函數(shù)的綜合應用（學生版）-2025高考數(shù)學一輪復習講義

第18講函數(shù)的綜合應用

知識梳理

1、高考中考查函數(shù)的內(nèi)容主要是以綜合題的形式出現(xiàn)，通常是函數(shù)與數(shù)列的綜合、函

數(shù)與不等式的綜合、函數(shù)與導數(shù)的綜合及函數(shù)的開放性試題和信息題，求解這些問題時，著

重掌握函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列、不等式、導數(shù)等知識點融會貫通，從而找到解題

的突破口，要求掌握二次函數(shù)圖像、最值和根的分布等基本解法；掌握函數(shù)圖像的各種變換

形式（如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換等）；了解反函數(shù)的概念與性質(zhì)；掌握

指數(shù)、對數(shù)式大小比較的常見方法；掌握指數(shù)、對數(shù)方程和不等式的解法；掌握導數(shù)的定義、

求導公式與求導法則、復合函數(shù)求導法則及導數(shù)的定義、求導公式與求導法則、復合函數(shù)求

導法則及導數(shù)的幾何意義，特別是應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等.

2、函數(shù)=的圖象與性質(zhì)

Z=1

分奇、偶兩種情況考慮：

比如圖（1）函數(shù)y（x）=W+|x-[+|x-3|,圖（2）函數(shù)

g（x）=|x|+|x-l|+|x-2|+|.x+1|

⑴當“為奇數(shù)時，函數(shù)=的圖象是一個“v”型，且在“最中間的點”取

Z=1

最小值；

（2）當〃為偶數(shù)時，函數(shù)=的圖象是一個平底型，且在“最中間水平線

Z=1

段”取最小值;

若4。eN*）為等差數(shù)列的項時，奇數(shù)的圖象關于直線x=a中對稱，偶數(shù)的圖象關于直

線尤左中+x右中對稱.

2

3、若〃尤）為［八“］上的連續(xù)單峰函數(shù),且/（相）=為極值點,則當匕6變化時，

g（x）=\f（x）-kx-b\的最大值的最小值為>（"）-〃％）|,當且僅當4=0/=〃“）+〃/）

22

時取得.

必考題型全歸納

題型一：函數(shù)與數(shù)列的綜合

，

例1.（2024?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛%｝,滿足再=1,2xn+l=ln（l+x?）（neN）,

設數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",則以下結(jié)論正確的是（）

x

A.%〃+i>nB.xn-2xn+l<xnxn+1

c.2A7>X“M+1D.SII+5>2

例2.（2024.全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（x）=/-x-l,數(shù)列例"｝的前"項和為

S”,且滿足q向=/（%）,則下列有關數(shù)列｛外,｝的敘述正確的是（）

A.%<|4〃2-3%|B.。7，，4C.%o〉lD.Si。?！?6

例3.（2024?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（%）="—1—1,數(shù)列｛氏｝的前〃項和為

S",且滿足??+1=/（??）,則下列有關數(shù)列｛七｝的敘述正確的是（）

A.%>—B.〃6<%C.Si。。<26D.4>14%—3%|

變式L（2024?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛?｝滿足：冊>0,且

^=3<1-2a?+1（neN*）,下列說法正確的是（）

n-\

A.若%,貝II>an+\B.若4=2,則21+

Daaa

C.a1+a5<2a3-[%+2-?+l\--\n+\~?\

變式2.（2024.陜西渭南?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)/（x）=sinx+lnx,將〃尤）的所有極值

點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列｛%｝,對于V〃eN+，則下列說法中正確的是（）

A.〃兀＜乙＜（幾+1）兀

C.數(shù)列--但"是遞增數(shù)列D.+兀

變式3.（2024?上海楊浦?高三復旦附中?？奸_學考試）無窮數(shù)列｛%｝滿足：

。＜%＜1,且對任意的正整數(shù)“，均有e"”"=（3-a,）e"",則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛4｝為嚴格減數(shù)列B.存在正整數(shù)"，使得％＜。

，、4

C.數(shù)列｛4｝中存在某一項為最大項D.存在正整數(shù)小使得

題型二：函數(shù)與不等式的綜合

例4.（2024?全國?高三專題練習）關于X的不等式（犬-1）9"9-29999.尤99996+1,解集為

例5.（2024?全國?高三專題練習）意大利數(shù)學家斐波那契（U75年~1250年）以兔子繁

殖數(shù)量為例，引人數(shù)列：11,2,3,5,8,,該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，

即%+2=4+1+%?N*）,故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項公式為

1+6

設〃是不等式iOg2[（1+75r-（i-百）”]＞I?+5的正整數(shù)

2

解，則"的最小值為.

