高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：函數(shù)的極值、最值（含答案及解析）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練7

函數(shù)的極值、最值

［考情分析］應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題，以及利用極值、最值的應(yīng)用考查函數(shù)的

零點(diǎn)、能成立、恒成立、實(shí)際生活中的最值問題等，多在選擇題、填空題靠后的位置考查,

難度中等偏上，屬綜合性問題.

【練前疑難講解】

一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

求可導(dǎo)函數(shù)式X)的極值的步驟

(1)求定義域;(2)求導(dǎo)；(3)令，(勸=0；

(4)列表，檢查r(尤)在方程根左、右值的符號；

(5)得出結(jié)論：如果左正右負(fù)，那么大勸在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么武尤)在

這個(gè)根處取得極小值.

注意：只有極大值無極小值時(shí)，要指出“無極小值”.

二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

求函數(shù)/(x)在團(tuán)，切上的最大值和最小值的步驟

(1)求函數(shù)在(a,6)內(nèi)的極值.

(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值五a),?.

(3)將函數(shù)兀0的各極值與火/，式b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

三、由極值、最值求參數(shù)問題

已知函數(shù)極值求參數(shù)時(shí)需注意的問題

(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.

(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).

一、單選題

1.(2023?陜西?一模)函數(shù)/(x)=sin(ox+|^(0>O)在［0,1］上有唯一的極大值，則ow

()

2.(21-22高三?北京西城?開學(xué)考試)如圖所示，已知直線、=辰與曲線y=/(x)相切于兩

點(diǎn)，函數(shù)g(_r)=Ax+M機(jī)>0),則對函數(shù)/(x)=g(x)-/(x)描述正確的是()

A.有極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn)B.有極大值點(diǎn)，沒有極小值點(diǎn)

C.至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)D.至少有一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)

3.(2022?全國?高考真題)函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最大值

分別為()

兀兀3兀兀兀?！?兀兀_

A.——，一B.-----，—C.——+2D.-----+2

22222222

二、多選題

4.(24-25高三上廣東?開學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/(%)=%3_%2+必_i,則()

A.當(dāng)，=-1時(shí)，/(%)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)時(shí)，/(x)無極值點(diǎn)

C.BaeR,使/(x)在R上是減函數(shù)

D.VaeR,/(尤)圖象對稱中心的橫坐標(biāo)不變

5.(2022?山東泰安?二模)已知函數(shù)〃x)=lnx-G：2+i,awR,則下列結(jié)論正確的是

()

A.對任意的awR,存在%e(0,+oo),使得/■(%)=()

B.若看是的極值點(diǎn)，則〃尤)在(公,y)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)的最大值為IT，2。)

D.若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則0<°苦

三、填空題

6.(22-23高三下?山東?開學(xué)考試)寫出曲線y=d一3x過點(diǎn)(2,2)的一條切線方

程.

7.(2024?上海?三模)若函數(shù)/(x)=Tx3+3x在(卅+2)上存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

四、解答題

8.（2022北京?高考真題）已知函數(shù)〃尤）=3±-91y.

（1）若°=0,求曲線y=〃x）在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若/（X）在無=-1處取得極值，求/'（X）的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

9.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=or-L-（a+l）lnx.

X

⑴當(dāng)a=0時(shí),求當(dāng)x）的最大值;

（2）若/（》）恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（21-22高二下?四川雅安?階段練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是（）

A.y-xB.y=ln（-x）C.y=x+exD.y=x+—

X

2.（2023?上海黃浦?一模）已知/3=$指（8+?。?＞0）,且函數(shù)y=恰有兩個(gè)極大

TT

值點(diǎn)在0,-,則。的取值范圍是（）

A.（7,13]B.[7,13）C.（7,10]D.[7,10）

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=xe，+l,過點(diǎn)尸（2,1）可作曲線y=的切線

條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃"=爐+依2+樂+。2在廣一1處有極值「貝！j

F。）等于（）

A.-4B.16C.T或16D.16或18

5.（2023?廣東汕頭?二模）給出定義：設(shè)「（X）是函數(shù)y=/（尤）的導(dǎo)函數(shù)，f”（x）是函數(shù)

y=f（x）的導(dǎo)函數(shù).若方程f\x）=。有實(shí)數(shù)解尤=尤。，則稱&J（5））為函數(shù)＞=/（x）的"拐

點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)了（尤）="3+法2+6：+小＞片0）都有"拐點(diǎn)"，且該"拐點(diǎn)"也是

