廣東省中山市2023-2024學年高一年級上冊期末統(tǒng)一考試數學試題

廣東省中山市2023-2024學年高一上學期期末統(tǒng)一考試數學試題

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.%>y是/>y2的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.將海?魚化成分數指數幕的形式是（）

71715

A.26B.2石C.23D.26

3.已知全集[/={1,2,3,4,5},4nB={2,4],4UB={1,2,3,4},則()

A.2"且2WBB.3"且3"C.4"且4￡BD.且5WB

4.已知函數/（、）=/—4%+5在［m，間上的值域是［1,10］,則九一TH的最大值是（）

A.3B.4C.6D.8

5.函數/（%）=log2（，一4汽+3）的單調遞增區(qū)間是（）

A.[2,+oo)B.[3,+oo)C.(3,+oo)D.(—oo,2]

6.已知數/（町=瓷7-2是奇函數，則實數。的值是（）

A.1B.-2C.4D.-4

7.已知a>b>c>d,則下列不等式一定成立的是（）

A.ac>bdB.aec>bed

C.ea-ec>eb-edD.aln(c—d)>bln(c—d)

8.如圖，在半徑為2cM的圓周上，一只紅螞蟻和一只黑螞蟻同時從點4（1,0）出發(fā)，按逆時針勻速爬行，設紅

螞蟻每秒爬過a弧度，黑螞蟻每秒爬過。弧度（0<a<6<兀），兩只螞蟻第2秒時均爬到第二象限，第15秒

時又都回到點A.若兩只螞蟻的爬行速度大小保持不變，紅螞蟻從點A順時針勻速爬行，黑螞蟻同時從點A逆

時針勻速爬行，則它們從出發(fā)后到第二次相遇時，黑螞蟻爬過的路程為（）cm

1

1215r15n137r

AA--g-7TnB.萬RC.彳兀D?—g—

二'多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列函數中，既是奇函數，又是7?上的增函數的是()

A.y=x—1B.y=x\x\C.y=x3D.y=x2

10.已知正數x,y滿足x+y=2,貝U(

A.同的最大值為1B./+y2的最大值為2

C.?+77的最小值為2D.,+：的最小值為景+企

11.給定函數/(久)=奇，貝I()

A./(%)的圖象關于原點對稱B./(%)的值域是［―1,1］

C./(%)在區(qū)間［1,+8)上是增函數D./(久)有三個零點

％1，+00),12,

12.設偶函數/(%)的定義域為(一8,0)U(0,+8),且滿足/(2)=0,對于任意x2e(0,久。久

都有二您叱受92<0(neN)成立則()

%2-勺I)

A.不等式“2X+D〉o的解集為己,+oo)U(-10)

B.不等式f(2：+l)>o的解集為+00)0(-1，1)

C.不等式卷室>°的解集為(—8，-2)U(2,+oo)

D.不等式背2>°的解集為(一2,0)U(0,2)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.計算：聯(lián)2+窕8=.

14.已知函數/(久)，給出三個性質：

①“無)定義域為(—8,+8)；②/(%)是奇函數；③fO)在(0,+8)上是減函數.

寫出一個同時滿足以上三個性質的函數解析式/(%)=.

15.依法納稅是每個公民應盡的義務，個人取得的所得應依照《中華人民共和國個人所得稅法》向國家繳納個

人所得稅(簡稱個稅).2019年1月1日起，個稅稅額根據應納稅所得額、稅率和速算扣除數確定，計算公式為:

2

個稅稅額=應納稅所得額X稅率一速算扣除數.應納稅所得額的計算公式為：應納稅所得額=綜合所得收入額一基

本減除費用一專項扣除一專項附加扣除一依法確定的其他扣除.其中，“基本減除費用”（免征額）為每年60000

元.稅率與速算扣除數見下表.

級數全年應納稅所得額所在區(qū)間稅率（％）速算扣除數

1[0,36000]30

2(36000,144000]102520

3(144000,300000]2016920

4(300000,420000]2531920

5(420000,660000]3052920

6(660000,960000]3585920

7(960000,+oo)45181920

假定小王繳納的基本養(yǎng)老保險、基本醫(yī)療保險、失業(yè)保險等社會保險費和住房公積金占綜合所得收入額的比

例分別是8%,2%,1%,9%,專項附加扣除是52800元，依法確定其他扣除是4560元，如果小王全年的綜合

所得為249600元，那么他全年應繳納綜合所得個稅為元.

