反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題（解析版）-2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)突圍訓(xùn)練（全國版）

備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突圍訓(xùn)練（全國通用版）

專題14反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題

【典型例題】

1.（2022?內(nèi)蒙古包頭?九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0/2C的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OC

k

在x軸的正半軸上，邊CM在y軸的正半軸上，。4=3,AB=4,反比例函數(shù)丁=一（左＞0）的圖象與矩形兩

X

邊48,2c分別交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,且2D=2/D

⑴求點(diǎn)。的坐標(biāo)和后的值;

⑵連接OE,DE,求△DOE的面積;

⑶若點(diǎn)尸是線段OC上的一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸，使乙4P￡=90。？若存在，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)若不存

在，請說明理由.

【答案】（l）o[g,3）,k=4

⑵12

⑶存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,0）或（3,0）

【解析】

【分析】

（1）由矩形CM3C中，AB=4,BD=2AD,可得3/。=4,即可求得AD的長，然后求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可求

得k的值;

（2）三角形面積定義矩形面積減去周圍三個三角形面積；

（3）首先假設(shè)存在要求的點(diǎn)尸坐標(biāo)為（加，0）,OP=m,CP=4-m,由乙4P￡=90°,易證得A4O尸

然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得加的值，繼而求得此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）

解：YAB=4,BD=2AD,

AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4,

4

/.AD=-

3

又?.?04=3,

嗚3）.

???點(diǎn)。在雙曲線〉=&上,

X

74r

??.左=—x3=4zi.

3

⑵

如答案圖2

4

AD=—,OA=3,

3

114

-S.=-AD^AO=-X-X3=2.

△"A°O。D223

???左=4,

4

??.反比例函數(shù)解析式為歹=—.

x

???矩形45CD中，BC=OA=3,OC=AB=4,

4

又???點(diǎn)￡在反比例函數(shù)＞=—的圖象上，

.??￡（4,1）.

:.CE=\,

???BE=2,

：.S.OCE=-OC-CE=2.

4

???/5=4,AD=-

3

,叫

1Q

...S人=—BD?BE=—

△BRDn匕F23

???S矩畛。C8=N0.℃=3X4=12,

816

S4DOE-S矩形/0C6-S^AOD-S^EOC~^BDE—2—2——=—.

（3）

答：存在.假設(shè)存在要求的點(diǎn)。坐標(biāo)為（九o）,

--OP=m,CP=4-m.

vZ^PE=90°,

??./APO+ZEPC=90°,

又?.?/APO+ZOAP=90°,

/EPC=ZOAP,

又???ZAOP=ZPCE=90°,

???/\AOPs^pcE,

OAOP

''CP~~CE'

-OACE=OPCP.

=3,

解得：冽=1或加=3.

???存在要求的點(diǎn)尸，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,0）或（3,0）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)求反比例函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是注意

求得點(diǎn)D的坐標(biāo)與證得A4O尸?△尸CE.

【專題訓(xùn)練】

一、選擇題

3

1.（2022?河南開封?九年級期末）下列關(guān)于反比例函數(shù)y=—-的結(jié)論中正確的是（）

A.圖象過點(diǎn)（1,3）B.圖象在一、三象限內(nèi)

C.當(dāng)x<0時，>隨工的增大而增大D.當(dāng)%>-1時_y>3

【答案】c

【解析】

【分析】

利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

【詳解】

,?,^=-3<0,

???函數(shù)圖象位于第二、四象限，故3選項(xiàng)錯誤；

???1x3=3聲3,

???函數(shù)圖象不經(jīng)過點(diǎn)（1,3）,故/選項(xiàng)錯誤；

???根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)圖象的每一個象限內(nèi)，了隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x<0時，夕隨x的增大而增大，故C選項(xiàng)正確；

當(dāng)-l<x<0時y>3,但是當(dāng)x>0時了<0,故。選項(xiàng)錯誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查當(dāng)左<0時的反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

O1Q

2.（2021?廣東禪城?二模）如圖，A.8分別為反比例函數(shù)y=--（x<0），y=—（x>0）圖象上的點(diǎn),

xx

且0/108,則tan^ABO的值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

如圖，過/作/Clx軸于C,過8作軸于。，根據(jù)/、3在函數(shù)圖象上可求出S/OC=4,SABDO=

9,根據(jù)相似三角形的判定得出△BDO-aOC/,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，鼠%=:，求出”

SODB\OB）9OB

的值，根據(jù)tan42O==即可求出角的正切值.