函數(shù)y=/（x）的圖象的對稱中心.若函數(shù)/（%）=尤3-3/,則

/盛"康M壺卜??+『勰卜提11

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8096

6.（2021?四川遂寧?二模）若e"—（a—l）x—lnx—lna20,則。的最大值為（）

ee

A.一B.一C.eD.2e

42

二、多選題

7.（2023?安徽?一模）已知函數(shù)〃x）=x3-x（xeR）,則（）

A.“X）是奇函數(shù)

B.”X）的單調(diào)遞增區(qū)間為-乎］和

c.的最大值為年

D./（X）的極值點(diǎn)為［百逑）產(chǎn)

8.（2021?廣東潮州二模）已知函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的圖象如圖所示，則下列

/(e)</(rf)</(c)

C.x=c時(shí)，取得最大值D.x=d時(shí)，”力取得最小值

9.（2022?重慶?三模）已知函數(shù)“尤）=二：：+1（e為自然對數(shù)的底數(shù)，=2.72）,則關(guān)

于函數(shù)/（x）,下列結(jié)論正確的是（）

A.有2個(gè)零點(diǎn)B.有2個(gè)極值點(diǎn)C.在（0,1）單調(diào)遞增D.最小值為1

三、填空題

10.（23-24高二上?吉林長春?期末）若函數(shù)〃司=3/一依2+尤+］存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為.

11.（2024?安徽二模）已知函數(shù)”x）=（x-l）sinx+（x+l）cosx,當(dāng)xe［0,可時(shí)/（x）的最

大值與最小值的和為.

四、解答題

12.（23-24圖三上,山東青島,期中）已知函數(shù)/（X）=/—tzx+a.

⑴若x=l是函數(shù)“X）的極值點(diǎn)，求“X）在（-lj（-l））處的切線方程.

⑵若a>0,求/（X）在區(qū)間［0,2］上最大值.

13.（22-23高二下?陜西寶雞?期末）已知函數(shù)/（尤）=lnx+ar+2（a<0）,若f（x）的最大值為

2.

（1）求。的值；

（2）若f（x）〈云在［1,討）上恒成立，求6的取值范圍.

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（23-24高三上?北京昌平?期末）已知函數(shù)/（力=2,血-2a,則（）

B.”力不是周期函數(shù)

C./仃）在區(qū)間（0胃）上存在極值

D.〃x）在區(qū)間（0,無）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)

2.（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）將函數(shù)g（x）=cos"+1|（0eN*）的圖象上所有點(diǎn)的

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)"X）的圖象，若/（x）在［o,］］上

只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則。的最大值為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）己知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)尸（力=（尤+2乂f+X+"?）,若函數(shù)

有一極大值點(diǎn)為-2,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.(-2,+oo)B.(<-2]

C.(f-2]D.(-oo,-2)

4.（2023?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測）已知函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)尸⑺的部分圖象如圖，則下列說

A.〃1）>〃3）B./（-1）</（2）

C./（X）有三個(gè)零點(diǎn)D./（X）有三個(gè)極值點(diǎn)

5.（23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí)）函數(shù)〃尤）=（3尤2-6x+a+3）e，，若存在x°eR,使

得對任意xeR,都有〃則。的取值范圍是（）

A.a>0B.?<0C.a>3D.a<3

二、多選題

6.（2023?重慶?一模）已知函數(shù)/。）=-—-+工一1,貝?（）

A./（x）有兩個(gè)零點(diǎn)B.過坐標(biāo)原點(diǎn)可作曲線/（x）的切線

C.f（x）有唯一極值點(diǎn)D.曲線/（x）上存在三條互相平行的切線

7.（2024?重慶?一模）已知函數(shù)〃引=1+/—一依，則在（0,+e）有兩個(gè)不同零點(diǎn)

的充分不必要條件可以是（）

A.e-2<tz<e-lB.e-lva<e

C.e<a<e+lD.e+lvave+2

8.（2024?浙江?三模）已知函數(shù)/（x）='+‘，貝U（）

sinxcosx

A.的最小正周期為T=TIB.的圖象關(guān)于（兀,0）對稱

C.〃尤）在［go］上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，/（%）>272

三、填空題

9.（2024?江蘇?二模）如果函數(shù)/（x）在區(qū)間［a,以上為增函數(shù)，則記為/（x）"”函數(shù)/（為

在區(qū)間［a,句上為減函數(shù)，則記為，（無兒聞.如果（6+3嚴(yán)力則實(shí)數(shù)機(jī)的最小值

yjx

13

為；如果函數(shù)/（幻=§尤3一］62+2/彳，且/（叫印了（無產(chǎn)，則實(shí)數(shù)。=.

