程；②用圓M的方程圓C的方程即得;

法二：①以CM為,C"中點(diǎn)為求圓M的方程；②用圓M的方程_______圓C的方程即得;

6.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論

⑴兩圓的位置與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：—條；④外切：一條；⑤外離：4條.

(2)公共弦直線：當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程Q2,產(chǎn)項(xiàng)系數(shù)相同)便可得公共弦所在直線的方程.

7.常用口訣：①直線帶參，必過；②弦長問題，用.

三、必備方法

1.直線的對(duì)稱問題：

(1)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱：方程組法，設(shè)對(duì)稱后點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,夕)，根據(jù)及列方程組；

(2)線關(guān)于線對(duì)稱：①求交點(diǎn)；②已知直線上取一個(gè)特殊點(diǎn)，并求其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；③兩點(diǎn)定線即可.

(3)圓關(guān)于線對(duì)稱：圓心對(duì)稱，半徑.

2.直線與圓的相關(guān)問題：

(1)切線問題：一般設(shè)直線點(diǎn)斜式(討論斜率存在)，然后依據(jù)列方程求解；

(2)弦長問題：用勾股，即圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為/,則根據(jù)勾股定理得;

3.軌跡求法：

①直譯法：直接根據(jù)題目提供的動(dòng)點(diǎn)條件，直接列出方程，化簡可得；

②幾何法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何特征，判斷其軌跡,然后根據(jù)軌跡定義直接寫出方程.

③代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.

四、必備細(xì)節(jié)

1.任何直線都存在傾斜角，但并不是任意直線都存在____.

2.與直線方程的適用條件、截距、斜率有關(guān)問題的注意點(diǎn)：

(1)運(yùn)用點(diǎn)斜式、斜截式方程時(shí)：要注意討論存在性；

(2)運(yùn)用截距式方程時(shí)：要注意討論是否經(jīng)過(過原點(diǎn)的直線x,y軸截距均為0).

注意：截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)，可為零.

3?點(diǎn)到直線與兩平行線間的距離的使用條件：

(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)：先化直線方程為.

(2)求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)：先將方程化為一般式且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)______.

4.過一點(diǎn)求圓切線要注意：

(1)過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有條；

(2)過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有條，

注意：若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解.

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選擇性必修一第三章：圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用知識(shí)清單

一、必備公式

1.橢圓有關(guān)知識(shí)：

⑴橢圓定義：動(dòng)點(diǎn)P滿足：1PBi+|尸尸2尸—，尸迅2|=2c且______（其中。>0,cO,且a,c為常數(shù)）

（2）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程*=1…

y

B2

圖形甯

BAb\OB2x

Bi軍

范圍—“WWa,—bW___Wb_____WQ

對(duì)稱性對(duì)稱軸：______對(duì)稱中心：______

頂點(diǎn)4（一_），也（一一），囪（——），&（一—）.4(_，一)，/2(_,—),Bi(_,_),&(_,一)

性

質(zhì)軸長軸442的長為______；短軸5歸2的長為______

焦距\FIF2\=______

離心率________

a

a,b,c的關(guān)系

2.雙曲線有關(guān)知識(shí)

⑴雙曲線定義：動(dòng)點(diǎn)P滿足：||尸尸i]一|尸尸2||=，/典=2c且______（其中a,c為常數(shù)且心0,c>0）.

（2）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)_____________________________________________________________

”l(a>0,b>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

丁SA°)

y

zL

圖形1T，

范圍__________,y^RxGR,__________

對(duì)稱性對(duì)稱軸：______對(duì)稱中心：______

頂點(diǎn)A\______，Ai______Ai______，Ai______

漸近線

性質(zhì)尸______尸______

離心率e=~,e?________,其中6=\1出+人2

a

實(shí)虛軸實(shí)軸⑷4|=%;虛軸向歷尸絲;

a、b、c的關(guān)系_____________(c>?>0,c>b>0)

3.拋物線有關(guān)知識(shí)：

⑴拋物線定義：/用=|尸M，點(diǎn)/不在直線/上，尸于".

