二次函數(shù)最值問(wèn)題-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)（解析版）

二次函數(shù)易錯(cuò)專題復(fù)習(xí)二：二次函數(shù)最值問(wèn)題

考點(diǎn)一：代數(shù)式中最值

易錯(cuò)點(diǎn)一：隱含二次函數(shù)最值

考點(diǎn)二：幾何中最值

考點(diǎn)一：常規(guī)最值

二次函數(shù)最值問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)二：自變量取值范圍最值問(wèn)題

考點(diǎn)二：含參數(shù)最值

考點(diǎn)一:直

易錯(cuò)點(diǎn)三：利用對(duì)稱性中最值問(wèn)題「

考點(diǎn)二：周長(zhǎng)或面積最值

【易錯(cuò)點(diǎn)一：隱含二次函數(shù)最值】

二次函數(shù)最值問(wèn)題，屬于考試必考題型，考察范圍較廣，對(duì)學(xué)生理解要求更好，隱含二次函

數(shù)最值，主要是求代數(shù)式最值問(wèn)題和幾何中最值問(wèn)題，二次函數(shù)作為解題計(jì)算工具來(lái)考察,

常錯(cuò)的點(diǎn)主要是

①代數(shù)式與二次函數(shù)聯(lián)系，如何變形求二次函數(shù)最值，同時(shí)考慮自變量取值問(wèn)題

②幾何最值，主要是把幾何問(wèn)題如何轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，學(xué)生很容易忽略，思考不到位,

找不到關(guān)聯(lián)性

【知識(shí)點(diǎn)】

函數(shù)二次函數(shù)了=a/+Z?x+c（a、b、c為常數(shù)，a#0）

a>0av0

圖象

/PV

開(kāi)口方向向上向下

直線》=一二

對(duì)稱軸直線X=

2a2a

2

'b4ac-b^[24ac-b2}

頂點(diǎn)坐標(biāo)

k2a4a?k2a4a?

在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<-2時(shí)，y隨X的增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)X<一二時(shí)，y

2a

隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，

大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)%>一二時(shí)，

增減性

2a即當(dāng)X>-3時(shí)，y隨X的增大而減

y隨x的增大而增大.簡(jiǎn)記：左減右增

小.簡(jiǎn)記：左增右減

拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=-3時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=-3時(shí)，y有

2a2a

4ac-b2?,4ac-b2

取大值，y最大值一4。

最大（?。┲礜最小值-4a

【考點(diǎn)一：代數(shù)式中最值】

方法指引：先根據(jù)代數(shù)式情況，化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)求最值

例題1.（2022?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)X7、Xz是關(guān)于x的方程2x2-4mx+2序+

M—2=。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則好+x3勺最小值為（）

【答案】D

【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合完全平方公式變形計(jì)算即可.

【詳情解析】解：:X]、X2是關(guān)于x的方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根，

22

Xq+x2=2m,xqx2-2m\-(—4m)—8(2m+3m-2)>0,

??.m<1.

22

o299

/.(XT+x2)=4m,即X1+2XTX2+x2=4m,

227

/.X]+X2=4771—2X1X2

=4m2-2m2-3m+2

=2m2-3m+2

、，

,327

=2（m--）+-

?：2>0,

.?.當(dāng)m號(hào)時(shí)，原式有最小值，最小值為*

故選：D.

【提優(yōu)突破】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟

練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練1（2023秋?山東泰安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若5x2-70x="則x2/y2

的最大值為（）

A.亍B,4C.5D.y

【答案】A

【分析】由題意得y2=若對(duì)，把y2=*%代入x2+y2即可得到關(guān)于X的二次函數(shù)，即

可求解.

【詳情解析】解：由題意得：y2=U=

把y2=10x1x2代入x2+y2得:

10x—5x215

x9z+y9z=x9z4----------=——xz9+—x

,442

_32+|x=-：(x2—10x+52)=_g(x—5)2+y,

?一*0,

.“2+丫2的最大值為日，

故選：A.

【提優(yōu)突破】本題考查二次函數(shù)求最大值，將x2+y2化成關(guān)于x的二次函數(shù)是關(guān)鍵.

例題2（2023?江蘇南通?統(tǒng)考二模）若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a-b2-2=0,2a2-4b2-c=0,

則c的最小值是（）

A.6B,7C,8D,9

【答案】C

【分析】由a—b?—2=0得b?=a-2,由2a?—4b2—c=0得c=2a2—4b2,把b2—a—

2代入c=2a2-4b2,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可.