10.（2024?廣西南寧?一模）已知函數(shù)〃x）=（x-l）e'+加的最小值為T,則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為.

四、解答題

11.（2024?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=e*-ax-a3.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求曲線丫=/（尤）在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若/（X）有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

12.（2023?北京?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=21nx+g.

（1）若在（1,〃功處的切線與x軸平行，求a的值；

（2）〃x）是否存在極值點(diǎn)，若存在求出極值點(diǎn)，若不存在，請說明理由；

⑶若2a在區(qū)間（0』上恒成立，求a的取值范圍.

13.（2024?山東威海二模）已知函數(shù)〃x）=lnx-ax+l.

⑴求外力的極值;

(2)證明：lnx+x+l<%e”.

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練7

函數(shù)的極值、最值

［考情分析］應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題，以及利用極值、最值的應(yīng)用考查函數(shù)的

零點(diǎn)、能成立、恒成立、實(shí)際生活中的最值問題等，多在選擇題、填空題靠后的位置考查,

難度中等偏上，屬綜合性問題.

【練前疑難講解】

一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

求可導(dǎo)函數(shù)式X)的極值的步驟

(1)求定義域;(2)求導(dǎo)；(3)令，(勸=0；

(4)列表，檢查r(尤)在方程根左、右值的符號；

(5)得出結(jié)論：如果左正右負(fù)，那么大勸在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么武尤)在

這個(gè)根處取得極小值.

注意：只有極大值無極小值時(shí)，要指出“無極小值”.

二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

求函數(shù)/(x)在團(tuán)，切上的最大值和最小值的步驟

(1)求函數(shù)在(a,6)內(nèi)的極值.

(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值五a),?.

(3)將函數(shù)兀0的各極值與火/，式b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

三、由極值、最值求參數(shù)問題

已知函數(shù)極值求參數(shù)時(shí)需注意的問題

(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.

(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).

一、單選題

1.(2023?陜西?一模)函數(shù)/(x)=sin(ox+|^(0>O)在［0,1］上有唯一的極大值，則ow

()

2.(21-22高三?北京西城?開學(xué)考試)如圖所示，已知直線、=辰與曲線y=/(x)相切于兩

點(diǎn)，函數(shù)g(_r)=Ax+M機(jī)>0),則對函數(shù)/(x)=g(x)-/(x)描述正確的是()

A.有極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn)B.有極大值點(diǎn)，沒有極小值點(diǎn)

C.至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)D.至少有一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)

3.(2022?全國?高考真題)函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最大值

分別為()

兀兀3兀兀兀?！?兀兀_

A.——，一B.------，—C.——+2D.------+2

22222222

二、多選題

4.(24-25高三上廣東?開學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/(%)=%3—/+辦_1,則()

A.當(dāng)，=-1時(shí)，/(%)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)時(shí)，/(x)無極值點(diǎn)

C.BaeR,使/(x)在R上是減函數(shù)

D.VaeR,/(尤)圖象對稱中心的橫坐標(biāo)不變

5.(2022?山東泰安?二模)已知函數(shù)〃x)=lnx-G：2+i,awR,則下列結(jié)論正確的是

()

A.對任意的awR,存在%e(0,+oo),使得/■(%)=()

B.若看是的極值點(diǎn)，則〃尤)在(公,y)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)的最大值為IT，2。)

D.若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則0<°苦

三、填空題

6.(22-23高三下?山東?開學(xué)考試)寫出曲線y=d一3x過點(diǎn)(2,2)的一條切線方

程.

7.(2024?上海?三模)若函數(shù)/(x)=Td+3x在(卅+2)上存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

四、解答題

3-9y

8.（2021?北京?高考真題）已知函數(shù)〃尤）=±1.

（1）若°=0,求曲線y=〃x）在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若/（X）在無=-1處取得極值，求/'（X）的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

9.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=or-L-（a+l）lnx.

X

（1）當(dāng)4=。時(shí)，求當(dāng)X）的最大值;

（2）若/（》）恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

參考答案:

題號12345

答案CCDBDBD

1.C

。+—71>—兀

7T7T

【分析】由題知函數(shù)y=sint在§上有唯一極大值，進(jìn)而得<<，再解不等

兀，5兀

co+—<——

32

式即可得答案.