（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

f=2px(p>0)儼=—2px(p>0)x2=2pv(p>0)x2=—2py(p>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

p的幾何意義：焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離

?y一

圖形X

頂點(diǎn)0(0,0)

對(duì)稱軸y=0x=0

焦點(diǎn)F_____F._____F._____F_____

離心率e=l

準(zhǔn)線方程

范圍xWO,y￡Ry三0,x￡RyWO,x￡R

開口方向向右向左向上向下

4.重要公式

（1）弦長公式：\AB\=歷—（2）將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消去一個(gè)變量（如

y）得出方程4<：2+&+c=o：（前提/>o）韋達(dá)定理：修+》2=,xix2=.

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二、必備結(jié)論

22

1.軌跡類型：方程'+匕=1,當(dāng)冽=心0時(shí)表示；當(dāng)初〉心0或心冽>0時(shí)表示__；當(dāng)_____時(shí)表示雙曲線.

mny

A

2,橢圓結(jié)論：

（1）如圖1：①焦點(diǎn)△B4F2周長。"遇尸2=、面積

②的周長為：CAABF2=；③通徑：|4C|=（橢圓、雙曲線通用）；

⑵如圖2：點(diǎn)尸是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則有：

①動(dòng)點(diǎn)角范圍：0WN4B42WN41A42；

②焦半徑范圍：WlPElW（長軸頂點(diǎn)到焦點(diǎn)最近和最遠(yuǎn)，即遠(yuǎn)、近地點(diǎn)）；

③1Poi范圍：—W|PO|<―（長、短軸頂點(diǎn)到原點(diǎn)最遠(yuǎn)、最近；④斜率：kpAxkpA2=

⑶點(diǎn)尸（X0，/）和橢圓的關(guān)系：

①點(diǎn)P在橢圓內(nèi)S+篝_1.②點(diǎn)P在橢圓上6日+舞―1.③點(diǎn)P在橢圓外of+普—1.

出bz_____出爐出b

（4）橢圓扁平程度：因?yàn)閑=*='他一________，所以e越大，橢圓越____；e越小，橢圓越

ava1\la1

3.雙曲線結(jié)論：斗

⑴如圖3：①動(dòng)點(diǎn)P到同側(cè)焦點(diǎn)尸2的距離最小值為：I尸尸2K=%內(nèi)=；*7畏拚

②焦點(diǎn)到漸近線的距離為：|FZM=；

（2）漸近線求法結(jié)論：可直接令方程理0）等號(hào)右邊的常數(shù)為—，化簡解得；

4.拋物線結(jié)論：

如圖4：拋物線產(chǎn)=2必傘>0）焦點(diǎn)弦設(shè)/（XI，刈）、3（X2,y2）,48的中點(diǎn)E,準(zhǔn)線為/.

（1）焦半徑問題：①焦半徑：|4F|=|4Q=____,\BF\=\BC\=______（隨焦點(diǎn)位置變動(dòng)而改變）；

②焦點(diǎn)弦：尸=（其中，a為直線的傾斜角）；③需+需=

（2）/、2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即xrX2=，力72=（隨焦點(diǎn)動(dòng)而變）；圖4

（3）其他結(jié)論：①$04B=（其中，a為直線N3的傾斜角）；②以N3為直徑的圓必與相切于點(diǎn)X.

三、必備方法

1.直線與圓錐曲線相關(guān)問題：

（1）位置關(guān)系：判別式法，即將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消去一個(gè)變量（如y）得出方程4^+&+。=0：

①/0=有兩個(gè)交點(diǎn)（相交）；②/0=有一個(gè)交點(diǎn)（相切）；③/0Q沒有交點(diǎn)（相離）.

（2）弦長問題：弦長公式+韋達(dá)定理，即磔2尸=.

（3）中點(diǎn)問題：法，即設(shè)點(diǎn)代入，然后作差，可以解決中點(diǎn)坐標(biāo)與直線之間的關(guān)系.

2.與角有關(guān)的關(guān)聯(lián)性問題：①直角（垂直）=數(shù)量積ab=—或斜率krk2=—或余弦定理cos0=0或點(diǎn)共—；

②銳角Q”力0或余弦定理cos0>；③鈍角Qa力0或余弦定理cos6<；

3.巧設(shè)直線：反設(shè)直線法，即過x軸上一點(diǎn)（a,0）的直線可設(shè)為x=，這樣可避免對(duì)直線斜率存在性的討論.