【詳解】

解：如圖，過4作/Clx軸于C,過8作瓦XLx軸于。

O1O

??,/、8分別為反比例函數(shù)〉=一一(x<0),y=—(x>0)圖象上的點(diǎn)

xx

??.S/OC=4,SABDO=9

山05=90。

:.乙B0D+乙DBO=LBOD+UOC=90°

：/DBO=4OC

:?△BDOFOCA

?打c。/叫二4

S°DB\OB)9

OA2

''OB~3

…八OA2

tanZABO==—

OB3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)，正切.解題的關(guān)鍵在于對知識的靈活運(yùn)用.

3.(2022?江西萍鄉(xiāng)?九年級期末)如圖，反比例函數(shù)＞=：(4NO)的圖象經(jīng)過/,2兩點(diǎn)，過點(diǎn)工作

軸，垂足為C.過點(diǎn)2作ADLx軸，垂足為D連接/。，連接2。交NC于點(diǎn)若OC=CD,四邊形3DCE

面積為2,則k的值為()

【答案】D

【解析】

【分析】

先設(shè)點(diǎn)8坐標(biāo)為（“涉），證出△。區(qū)/△。。^,利用相似的性質(zhì)求得梯形3DCE的上下底邊長與高，再根據(jù)

四邊形ADCE的面積求得處的值，最后計(jì)算人的值.

【詳解】

解：設(shè)點(diǎn)8坐標(biāo)為（明方），則。。=-。，BD=b

■：OC=CD

OC1

"OD~2

.-.CD=--a

2

??,/C_Lx軸，軸

ZECO=ZBDO=90°

ZEOC=ZBOD

■■■AOCEs^ODB

CEOC￡

~DB~~OD~~2

CE=-BD=-b

22

???四邊形ADCE的面積為2

.-X(CE+BD)>CD=2

即：gs+gb)?(-ga)=2

將236）代入反比例函數(shù)y=2,得

X

7716

K=ab=---

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解.

4.（2022?山東泰山?九年級期末）函數(shù)歹=-巴與>（〃wo）在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能

x

是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)兩個函數(shù)的圖象得到。的符號，即可判斷4根據(jù)二次函數(shù)了=^2+。得到。的符號，即可判斷從C

D,由此得到答案.

【詳解】

解：/、由函數(shù)>=-色圖象得a<0,函數(shù)>=^2+4的圖象得°<0,故該項(xiàng)正確；

X

B、函數(shù)y=+。的圖象開口向上得a>0,與y軸交于負(fù)半軸得a<0,故該項(xiàng)不正確；

C、函數(shù)歹=辦2+。的圖象開口向下得。<0,與y軸交于正半軸得a>0,故該項(xiàng)不正確：

D、函數(shù)y=的圖象開口向上得°>0,與y軸交于負(fù)半軸得a<0,故該項(xiàng)不正確；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了依據(jù)反比例函數(shù)與二次函數(shù)函數(shù)的圖象所經(jīng)過的象限確定系數(shù)的符號，正確掌握各函數(shù)的圖象

與字母系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

5.（2022?湖北老河口?九年級期末）如圖是反比例函數(shù)y="在第二象限內(nèi)的圖象，若圖中的矩形O4BC

X

的面積為4,則左等于.

【解析】

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)左值的幾何意義代入計(jì)算即可.

【詳解】

k

解：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)歹=—,且矩形。45。的面積為4,

x

所以I左1=4,即左=±4,

k

又反比例函數(shù)的圖象y=—在第二象限內(nèi)，k<0,

X

所以k=-4.

故答案為：-4

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)左值的幾何意義，關(guān)鍵在于熟記性質(zhì)，判斷符號.

6.（2022?陜西雁塔?九年級期末）如圖，菱形。/2C的邊ON在x軸正半軸上，頂點(diǎn)2、C分別在反比例函

數(shù)>=2叵與》=人的圖象上，若四邊形。N2C的面積為46，則左=.