16.已知函數/（%）=X+芋一10,%G（0,+co）,則/（久）的零點之和為；若方程1/（久）|=巾（巾＞0）

有四個不相等的實根%1，%2＞久3，則久1+%2+%3+%4=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.已知tana=/求下列各式的值.

（j）sina—2cosa

2sina—cosa'

(2)sinacosa+2.

3

18.若集合A={x\x2+5x—6=0],B={x\x2+2(m+1)%+m2—3=0}

(1)若77i=0,寫出ZUB的子集個數：

(2)若ACB=B,求實數冽的取值范圍.

19.函數的性質通常指函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、零點等.已知〃無)=力

(1)研究并證明函數y=外町的性質;

(2)根據函數y=/(%)的性質，畫出函數y=/(久)的大致圖象.

20.對于函數〃尢)，若在定義域內存在實數x,滿足K)=〃￡)，則稱人龍)為“局部偶函數”，

(1)已知函數/(久)=必+久+i,試判斷/(%)是否為“局部偶函數”，并說明理由；

(2)若/?(無)=%[4，+(2加—1)-2,+3]為定義在區(qū)間(—8,0)U(0,+8)上的“局部偶函數”，求實數小

的取值范圍.

21.已知函數/(%)的定義域為R,值域為(0,+oo),且對任意加，nER,都有/(zn+n)=/(m)/(n),(p(x)=

f(x)T

7WT-

(i)求y(o)的值，并證明奴久)為奇函數；

(2)當%>0時，/(x)>1,且63)=4,證明f(%)為滅上的增函數，并解不等式0(久)>居

22.已知函數g(x)=sin?%-cos%+a,xE兀)有兩個零點.

(1)求實數Q的取值范圍.

(2)設%1，%2是9(%)的兩個零點，證明：％1+久2<當

5

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：當工=0,y=—2時，滿足%>y,但是/=0<產=4,故充分性不成立；

當％=-3,y=1時，滿足/=9>y2=1,但是x<y,故必要性不成立，

所以為>y是/>y2的既不充分也不必要條件.

故答案為：D.

【分析】根據充分必要條件的概念取特殊值即可判斷結論.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：^4'V2=4?X2^=(22)^X2*=2V=2幺

故答案為：A.

【分析】根據分數指數幕的意義及運算化簡即可.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：因為4CB={2,4},則2GB,2EA,30/lnB,故A、B錯誤；

因為4nB={2,4},4EAOB,故C錯誤；

因為4UB={1,2,3,4},所以504UB,故D正確.

故答案為：D.

【分析】根據集合交集和并集中的元素進行推理，結合選項判斷即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：函數/(無)=/—4久+5=(￡―2)2+1,開口向上，對稱軸為久=2,當％=2時，函數

fMmin=/(I)=1，

當對稱軸兩邊距離越大時，區(qū)間的長度越大，故令f(x)=10,解得％=-1或%=5,

所以當n=5,TH=—1時，(n—m)max=6.

故答案為：C.

【分析】根據二次函數圖象特點，要使得區(qū)間長度最大，則對稱軸兩邊的距離越大，區(qū)間長度越大求解即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：函數/'(無)=，。。2(/—4無+3)是由y=/og23t=/—4無+3復合而成，

由于函數y=log2t在定義域內單調遞增，t=一4%+3在(2,+8)上單調遞增，

2

故由復合函數的單調性可知：f⑸=log2(x-4x+3)的單調遞增區(qū)間需要滿足產一>0>解得x>3,

6

故f(x)=2。92(/—4x+3)的單調區(qū)間為(3,+00).

故答案為：C.

【分析】根據對數型復合函數的單調性求解即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：要使函數外乃=備—2有意義，則1一/70,解得尢00,所以函數f(x)的定義域

是｛%|%W0),

因為函數/(久)是奇函數，所以/(%)+/(—久)=0,即缶—2+廠4r—2=昌+名—4

a—aexa(l-ex)

—4=a—4=解得a=4.

l-exl-ex0,

故答案為：C.

【分析】根據奇函數得定義列式求解即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：A、當a=9>b=3>c=—1>d=—3時，ac=bd,故A錯誤；

B、當a——1>b——2>c——3>d=—4,止匕時ae，——』——<be。——故B錯誤;

C、因為y=e8單調遞增，且a>b〉c>d,所以6?！礱〉0,ec>ed>0>所以e?！鰁?！奠?e%故C正確;

D、若c=d+l,則ln(c—d)=0,此時aln(c-d)=bln(c—d)=0,故D錯誤.

故答案為：C.

【分析】根據已知條件結合不等式性質及指對數的性質比較各式的大小關系即可.