4.巧設(shè)共漸近線雙曲線:與雙曲線三一二=1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為（厚0）.

四、必備細(xì)節(jié)

1.易混淆：①橢圓層=,而雙曲線標(biāo)=；②雙曲線離心率ed（l,+oo）,而橢圓離心率eG（0,l）.

2.易忽視：①橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)位置；②拋物線為化成標(biāo)準(zhǔn)方程；③設(shè)直線未討論斜率存在性；

④解決直線線與曲線的方程求參數(shù)值或探究問題時(shí)，忘記判別式這一隱含條件.

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選擇性必修二第一章：數(shù)列知識(shí)清單

一、必備公式

1.通項(xiàng)?！芭c前〃項(xiàng)和S,的關(guān)系是：?！?.

2.等差數(shù)列有關(guān)公式：

(1)通項(xiàng)公式：an=:(2)前〃項(xiàng)和公式：S尸

3.等比數(shù)列有關(guān)公式：

(1)通項(xiàng)公式：斯=；⑵前〃項(xiàng)和公式：S〃=.

二、必備結(jié)論

1.等差數(shù)列常用結(jié)論：

若｛斯｝為等差數(shù)列，公差為d,前〃項(xiàng)和為S,,則有：

(1)下標(biāo)意識(shí)：若p+q=m+",則,特別地，若p+q=2k,則：

(2)隔項(xiàng)等差：數(shù)列Clk+m，ak+2m,…(k,加GN*)是公差為的等差數(shù)列；

(3)分段等差：數(shù)列S”$2"-S"$3"—$2",…是公差為的等差數(shù)列；

(4)數(shù)歹!]｛邑｝是公差為_____的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式當(dāng)

nn212J

2.等差數(shù)列與函數(shù)關(guān)系：

(1)經(jīng)整理而=加+(ai—④，則數(shù)列｛詼｝是等差數(shù)列o通項(xiàng)?！盀開_______函數(shù)：即斯=加+6(°、b為常數(shù))；

⑵經(jīng)整理S,=數(shù)列｛3是等差數(shù)列OS.為無的_____函數(shù)：即必=/"2+即(/、8為常數(shù)).

3.等比數(shù)列常用結(jié)論：

若｛而為等比數(shù)列，公比為4,前〃項(xiàng)和為S”則有：

(1)下標(biāo)意識(shí)：若夕+夕=加+小則,特別地，若p+q=2k,則；

(2)隔項(xiàng)等差：數(shù)列〃〃，斯+七4"+2左，Q"+3人…為數(shù)列，公比為.

(3)分段等比：數(shù)列S〃，S2n—S〃,S3〃一S2”仍成數(shù)列，其公比為

三、必備方法

1,數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種求法：

⑴利用即與&的關(guān)系：遞推作差，具體步驟如下：

①先利用Q1=S1求出Q1；②利用詼=(〃22)求斯；③檢驗(yàn)否符合的表達(dá)式.

⑵法：形如詼=斯_1+次〃)或詼一即_1=/5),用累加法求Q〃；

(3)法：形如斯=斯.1?加)或^^=/5),用累加法求。〃；

Qn-T

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(4)配湊構(gòu)造等比數(shù)列：形如(/W0且/N1),用配湊法求斯，具體步驟如下:

BB

①設(shè)：Q〃+I+X=4(Q〃+X)；②求：x=_______；③配：斯+1+----=A(a+----).

A—lnA—1

(5)導(dǎo)數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列：通常有以下兩種情況：

①形如詼+1=一包一(/,3為常數(shù))，等號(hào)兩邊同時(shí)取________,即可構(gòu)造｛1｝等差；

Ban+Aan

②形如an+\—an+Aan+i,??=0,等號(hào)兩邊同時(shí)除以，即可構(gòu)造｛'｝等差.

an

2.數(shù)列前〃項(xiàng)和的幾種求法：

(1)法：形如斯=等差土等比土其它數(shù)列，用分組求和法，分別求和而后相加減；

(2)裂項(xiàng)相消法：常用的裂項(xiàng)公式有：

1

@---\=----②------------------------1=______________；?-F/---=______

n(n+1)n〃+1(2n—1)(2〃+1)y]n~\~\n+1

④-----J—=________________；±^=」x」+2"=1x--當(dāng)

(2H—1)(2"+1—1)〃2(〃+2)24n2(?+2)24(z?+2)2n2

(3)法：形如斯=等差X等比，用錯(cuò)位相減法求解.