【詳情解析】?-a-b2-2=0,

b2=a—2,a=b2+2

?.?2a2-4b2—c=0,

.'.c=2a2-4b2

=2a2-4(a-2)

=2a2—4a+8

=2(a-I)2+6.

又「a=b2+2N2

.,.當(dāng)a=2時(shí)，c取得最小值，最小值是8.

故選C.

【提優(yōu)突破】本題主要考查了整式的運(yùn)算和二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值是解題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練1.(2022?江蘇揚(yáng)州?校聯(lián)考一模)若實(shí)數(shù)x、y滿足2N-6x+y=0,貝U/+y+2x的

最大值是()

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可用x表示出y,再代入x2+y+2x中，化為頂點(diǎn)式即得出答案.

【詳情解析】由得

2x2-6x+y=0,y=_2X2+6x,

.'.x2+y+2x=x2—2x2+6x+2x=—(x—4)2+16,

二當(dāng)x=4時(shí)，x?+y+2x的最大值是16.

故選：C.

【提優(yōu)突破】本題考查求二次函數(shù)的最值.根據(jù)題意將得出的二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式是解題關(guān)

鍵.

針對(duì)性練習(xí)

1.(2023?江蘇?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)A(a,b),B(42在直線V=kx+3(k為常數(shù)，k聲。)

上，貝有()

A.最大值一9B,最大值9C,最小值-9D,最小值9

【答案】B

【分析】將A(a,b),8(4,2)代入丫=1?+3可得｛*：1：1先求得k,則—：a+3=b,

4K十J—Z4

再計(jì)算ab,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【詳情解析】解：???點(diǎn)A(a,b),B(4,2)在直線y=kx+3上，

zak+3=b

Fk+3=2'

???4k+3=2,

解得：k=—5

將k=一、代入ak+3=b,得：—ga+3=b,

???ab=a(—^-a+3)=—^-a2+3a=—(a—6)2+9,

二拋物線開(kāi)口向下，即ab有最大值，

當(dāng)a=6時(shí)，ab有最大值，最大值為9,

故選：B.

【提優(yōu)突破】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是掌握配

方法求函數(shù)的最值.

2

2.(2023秋?湖北武漢?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))已知二次函數(shù)y=(x-x])2+(x-x2)+

2

(x-x3)+■-■+(x-xnf,其中X7、X2、X3............X”是常數(shù)，當(dāng)x=2023時(shí)，該二

次函數(shù)有最小值.若m=X?+X2+X3+…+Xm則7〃與"的數(shù)量關(guān)系是()

A.m+n=2023B.m-n=2023C.mn=2023

D.m=2023n

【答案】D

【分析】把二次函數(shù)整理為一般形式后，根據(jù)二次函數(shù)有最小值及m=X]+X2+X3+…+

Xn即可求得m與n的數(shù)量關(guān)系.

2

【詳情解析】解:整理得:y=nx-2(X]+x2+x3+--+xn)x+(x；+x；+…+xQ,

當(dāng)*=x1+x2+：3++x“=2Q23時(shí)，y有最小值；

又m=X]+X2+X3d-----Fxn,即2=2023,

n

m=2023n.

故選：D.

【提優(yōu)突破】本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，明確當(dāng)x=-5時(shí)，二次函數(shù)取得最值是解

za

題的關(guān)鍵.

3.(2023秋?廣東廣州?九年級(jí)廣州市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí))若關(guān)于x的方程x2+2nx,

m2/5m—2=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x7,x2,貝”7(X2+x7)+xj：的最小值為()

A.-B.-C.-D.-

3224

【答案】D

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解得到關(guān)于m的等式，配方后求解即可.

【詳情解析】解：由題意得，XT4-x2=-2m,X]X2=3m-2,

X-|(x2+X-|)+X2=X]X2+X；+X2，

2

=(X1+x2)-X.2,

=(2m)2—(m2+3m—2),

=4m2—m2—3m+2,

=3m2—3m+2,

=3(m--)2+

.?.當(dāng)X=(X](X2+Xi)+X油最小值為*

故選：D.

【提優(yōu)突破】此題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)的最值問(wèn)題，解

2

題的關(guān)鍵是正確理解：若Xi,X2是一元二次方程ax+bx+c=0(a*0)的兩根時(shí)，X]+x2=

X1X2=￡和通過(guò)配方求二次函數(shù)的最值.

aa

4.(2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模)定義max{°b}={，父'?，若函數(shù)y=max(-x-7,x2-

b(a<b)

2x-3),則該函數(shù)的最小值為()

A.-7B,0C,-3D.3

【答案】C

【分析】分兩種情況討論:當(dāng)—X-1Nx2-2x-3,即一1WxW2時(shí),當(dāng)—x-1<x2-2x-

3,即xW-1或xN2時(shí)，并結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答，即可.