【詳解】解：方法一：當(dāng)xe［o,l］時(shí)，r=++］,

因?yàn)楹瘮?shù)〃司=行11（8+5］（0>。）在［0』上有唯一的極大值,

ITJT

所以函數(shù)，=$皿/在上有唯一極大值，

7171

0)+—>—

32

所以，解得oe

715兀

0)+—<——

故選：C

7T7T7L

方法?_.：令。xH—=2/CJIH—,keZ,則GX=2EH—,keZ,

326

所以，函數(shù)〃力=$也（3+的（0>0）在'軸右側(cè)的第一個(gè)極大值點(diǎn)為工=4,第二個(gè)極

\3J6a）

大值點(diǎn)為尤=子13兀，

6a）

因?yàn)楹瘮?shù)/（"=$也"+；］（0>0）在［0,1］上有唯一的極大值，

兀1

兀13兀

所以，善解得於

乜1,69~6~

、6。

故選：C

2.C

【分析】由題設(shè)尸'（幻=左--（刈，令、=履與y=/（x）切點(diǎn)橫坐標(biāo)為國且不＜々，由圖

存在X。W（工,%）使/（％）=0,貝I］/（X）有三個(gè)不同零點(diǎn)不＜X。＜%,結(jié)合圖象判斷尸‘（X）的

符號，進(jìn)而確定尸（X）單調(diào)性，即可確定答案.

【詳解】由題設(shè),F（x）=kx+m-f（x）,則尸（無）="/"）,

又直線y=近與曲線，=/（%）相切于兩點(diǎn)且橫坐標(biāo)為且不＜々,

所以尸魚）=。的兩個(gè)零點(diǎn)為七,馬，由圖知：存在毛€（占,馬）使尸'（不）=0,

綜上，L（X）有三個(gè)不同零點(diǎn)占

由圖：（。,不）上尸'（x）＜0,（項(xiàng),%）上下'（無）＞0,（尤0，%）上尸'（x）＜0,（與+⑹上/'（x）＞0，

所以尸（無）在（0,jq）上遞減，（占,七）上遞增，9）上遞減，（％，+°°）上遞增.

故廠（無）至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).

故選：C.

3.D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得〃尤）的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出/lx）在區(qū)間［0,2可上的最小值和最

大值.

【詳解】/,（x）=-sinx+sinx+（x+l）cosx=（x+l）cosx,

所以〃x）在區(qū)間（0雪和怎,2兀［上〃x）＞0,即〃x）單調(diào)遞增；

在區(qū)間Oi上（⑺即小）單調(diào)遞減，

又"。）="2兀）=2-國、+2,/用=*+1］+1=4，

所以“尤）在區(qū)間［0,2兀］上的最小值為-3，最大值為］+2.

故選：D

4.BD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值判斷A；由廣(%)之。恒成立判斷B；由的解集

能否為R判斷C；求出了(九)圖象的對稱中心判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)〃=一1時(shí)，f(x)=x3-x2-x-1,求導(dǎo)得/'(%)=3%2一2元-1,

令廣食)=0得了=-；或x=l,由/'(x)>。，得尤<一：或X>1,由r(x)<0,

得T<X<1,于是/(X)在(-8,-；),(1,+8)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

/(》)在％=-；處取得極大值/(一；)=一(一^+:-1<0,因此/(X)最多有一個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)

誤；

對于B,f\x)=3x2-2x+a,當(dāng)時(shí)，A=4-12a<0,即/'(元)20恒成立，

函數(shù)/(無)在R上單調(diào)遞增，/(x)無極值點(diǎn)，B正確；

對于C,要使/(x)在R上是減函數(shù)，則:。)=3--29+。40恒成立,

而不等式3d-2x+“40的解集不可能為R,C錯(cuò)誤；

對于D,由/(-1—x)+/(x)=(g—尤y-(［-尤］+a(j—x)—1+x3—x2+<7X—1=,

得/(元)圖象對稱中心坐標(biāo)為(1(-II),D正確.

故選：BD

5.BD

【分析】先求導(dǎo)得/'口)=工_2內(nèi)=匕空，分和。>0討論函數(shù)的單調(diào)性及最值，

XX

依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.

