廣東省東莞市五校2024-2025學年高三年級上冊聯(lián)考（三）數學試卷（含答案解析）

廣東省東莞市五校2024-2025學年高三上學期聯(lián)考（三）數學

試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4=卜€(wěn)川x2-4x-5WO},8={xeR|log2024(x-2)VO},則AB=()

A.(2,3JB.[2,3]C.0D.{3}

2.如圖，在VABC中，。是BC的中點.若A3=a,AD=b，則AC=()

A.3a—2bB.a—2bC.—a+2bD.+5b

二、未知

3.下列函數中，既是奇函數，又在(0,收)上單調遞增的是()

A.f(x)=sinxB.f(x)=x2+-C.f(x)=x3+2xD./(x)=ex

三、單選題

4.假設甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值''都在前一天的基礎

上進步2%,而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎上退步1%.那么，大約需要經過

（）天，甲的“日能力直’是乙的20倍（參考數據：1g102。2.0086,1g99=1.9956,

lg2?0.3010）

A.23B.100C.150D.232

5.設AABC的內角A氏。，所對的邊分別為。力,。，若三邊的長為連續(xù)的三個正整數，且

A>B>C,3b=20acosA,則sinA:sin3:sinC為

A.4：3：2B.5：6：7C.5：4：3D.6：5：4

6.已知在直角VA3C中，角A氏C所對邊分別為《6、c,若8=90且滿足a=夜，

c=l,BMLAC,且點M在AC上，則的值為()

A.叵B.-C.逅D.-

3366

7.若tan(tz+￡)=7,也11__=21,則tan2cr=()

1-tanatan0

1「10-21

A.—B.—2C.—D.—

22110

8.已知函數〃x)>0,且〃x+l)=.5W⑺是偶數時’若/⑻=1,則()

3〃尤)+1,當/(可是奇數時.

A.7(1)^3B./(2)<10C."3)431D./(4)<16

四、多選題

9.下列說法正確的是()

A.方程e<=8-q的解在(1,2)內

B.函數/1)==/—%—6的零點是(3,0),(—2,0)

C.函數y=2*-V有三個不同的零點

D.用二分法求函數/(尤)=3'+3-8在區(qū)間(L2)內零點近似值的過程中得到

/(1)<0,/(1.5)>0,/(1.25)<0,則零點近似值在區(qū)間(1.25,1.5)上

10.已知函數"x)=asinx+%cosx,若“0)=G且對任意xeR都有<［曰，則下

列結論正確的是()

A.〃X)=2AOS(X+三)

B./(x)=2Gsin(x+f

C.7(x)的圖象向左平移菅個單位后，圖象關于原點對稱

D.7■(》)的圖象向右平移?個單位后，圖象關于y軸對稱

11.三次函數/'(X)=d+辦2+X+1敘述正確的是()

A.函數/(x)可能只有一個極值點

試卷第2頁，共4頁

B.當。=0時，函數/(x)的圖象關于點(0,1)中心對稱

C.當加=-1時，過點(飛"(飛))的切線有一條

D.當與4-鼻時，在點卜。"(毛))處的切線與函數y=/(無)的圖象有且僅有兩個交點

五、填空題

12.已知平面向量〃二(2,加)，b=(2,1),且〃_1/?.貝!J|〃+b|=.

13.若/(元)=5皿3+9)[0>0,忸|<|^的部分圖象如圖，貝.

/、ClH---.X>0

14.已知aeR,函數〃x)=龍,若存在三個互不相等的實數占,馬，不，使得

e-x,x<0

小11=/應=心1=一6成立，則a的取值范圍是_______.

%x2x3

六、解答題

15.在銳角VA2C中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知向量

m=(cosA,cosB),n=(a,2c-b),且miln.

(1)求角A的大??；

⑵若a=2,求VA3C周長的取值范圍.

16.某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機器人，它能夠通過學習和理解人類的語言

來進行對話.聊天機器人的開發(fā)主要采用RLHF(人類反饋強化學習)技術，在測試它時，

如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為80%,當出現(xiàn)語法錯誤時，它

的回答被采納的概率為40%.