【答案】-273

【解析】

【分析】

連接08,設(shè)直線2c與7軸交于點(diǎn)P,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AO3C的面積為26，結(jié)合反比例函數(shù)上的幾何

意義可得ACOP和A8O尸的面積，利用5.。=$./+$4的建立方程，求解即可.

【詳解】

解:如圖，連接。，設(shè)直線BC與V軸交于點(diǎn)尸，

??,四邊形CM8C是菱形，且面積為4g,

SAOBC=2Vs,

vBC//x軸，

3C"軸，

-,-B,C分別在反比例函數(shù)歹=38與＞=勺的圖象上，

XX

&_陽C/?

?bCOP一萬，口20P—YD，

?二S岫CO=S,OB+SACOP=超+5悶=2退

解得左=一26,(正值舍去).

故答案為：-2百.

【點(diǎn)睛】

k

本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)左的幾何意義，即在反比例函數(shù)歹=—的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這

X

一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是;陶，且保持不變.也考查了三角形的面積.

7.(2022?湖北江陵?九年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知菱形/BCD的頂點(diǎn)/(0,273)

和C(2,0),頂點(diǎn)3在x軸上，頂點(diǎn)。在反比例函數(shù)了=人的圖象上，向右平移菱形/2CO,對應(yīng)得到菱

X

形⑷N當(dāng)這個反比例函數(shù)圖象經(jīng)過的中點(diǎn)￡時，點(diǎn)E的坐標(biāo)是.

【答案】(8,6)

【解析】

【分析】

r)A

連接/C,由題意易得出。4和0c的長，再根據(jù)tan//。。=次及特殊角的三角函數(shù)值，可確定

乙4co=60。，即可證明A48C和都是等邊三角形，還可求出/C的長，即得出4D=ZC=4,從而

得出D點(diǎn)坐標(biāo)為(4,273).將。點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求出發(fā)的值.設(shè)菱形/BCD向右平移

。的單位后，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過C'?的中點(diǎn)E.由此即可用。表示出。和。，的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式

即可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，將E點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求出a,即得出E點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

如圖，連接/C,

,?%(2,26)、C(2,0),

■?■O/1=2V3>OC=2,

OA2乖>[T

tan/ACO=-----=------=J3,

OC2

.-.ZACO=60°.

OA273,

AC=------二二4

???sin60°v3?

,??四邊形ABCD是菱形，

：.AB=BC,^ABC和AACD全等,

??.AABC和LACD都是等邊三角形，

AD=AC=4,

???。點(diǎn)坐標(biāo)為(4,273).

k

???。點(diǎn)在反比例函數(shù)y=￡的圖象上，

X

.?.2A/3=-,

4

解得：k=8^/3,

???反比例函數(shù)的解析式為J=迪.

X

設(shè)菱形/BCD向右平移。的單位后，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過C'。'的中點(diǎn)E,

???此時C'的坐標(biāo)為C(2+a,0),。蛇勺坐標(biāo)為(4+a,273)，

???此時E點(diǎn)的坐標(biāo)為(2+a；4+a,0+；q,即磯§+“省)，

解得：a=5,

.■.E點(diǎn)的坐標(biāo)為(3+5,6),即￡(8,右).

故答案為：(8,百).

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平移

的性質(zhì)以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，綜合性強(qiáng)，較難.作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵.

8.(2022?江蘇崇川?九年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)丁=勺(x>0)的圖象交矩形

X

O48C的邊A8于點(diǎn)M(1,2),交邊8c于點(diǎn)N,若點(diǎn)2關(guān)于直線的對稱點(diǎn)夕恰好在x軸上，則OC

的長為

【答案】V5+l##l+V5

【解析】

【分析】

過點(diǎn)M作MQLOC,垂足為。，連接〃9，NB',由于四邊形048c是矩形，且點(diǎn)8和點(diǎn)Q關(guān)于直線

對稱.且點(diǎn)8,正好落在邊OC上，可得LMB'QSAB'NC,然后M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)用含a的代數(shù)式表示出來,

再由相似三角形對應(yīng)邊成比例求出夕。和09的長，然后利用勾股定理求出M2'的長，進(jìn)而求出。。的

長.