}ar

【詳解】由題意知：x>0,f'(x}=--2ax=~-,當(dāng)a40時(shí)，r(x)>0,/(x)單

XX

增，無最大值，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)。>0時(shí)，在°，伍j上，f(x)>0J(x)單增；在］

上，/'(x)<0,/(x)單減；

故/(X)max=f(\F)=ln\g+；,當(dāng)In、口+;<。'

即。時(shí)，/(九)無零點(diǎn)，故A錯(cuò)

V2a\2a2\2a2

誤；

若不是〃x)的極值點(diǎn)，則“>o,］，故在卜

T-，+°0單減，B正確；

2a,

若〃尤）有兩個(gè)零點(diǎn)，則4>0,且/（X：U=/（j3）=lnjj+1>0,解得0<4<1,

V2a\2a22

又xfO時(shí)，/（x）fYo,xf+8時(shí)，/（x）f一00,此時(shí)“X）有兩個(gè)零點(diǎn)，D正確.

故選：BD.

6.y=2或9x-y—16=0（寫出其中的一個(gè)答案即可）

【分析】首先判斷點(diǎn)（2,2）在曲線上，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出

切線方程，再說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極大值，從而得到曲線的另一條切線方

程.

【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)（2,2）在曲線y=V-3尤上，所以曲線〉=9-3尤在點(diǎn)（2,2）處的切線方

程符合題意.

因?yàn)閥'=3尤2-3,所以—=3x22-3=9,

所以曲線y=d-3x在點(diǎn)（2,2）處的切線方程為y—2=9（x—2）,即9x-y-16=0.

因?yàn)楫?dāng)或x>l時(shí)，/>0；當(dāng)一Ivxvl時(shí)，y<o,

所以函數(shù)y=V-3x在》=-1處取得極大值2,又極大值恰好等于點(diǎn)（2,2）的縱坐標(biāo)，所以

直線y=2也符合題意.

故答案為：y=2或9x-y-16=0（寫出其中的一個(gè)答案即可）

*一1

7.

2,

【分析】根據(jù)題意，函數(shù)〃x）=TV+3x的極小值點(diǎn)在（4M+2）內(nèi)，再結(jié)合/⑴=/

即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ龋?TV+3X,所以尸（無）=—12/+3,

令/'（"=。得，x=±|,

當(dāng)時(shí)，尸（x）<0,/（X）單調(diào)遞減，

當(dāng)TU）時(shí)，尸（為>0,單調(diào)遞增，

當(dāng)1寸，（（%）<0,f（x）單調(diào)遞減，

所以當(dāng)X=時(shí)，“X）有極小值，

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=-4丁+3%在(°,4+2)上存在最小值,

又〃1)=力卜1,

所以〃<—，<Q+2W1,解得一

22

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

故答案為：］-I^T.

8.(1)4x+y-5=0；(2)函數(shù)/⑺的增區(qū)間為(―s,-L)、(4,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為

(-1,4),最大值為1,最小值為-；.

【分析】(1)求出了。)、「⑴的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程;

(2)由/''(-1)=0可求得實(shí)數(shù)。的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此

可得出結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)”=。時(shí)，則r(x)=^^,.?.“1)=1,r(i)=y,

XX

此時(shí)，曲線y=〃x)在點(diǎn)處的切線方程為y—1=T(A1),即4x+y-5=0；

⑵因?yàn)樾?=會

由題意可得-，/-1、)2(=4-"=依解得"4,

,,.3-2x_2(x+l)(尤-4)

故"尤卜V"一，+4了，列表如下:

-1(-1,4)4(4,+8)

廣⑴+0-0+

/W增極大值減極小值增

所以，函數(shù)〃x)的增區(qū)間為(為,-!)、(4,+00),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4).

當(dāng)X<；時(shí)，〃x)>o；當(dāng)時(shí)，/(x)<0.

1

所以，/??x=/(-)=l>/Wrai?=/(4)=4-

9.(D-l

⑵(O,y)

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；

(2)求導(dǎo)得廣(刈=("一?(“一1),按照。(0、0<。<1及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)

性，求得函數(shù)的極值，即可得解.

1111—v

【詳解】(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=一—lnx,x>0,則:=f—=三，

XXXX"

當(dāng)無?0,1)時(shí)，r(x)>0,〃x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，/,(%)<0,/(x)單調(diào)遞減；

所以〃xL」")一1；

(2)/(x)=6?x---(a+l)lnx,x>0,則:(x)=a+±_"L1)9",

XXXX

當(dāng)aWO時(shí)，ar-KO,所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，廣(耳>0,/(尤)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,y)時(shí)，/(%)<0,/(x)單調(diào)遞減；

所以/(力1mx=/(1)="一1<°，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)0<。<1時(shí)，)>1,在(0』)［：,+s］上，F(xiàn)'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