⑴在某次測試中輸入了8個問題，聊天機器人的回答有5個被采納，現(xiàn)從這8個問題中抽

取4個，以X表示抽取的問題中回答被采納的問題個數，求X的分布列和數學期望；

(2)設輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為0,若聊天機器人的回答被采納的概率為70%,求p

的值.

17.已知在銳角VABC中，M是BC的中點，且A3=4,AC=2.

sinZBAM_

⑴求卬的值;

(2)若cosNM4C=逅，求VABC的面積.

4

18.已知函數/(x)=x(%-3)2,g(x)=ln^^+2+6a

3-x

⑴討論當a=-l時，g(x)的極值點個數;

⑵當a=0時，證明：函數〃(x)=〃x)+g(x)是中心對稱圖形，并求出其對稱中心.

19.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，對任意兩個向量〃?=&,%),〃=%)?作：OM=m,

oN=n當機,“不共線時，記以OM,ON為鄰邊的平行四邊形的面積為S(w)=|占為-彳2%|；

當戊，萬共線時,規(guī)定S(共力)=0.

(D分別根據下列已知條件求S(m,w).

①"z=(2,l),〃=(-l,2)；

②力？=(1,2),〃=(2,4)；

(；2)若向量0=九〃2+〃〃(幾,〃?艮川+〃2/0),求證：S(p,m)+S(p,")=(|2|+|〃|)S(%”)；

(3)記OA=a,OB=6,OC=c,且滿足c=4。+〃匕(/1〃>0,2,//eR),a±b,\a|=||=|c|=1,求

S(c,a)+S(c,b)的最大值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號124567891011

答案DCBDBADACDBDBCD

1.D

【分析】根據二次不等式以及對數不等式化簡兩個集合，即可根據交集的定義求解.

【詳解】由A={xeN|x2-4x-5<0}={xeN|-l<x<5}={0,1,2,3,4,5),

B={xeR|log2024(x-2)<0}=^x|2<x<3},

故AB={3},

故選；D

2.C

【分析】根據平面向量的線性運算可得答案.

【詳解】因為。是的中點，AB=a，AD=b,

所以AC=AO+OC=AO+8O=AO+AO-A5

=2b-a-

故選：C.

3.C

【分析】根據基本初等函數的單調性與奇偶性判斷即可.

【詳解】對于A：/(x)=sinx為奇函數，但是在(0,+s)上不具有單調性，故A錯誤；

對于B：/(x)=Y+：的定義域為{x|xw。},且〃_尤)=(_引2+:=無2一：，

即且“X),所以=為非奇非偶函數，故B錯誤；

對于C：/(x)=d+2x的定義域為R,且/'(-%)=(-x)+2(-x)=-(V+2x)=-f(x),

所以/(x)=V+2尤為奇函數，

又y=d與y=2x在定義域R上單調遞增，所以/(%)=三+2*在(0,+s)上單調遞增，故C

正確；

對于D：函數為非奇非偶函數，故D錯誤.

故選：C

4.B

答案第1頁，共12頁

【分析】根據給定信息，列出方程，再利用指數式與對數式的互化關系求解即可.

【詳解】令甲和乙剛開始的“日能力直'為1,〃天后，甲、乙的“日能力值''分別

(1+2%)",(1-1%)",

依題意,岸A?。，即啥"2。，兩邊取對數得理賢也。,

l+lg21+0.3010

因止匕〃=?100

1g102-1g992.0086-1.9956

所以大約需要經過100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.

故選：B

5.D

【詳解】因為a,b,c為連續(xù)的三個正整數，且A>B>C,可得

a=c+2,b=c+l①

又因為3b=20acosA,由余弦定理可知cosA=------.......—,則

2bc

3b=20a-~c"②

2bc

聯(lián)立①②，化簡可得7c2—13c—60=0,解得?=4或。=一三（舍去），則a=6,b=5.

又由正弦定理可得，sinA:sinB:sinC=a:b:c=6:5:4.故選D.

6.B

【分析】根據直角三角形的幾何性質，結合相似三角形的性質，利用平面向量的數量積的定

義公式，可得答案.

【詳解】由題意可作圖如下：

由NB=90,則AC=JAB?+BC?=6

由貝AC1BM,

答案第2頁，共12頁

解得小曜乎等

易知ABCAMB,則=

日口//萬BCy/25/6

即cosZABM=cosZC=----=—=——，

AC63

BA-BM=|BA||BM|cosZABM=lx^x^=1.