【詳解】

解：過點(diǎn)初作MQLOC,垂足為Q,連接MB',NB',如圖所示：

?反比例函數(shù)了="（x>0）的圖象過點(diǎn)2）,

X

??"=1X2=2,

,_2

??y———，

x

2

設(shè)N（〃，一），則5（〃，2）,

a

又??,點(diǎn)B和點(diǎn)Q關(guān)于直線MN對稱,

:,MB=MB=/B=/MB，N=90°,

VAMQB'=ZBfCN=90°,ZMB,Q+ZNB,C=90°

又?：/NB，C+/B，NC=90°,

,,

???ZMBQ=ZBNCJ

：.00s△5WC,

，，Q—1QB

.??些=迤=絲，即7=高=

NBBCNC2——BC-

aa

,4

解得：B'C=—,QB'=1,

MB'=y/MQ2+QB'2=V22+l2=非，

:.MB'=MB=CQ=M,

：OQ=1,

??ci~1--^5，

OC-u—+1.

故答案為：A/5+1.

【點(diǎn)睛】

本題屬于反比例函數(shù)與幾何綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定

等知識，作出輔助線構(gòu)造相似是解題關(guān)鍵.

三、解答題

9.（2022?陜西金臺?九年級期末）如圖，MA/2。的頂點(diǎn)A是雙曲線了="與直線y=-x-（左+1）第二象限的

X

3

交點(diǎn).加二軸于3,且也。="

⑴求這兩個函數(shù)的解析式；

⑵求直線與雙曲線的兩個交點(diǎn)A、C的坐標(biāo).

3一

［答案］（l）y=—，y--x+2

x

（2）（3-1）,（2,0）

【解析】

【分析】

3

（1）根據(jù)黑”。=:求得上的值，根據(jù)函數(shù)圖象在第二、四象限，可得上=-3,即可求得這兩個函數(shù)的解析

式;

（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解一元二次方程求得點(diǎn)4c的坐標(biāo)即可.

(1)

3

“F軸于8,且

13

2kl=子解得：k=±3.

???反比例函數(shù)圖象在第二、四象限,

:.k<0,

???k=—3,

3

???反比例函數(shù)的解析式為歹=-一，一次函數(shù)的解析式為歹=f+2.

x

⑵

3

y=一—

聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，X

y=-x+2

再=-1x=3

解得:2

.必=3

.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,3）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,-1）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)上的幾何意義、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以

及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是（1）根據(jù)反比例函數(shù)上的幾何意義結(jié)合反比例函數(shù)圖象所在象限，求出左

值；（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；

k

10.（2022?重慶一中九年級開學(xué)考試）如圖，一次函數(shù)y=ox+6（。*0）的圖象與反比例函數(shù)了=1（左#0）

的圖象相交于/、B兩點(diǎn),以N8為邊，在直線N8的左側(cè)作菱形N8CD,邊BCL.y軸于點(diǎn)E,若點(diǎn)/坐標(biāo)

為（加,6）,BE=8,OE=-.

⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

⑵求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

39

答

案

[1”12

y「--

x42

(1

29-“o

Daed26

m

2)>±0.

【解析】

【分析】

ae3612

(1)先求解B的坐標(biāo)為e8,-彳三再求解反比例函數(shù)的解析式為＞=-一，再求解A的坐標(biāo)，再列方程組求

e20x

解一次函數(shù)的解析式即可;

(2)先利用勾股定理求解N8的長度，再利用菱形的性質(zhì)可得=4瓦從而可得答案.

3o-

-.

5aSe---.

K，-

D20

3d

±

人8ae4

砂-i

=K--

D20

12

所以反比例函數(shù)為:y=—,

X

Q)(加,6),

、12C

\m=----=-2,

6

\力(-2,6),

1-2。+6=6

\]…八3,解彳

18tz+/7=-—

39

所以一次函數(shù)的解析式為：J^=--x+-.

⑵

3“O

Q/6\+

/n-nae^--

\/I2.9

W:DK0

???四邊形/BCD為菱形,

25

\AD=AB=—,AD〃BC,而邊5C_Ly軸,

2-25T--29-

2

6

296

aJe,」

IQ2±0.

DK

【點(diǎn)睛】

本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解決此類題目的關(guān)鍵是能熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解

析式及已知函數(shù)解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo).

II.(2022?廣東封開?九年級期末)如圖，在矩形。/8C中，AB=4,8c=8,點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，反比

例函數(shù)>(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)。，交BC邊于點(diǎn)E.

