高考數(shù)學一輪專項復習講義-集合（北師大版）

§1.1集合

【課標要求】1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義2理解元素與集合的屬于關系，理解

集合間的包含和相等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、

集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于,用符號且或生表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集正實數(shù)集

符號NN+（或N*）ZQRR+

2.集合的基本關系

(1)子集：一般地，對于兩個集合/與2,如果集合/中的任何一個元素都屬于集合2,那么

稱集合/是集合3的子集，記作2(或3?4).

(2)真子集：對于兩個集合4與2,如果且/#8,那么稱集合/是集合3的真子集，

記作/夙或BA).

(3)相等：對于兩個集合4與3,如果集合/是集合3的子集，且集合2也是集合/的子集,

那么稱集合A與集合B相等，記作A3

(4)空集：不含任何元素的集合叫作空集，記作0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的

真子集.

3.集合的基本運算

表示

集合語言圖形語言記法

運

并集

交集且xeg}4n§

補集（小￡U,且X莊4}CpA

【常用結論】

I.若集合4有個元素，則集合/有2"個子集，2"—1個真子集.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.AC\B=A^A^B,AUB=A^BQA.

4.C5)=(0以)U(CuB),CM/U8)=(C必)D(CuB).

【自主診斷】

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“J"或"X")

(1)集合任6叫工3=打，用列舉法表示為{-1,0,1}.(X)

(2){x[y=x2+1)={j[y=x2+1}={(x,y)[y=x2+l}.(X)

(3)若16{爐，x},則x=-l或x=l.(X)

(4)對任意集合/,B,都有(NC8)￡(/U8).(V)

2.設集合N={x|3Wx<7},5={x|2<x<10),貝iJ(CR/)C3等于()

A.{x[2<xW3}

B.{x|7<x<10}

C.{x|2<x<3或7Wx<10}

D.{x[2<xW3或7cx<10}

答案C

解析因為CiU={x|x<3或x27},5={x|2<x<10},所以(C近)C8={x[2<x<3或7Wx<10}.

3.已知集合4={1,3,a2},5={1,a+2},若NU3=N,則實數(shù)a=.

答案2

解析因為所以8=4所以a+2G4當a+2=3,即。=1時，A=[1,3,1},不滿

足集合中元素的互異性，不符合題意；當a+2=a2時，a=-1(舍去)或a=2,此時N={1,3,4},

B={1,4},符合題意.綜上，實數(shù)。=2.

4.已知集合/={x|0<x<a},B={x\0<x<2},若36/,則實數(shù)a的取值范圍為.

答案[2,+°0)

解析因為3=/,所以利用數(shù)軸分析法(如圖)，可知。，2.

_JB

02ax

■探究核心題型

題型一集合的含義與表示

例1(1)(2023?長春模擬)已知集合4={(%,y)\x2+y2=4},B={(x,y)\x+y=Q},則NC8的

子集個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析集合/={(x,y)H+y2=4}表示以(0,0)為圓心，2為半徑的圓上的所有點，

集合8={(x,y)|x+y=0}表示直線x+y=0上的所有點，

因為直線x+y=0經(jīng)過圓心(0,0),

所以直線與圓相交，

所以NA8的元素個數(shù)為2,

則/A3的子集個數(shù)為4.

(2)已知集合/={0,機，m2~3m+2],且2晝/,則實數(shù)機的值為()

A.2B.3C.0D.-2

答案B

解析因為集合/={0,加，僅2—3m+2},且

貝l|加=2或〃於一3機+2=2,解得{0,2,3}.

當加=0時，集合/中的元素不滿足互異性；

當.=2時，加2—3加+2=0,集合N中的元素不滿足互異性；

當加=3時，A={0,3,2},符合題意.

綜上所述，m=3.

思維升華解決集合含義問題的關鍵點

(1)一是確定構成集合的元素.

(2)確定元素的限制條件.

(3)根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題.