【詳情解析】解：當(dāng)一x—1Nx2-2x—3,即一1WXW2時(shí)，

y=max{—x—1,x2—2x—3}=—x—1,

'.-2<0,

.,.當(dāng)x=2時(shí)，該函數(shù)的值最小，最小值為-3；

當(dāng)一x-1<X2-2X-3,即x1或x>2時(shí)，

y=max{—x—1,x2—2x—3}=x2—2x—3=(x—I)2—4,

.,.當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而減小，

1-(-1)>2-1,

.,.當(dāng)x=2時(shí)，該函數(shù)的值最小，最小值為-3；

綜上所述，該函數(shù)的最小值為-3.

故選：C

【提優(yōu)突破】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是

解題的關(guān)鍵.

5.(2023春?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))已知點(diǎn)P(m,n),Q(3,0都在一次函數(shù)y=

kx+b(k,b是常數(shù)，k/0)的圖象上，()

A.若mn有最大值4,貝ijk的值為-9B.若mn有最小值4,貝ijk的值為-9

C.若mn有最大值一9,貝欣的值為4D,若mn有最小值一9,貝ijk的值為4

【答案】D

【分析】則點(diǎn)P(m,n),Q(3,0)都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，求得n=mk+b,b=-

3k,得到mn=k(m-|)2-*k,推出當(dāng)k>0時(shí)，mn有最小值-?k,當(dāng)k<0時(shí)，mn有

最大值-?k,根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)即可求解.

【詳情解析】解：,點(diǎn)P(m,n),Q(3,0)都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，

/.n=mk+b,3k+b=0,即b=-3k,

mn=m(mk—3k)=km2—3km=k(m2—3m)

=k(m2—3m+1=k(m—|)2—1k,

當(dāng)k>0時(shí)，mn有最小值一^k,

當(dāng)k<0時(shí)，mn有最大值一：k,

A,若mn有最大值一=4,解得k=一日，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、若mn有最小值一=4,解得k=-費(fèi)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、若mn有最大值-：1<=一9,則k的值為4,故本選項(xiàng)不符合題意；

D、若mn有最小值-3k=-9,則k=4>0,故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【提優(yōu)突破】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，得到mn=k(m-1)2-1k,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

->-?TT

6.(2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模)規(guī)定:若a=(x〃y),b=(x^，立則a?bnXiVzfy;.例

如a=(1,3],b=[2,4),則a?b=7x4+3x2=10,已知a=(x+J,x-2},b=(x-3,4),

T->

且7WxW2,則。?b的最小值是.

【答案】10

【分析】根據(jù)平面向量的新定義運(yùn)算法則，列出關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的求

法解答即可.

【詳情解析】解:由新定義得:3-b=4(x+1)+(x-2)(x-3)=x2-x+10=(x-^)z+y,

.?.3.6=(x-》2+日的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=(

V1<X<2,

.?.當(dāng)x=1時(shí)，己而取最小值，最小值為：(1一乎+f=10,

故答案為：10.

【提優(yōu)突破】本題主要考查了新定義運(yùn)算和二次函數(shù)性質(zhì)，解題時(shí)準(zhǔn)確理解題意，列出二次

函數(shù)解析式，利用配方法求得二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.

7.(2023春?江蘇連云港?九年級(jí)專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)m、n滿足m-n?=&則代數(shù)式m?-

3n2+m-14的最小值是.

【答案】58

【分析】根據(jù)題意把原式變形，根據(jù)配方法把原式寫成含有完全平方的形式，根據(jù)m>8,

即可求解.

【詳情解析】???m—n2=8,

n2=m—8,m>8,

則m2-3n2+m-14

=m2—3(m-8)+m—14

=m2—3m+24+m—14

=m2—2m+10

=(m—I)2+9

■.m>8

.?.當(dāng)m=8時(shí)取得最小值，最小值為(8-l)2+9>58,

故答案為：58.

【提優(yōu)突破】本題考查配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握配方法的應(yīng)用和非

負(fù)數(shù)的性質(zhì).