例6.（2。24?遼寧?高三校考階段練習）已知函數(shù)〃上"+…，若不等式

/(川zx+D+fa”-2*)與對任意的尤>0恒成立，則實數(shù)加的最小值為.

變式4.(2024.全國?模擬預測)己知函數(shù)/(尤)是定義域為R的函數(shù)，

/(2+x)+/(-x)=0,對任意",x2e[l,+<?)<x2),均有/(xj-已知a,b

(a*6)為關于x的方程d-2x+產(chǎn)-3=0的兩個解，則關于f的不等式

〃。)+/修)+/⑺>0的解集為()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

題型三：函數(shù)中的創(chuàng)新題

例7.(2024.重慶渝中.高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習)帕德近似是法國數(shù)學家亨

利?帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)小，"，函數(shù)Ax)在

元=0處的刖，川階帕德近似定義為：7?(幻=?+產(chǎn)+,且滿足：/(0)=7?(0),

1+4％++bnx

尸(O)=R(O),/〃(0)=H〃(0),/⑴+〃)(0)=鄧"+〃)(0).已知/(x)=ln(%+D在X=0處的

口，1]階帕德近似為R(x)=*.注：

1+bx

小)=[f\x)],f"\x)=[rw]\/(4)w=[:"(切’J⑸a)=卜⑷⑴],

(1)求實數(shù)。，b的值；

(2)求證：(x+b)/]￡|>l；

(3)求不等式[1+!]<6<[1+]「2的解集，其中e=2.71828.

例8.(2024?上海黃浦?上海市敬業(yè)中學?？既?定義：如果函數(shù)>=/(力和

y=g(x)的圖像上分別存在點M和N關于％軸對稱，則稱函數(shù)y=/(x)和y=g(x)具有c

關系.

(1)判斷函數(shù)/(X)=log2(8尤2)和g⑺=logp是否具有C關系；

(2)若函數(shù)f(x)=小心1和g(x)=-x-l不具有C關系，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)=和8(力="屈11武相＜0)在區(qū)間(0,兀)上具有C關系，求實數(shù)機的

取值范圍.

例9.(2024?重慶.高三統(tǒng)考階段練習)懸索橋(如圖)的外觀大漂亮，懸索的形狀是

CXx\

平面幾何中的懸鏈線.1691年萊布尼茲和伯努利推導出某鏈線的方程為y=；,其

)

中。為參數(shù).當時，該方程就是雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=g;，類似的我們有雙曲正

弦函數(shù)sinh(x)=e-e.

⑴從下列三個結(jié)論中選擇一個進行證明，并求函數(shù)丁=8$11(2力+511*(%)的最小值;

①[cosh(%)]2-[sinh(%)丁=1.

②sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)；

③cosh(2x)=[cosh(x)]2+[sinh(%)丁.

TC

(2)求證：VxG—%'Icosh(cosx)>sinh(sinx).

變式5.（2024.廣東深圳.高三深圳市南山區(qū)華僑城中學?？茧A段練習）布勞威爾不動

點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲?布勞威爾，簡

單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)實函數(shù)/（X）,存在一個點七,使得/（飛）=不，那么

我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，而稱％為該函數(shù)的一個不動點.現(xiàn)新定義：若毛滿足

/（x0）=-x0,則稱％為〃尤）的次不動點.

（1）判斷函數(shù)/■（勾=爐-2是否是“不動點”函數(shù)，若是，求出其不動點；若不是，請說

明理由

（2）已知函數(shù)g（x）=；x+l,若。是g（x）的次不動點，求實數(shù)。的值：

（3）若函數(shù)Mx）=log工（4'一62'）在[0』上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數(shù)b

2

的取值范圍.

題型四：最大值的最小值問題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）

例10.（2024?浙江紹興?高三浙江省柯橋中學校考開學考試）已知函數(shù)

/（x）=|x3-6x2+at+Z?|,對于任意的實數(shù)a,b,總存在％e[0,3],使得/小絲心成立,

則當初取最大值時，a+b=（）

A.7B.4C.-4D.-7

4

例11.（2024.湖北.高三校聯(lián)考階段練習）設函數(shù)/（尤）=x+--取-6,若對任意的實數(shù)

X

a,6,總存在x°e[l,3]使得/（飛）2機成立，則實數(shù)小的最大值為（）

8-4A/3

A.-1B.0D.1

-3~

,、4

例12.（2024?全國?高三專題練習）設函數(shù)-依，若對任意的正實數(shù)。，總存在

使得根，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.（-oo,0]B.（-81]C.（-oo,2]D.（-8,3]

Y—2

變式6.（2024.全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（%）=---ax-b,若對任意的實數(shù)小

x+2

b,總存在%e[T，2],使得成立，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.（一＜?」B.（一00，!C.|D.