(4)法：形如斯=(-1)"?/)，用并項(xiàng)求和法求解，即列舉前幾項(xiàng)后，采用兩項(xiàng)合并求解..

3.等差數(shù)列的題型和常用方法：

(1)等差數(shù)列判定：①定義法："欲證等差，直接"，即證為+i—?！?定值；

②等差中項(xiàng)法：即證2斯+1=；③函數(shù)結(jié)論法：即即為一次函數(shù)或a為的二次函數(shù).

(2)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和S“最值的兩種方法：

①函數(shù)法：利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和&=劭2+加，通過或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解.

②正負(fù)分界法：即通過a"20(W0)找到為正負(fù)分界處，判斷得出最大的前〃項(xiàng)和為S,,具體如下：

d)n0jQ加^^0,

I.當(dāng)Qi>0,d<0且滿足?時(shí)，S加最____；II.當(dāng)Q1〈O,d>0且滿足?時(shí)，S加最____.

?w+lWOQm+l2。

4.等比數(shù)列的判定方法：

(1)定義法：”欲證等比，直接"，即證理=式4/0的常數(shù))。數(shù)列｛?！ǎ堑缺葦?shù)列；

an

(2)等比中項(xiàng)法：即證成+1=(。〃恁+1或+2,0，〃￡1^*)0數(shù)列｛4〃｝是等比數(shù)列.

四、必備細(xì)節(jié)

1.由斯=s〃一求得的Q〃是從幾=2開始的，一定要對(duì)兒=時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證.

2.在運(yùn)用等比數(shù)列a時(shí)，必須注意對(duì)與分類討論，防止因忽略9=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.

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必修二第八章與選必一第一章：立體幾何與空間向量知識(shí)清單

一、必備公式

1.空間幾何體的表面積與體積公式：

（1）基本公式：①圓：面積^回二口2,周長?；?2b；

②扇形：弧長/扇jg=a尺，面積S扇彩=g/R=5aR2,周長C扇彩=/+2R.

（2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

<----

---->

，夜irji；

側(cè)面展開圖i㈤'、/'2司

__2irr捻/

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2兀./s圓錐側(cè)一兀.S回合側(cè)=兀（尸1+/2）/

（3）柱、錐、臺(tái)和球的體積公式

①柱體（棱柱和圓柱）：s表面積=s側(cè)+2S底，Vti=Sh；②錐體（棱錐和圓錐）：S表面積=S,w+S底，%

③臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）：5表面積—S上+S卜，嗅=；（S上+S-5s二M；④球：S球=4成2,瞑=-3；

2.平行關(guān)系的判定及性質(zhì)定理:

（1）線〃面的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平1//a,aUa,lUa

判定定理//

面平行.（簡記為“線線平行一線面平行”）',I//a

一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面*：l//a,lUB，aCB=b

性質(zhì)定理

的交線與該直線平行.（簡記為“線面平行一線線平行”）：.l//b

（2）面〃面的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平、：a"B、b〃§,ar\b=P,aUa,b

判定定理

行.（簡記為“線面平行，面面平行”）

兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,則它們的交線平行a//aC\y=a,6rle=b

性質(zhì)定理/L

（簡記為“面面平行=線線平行”）p7：.a//b

注意：面面平行性質(zhì)公理：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意直線與另一個(gè)平面平行，（簡記為“面面平行=線面平行”）

3.垂直關(guān)系的判定及性質(zhì)定理:

（1）線，面的判定定理及性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

1

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此l-Lb,a、bUa,aClb=O

判定定理

平面垂直.（簡記為“線線垂直一線面垂直”）y?'.l-La

Vtz_La,b-La

性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.T

￡/：.a