跟蹤訓練1(1)(2023?蘇州模擬)設集合/={1,2,3},5={4,5},C^{x+y\x^A,y^B},則C

中元素的個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析因為集合/={1,2,3},B={4,5},C={x+y\x^A,y^B},所以C={5,6,7,8}.即C中

元素的個數(shù)為4.

b'

⑵若含有3個實數(shù)的集合既可表示成?J,又可表示成{標，a+b,0},則/024+62024

答案1

解析因為I'a)={a2,a+b,O},

顯然aWO,所以2=0,即6=0；

a

此時兩集合分別是{a,1,0},{a,層,0},

則層=1,解得“=1或a=-1.

當a=l時，不滿足互異性，故舍去；

當a=—1時，滿足題意.

所以02024+62024=(—1)2024+()2024=1.

題型二集合間的基本關系

例2(1)(2023?海口質檢)已知集合/={x|x>5},S={x|l-log2X<0},貝(1()

A.AQBB.B^A

C.AQB=0D.NU3=R

答案A

解析因為集合/={x|x>5},集合3={x|l—log加<0}={x|x>2},

所以N=8

(2)已知集合/={x|x<-1或x23},3={x|ax+lW0},若BUN,則實數(shù)。的取值范圍是()

，1

B.L3」

C.(一8,-1)U[O,+8)

D.L--3-oJlu(0,1)

答案A

解析；B=A,

二?①若5=0,即辦+lWO無解，此時4=0,滿足題意.

②若BW0,即辦+1W0有解，

當a>0時，可得xW-l,要使3?4

a

a>09

則需要,,解得；

----<-1,0<a<l

.a

當。<0時，可得X2一1,要使2=/,

a

a<09

則需要.I.解得一!Wa<0,

刃，3

a

綜上，實數(shù)°的取值范圍是[r_3i'IJ.

思維升華（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則

易造成漏解.

（2）已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉

化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

跟蹤訓練2（1）已知集合M={刈/=11一上,xGR},N={x\x=m2,m^M},則集合“，N

的關系是（）

A.MNB.NM

C.MQCRND.NJCRM

答案B

解析因為A/={x[v=\U—/,XGR}={X|—1WXW1},N={x\x=m2,mGA/}={x|0WxW1},

所以NM.

（2）設集合N={x|—l〈x+lW6},B={x\m-l<x<2m+l],當xWZ時，集合/的非空真子集

的個數(shù)為;當8=/時，實數(shù)加的取值范圍是.

答案254{創(chuàng)加W—2或一1W加W2}

解析易得4={x|—2WxW5}.

若x￡Z,則4={-2,—1,0,1,2,345},即4中含有8個元素，

：.A的非空真子集的個數(shù)為28—2=254.

①當加一122冽+1,即加W—2時，B—0,B^A；

②當加>—2時，B—{x\m—l<x<2m+1}0,

Z77—1—2

因此，要使36/,則需?‘解得一1WWW2.

2m+lW5,

綜上所述，7〃的取值范圍是—2或一lWmW2}.

題型三集合的基本運算

命題點1集合的運算

例3⑴（2022?新高考全國I）若集合M={x|J<4},N={x|3x》l},則等于（）

l[]】Wx<2|

A.{x|0^x<2}B.Ul3J

*|-^x<16.

C.{x|3^x<16}D.Ul3.

答案D

解析因為M={x\^x<4},

所以{x|0Wx<16}；

因為N={x|3x》l},

|1^1I

所以N=hl3..

“.|[Wx<16-

所以MCN=kl3J.

⑵(多選)已知M,N均為實數(shù)集R的子集，且NC(CRV)=0,則下列結論中正確的是()

A.A/H(CRN)=0

B.A/U(CRN)=R

C.(CRA/)U(CRAQ=CRM

D.(CRAf)n(CRAO=CRM

答案BD

解析V2vn(cRM=0,:.NQM,

如圖，若N是M的真子集，則MC(CRN)W0,故A錯誤；

由NUM可得MU(CRN)=R,故B正確；

由NUM可得CRN?CRM,故C錯誤，D正確.