故選：B.

7.A

-1/°、rtan2a-tan2B…/=/八、一?

【分析】由條件+—,進而

tan2a=tan[(a+/7)+(tz-/7)],再用兩角和的正切公式求解即可.

[詳解】因為tan(?+夕)=7,所以tan(a+#)tan(a-/?)=7tan(<z-/3),

tana+tanptana-tanBtan2cr-tan2p

等式左邊=-------------------------=-------------2----------2二21

1-tan?tan[31+tan6/tan/31-tanatanp

所以21=7tan(a—0,即tan(a—p)=3,

故如2a=tan]廠(/a+￡)、+(/a-尸、-)1卜ta匚n(a?+Q茂)+tVan(a—￡)7+3_1

l-7x3-2

故選：A.

8.D

【分析】運用分段函數求值方法，注意分清在哪一段，進行討論即可.

【詳解】由/⑻=1逆推得，

"8)=1-"7)=2->46)=4-45)=8-44)=16-43)=32-"2)=64-"1)=128

〃8)=lf〃7)=2f〃6)=4f〃5)=8f〃4)=16f〃3)=32f〃2)=64f"1)=21

〃8)=lff⑺=2f"6)=4-45)=8-f(4)=16f〃3)=5f*2)=10f1/?⑴=20

/(8)=1^/(7)=2^/(6)=4->/(5)=8->/(4)=16->/(3)=5^/(2)=10^/(1)=3；

答案第3頁，共12頁

/⑻=lf/■⑺=2->〃6)=4f〃5)=lf"4)=23)=4-?〃2)=8f"1)=16；

/■⑻=lf47)=2-"6)=4-"5)=1-"4)=2->〃3)=4-〃2)=1'〃1)=2.

所以，/(4)<16.

故選：D.

9.ACD

【分析】對A,構造函數7'(元)=/-8++，利用零點存在性定理和單調性可得；對B,根

據零點定義可知；對C,作出y=2=y=Y的圖象，觀察其交點個數可得；對D,根據零點

存在性定理可得.

【詳解】對A,記〃x)=e=8+(易知y=e=8,yg都在R單調遞增，

所以/(“在R上單調遞增，又“l(fā))=e-8+g=e-￡(0,"2)=e2-7)0,

所以/(x)存在唯一零點%,且叫《1,2),

即方程e'=8g的唯一解在(1,2)內，所以A正確；

對B,令/(x)-X-6=0,解得x=-2或x=3,

所以函數/(x)=fT-6的零點是—2或3,所以B錯誤；

對C,作出y=2，,y=/的圖象如圖：

當x<0時，函數y=2,和y=V的圖象顯然有一個交點，

又2?=22,2'=4?,所以函數y=2'和"V的圖象在尤=2,x=4處相交，

所以y=2，-尤2有三個不同的零點，所以c正確；

對口,因為/(1.25)/(1.5)<0,所以由零點存在性定理可知,零點近似值在區(qū)間(1.25,1.5)上,

所以D正確.

答案第4頁，共12頁

故選：ACD

10.BD

【分析】先根據條件/10）=后求得6值，根據可知為函數最大值，據

此列出關于。的方程，求出a值，得到函數人切的解析式，結合輔助角公式和誘導公式，可

判斷A、B的正誤，再根據三角函數圖象的變換規(guī)律，可判斷B、D的正誤.

【詳解】/(x)=asinx+bcosx,/(0)=，

b=V3,

又對任意xeA都有

TT

則/（?為/（X）的最大值，

整理得：（a-3）2=0,則a=3,

所以/（%）=3sinx+百cos%=2A/3sin（x+—）=cos（,

63

因此A選項錯誤，B正確；

/■（*）的圖象向左平移m個單位后得到的圖象對應的函數解析式為：

O

g（元）=2若sin（x+g+m）=2岔sin（x+f）,該函數圖象不關于原點對稱，故C錯誤；

663

“X）的圖象向右平移多個單位后，得到函數代）=20sinQ+g-多=-2百cosx的圖

363

象，

該圖象關于y軸對稱，故D正確，

故選：BD

11.BCD

【分析】求導，令尸（無）=0,利用A結合二次函數的圖象可判斷A；利用y=d+x是奇函

數，可判斷B；設切點（小〃占）），切線方程為>-〃西）=/（芯）（*-不），結合已知可得

（毛-西）2（/+。+2%）=o,求解可判斷C；在點（玉,〃x。））處的切線為

尸&）（%-%），聯(lián)立方程組可得（x-%）2（X1+a+2x）=0,求解可判斷D.