變式7.（2024?高一課時練習）己知函數(shù)〃x）=辦+；+）（a,beR）,當無e1,2時，設

〃尤）的最大值為M（a,6）,則M（a,6）的最小值為（）

變式8.（2024.江西宜春?校聯(lián)考模擬預測）己知函數(shù)/（x）=lnx+：-ar-6（a,beR）,且

2

x0e[l,g],滿足lnx°+2=e-l,當尤仁|,x0時，設函數(shù)的最大值為M（a,b）,則

”（。力）的最小值為（）

3-ee-2

A.B-ID.

變式9.（2024.上海虹口.高三上海市復興高級中學?？计谥校┤鬭、beR,且對于

OVxVl時，不等式卜與L勻成立，則實數(shù)對（。3）=

題型五：倍值函數(shù)

例13.（2024.全國?高三專題練習）函數(shù)的定義域為。，若滿足：①〃x）在。內(nèi)是單

調(diào)函數(shù)；②存在［。乃仁。使得“X)在［。㈤上的值域為，則稱函數(shù)“X)為”成功函

數(shù)”.若函數(shù)〃x)=logJ/+2。(其中相>0,且加wl)是“成功函數(shù)”，則實數(shù)，的取值

范圍為()

114

A.(0,+oo)B.—co—C.

88,4j

例14.(2024?上海金山?高三上海市金山中學校考期末)設函數(shù)/(x)的定義域為。，若存在

閉區(qū)間使得/⑶函數(shù)滿足：(1),⑺在々上是單調(diào)函數(shù)；(2)/(x)在

上的值域是［2。,2可，則稱區(qū)間”,々是函數(shù)/⑶的“和諧區(qū)間”，下列結(jié)論錯誤的是

A.函數(shù)/。)=尤2(x20)存在“和諧區(qū)間

B.函數(shù)/(x)=e*(xeR)不存在“和諧區(qū)間”

4x

C.函數(shù)/(X)=F—(X20)存在“和諧區(qū)間”

,r+1

D.函數(shù)/（尤）=log°⑷一a>0,awl)不存在“和諧區(qū)間

例15.(2024?安徽?高三統(tǒng)考期末)函數(shù)了⑶的定義域為。，若存在閉區(qū)間勿U。，使得

函數(shù)Ax)滿足：①A?在團,句內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②/(x)在［a,切上的值域為［2a,2句，則稱區(qū)

間團,勿為y=的“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有

①/「，=v-(x^O)；②/(x)="(xeR)；

③/(*)=、，(xNO)；④/(x)?k>g.(<jr--X<>>0,a*1)

x*+18

A.①②③④B.①②④C.①③④D.①③

變式10.(2024?全國?高三專題練習)函數(shù)/'(x)的定義域為。，對給定的正數(shù)%,若存在

閉區(qū)間上句=。，使得函數(shù)〃尤)滿足：①"力在［a例內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②/⑺在［a肉上

的值域為［3,姑］,則稱區(qū)間目為>=/(》)的七級“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論錯誤的是()

A.函數(shù)=f(xeR)存在1級“理想?yún)^(qū)間”

B.函數(shù)〃x)=e，(xeR)不存在2級“理想?yún)^(qū)間

A丫

C.函數(shù)=——(xNO)存在3級“理想?yún)^(qū)間”

x2+l

(TT兀\

D.函數(shù)〃尤)=tanx,了"-萬，5)不存在4級“理想?yún)^(qū)間”

變式11.(2024?全國?高三專題練習)設函數(shù)的定義域為，若滿足條件：存在可口。,

使/'(尤)在上的值域為,則稱/(%)為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)/(x)=e*+r為“倍縮函

數(shù)”，則實數(shù)r的取值范圍是

l+ln21+ln2

A.—00,--------B.—oo,----------

22

l+ln2l+ln2

C.-------,+00D.-----,+co

22

題型六：函數(shù)不動點問題

例16.(2024?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預測)設函數(shù)/(無)=Je'+(e-l)x-a(aeR,e為自然

對數(shù)的底數(shù))，若曲線y=sinx上存在點(%,%)使/(%)=%成立，則。的取值范圍是

A.[l,2e—2]B.[ee,l]C.[l,e]D.[ee,2e—2]