8.(2023秋?江蘇泰州?九年級(jí)?？计谀?小明對(duì)自己上學(xué)路線的長(zhǎng)度進(jìn)行了20次測(cè)量，得

到20個(gè)數(shù)據(jù)X7，x?…，X20,已知X]+X2+…+X20=40460,當(dāng)代數(shù)式(x-x：)?+(x-

X》2+-+(x-X2/取得最小值時(shí)，X的值為.

【答案】2023

2

【分析】令y=(X—X])2+(X—X2)2+(X-X3)2+-+(X-X20),將代數(shù)式的最小值，轉(zhuǎn)

化為二次函數(shù)的最小值，即：當(dāng)X=-2(X—X[)2+(X-X2)2+…+(x-Xzo/取得最小

2a

值，即可得解.

2222

【詳情解析】y=(x-xT)+(x-x2)+(x-X3)+??■+(x-x20)

2222

=x—2xX]+Xi+x-2XX2+X2+x-2XX3++x-2XX2Q+^20

222

=20x—2(X]+x2+x3+...+x20)x+(X]2+x2++x2o),

則當(dāng)x=-葛=生暇時(shí)，y取得最小值，

22

即當(dāng)x=2023時(shí)，(x-x,)+(x-x2)+???+(X-X20)2取得最小值；

故答案為：2023.

【提優(yōu)突破】本題考查二次函數(shù)求最值.解題的關(guān)鍵是構(gòu)造二次函數(shù).

9.(2022秋?江蘇蘇州?九年級(jí)校考階段練習(xí))已知反比例函數(shù)y=上的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(22,

函數(shù)y=ax的圖像與直線y=-x平行，并且經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)Q(7,m).貝U

函數(shù)y=ax2+bx+胃有最______值，這個(gè)值是.

【答案】大1

【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求出k的值，再根據(jù)函數(shù)y=ax+b的圖象與直線y=-x平行，

求出a的值，根據(jù)Q(l,m)在反比例函數(shù)圖象上，求出m的值.

【詳情解析】解：???反比例函數(shù)y=:的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,2),

,-.k=2x2=4；

?函數(shù)y=ax+b的圖象與直線y=-x平行，得到a=-1；

..y=-x+b,

???經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)Q(Lm),

4.

m=-=4

1

??Q(L4),

.-.4=-1+b,

/.b=5,

二二次函數(shù)的解析式是y-x2+5x-

?-y=-（x-|）2+i

二頂點(diǎn)公式求得它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是6,i）,

/a<0,

它有最大值是1.

故答案為：大，1;

【提優(yōu)突破】此題要能夠根據(jù)點(diǎn)在圖象上求得待定系數(shù)的值；若兩條直線平行，則k值相

等.能夠根據(jù)二次函數(shù)的a的符號(hào)判斷它的最值情況,運(yùn)用公式法求得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，

從而確定其最值.

10.（2022春?安徽宣城?九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）若實(shí)數(shù)xN0,yN0,zN0,且x+y+z=

20,3x+?—Z=40.

⑴設(shè)S=4x—3y+Z,求S的最大值與最小值；

⑵設(shè)丁=y2+2z2,求丁的最大值與最小值.

【答案】⑴最大值為65,最小值為10

⑵最大值為100,最小值為一

【分析】（1）先解三元一次方程組得到y(tǒng)=30-2x,z=x-10,根據(jù)x、y、z是三個(gè)非

負(fù)實(shí)數(shù)，得到10WxW15,再求出S=1lx-100,進(jìn)而得到10WSW65,由此即可得到

答案.

(2)結(jié)合(1)中y=30-2x,z=x-10,10<x<15,可得T=6(X-?)2+—,再

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.

x+y+z=20①

【詳情解析】（1）{

3x+y—z=40②

①+②得：2x+y=30,解得y=30-2x,

①一②得：x-z=10,解得z=x-10,

■.X>0,y>0,z>0,

30-2x>0

/.{x-10>0,

x>0

/.10<x<15,

'.S=4x—3y+z,

/.S=4x-3(30-2x)+x-10=llx-100,

/.10<S<65,

.-.S的最大值為65,最小值為10；

(2)在(1)中已得：y=30-2x,z=x-10,10<x<15,

'.T=y2+2z2,

.-.T=(30-2x)2+2(x-10)2,

整理得：T=6x2-160x+1100,

化為頂點(diǎn)式為：T=6(x—?)2+等，

10<x<15,

二當(dāng)X昔時(shí)，%n=6僅-92+等=竽

當(dāng)x=10時(shí)，「=6(x-g)2+—=100,

當(dāng)x=15時(shí)，T2=6x2-160x+1100=50,

Ti>T2)

，Tmax=100,

即T的最大值為100,最小值為等.