答案第5頁，共12頁

【詳解】對于A選項：f（x）=3x2+2ax+l,令/'（x）=0,

即3x2+2ar+l=0,A=4<z2-12,

當A>0時，方程「（無）=。有兩個不同根，〃x）有兩個極值點；

當△（（）時，無極值點，故A錯誤；

對于B選項：當a=0時，/（x）=x3+x+l,

因為y=d+x是奇函數，關于點（0,0）對稱，

所以函數/■（》）的圖象關于點Q1）中心對稱，故B正確；

對于c選項：設切點（菁,〃占）），則切線方程為=）,

因為過點（M,〃Xo）），所以/'（%）-/（芯）=/'（%）（%-%），

即x；—+a（蒼一芍）+X。-—（3才+26zXj+］）—%）,

整理得（尤。一王）Y尤。+°+2%）=0,所以占=%,或占=一號豆,

由于%=-與，則兩根相等，即只有一個切點，即只有一條切線，故C正確；

對于D選項：在點（天,/（七））處的切線為y—yGOnmoXx—%）,

聯(lián)立方程組F-X。），化簡得（X_/）2Q+a+2司=0,

所以x=x。，或尤=-q產，由于5彳-三，則方程組有兩組不同解，

即有兩個不同交點，故D正確.

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：（1）判斷函數的圖象是否關于（見6）對稱，可借助奇函數的性質判斷，

也可檢驗〃。-力+〃4+力=26是否恒成立；

（2）切線問題的核心是切點的橫坐標，切線條數問題可轉化為關于切點橫坐標的方程的解

的個數問題.

12.5

【分析】根據66得到2x2+〃?=。，解得〃?=T,然后利用坐標求模長即可.

答案第6頁，共12頁

【詳解】因為〃_LZ?,所以2x2+zn=0,解得根=-4,所以a+b=(4,-3),

卜+q=業(yè)2+(—3)2=5.

故答案為：5.

13.0

【分析】根據函數,=$皿妙+9)的圖象與性質求得/外。的值.

【詳解】解:由函數/(x)=sin(s+0)(0>O，M<M的部分圖象知，7=2x(濟$)=￡

V2)1262

c57r7i11々

，兀-r-,---1-.11兀3兀77r-j

.?"=彳=44,又122兀/.+=4x^-+^>=-+2A：71,^eZ;

jrTT

角畢得0=——+2kn,kwZ;取o=-耳.

則/(x)=sin(4x-g),則/■[小=sin(4X*-[)=。.

D\A乙J_L乙J

故答案為：o.

14.(-oo,-2e)

【分析】根據題意，將方程根問題轉化為函數交點問題，然后結合導數求得最值，即可得到

結果.

【詳解】若存在三個互不相等的實數%1，%2，%3，使得-----=------=-----=-e成立，則方

%入2X3

程/(尤)二-"存在三個不相等的實根，當％<0時，e-“=-ex解得％=-1,所以當％>0時，

eee

—=-ex有兩個不等的實根，即a=—ex—,設g(x)=-ex—,x>0,

XXX

貝Ug'Gh-e+q,尤>0,令g'(x)=O,解得》=1,令g<x)>0,解得0<x<l,令g'(x)<0,

解得x>l,所以函數g(x)在區(qū)間(。,1)單調遞增，在區(qū)間。,”)單調遞減，則

g(x)<g(1)=-e-e=-2e,所以tz<_2e.

故答案為：(i,-2e)

71

15.⑴A=§

⑵(2g+2,6]

【分析】(1)由共線向量的坐標表示表示，利用正弦定理邊化角，結合兩角和差公式化簡求

答案第7頁，共12頁

得cosA,由此可得A.

IT

(2)利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換可得b+c=4sin(B+z),再利用正弦函數的

O

性質求出周長范圍.