,0X+1

例17.(2024?全國?高三專題練習)設函數(shù)〃x)=—+x-a(aeR),若曲線y=是

Xe+1

自然對數(shù)的底數(shù))上存在點(X。,%)使得/(/(%))=%,則a的取值范圍是

A.(-oo,0]B.(0,e]C.1一8,：D.[0,+oo)

例18.(2024?江蘇?高二專題練習)若存在一個實數(shù)乙使得/(>)=/成立，則稱f為函數(shù)

f(x)的一個不動點.設函數(shù)g(x)=e'+(l-五)x-a(aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù))，定義在R

上的連續(xù)函數(shù)“力滿足〃-x)+/a)=x2,且當尤40時，/⑺<乂若存在

x0ejx|/(x)+1>/(l-x)+xj,且%為函數(shù)g(x)的一個不動點，則實數(shù)。的取值范圍為

()

A-HB.孚C.鼻公D.佟,+：

變式12.(2024?全國?高三專題練習)設函數(shù)/(x)=Je*+x-a(“eR,e為自然對數(shù)的底

數(shù))，若曲線y=*0sinx+嚕cosx上存在點(%%)使得/(%)=%,則“的取值范圍是

A.[^-,1]B.[―,e+1]C.[Le+1]D.[l,e]

ee

變式13.(2024?全國?高三專題練習)設函數(shù)/(x)=e，+2尤-a(aeR),e為自然對數(shù)的

底數(shù)，若曲線尸$加上存在點(%,%),使得/(/(%))=%,則。的取值范圍是()

A.[-1+e*,l+e]B.[1,1+e]C.[e,e+1]D.[1,e]

題型七：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題

例19.(2024.江蘇蘇州.高三蘇州中學?？茧A段練習)將函數(shù)f(x)=ln(x+l)(xK))的圖象繞

坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角0(9G(0,a]),得到曲線C,若對于每一個旋轉(zhuǎn)角0,曲線C都

仍然是一個函數(shù)的圖象，則a的最大值為()

一兀一兀一兀

A.7iB.—C.—D.一

234

例20.(2024?上海長寧?高三上海市延安中學?？计谥?設。是含數(shù)1的有限實數(shù)集，/(%)

是定義在。上的函數(shù)，若/(尤)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)g后與原圖象重合，則在以下各項

6

中，/⑴的可能取值只能是()

A.73B.?C.也D.0

23

例21.(2024.全國?高三專題練習)雙曲線[-丁=1繞坐標原點。旋轉(zhuǎn)適當角度可以成為

函數(shù)/(x)的圖象，關于此函數(shù)/(x)有如下四個命題，其中真命題的個數(shù)為()

①f(x)是奇函數(shù)；

②"）的圖象過點[曰彳[或[等，-3

@f（x）的值域是（-00，-1'D3'+°°}

④函數(shù)y=/（x）—X有兩個零點.

A.4個B.3個C.2個D.1個

變式14.（2024?全國?高三專題練習）將函數(shù)y=2sin^1xe的圖像繞著原點逆時針

旋轉(zhuǎn)角a得到曲線T,當時都能使T成為某個函數(shù)的圖像，則。的最大值是

（）

題型八：函數(shù)的伸縮變換問題

例22.（2024.河北唐山?高三開灤第二中學校考期末）定義域為R的函數(shù)/（X）滿足

x2—x,xe(0,1)

/(x+2)=2/(x)-l,當xe(O,2]時，/(%)=1[同?若、?。，41時,

—,XG

J

產(chǎn)尤）＜3一恒成立，則實數(shù)r的取值范圍是（

A.[U]B.C.D.

例23.（2024?全國?高三專題練習）定義域為R的函數(shù)〃力滿足〃x+2）=2/（x）,當

x2-x,xe[0,1)

若當xe[*2）時，不等式/（x）4-機+g恒成

小,2]時,〃x)=<

,xe[l,2)

立，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.[2,3]B.[1,3]

C.[1,4]D.[2,4]

例24.（2024.全國.高三專題練習）已知定義域為H的函數(shù)滿足/（力=2〃]+2）,當

-X2+x+l,xG[0,1)

|3|

%?0,2)時,/(x)=<設“X）在[2n-2,In）上的最大值為??（neN*）則

，工￡口,2)

數(shù)列｛%｝的前〃項和S"的值為（）

。5-(r

變式15.（2024?甘肅?高三西北師大附中階段練習）定義域為R的函數(shù)/（尤）滿足

X2（0,1）

/（x+2）=2/（x）-2,當xe（O,2]時，