【提優(yōu)突破】本題主要考查了三元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用以及二次函

數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，正確求出y=30-2x,z=x-10,10<x<15,是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題)【閱讀理解】如圖1,在矩形ABCD中，若AB=

a,BC=b,由勾股定理,得AC2=02+b2,同理口。2=a2+b2故人。2+BD2=+

b2).

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形ABCO為平行四邊形，若AB=a,BC=b,則上述結(jié)論是

否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由.

【拓展提升】如圖3,已知BO為△ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.求證：

BO2=芷一吆

24'

【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形ABCD中，若AB=8,BC=72,點(diǎn)尸在邊AD上，^]PB2+

PC2的最小值為

【答案】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由見(jiàn)解析；拓展提升：證明見(jiàn)解析；嘗試應(yīng)用：200

【分析】探究發(fā)現(xiàn)：作AE_LBC于點(diǎn)E,作DF_LBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則NAEB=

NCFD=90°,證明RtAABE^RtADCF(HL),BE=CF,利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答

案；

拓展提升：延長(zhǎng)BO到點(diǎn)C,使。D=BO,證明四邊形ABCD是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】

可知，AC2+BD2=2(AB2+BC2),貝卜2+(2BO)2=2(a2+b2),得到c?+4BO2=2(a2+b2),

即可得到結(jié)論；

嘗試應(yīng)用：由四邊形ABCD是矩形，AB=8,BC=12,得到AB=CD=8,BC=AD=12,

NA=ND=90。，設(shè)AP=x,PD=12—x,由勾股定理得到PB2+PC2=2(x-6)2+200,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【詳情解析】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由如下：

作AEJ.BC于點(diǎn)E,作DF_LBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則NAEB=NCFD=90°,

圖2

:四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b,

..AB=DC=a,AD||BC,AD=BC=b,

'.AE1BC,DF1BC,

,-.AE=DF,

.-.RtAABE^RtADCF(HL),

..BE=CF,

.-.AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2

=(AB2-BE2)+(BC-BE)2+(BC+CF)2+DF2

=AB2-BE2+BC2-2BC-BE+BE2+BC2+2BC-BE+BE2+AE2

=AB2+BC2+BC2+BE2+AE2

=AB2+BC2+BC2+AB2

=2(AB2+BC2)

=2(a2+b2)；

拓展提升：延長(zhǎng)B。到點(diǎn)C,使OD=B。，

.B。為△ABC的一條中線，

,-.OA=CO,

二四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=a,BC=b,AC=c.

,由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC2+BD2=2(AB2+BC2),

,-.c2+(2BO)2=2(a2+b2),

.-.c2+4BO2=2(a2+b2),

嘗試應(yīng)用：1,四邊形ABCD是矩形，AB=8,BC=12,

二.AB=CD=8,BC=AD=12,NA=ND=90°,

設(shè)AP=x,貝I」PD=AD—AP=12—x,

PB2+PC2=AP2+AB2+PD2+CD2=X2+82+（12-X）2+82

=2x2-24x+272=2（x-6）2+200,

:2>0,

二拋物線開(kāi)口向上，

.?.當(dāng)x=6時(shí)，PB2+PC?的最小值是200

故答案為：200

【提優(yōu)突破】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性

質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)一：幾何中最值】

方法指引：先根據(jù)幾何性質(zhì)特點(diǎn)，列出對(duì)應(yīng)關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，

再根據(jù)二次函數(shù)求最值（注意自變量取值范圍）

例題1.（2023秋?安徽合肥?九年級(jí)合肥壽春中學(xué)校考期中）如圖,在矩形ABCD中，AB=2,

AD=2、/&點(diǎn)￡是線段A。的三等分點(diǎn)（AE<ED）,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)向終點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)，

以口尸為邊作等邊△BFG,在動(dòng)點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，陰影部分面積的最小值是（）

A,善B.RC,2D.1

【答案】A

【分析】連接BE,BD,過(guò)G作GHJ.BF,垂足為H,利用勾股定理求出BE和BD,設(shè)BF=a,

求出GH和AF,利用S陰影=^xBFxGHABxAF表示出陰影部分的面積，利用二次函

數(shù)的最值求解即可.