在口‘J上，尸(司<°，“X)單調(diào)遞減；

又41)="1<0,

由(1)得工+ln尤21,gpln->l-x,所以lnx<x,ln五<4,lnx<26，

X%

當(dāng)光>1時(shí)，f(x)=ax---(a+I)lnx>or---2(fz+l)Vx>ox-(2。+3)石,

xX

則存在%=(3+2］>-,使得/(租)>0，

\a)a

所以/(X)僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)4=1時(shí)，r⑺所以“X)單調(diào)遞增，X/(l)=a-l=0,

所以/（X）有唯一零點(diǎn)，符合題意;

當(dāng)口>1時(shí)，|<i,在]。,+⑹上，r（x）>o,/（X）單調(diào)遞增;

在U上，f'（x）<o,單調(diào)遞減；此時(shí)41）=。—1>0,

由（1）得當(dāng)O<X<1時(shí)，lnx>l-4Iny[x>1——,所以Inx>2

Xy/x

止匕時(shí)f（%）—------（a+1）Inx<ax-------2（a+1）1—T=<---1----T=—,

XXyyjx）XVx

存在〃使得加）<°,

所以/（x）在（o—J有一個(gè)零點(diǎn)，在+^]無零點(diǎn)，

所以/（X）有唯一零點(diǎn)，符合題意；

綜上，a的取值范圍為（0,+8）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)

問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（21-22高二下?四川雅安?階段練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是（）

A.>=九B.>=ln（一C.y=x+exD.y=x+—

2.（2023?上海黃浦?一模）已知/（x）=sin"+|^（0>O）,且函數(shù)y=〃x）恰有兩個(gè)極大

TC

值點(diǎn)在0,-,則。的取值范圍是（）

A.（7,13]B.[7,13）C.（7,10]D.[7,10）

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/⑺=屁工+1,過點(diǎn)尸（2,1）可作曲線y=〃x）的切線

條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（尤）=丁+依2+區(qū)+。2在k=一1處有極值8：,貝IJ

"1）等于（）

A.-4B.16C.T或16D.16或18

5.(2023?廣東汕頭,二模)給出定義：設(shè)(。)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，尸(X)是函數(shù)

y=f\x)的導(dǎo)函數(shù).若方程_r(x)=0有實(shí)數(shù)解彳=X。，則稱(m"5))為函數(shù)y=/(X)的“拐

點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)/(x)=ax3+bx2+cx+d(a^0)都有"拐點(diǎn)"，且該"拐點(diǎn)"也是

函數(shù)>=/(x)的圖象的對稱中心.若函數(shù)/(%)=尤3一31，貝U

d--]+D++D+H()

<2023j1.2023J1,2023J1.2023J(2023)

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8096

6.(2021?四川遂寧?二模)若e龍一(a—l)%—lnx—lnaN0,貝的最大值為()

ee

A.—B.-C.eD.2e

42

二、多選題

7.(2023?安徽?一模)已知函數(shù)"x)=V—x(xeR),則()

A.y(x)是奇函數(shù)

B.的單調(diào)遞增區(qū)間為-%-等卜口號,+8

C.〃尤)的最大值為平

D.〃x)的極值點(diǎn)為Jg，法竿)

8.(2021?廣東潮州?二模)已知函數(shù)y=的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示，則下列

結(jié)論正確的是()

A./(a)</(&)</(c)B./(e)</(J)</(c)

C.x=c時(shí)，/(x)取得最大值D.x=d時(shí)，/(x)取得最小值

9.(2022?重慶?三模)已知函數(shù)〃司='：：+1”為自然對數(shù)的底數(shù)，e“2.72),則關(guān)

于函數(shù)/(x),下列結(jié)論正確的是()

A.有2個(gè)零點(diǎn)B.有2個(gè)極值點(diǎn)C.在(。,1)單調(diào)遞增D.最小值為1

三、填空題

10.(23-24高二上?吉林長春?期末)若函數(shù)-6?+尤+1存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為.

11.(2024?安徽?二模)已知函數(shù)/(x)=(x-l)sinx+(x+l)cosx,當(dāng)xe［0,可時(shí)的最

大值與最小值的和為.

四、解答題

12.(23-24三上,山東青島，期中)已知函數(shù)/(%)=-ax+a.

(1)若x=l是函數(shù)“X)的極值點(diǎn)，求“X)在(-lj(-l))處的切線方程.

⑵若。＞0,求“X)在區(qū)間［0,2］上最大值.