X

X

⑵連結(jié)DE,在了軸上找一點(diǎn)尸，使△P0E的周長最小，求出此時尸的坐標(biāo).

【答案】⑴反比例函數(shù)的解析式為丁=3(x>0),E(4,4).

X

20

⑵點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,—).

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和矩形的性質(zhì)得到。(2,8),利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；

(2)作點(diǎn)。關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)。'，連接D'E交y軸于尸，連接尸D,此時，△「￡名的周長最小，求得直線

少￡的解析式為%-3+?，于是得到結(jié)論.

(1)

???點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，AB=4,

-'-AD=2,

???四邊形。48。是矩形，BC=8,

:.D(2,8),

k

???反比例函數(shù)>=一(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)O,

x

???七2x8=16,

???反比例函數(shù)的解析式為(x>0),

當(dāng)x=4時，j/=4,

：.E(4,4).

⑵

如圖，作點(diǎn)。關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)。，連接。上交天軸于尸，連接尸

此時，△尸Z組的周長最小,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,8),

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,8),

設(shè)直線。的解析式為

{-2a+6=8

??14。+6=4'

2

a=——

解得:；3，

b=—

[3

770

??.直線DfE的解析式為"-年,

20

令》=0,得產(chǎn)刀，

3

20

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,y).

【點(diǎn)睛】

本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，正

確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

12.(2021?廣東?可園中學(xué)二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形0/3C的頂點(diǎn)/的

坐標(biāo)為(3,4).

⑴求過點(diǎn)B的反比例函數(shù)y=￡的解析式；

x

⑵連接過點(diǎn)2作交x軸于點(diǎn)D,求直線AD的解析式.

【解析】

【分析】

(1)由N的坐標(biāo)求出菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)確定出8的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析

式即可；

(2)證明△。8尸，48。尸，利用相似三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線3。解析式即

可.

(1)

(1)過點(diǎn)4作NElx軸，過8作"lx軸，垂足分別為￡,F,如圖，

■■A(3,4),

：.OE=3,AE=4,

O=-JOE2+AE~—J32+4。=5,

???四邊形0/3。是菱形，

；.AO=AB=OC=5,/B||x軸,

■?■EF=AB=5,

.?.0尸=0/￡/=3+5=8,

???B(8,4),

:過B點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為了=",

X

把B點(diǎn)坐標(biāo)代入得上=32,

32

???反比例函數(shù)解析式為＞=工；

x

⑵

.??4。5。=90°,

OBF+乙DBF=90°,

?:乙DBF+(BDF=9G0,

(OBF=zJBDF,

又，：")FB=乙BFD=90°,

:.XOBFsXBDF,

OFBF

,茄一而‘

8_4

"4-DF，

解得=2,

：.OD=OF+DF=8+2=10,

：.D(10,0).

設(shè)BD所在直線解析式為歹=小+b,

把5(8,4),。(10,0)分別代入得:

監(jiān)+6=4

10左+6=0

.??直線BD的解析式為y=-2x+20.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的相似，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，熟練

掌握菱形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法，相似是解題的關(guān)鍵.

13.Q021?湖北鶴峰?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,。分別是x軸、了軸上的一動點(diǎn)，以

k

為邊向外作矩形/BCD,對角線ADIIx軸，反比例函數(shù)>=—(左>0)圖象經(jīng)過矩形對角線交點(diǎn)E.

⑴如圖1,若點(diǎn)A、。坐標(biāo)分別是(6,0),(0,2),求8。的長；

⑵如圖2,保持點(diǎn)。坐標(biāo)(0,2)不變，點(diǎn)A向右移移動，當(dāng)點(diǎn)C剛好在反比函數(shù)圖象上時，求點(diǎn)A坐標(biāo)及左

的值.

20

【答案】⑴勖=不；

⑵A坐標(biāo)為(2百，0),左=孚

【解析】

【分析】

(1)通過證得入4。。6,尸，得到3歹=3/斤，根據(jù)平行于x軸的直線上任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，則

2220

BF=OD=2fAF=~,從而求得3。=。/=。4+4尸=6+—=——；

333

IW4-77、

(2)設(shè)A、C坐標(biāo)分別為(〃?,0),(%4),則點(diǎn)E坐標(biāo)可表示為［三,21過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)G.同

(1)易得ACGDSADOA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到加〃=4,由點(diǎn)C、￡均在函數(shù)了="圖象上，則有:

X

4n=k廠廠

<m+n,7，可得加=3〃，即可得至U加〃=3〃?〃=4,進(jìn)而求得〃=2■巨，加=2百，得至！J左=4幾=§_」，

——x2=k33

點(diǎn)A坐標(biāo)為（20，°）.