【詳情解析】解：如圖，連接BE,BD,過(guò)G作GH_LBF,垂足為H,

?.AB=2,AD=2d§,點(diǎn)E是線段AD的三等分點(diǎn)(AE<ED),

--AE=>=^BD=，AB2+AD2=4,

??BE=/AE2+AB2=.,

設(shè)BF=a,則丁Waw4,

???△BFG是等邊三角形，

1V3

，BH=FH=/,GH=3a,

'.AF=VBF2-AB2=Va2-4,

.1S陰影=gxBFxGH—；xABxAF

1V31i———

=-xax—a--x2xva2-4

222

V3,-

=——a2—va2—4

4

令-4=t；則學(xué)<t<2V3,

..a2=t2+4,

則S陰影=y(t2+4)-t=yt2-t+1/3,

當(dāng)t=-/=當(dāng)時(shí)，S陰影最小，且為fx(學(xué)產(chǎn)一言+,§=言，

2XT

故選A.

【提優(yōu)突破】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是正確表示出陰影部分的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

變式訓(xùn)練1.(2023?江蘇南京?南師附中新城初中?？寄M預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系

中，直線V=-{x+3分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),在線段AB上取一點(diǎn)C,過(guò)。作CD_L

y軸于D,CEJ.x軸于E,連接DE,當(dāng)DE最短時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

【答案】C

【分析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,-^m+3)(0<m<4),則OE=m,0D=-(m+3,根據(jù)

勾股定理表示出DE的長(zhǎng)度，通過(guò)配方可以求出當(dāng)DE最小時(shí)，m的值，據(jù)此即可求解.

【詳情解析】解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,-1m+3)(0<m<4),

3

OE=m,OD=--m+3,

.??DE=VoE2+OD2=Vm2-F(—|m4-3)2=V^|m2—1m+9,

..￡￡m2_9m+g=25z_36)2J44

16216125」25'

.?.當(dāng)m=/寸，DE最短，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為鬻，務(wù)

ZoZOZD

故選：c.

【提優(yōu)突破】本題考查了一次函數(shù)點(diǎn)的特征，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，表示出DE的長(zhǎng)

度是解題的關(guān)鍵.

例題2(2023秋?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，這是一塊直徑為a的圓形鋼

板，從中挖去直徑分別為a和b的兩個(gè)圓，當(dāng)a+b=4時(shí)，剩下的鋼板面積的最大值是()

A.nB.2nC.4nD.6n

【答案】B

【分析】剩下鋼板的面積等于大圓的面積減去兩個(gè)小圓的面積，利用圓的面積公式列出關(guān)系

式，化簡(jiǎn)即可.

【詳情解析】解：?；a+b=4,

二b=4-a

剩下=S大圓一S小圓1-S小圓2

a+b?a.b.

=n(^-)2-n(-)2-n(-)2

4c3?4—3

=n(-)2-n(-)2一n(-^—)n2

n

=—az9—2na

2

-f(a-2)2+2n,

.?.當(dāng)a=2時(shí)，剩下的鋼板面積是最大值為2n.

故選：B,

【提優(yōu)突破】本題考查了整式的混合運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的面積公式，完全

平方公式，去括號(hào)、合并同類項(xiàng)法則，二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練1.(2023秋?廣東廣州?九年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？计谥?如圖，在平面直角坐標(biāo)

系中，Q是直線y=—1x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P(7M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9〃，得到點(diǎn)Q

連接OQ',則OQ'的最小值為()

D.華

,2

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形，求出旋轉(zhuǎn)后Q’的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理

并利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

【詳情解析】解：作QM_Lx軸于點(diǎn)M,Q'N_Lx軸于N,設(shè)Q(m,-3m+2),

則PM=m—1,QM=—gm+2,

?「NPMQ=NQ'NP=NQPQ'=90°,

/.ZMPQ=90°-ZNPQ=NNQP,

在aMPQ和ANQ'P中,

ZPQM=NQ'NP

?{ZMPQ=NNQP,

QP=PQZ

/.△MPQ=△NQ'P(AAS),

/.PN=QM=-^m+2,QN=PM=m-1,

.?.ON=OP+PN=，m+2+l=3-5m，

Q(3——m,1—m),

2

.-.OQ,=(1-m)2+(3—1m)2

=：(m-2)2+5,

,2

當(dāng)m=2時(shí)，OQ有最小值為5,

，0Q’的最小值為行，

故選：B.

【提優(yōu)突破】本題考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判

定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變換-旋轉(zhuǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題

的關(guān)鍵.