8.【答案】A

(0<a<p<n

【解析】【解答】由題意可得：七<2"26<?！獾门c<a<6(去

則竽<15a<150〈苧，由于第15秒時又都回到點A,

所以15a=4兀，15/3-6TT,所以a=罌，。=罌，

設t秒后兩者第二次相遇，則(罌+票)t=27TX2,解得t=6秒，故黑螞蟻爬過的路程為

/7tx1=罌x6=

故答案為：A.

【分析】先求得a,B，再列方程來求解借即可.

9.【答案】B,C

【解析】【解答】解：A、函數y=久一1的定義域為R,7(-%)=-%-1所以/(久)=久一1不是奇

函數，故A不符合；

7

D、函數y=/的定義域為R,滿足/（一x）=/（久），所以函數y=/是偶函數，故D不符合;

%，fx>0

:一，-%)=-x\-x\=-x\x\-g{x},所以y=尤因是奇函數，且在R

{一久z,%<o

上是增函數，故B正確；

C、函數了=爐定義域為R,且滿足/（-久）=-/（久），在R上是增函數，故C正確.

故答案為：BC.

【分析】根據幕函數，可以直接判斷CD即可；利用奇函數和偶函數的定義判斷A；B選項先化為分段函數,

再利用函數的奇偶性定義判斷即可.

10.【答案】A,D

【解析】【解答】解：A、因為尤＞0,y＞0,且滿足K+y=2,由基本不等式得2=%+y22d區(qū)

解得回W1,當且僅當x=y=1時等號成立，故A正確;

由產要之燮2恒之擊，可得『2產？/=1，故/+產？2,

B、

當且僅當久=y=l時等號成立，故/+產的最小值為2,故B錯誤;

C、由J乃羅/中?同力擊可得:厚之竺魚，解得依+近＜2,當且僅當x=y=l時等號成立,

所以G+近的最大值為2,故C錯誤;

Dy>O

13

+-+

y-2-V2

當且僅當2=今即久=4一2金，y=2魚一2時等號成立，故D正確.

九y

故答案為：AD.

【分析】直接利用基本不等式求出同41即可判斷A；利用戶史2字2同N章即可判斷BC；利用

%'y

基本不等式“1”的妙用求出最小值即可判斷D.

11.【答案】A,B

【解析H解答】解：A、函數八久）的定義域為R,定義域關于原點對稱，且滿足/（-久）=奇擊=-磊=-

/（%）,所以函數了（%）是奇函數，所以fO）的圖像關于原點對稱，故A正確；

B、當x=0時，f（%）=0,當久＞0時，/（%）=口，又無+人工2,所以0＜/（%）＜1,因為函數/（久）為奇

X-T-X

函數，

所以函數/'（久）的值域為[-1,1],故B正確；

8

C、由B選項，因為t=K+J在［1,+8）單調遞增，所以函數/（久）在區(qū)間［1,+8）上是減函數，故C錯誤；

D、令/（久）=0,即若^=0,解得x=0,所以函數/（%）只有一個零點，故D錯誤.

故答案為：AB.

【分析】A選項，先求函數得定義域，再利用奇偶性得定義判斷即可；當尢=0時，/（%）=0,當％>0時，/（無）=

211

口，由久+工22求得0</（%）<1,結合函數/（久）為奇函數即可求函數得值域判斷B；根據B選項由t=x+工

%十五1%

在［1,+8）單調遞增可判斷C；令/（久）=0,解方程求零點即可判斷D.

12.【答案】A,C

【解析】【解答】解：當九=0時，4叭々I沙（久2）<°=〃嗎）一/（久2）<0,

x2-xlx2~xl

即二，；2）>0,故/（無）在（0,+8）上單調遞增，

因為函數/■（>）為定義在（一8,0）U（0,+8）上的偶函數，所以fO）在（一8,0）上單調遞減,

又/'（2）=0,故人—2）=0,

當%>0時，"2：+1）>°=f業(yè)+1）〉0=/（2）,所以2久+1>2,解得%>1,

當％<0時，/爺山>°=/（2久+1）<0，it匕時2%+1。0,即無力一小

當—?<x<0時，2久+1>0,由于/（久）在（0,+8）上單調遞增，

故f(2久+1)<0=/(2),故2%+1<2,解得久<去故一★<久<0；

當％時，2%+1<0,由于/（久）在（—8,0）上單調遞減,

故/(2久+1)<0=/(—2),故2久+1>-2,解得%>—|,故一|<X<—去

上，—2<久<一,或一］<%<0或x>2"?