⑴

過點(diǎn)8作軸于點(diǎn)產(chǎn)，由點(diǎn)A、。坐標(biāo)分別為（6,0）、（0,2）可得，。。=2,04=6,

圖1

???四邊形”CQ為矩形，

/DAB=90。,

ZDAO+ZBAF=90°,

???/DAO+NADO=90。,

/.ZADO=NBAF,

???NAOD=/BFA=90。,

AADO^ABAF,

?ODAF_2_1

"~OA~^F~~6~39

BF=3AF,

又?.?&)//%軸，

/.BF=OD=2f

,AF=~,

3

BD=OF=OA+AF=6+—=；

33

⑵

???四邊形/BCD為矩形，

???點(diǎn)E為/C中點(diǎn)，由乃=0,yE=yD=2,

凡=4，

設(shè)A、C坐標(biāo)分別為（私0）,（〃,4）,則點(diǎn)E坐標(biāo)可表示為［I三+%,2

過點(diǎn)C作CG，y軸于點(diǎn)G.

圖2

同理ACGDsAZ）。4,

.CGDG

"~OD~~OA'

m2

"，一丁

/.mn=4,

4n=k

由點(diǎn)C、￡均在函數(shù)^=上圖象上，則有：\m+n。7,可得加=3%

x-------x2=上

I2

mn=3n?n=4,

由〃>0,故〃=,m-2-\/3，

3

.?%=4〃=手，點(diǎn)A坐標(biāo)為（26，0）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形相似的判斷和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行線分線段成比

例定理等知識，表示出E點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵

24

14.（2022?廣東?重慶巴蜀中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖是反比例函數(shù)歹=—與反比例函數(shù)y=—在第一象限中

xx

42

的圖象，點(diǎn)尸是>=一圖象上一動點(diǎn)，尸/lx軸于點(diǎn)4,交函數(shù)>=一圖象于點(diǎn)C,尸51y軸于點(diǎn)5,交函數(shù)

XX

2

歹=一圖象于點(diǎn)D,點(diǎn)、D的橫坐標(biāo)為a.

x

⑴求四邊形ODPC的面積；

⑵連接DC并延長交x軸于點(diǎn)E,連接PE,求證：四邊形尸是平行四邊形.

【答案】（1）四邊形ODPC的面積為2；

⑵證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意，先求出點(diǎn)。的縱坐標(biāo)得到點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)，代入解析式即可得到點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；利用矩形

的面積計(jì)算公式及反比例函數(shù)左值的幾何意乂，利用S四邊形O0PC=S四邊形-SAOBD-SAO/C，求解即可得;

（2）根據(jù)題意可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2a,-）,得出PC=C4=,，結(jié)合圖象可得〃/E,利用平行線的

aa

性質(zhì)及全等三角形的判定可得△。夕C四△E4C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出。尸=4￡,由一組對邊平行且相

等的四邊形是平行四邊形即可證明.

⑴

2

解：???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為〃，且點(diǎn)。在函數(shù)〉=—圖象上,

x

2

???點(diǎn)D的縱坐標(biāo)歹=一，

a

4

又心心軸，且點(diǎn)。在y=—圖象上，

x

2

???點(diǎn)P的縱坐標(biāo)歹=一，

a

???點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為％=2〃,

2

??P（2a,一）；

a

212

S四邊形O力=2〃X,=4,SbOBD=SkOAC=]Xaxq=\,

???S四邊形皿＞c=4-2x1=2

四邊形ODPC的面積為2；

⑵

2

證明：軸于點(diǎn)4,交函數(shù)丁二一圖象于點(diǎn)C,

x

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2a,-）,

a

2

又”（2。，-），

a

PC=CA=~,

a

???PB_Ly軸,

:.DP〃AE,

/PDE=/DEA,/DPA=/PAE,

在△。尸。與中，

ZPDE=/DEA

<NDPA=NPAE,

PC=AC

：.ADPC%EAC,

?*.DP=AE,

???四邊形D4阱是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】

此題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象與幾何圖形、坐標(biāo)與圖形、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判