命題點2利用集合的運算求參數(shù)的值(范圍)

例4(1)(多選)已知N={x|N+x—6=0},B={x\mx+l=Q},且則加的值可能為

()

A.11B.lC.0D.—1

332

答案BCD

解析由題意知/={x,2+x—6=0},

由N+x—6=0,解得工=2或工=—3,

所以N={2,—3},

因為NU8=N,所以8=4

當2=0時，m=0,滿足題意；

_1

當3W0時，B=\mJ,

——=2或一，=一3,

mm

解得機=一鼻或

綜上，加=0或一L或1.

23

(2)(2024?本溪模擬)設集合4={小<層},B^{x\x>a},若NA(CRB)=N,則實數(shù)a的取值范圍

為()

A.[0,1]B.[0,1)

C.(0,1)D.(一8,0]U[l,+8)

答案A

解析因為8={x|x>a},

所以CRB={x\x^a},

又/C(CRB)=4,所以/=CRB,

又N={x|x<q2},所以MW。,

解得OWaWl,即實數(shù)。的取值范圍為[0,1].

思維升華對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；

如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況.

跟蹤訓練3(1)(多選)已知集合/={x|N—2x>0},B^{x\l<x<3},貝版)

A.(CiU)U5={x|0^x<3}

B.(CR^)ns={x|l<x<2}

C.^A5={x|2<x<3}

D.NC5是{x|2<x<5}的真子集

答案ACD

解析由N—2x>0,得x<0或x>2,

所以/={x|x<0或x>2],

所以C謾={x|0WxW2},

對于A,因為2={x|lvx<3},

所以(CRX)U8={X[0WX<3},所以A正確;

對于B,因為3={x|14<3},

所以(CR/)A8={X|1<XW2},所以B錯誤；

對于C,因為/={x|x<0或x>2},B={x|l<x<3},

所以Nn3={x|2vx<3},所以C正確；

對于D,因為/nB={x|2<x<3},

所以/AB是{x|2<x<5}的真子集，所以D正確.

(2)已知集合/,3滿足/={x|x>l},2={x|x<a—l},若/門3=0,則實數(shù)a的取值范圍為

A.(—8,i]B.(—8,2]

C.[1,+8)D.[2,+8)

答案B

解析因為集合/,8滿足/={x|x>l},B=[x\x<a~\},且/C8=0,

則4-1乏1,解得aW2.

題型四集合的新定義問題

例5(多選)群論是代數(shù)學的分支學科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對

抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識

證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，

是G上的一個代數(shù)運算，即對所有的a,b6G,有如果G的運算還滿足：①Va,

b,cGG,有(cr6>c=a-(6-c)；e^G,使得VaGG,We-a—ae—a；③VaGG,3b^G,

使a-b=ba=e,則稱G關于“，’構成一個群.則下列說法正確的有()

A.G={-1,0,1}關于數(shù)的乘法構成群

B.G=^X~k''GZ'"",'U{x|x=m,mGZ,加力0}關于數(shù)的乘法構成群

C.實數(shù)集關于數(shù)的加法構成群

D.G^{m+^2n\m,〃GZ}關于數(shù)的加法構成群

答案CD

解析對于A,若G={—1,0,1},則對所有的a,b^G,有。-1}=G,

滿足乘法結合律，即①成立，滿足②的e為1,

但當a=0時，不存在6￡G,使得Q?b=〃q=e=l,即③不成立，故A錯誤；

11Q

對于B,因為a=—￡G,且b=3￡G,但X3=—莊G,故B錯誤；

222

對于C,若6=區(qū)，則對所有的a,b￡R,有o+b￡R,

滿足加法結合律，即①成立，滿足②的e為0,

VQ￡R,3b——Q￡R,使。+6=6+〃=0,即③成立，故C正確；

對于D,若6={冽+/川冽，〃￡Z},

則對所有的〃=加1+啦m,b=m2+也"2￡G,

有o+b=(冽1+加2)+A/^(〃I+〃2)￡G,Va,b,c^G,(〃+b)+c=Q+(b+c)成立，即①成立，

當a=b=0時，a+也b=0,滿足②的e=0,即②成立，

Va=m-\-^2nG,3b=—m—也〃￡G,使。+6=/?+〃=0,即③成立，故D正確.