13.(22-23高二下?陜西寶雞?期末)已知函數(shù)/(尤)=lnx+or+2(a＜0),若f(x)的最大值為

2.

(1)求。的值；

(2)若/(%)〈云在［1,+^)上恒成立，求b的取值范圍.

參考答案:

題號123456789

答案DBBABCABABBC

1.D

【分析】利用基本初等函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷各選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)y=x為奇函數(shù)，且該函數(shù)在R上單調(diào)遞增，A項(xiàng)不滿足條件;

對于B選項(xiàng)，函數(shù)y=ln(-x)的定義域?yàn)?-j0),該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，B選項(xiàng)不滿足

條件；

對于C選項(xiàng)，函數(shù)y=x+e'的導(dǎo)數(shù)為y'=l+e，＞0,該函數(shù)在R上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)不滿

足條件；

對于D選項(xiàng)，令〃x)=x+：,該函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xwO},

4/4、4

f{-x)=-x+—=-x+—|=,即函數(shù)了=尤+一為奇函數(shù)，

-xvx)x

f'(x\=X-±=^1,當(dāng)0<x<2時(shí)，r(x)<0,當(dāng)尤>2時(shí)，r(x)>0,

XX

所以，x=2為函數(shù)/'(X)的極小值點(diǎn)，D選項(xiàng)滿足條件.

故選：D.

2.B

【分析】運(yùn)用整體思想法，求得+臺TT的范圍，再運(yùn)用正弦函數(shù)圖象分析即可.

6

TT

【詳解】回G>0,

兀，兀,697171

^—<a)x+—<-----F—,

6636

又回/(X)在［0,自恰有2個(gè)極大值點(diǎn)，

國由正弦函數(shù)圖象可知，+解得：7Vo<13.

故選：B.

3.B

【分析】求出的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%,為^+1),寫出切線方程，把(2,1)代入,

得到關(guān)于修的方程，根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)即可得出切線的條數(shù).

【詳解】解法一由〃x)=xe，+l,得r(x)=(x+l)e1設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為+1),

則切線方程為丁一5*-1=e&(%+1)(了-%)，

把(2,1)代入可得-$3=e*(%o+D(2-~),即其一2%-2=0,

因?yàn)椤?12>0,所以該方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，故切線有2條.

解法二由〃x)=xe*+l,得法⑺=(x+l)e"令法(力=0,得x=-1.

當(dāng)光〈一1時(shí)，/'(%)V0,當(dāng)x>0時(shí)，/'(%)>0,

故/(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,依)上單調(diào)遞增,

故〃x)的極小值為=1-L且/'(0)=1,則點(diǎn)*2,1)在曲線y=/(x)的下方，

e

y

o

數(shù)形結(jié)合可知,過點(diǎn)P可作曲線y=/(x)的2條切線.

故選：B

4.A

【分析】求導(dǎo),即可由/(-I)=8且/\-1)=0求解。,6,進(jìn)而代入驗(yàn)證是否滿足極值點(diǎn)即可.

［詳解［f\x)=3x2+2ax+b,

若函數(shù)在％=-1處有極值8,

則/(-l)=8H./，(-D=0,即

13-2a+Z?=0

解得：〃=3力=3或a=-2,b=-7,

當(dāng)。=3,6=3時(shí)，=3x2+6x+3=3(x+l)2>0,此時(shí)尤=一1不是極值點(diǎn)，故舍去，

當(dāng)a=-2,b=-7時(shí)，/(龍)=3尤2-4x-l=(3無一7)(尤+1),

77

當(dāng)或x<—1時(shí)，/,(x)>0,當(dāng)-1<尤J'(x)<。，故犬=一1是極值點(diǎn)，

故。=-2力=-7符合題意，

故/(x)=d-2x2-7x+4,

故/⑴f

故選：A

5.B

【分析】通過二次求導(dǎo)可得尸(x)=6x-6,求出y=〃x)的圖像的對稱中心為(L-2),得

至U/(I-x)+/(I+尤)=-4,據(jù)此規(guī)律求和即可.

【詳解】由尸(x)=3f-6x,可得/〃(x)=6x-6,

令尸(x)=0,可得x=l,又/⑴=1-3=-2,

所以>=/(%)的圖像的對稱中心為(1，-2),

即f(l-x)+f(l+x)=-4,

(4044A(40451

【2023廣，［2023)

4044\(2024\20231

2023J12023)2023J

2

故選：B.