定與性質(zhì)、平行四邊形的判定定理等知識，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?廣東?二模）如圖1,點(diǎn)尸是反比例函數(shù)夕=8（后>0）在第一象限的點(diǎn)，P/lv軸于點(diǎn)/,PBLx

X

軸于點(diǎn)2,反比例函數(shù)y=9的圖象分別交線段NP、BP于C、D,連接CD,點(diǎn)G是線段CD上一點(diǎn).

圖1圖2

⑴若點(diǎn)P(6,3),求的面積；

⑵在(1)的條件下，當(dāng)PG平分NCP。時，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

⑶如圖2,若點(diǎn)G是。尸與CD的交點(diǎn)，點(diǎn)M是線段0P上的點(diǎn)，連接MC、MD.當(dāng)4。兒。=90。時，求誣

MG=^CD.

【答案】⑴4

⑵G(y.1)

(3)見解析

【解析】

【分析】

(1)先求出點(diǎn)C,點(diǎn)。坐標(biāo)，可得尸C=4,PD—2,即可求解；

(2)過點(diǎn)G作GM1P2于“，GNBP于N,由角平分線的性質(zhì)可證GM=GN,由面積法可求GM=GN=

4

即可求解；

(3)先求出直線0尸，直線CD的解析式，可得點(diǎn)G坐標(biāo)，可證點(diǎn)G是。的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)

即可證明.

(1)

解：：點(diǎn)尸(6,3),尸/ly軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)8,乙408=90。，

.??點(diǎn)N(0,3),點(diǎn)8(6,0),四邊形NO8尸是矩形，

二點(diǎn)?？v坐標(biāo)為3,點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為6,乙4p8=90。，

???點(diǎn)C,點(diǎn)。在反比例函數(shù)y=9的圖象上，

二點(diǎn)C(2,3),點(diǎn)。(6,1),

??.CP=4,PD=2,

:.XPCD的面積=1xPCxPD=1x4x2=4.

⑵

解：如圖1,過點(diǎn)G作GM/B于GNLAP于N,

圖1

?:PG平分乙CPD,GM工PB,GNLAP,

:?GM=GN,

-SAPCD^yxC尸xGN+；PDxGM,

???8=4GN+2GN,

4

:.GN=-=GM,

3

???點(diǎn)G（y,|）.

⑶

證明：設(shè)點(diǎn)尸（a,—），則點(diǎn)C（空,—）,點(diǎn)。（a,一

akaa

k

,??點(diǎn)0（0,0）,點(diǎn)尸（a,—）,

a

???直線OP解析式為y=—^x,

a

點(diǎn)C（~~,一）,點(diǎn)。（a,—）,

kaa

???直線CD解析式為尸-與田叱，

aa

???點(diǎn)G是直線OP與直線CD的交點(diǎn)，

kk6+k

???~rX——~y%+---，

aaa

6a+ak

???X

2k

6a+ak6+k）

???點(diǎn)G

2k2a

點(diǎn)C（~~，—）,點(diǎn)、D（a,

kaa

,i、Ln-JL,_ij、上,6Q+ak6+k

.??線段co的中點(diǎn)為（———

2。

???點(diǎn)G是CD的中點(diǎn),

又?.zC〃D=90°,

■■.MG=^CD.

【點(diǎn)睛】

本題屬于反比例函數(shù)與幾何的綜合題，主要涉及反比例函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及運(yùn)用待定系數(shù)法求一

次函數(shù)解析式等知識點(diǎn)，正確作出輔助線成為解答本題的關(guān)鍵.

16.（2021?山東歷下?九年級期中）己知，矩形。CA4在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)C在x軸的

k

正半軸上，點(diǎn)/在y軸的正半軸上，已知點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,2）,反比例函數(shù)》=—的圖象經(jīng)過N3的中點(diǎn)

D,且與8C交于點(diǎn)￡,設(shè)直線的解析式為y=mx+〃，連接。。，OE.

備用圖

k

⑴求反比例函數(shù)y=—的表達(dá)式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

x

⑵直接寫出不等式人>"X+"的解集；