針對(duì)性練習(xí)

1.(2023春?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí))如圖邊長(zhǎng)為5的正方形ABCO中，E為邊AO上一點(diǎn)，

且AE=2,F為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),將線段EF繞點(diǎn)下順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9〃得到線段FG,連接DG,

則DG的最小值為()

A.-42B,5C.3D,-V2

222

【答案】A

【分析】過(guò)G點(diǎn)作GH_LAB交AB于點(diǎn)H,過(guò)G點(diǎn)作GUAD交AD于點(diǎn)I,根據(jù)EF繞點(diǎn)F

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FG,可得NEFG=90°,EF=GF,利用AAS易證△FHGEAF,

再根據(jù)四邊形AHGI是矩形，可得Al=GH,IG=AH,設(shè)AF=x,貝Al=GH=AF=x,IG=

AH=x+2,DI=AD-Al=5-x,根據(jù)勾股定理可得DG?=DI2+IG2=(5-x)2+(x+

2)2=2(x-|)2+y,可知當(dāng)x=|時(shí),DG有最小值.

【詳情解析】解：如圖示：過(guò)G點(diǎn)作GHJ.AB交AB于點(diǎn)H,過(guò)G點(diǎn)作GI，AD交AD于

點(diǎn)I,

D\

I_______G

石葭/

AFHB

?檄段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FG,

?-?NEFG=90°,EF=GF,

?-?NEFA+NHFG=90°,

又：ZEFA+ZFEA=90°,

.-?NHFG=NAEF,

???GH1AB,四邊形ABCD是正方形，

?-?ZFHG=NEAF=90°,

△FHG三匕EAF(AAS),

FH=EA,GH=FA,

???GH1AB,Gl1AD,

???四邊形AHGI是矩形，

Al=GH,IG=AH.

設(shè)AF=X,則AI=GH=AF=X,IG=AH=X+2,DI=AD—Al=5—X,

在RtADIG中，DG2=DI2+IG2=(5—x)2+(x+2)2=2(x-|)2+y,

即當(dāng)x=|時(shí),DG2有最小值?，

???當(dāng)x=|時(shí)，DG最小值是亭,

故選A.

【提優(yōu)突破】本題考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、

二次函數(shù)的最值等，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理列出DG2關(guān)于AF的二次函數(shù)表達(dá)式.

2.(2023?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知RtAABC中，NC=9。。，NA=30BC=10,

在△ABC三邊上各取一點(diǎn)連成等邊△DEF則△DE尸面積的最小值是()

A.—/3B,—/3C.—43D.10^3

3147

【答案】C

【分析】過(guò)E作EIVUAB于M,易證NCEF=NBDE,可得^CEF=△DME,設(shè)CE=x,EF=y,

即可在Rt△BEM中得到x、y的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)求y的最小值，而S^DEF=yY2,即

可求出△DEF面積的最小值.

【詳情解析】過(guò)E作EM1AB于M

1,等邊ADEF,ZC=90°,NA=30。

.〔NCEF=NBDE=120°-NBED,EF=DE

.-.△CEF=ADME(AAS)

,-.CE=DM,CF=EM

設(shè)CE=x,EF=y

.'.BE=10-x,DM=x,DE=EF=y

y/3V5

.-.EM=￡BE=y(10-x)

'.DE2=EM2+DM2

.'.y2-(10-X)]2+X2=-15x+75=(x—y)2+一

.?.當(dāng)x=與時(shí)，y2=軍最小

cV32V330075V3

2

??■SADEF-Ty-Tx——

故選：C

【提優(yōu)突破】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是通過(guò)全等

和勾股定理構(gòu)造函數(shù)關(guān)系.

3.(2023春?江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)校聯(lián)考期中)設(shè)x,y是實(shí)數(shù)，定義@的一種運(yùn)算如下：x@y=

(x+y)2_(x-y尸,則下列結(jié)論：①若x@y=0,則x=?；騳=O-,

②x@(y+z)=x@y+x@z；③不存在實(shí)數(shù)x,y,滿足x@y=x?+5y2；④設(shè)x,y是矩形的

長(zhǎng)和寬，若矩形的周長(zhǎng)固定，則當(dāng)x=y時(shí)，x@y最大，其中正確的是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】根據(jù)平方差公式化簡(jiǎn)可判斷①②，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷③，根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)可判斷④.