【詳解】(1)由加〃"，得(2c-Z?)cosA=4cos3，由正弦定理，得(2sinC—sinB)cosA=sinAcosfi,

即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinF=sin(A+B)=sinC,

而Ce(0,=),sinCw0,則cosA=—,

22

又Ae咱，A=；.

b_c_2_4x/3「r-

(2)由正弦定理得：氤二正王二國二亍，貝同=t@sinB,c=—sinC,

—33

2

b+c=(sinB+sinC)=~~~[sinB+sin(j+B)]=sinB+cosB)=4sin(B+《),

0<B<-

由銳角VABC,得,2，即3￡(工,彳)，B+,

o<a_762633

132

因此sin(B+3￡(^^,1],即4sin(5+二)e(2^5,4],Q+A+C=2+b+c￡(2\/^+2,6~|

626'」

所以VA3C周長的范圍為(2石+2,6]

16.(1)分布列見解析，數學期望為g

(2)p=0.25

【分析】(1)由題知X的所有取值為1,2,3,4,求出對應的概率，可得其分布列與數學

期望；

(2)利用全概率公式表示出回答被采納的概率，結合條件代入可得關于P的方程，解方程

即可.

【詳解】(1)由題可知X的所有取值為1,2,3,4,

3

P(X=1)=*c'c=51

70-14

尸(X=2)=KC2c32T303

C；707

答案第8頁，共12頁

P(X=3)=等C3cl=303

707

4

P(X=4)C=C*0=251

C；7014

故X的分布列為:

X1234

13_21

P

147714

13315

則E（X）=lx——+2x-+3x-+4x——=—.

1477142

（2）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A,記“輸入的問題有語法錯誤”為事件2,記“回

答被采納”為事件C,

由已知得，P(C)=0.7,P(C|A)=0.8,P(C|B)=0.4,P(B)=p,P(4)=l—p,

所以由全概率公式得P（C）=P（A）P（CIA）+P（B）P（C|B）=0.8（1-夕）+0.4〃=0.7,

解得p=0.25.

17.(1)1

⑵后

【分析】（1）由題意有sinZAMB=smZAMC,在和.AMC中，利用正

sin/BAM

弦定理，可求的值;

sinZMAC

（2）由sin/B4C=sin（/BW+NMAC）求出sin/BAC的值，再利用面積公式

AC-sinZBAC^^IPRT.

【詳解】（1）銳角VABC中，M是BC的中點，且AB=4,AC=2,如圖所示:

BM=MC,sinZAMB=sin(兀一ZAMC)=sinZAMC,

ABBM

在，ABM中，由正弦定理，有

sinZAMBsinZBAM

答案第9頁，共12頁

AC

在AMC中，由正弦定理，有

sinZAMCsinZMAC

BMsinZAMB

,sinZBAMAHAC1

則________________￡1P________=______—

sinZAMCMCsinNAMCAB2

AC

(2)銳角VABC中，由cos/MAC=逅，AsinZMAC=—,^sinZBAM,

448

cos/BAM=-----,

8

/.sinABAC=sin(ZBAM+ZMAC)=sinZBAMcosZMAC+cosZBAMsinZMAC

A/10V63A/6>/10x/15

=---------X----------1------------X----------=----------,

84844

所以VABC的面積為SABC=工48鬃。sin?BAC!創(chuàng)42?—回

224

18.(1)0

(2)證明見解析，h(x)的對稱中心為(2,4)

【分析】(1)求導，利用導數判斷g(x)的單調性，結合單調性分析極值點即可;

(2)由題意可得〃(x)=x(x-3)2+lnF+2,結合對稱中心的定義分析證明.

J-X

【詳解】(1)令F>。，即(x—l)(3r)>0,解得l<x<3,

J-X

若〃=_],則,g(x)=ln—~--x+2=ln(x-l)-ln(3-x)-x+2,xG(1,3),

則g'⑺號+」=(元-2y+l

(x-l)(3-x)

因為xe(l,3),則g[x)>0,可知g(x)在x?l,3)上單調遞增，

所以g⑴在xe(1,3)無極值點，即g(x)的極值點個數為0.

(2)若。=0,則/z(x)=x(無一3r+ln匯+2,

3-x

可知h(x)的定義域為(1,3),且刈尤)=V-6/+9x+Inp+2,

J-X

3—y