思維升華集合新定義問題的“三定”

(1)定元素：確定已知集合中所含的元素，利用列舉法寫出所有元素.

(2)定運算：根據(jù)要求及新定義運算，將所求解集合的運算問題轉化為集合的交集、并集或補

集的基本運算問題，或轉化為數(shù)的有關運算問題.

(3)定結果：根據(jù)定義的運算進行求解，利用列舉法或描述法寫出所求集合中的所有元素.

跟蹤訓練4(多選)設/為非空實數(shù)集，若對任意x,y^A,都有x+y^A,x-y^A,且xyd/,

則稱N為封閉集.下列敘述中，正確的為()

A.集合N={—2,—1,0,1,2}為封閉集

B.集合4={川〃=2左,后WZ}為封閉集

C.封閉集一定是無限集

D.若/為封閉集，則一定有06/

答案BD

解析對于A,在集合/={-2,—1,0,1,2}中,

—2—2=—4不在集合/中，.?.集合/不是封閉集，故A錯誤；

對于B,集合/={川〃=2左，后GZ},

設x,y^A,則x=2左1,y=2kz,ki,

.,.x+y=2(左1+依)6/,x—y—2(k\—ki)G4,xy—^k\ki^A,

集合/={川〃=2左，左eZ}為封閉集，故B正確；

對于C,封閉集不一定是無限集，如：{0}為封閉集，故C錯誤；

對于D,若/為封閉集，則取x=y,得X—y=oe/,故D正確.

課時精練

I胃知識過關

一、單項選擇題

1.(2022?全國乙卷)設全集。={1,2,3,4,5},集合M滿足C曲={1,3},則()

A.2GMB.3GMC.4莊MD.5生M

答案A

解析由題意知M={2,4,5}.

2.(2023?新高考全國I)已知集合〃={一2,-1,0,1,2},A^={x|x2-x-6>0},則MHN等于

()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{-2}D.{2}

答案C

解析方法一因為N={x|x2—X—620}=(-8,-2]U[3,+°°),

而Af={-2,—1,0,1,2},

所以A/riN={-2}.

方法二因為M={-2,—1,0,1,2},將一2,—1,0,1,2代入不等式N—x—620,只有一2

使不等式成立，

所以A/riN={-2}.

3.(2024?南京模擬)集合/={xGN|l<x<4}的子集個數(shù)為()

A.2B.4C.8D.16

答案B

解析N={xGN|l<x<4}={2,3},故子集個數(shù)為22=4.

4.已知全集U,若集合/和集合8都是。的非空子集，且滿足則下列集合中表

示空集的是()

A.(CMA8B.AHB

C.(CMC(CuB)D.NC(CuB)

答案D

解析由Venn圖表示集合U,A,2如圖，

由圖可得(CM)C3=CBA,ACiB=A,(CM)n(CuB)=CuB,NC(C/)=0.

5.(2024?綿陽模擬)已知/={1,4,m2},B={1,m},若36/,則加等于()

A.0或4B.1或4

C.0D.4

答案A

解析：BUN且/={1,4,m2},8={i,加},

.,.加=4或m=m2,

當加=4時，^={1,4,16},5={1,4}>滿足題意；

當加=加2時，得加=0或加=1,

當機=0時，A=[1,4,0),3={1,0},滿足題意；

當加=1時，代入集合中，不滿足集合的互異性.

綜上，機可取0,4.

6.已知M,N均為R的子集，若存在x使得xGM,且x生CRN,貝!1()

A.MCN力0B.MXN

C.NJMD.M=N

答案A

解析因為x生CRN,所以XGN,又因為xdM,所以xGAfflN,故MCNW0,故A正確；

由于題目條件是存在x,所以不能確定集合M,N之間的包含關系，故B,C,D錯誤.