【詳情解析】解：:x孰=(x+y)2-(x-y)2

若x@y=0,則(x+y)2—(x—y)2=0

(x+y+x—y)(x+y—x+y)=4xy=0

，x=0或y=0；

故①正確

x@(y+z)=(x+y+z)2—(x—y—z)2

=(x+y+z+x—y—z)(x+y+z—x+y+z)

=2x(2y+2z)

=4x(y+z)

x@y+x@z=(x+y)2—(x—y)2+(x+z)2—(x—z)2

=x24-2xy+y2—x2+2xy—y2+x2+2xz+z2—x24-2xz—z2

=4xy+4xz

=4x(y+z)

???x@(y+z)=x@y+x@z

故②正確；

vx@y=(x4-y)2—(x—y)2=4xy

若x@y=x24-5y2

則x?+5y2=4xy

即x?—4xy+4y24-y2=0

(x—2y)2+y2=0

當(dāng)x=0,y=0時(shí)，成立，

故③不正確

???x,y是矩形的長(zhǎng)和寬，若矩形的周長(zhǎng)固定，設(shè)周長(zhǎng)為c,則c=2x+2y

1

y=-c—X

72

x@y=(x4-y)2—(x—y)2=4xy=4x(gc—x)=-4x24-2cx

當(dāng)乂=一條:時(shí),取得最大值，

即*=誓，整理得，x=y

則當(dāng)x=y時(shí)，x@y最大，

故④正確

故選B

【提優(yōu)突破】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，完全平方公式，平方差公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì),

二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸相交于工、

3兩點(diǎn)，點(diǎn)/在點(diǎn)8左側(cè)，頂點(diǎn)在△跖區(qū)的邊上移動(dòng)，7W//y軸，NRI/x^i,M點(diǎn)坐標(biāo)為

(-6,-2),MN=2,NR=7,若在拋物線移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)3橫坐標(biāo)的最大值為3,則a-6+c

的最大值是()

A.15B.18C.23D.32

【答案】C

【分析】先求出N,R的坐標(biāo)，觀察圖形可知，當(dāng)頂點(diǎn)在R處時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3,由

此求出a值，當(dāng)x=-1時(shí)y=a-b+c,當(dāng)頂點(diǎn)在M處時(shí)y=a-b+c取最大值，求此

可解.

【詳情解析】解：「MJ6,-2),MN=2,NR=7,

N(-6,-4),R(l,-4),

由題意可知，當(dāng)頂點(diǎn)在R處時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3,

則拋物線的解析式為y=a(x-1)2-4,

將點(diǎn)B坐標(biāo)(3,0)代入上式得，0=a(3—1)2—4,

解得，a=1,

當(dāng)x=-1時(shí)，y=a—b+c,

觀察圖形可知，頂點(diǎn)在M處時(shí)，y=a-b+c取最大值，

此時(shí)拋物線的解析式為：y=(x+6產(chǎn)一2,

將x=-1代入得，

y=a—b+c=(-1+6)2—2=23,

故選：C.

【提優(yōu)突破】本題考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的性質(zhì)，解題關(guān)鍵時(shí)利用數(shù)形結(jié)合的

思想，判斷出拋物線頂點(diǎn)在R處時(shí)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)取最大值，由此求出a值.

5.(2023春?江蘇鎮(zhèn)江?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，C是線段上一動(dòng)點(diǎn)，

△C2E都是等邊三角形，M,N分別是CD,3E的中點(diǎn)，若42=4,則線段的最小值為

()

A.-B.eC.26D.—

22

【答案】B

【分析】連接CN.首先證明/MCN=90。，設(shè)AC=a,則BC=4-a,構(gòu)建二次函數(shù)，利

用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

【詳情解析】解：連接CN,

AACDfRABCE為等邊三角形，

.-.AC=CD,BC=CE,ZACD=ZBCE=ZB=60°,

ZDCE=60°,

?.?N是BE的中點(diǎn)，

.'.CN1BE,ZECN=30°,

ZDCN=90°,

設(shè)AC=a,

.AB=4,

..CM*,CN=y(4-a),

.-.MN=VcM2+CN2=V^a2+^(4-a)2=V(a-3)2+3,

.?.當(dāng)a=3時(shí)，MN的值最小為

故選：B.

【提優(yōu)突破】本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題.

6.(2023?江蘇南通??？级?已知，點(diǎn)E、F、G、〃分別在正方形ABCO的邊AB、BC,

CD、AD上，AE=DG,EG、相交于點(diǎn)O,OE.OF=4:5,已知正方形ABC。

的邊長(zhǎng)為16,FH長(zhǎng)為20,則△OEH