6.C

【分析】將原不等式化為改+1口依，構(gòu)造函數(shù)/(尤)=尤+山］(%>0)，由單調(diào)性

的性質(zhì)可知產(chǎn)之依，即44《，構(gòu)造函數(shù)"x)=C,利用導(dǎo)數(shù)得出"(%)的最小值，即可

XX

得出〃的最大值.

【詳解】原不等式化為尤+/之ox+ln以，即Nox+lnor,令

/(x)=j;+lnx(x>0),

知〃久)在(。,+?)上單調(diào)遞增，原不等式轉(zhuǎn)化為了")，所以,上辦，即

設(shè)“x)=F，則/(XU。,當(dāng)0<x<l時(shí)，〃'(x)<0,"(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時(shí)，

M(X)>0,"(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=l時(shí)“X)取得最小值刈1)=?,所以。的最大值為e.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及導(dǎo)數(shù)證明不等式，從

而得出。的最大值.

7.AB

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義即可判斷f(尤)是奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(無)的單調(diào)性

可知，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-程)和［?，+s］,單調(diào)減區(qū)間為卜手，亭，所以

/(X)無最大值，極大值點(diǎn)為彳=一4,極小值點(diǎn)為耳=乎.

【詳解】因?yàn)閷xeRJ(f)=r3+x=-〃x),根據(jù)奇函數(shù)定義可知函數(shù)〃x)是R上的

奇函數(shù)，即A正確;

令尸(x)=3f—1>0可得一點(diǎn)或x>#,即〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為|-1J和

(6)

工-,+00,故B正確；

由B可知，/(%)在事,+8單調(diào)遞增，所以“力無最大值，即C錯(cuò)誤；

由廣(耳=3/-1=0得了=土弓，結(jié)合選項(xiàng)B可知，A-1是函數(shù)〃x)的極大值點(diǎn)，

工=日是函數(shù)/(X)的極小值點(diǎn)，極值點(diǎn)不是點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.

故選：AB

8.AB

【分析】由尸(x)圖象可確定〃x)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】由廣(X)圖象可知：當(dāng)xe(e,c)(e,心)時(shí)，r(x)>0：當(dāng)尤w(c,e)時(shí)，

\在(Y?,C),(自用)上單調(diào)遞增,在(c,e)上單調(diào)遞減；

對于A,-a<b<c,.,./(a)</(/?)</(c),A1E?1；

對于B,c<d<e,/./(e)</((/)</(c),B正確;

對于C,由單調(diào)性知〃c)為極大值，當(dāng)尤>e時(shí)，可能存在〃與)>〃。)，C錯(cuò)誤；

對于D,由單調(diào)性知"e)<f(d),D錯(cuò)誤.

故選：AB.

9.BC

【分析】先求定義域，再求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，最值情況，判斷BCD,A可以證明

出函數(shù)值恒正，A錯(cuò)誤.

【詳解】/(x)=」+：+1定義域?yàn)镽,尸(x)「(l),

ee

令/'(%)=。得：%=。或1,

當(dāng)?！?0,1)時(shí)，/r(x)>o,當(dāng)X￡(-8,0)D(l,+8)時(shí)，/f(x)<o,

如下表:

X(-8,0)0(0,1)1(l,+oo)

r(x)-0+0-

3

/W遞減極小值1遞增極大值之遞減

e

從而判斷出函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，在(。,1)上單調(diào)遞增,

BC正確，

由于,、尤2+x+l|-X+11+1恒成立，所以函數(shù)/Q)無零點(diǎn)，A錯(cuò)誤,

fx)=——--=1-->0

')exex

當(dāng)x-+8時(shí)，〃同f0,故函數(shù)無最小值，D錯(cuò)誤；.

故選：BC

10.(-co,-l)u(l,+co)

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意知方程尸(x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，可得出A>0,從而得解.

【詳解】因?yàn)?(X)=1■尤3_依2+無+1,可得/'(%)=無2—26+1,

因?yàn)楹瘮?shù)/■(X)存在極值點(diǎn)，所以ra)=o有兩不等實(shí)根，

貝必=4/-4>0,解得。<-1或

所以"的取值范圍是(T?,T)U(1,+CO).

故答案為：(YO,T)U(1,+<?).

11.亨-1)兀-1

【分析】求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求解最值.

【詳角軍】/r(x)=sinx+(x-l)cosx+cosx-(x+l)sinx=x(cosx-sinx),

當(dāng)時(shí)，尸(x)>0,/(x)遞增；當(dāng)時(shí)，f'(x)<0,