7.已知全集U=R,集合4={x|0WxW2},3={X|N—x>0},則圖中的陰影部分表示的集合為

u

AB

A.(—8,l]u(2,+°°)B.(—8,0)U(l,2)

C.[1,2)D.(1,2]

答案A

解析B—{x\x2—x>0}={x|x<0或x>l},由題意可知陰影部分對應的集合為C

忒4AB)C(4U2),所以NCB={x|l<xW2},AUB=R,即CMNC3)={x|xW1或x>2},所以

cMNn8)n(NU8)=(—8,i]u(2,+°°).

8.設集合/={1,3,5,7},若非空集合/同時滿足：①?=/；②⑷Wmin(4)(其中⑷表示/中元

素的個數(shù)，min(/)表示集合/中最小的元素)，稱集合/為/的一個“好子集”，則/的所有

“好子集”的個數(shù)為()

A.7B.8C.9D.10

答案B

解析當⑷=1時，即集合/中元素的個數(shù)為1時，/的可能情況為{1},{3},{5},{7}；

當⑷=2時,即集合，中元素的個數(shù)為2時，4的可能情況為{3,5},{3,7},{5,7}；

當⑷=3時，即集合N中元素的個數(shù)為3時，/的可能情況為{3,5,7},

綜上所述，/的所有“好子集”的個數(shù)為8.

二、多項選擇題

9.已知/為全集，集合乂NJI,若MJN,貝IJ()

A.MUN=NB.MCN=N

C.CiND.(CiN)CiM=0

答案AD

解析因為MEN,則MUN=N,MCN=M,則A正確，B錯誤；

又/為全集，集合NJI,貝11CiN,(CiN)CM=0,C錯誤，D正確.

10.已知集合/=",2=1},B-{x\ax—1},且則實數(shù)a的取值可以是()

A.-1B.0C.1D.2

答案ABC

解析/=",2=1}={-1,1},集合B表示關于X的方程辦=1的解集，

因為NU8=4所以8=4

當。=0時方程辦=1無解，此時5=0,符合題意；

當3={1}時，a=l；當2={—1}時，一0=1,解得a=-1,

綜上可得0=0或土1.

三、填空題

11.已知集合4={0y)\x,ydN+，y^x},B={(x,_y)|x+y=8},則/A3中元素的個數(shù)為

答案4

解析根據(jù)題意，/C3的元素是x+y=8上滿足x,yGN+且的點，即點(1,7),(2,6),

(3,5),(4,4).

12.已知集合4={1,2,3},B={mA,5},且/U8中的所有元素的和為12,則加=.

答案一3

解析當加=1或%=2或〃?=3時，^U5={1,2,3,4,5},

所有元素的和為15,不符合題意；

當加。1且且〃zN3時，/U2={1,2,3,m,4,5},

由題意得1+2+3+加+4+5=12,所以加=—3.

13.高三某班共有55人，其中有14人參加了球類比賽，16人參加了田徑比賽，4人既參加

了球類比賽，又參加了田徑比賽，則該班這兩項比賽都沒有參加的人數(shù)是.

答案29

解析由題意畫出Venn圖，如圖所示，

由Venn圖知，參加比賽的人數(shù)為26,

所以該班這兩項比賽都沒有參加的人數(shù)是29.

14.對于任意兩集合N,B,定義N—3={x|xGN且x莊團，記/=

{x\x^0],3={x|y=lg(9—N)},貝,A*B=.

答案{x|—3<x<0}{x|—3<x<0或x\3}

解析由題意得/={x|x，0},B={x]—3<x<3},所以/—3={x|x23},3—/={x|-3<x<0}.因

此A*B={x|x23}U{x\—3<x<0}={x|—3<x<0或x23}.

能力拓展

15.(多選)由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19世紀，直到1872年，德國數(shù)學家戴德金

從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割)，并把實數(shù)理論

建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數(shù)被