故不等式八2：+D>0的解集為+oo）u（-|,0）,故A正確，B錯誤;

"鏟"巧）一呼叭“2）〈°中,令—io"得反"止駕3<0,

%2-勺I7%2一%1

/（x1）_/（x2）

則**二/茅=零皆需等”所以如二淄在?

設。（乃=春金，+00)

上單調遞增,

因為/（%）為（一8,0）U（0,+8）上的偶函數,

故g（%）=、甘2定義域為（-8,o）u（0,+oo）,且g（一%）=（，［產>=令）2）4=。（%），所以g（X）=［程4

為偶函數,

9

因為/(2)=0,所以g(2)=0,則等價于g(x)>03g(|x|)>g(2),

故印〉2,解得x>2或久<—2,故C正確，D錯誤.

故答案為：AC.

【分析】令n=0,得到/(久)在(0,+8)上單調遞增，結合/(久)的單調性和奇偶性，分類討論解不等式，求出

解集，即可判斷AB；令。(久)=［第，推出g(久)的單調性和奇偶性，結合g(2)=0,解不等式，求出解集即

可判斷CD.

13.【答案】2

【解析】【解答】解：lg52+|lg8=lg25+lg(23)3=lg25+lg4=IglOO=2-

故答案為：2.

【分析】利用對數運算性質求解即可.

14.【答案】-x(答案不唯一)

【解析】【解答】解：因為函數f(x)時定義在(-8,+8)上的奇函數，且在(0,+8)上為減函數，所以函數

可以為f(x)=-X.

故答案為：-X(答案不唯一).

【分析】根據函數滿足的條件，寫出符合條件的一個函數解析式即可.

15.【答案】5712

【解析】【解答】解：由題意可知：專項扣除總額為：249600X(8%+2%+1%+9%)=49920元，

應納稅所得額為：249600-60000-52800-4560-49920=82320元，

個稅稅額為：82320X10%—2520=5712元.

故答案為：5712.

【分析】先根據已知求出專項扣除總額，再求應納稅所得額，即可求得全年應繳納綜合所得個稅.

16.【答案】10；20

【解析】【解答】解：令/■(￡)=%+竽-10=0,即/一10久+16=0,解得％=2或x=8,

故函數f(x)在(0,+8)內的零點為2和8,即f(X)的零點之和為10；

方程=血(血>。)有四個不相等的實數根，即y=|/(工)|，￡6(0,+8)與y=zn的四個交點的橫坐標為

%2，%3，%4，

方程|/(%)|=>0)即|%+竽-10|=TH,%e(0,+00),即|—一10%+16|=771K,

當/(%)>0即/—10%+16>0時，方程可轉化為%2—10%+16=mxBP%2—(10+m)x+16=0；

當%2—10%+16<0時，方程可轉化為/—10%+16=—mx即％2—(10—m)x+16=0；

10

故要有四個實數根，則兩種情況都有兩個不同的實數根,

不妨設％1，%4為/一(10+血)久+16=0的兩根，則久1+久4=1。+M，

則無2，尤3為/一(10-瓶)尢+16=0的兩根，則％2+%3=10-血，

則+x2+x3+X4=10—m+10+m=20.

故答案為：10；20.

【分析】解方程-工)=%+零-10=0,即可求得函數y=f(X>的零點，從而可得函數零點之和；將方程

1/(%)|=m(m>0)四個不相等的實數根問題轉化為利用二次方程根與系數的關系，可得結論.

17.【答案】⑴解：原式=磊等=5;

sinacosa,otana_23

(2)解:原式=初前為西+21+tcm2a10,

【解析】【分析】(1)根據同角三角函數基本關系式，化弦為切代值求解即可;

(2)利用“1的代換”，結合同角三角函數基本關系式求解即可.

18.【答案】(1)解：力={久|/+5久-6=0}={—6,1},

若小=0,則B={x|/+2%—3=0}={—3,1},止匕時力UB={-6,1,一3},

AUB有3個元素，故子集個數為23個，即8個.

(2)解：因為2CB=B,所以BU4

①若B中沒有元素即B=0,則A=4(m+I)2—4(m2—3)=8m+16<0,

此時m<-2；

②若B中只有一個元素，則A=0,此時TH=-2.

則B={x\x2-2x+1=0]={1},此時BQA.

③若B中有兩個元素，則A〉。，此時小〉—2.

因為4中也有兩個元素，且BU4,則必有B=4={—6,1},

由韋達定理得一6X1=小2一3,則血2=一3,矛盾，故舍去.

綜上所述，當mW-2時，BQA.

【解析】【分析】(1)解一元二次方程求得集合4B,再利用集合的并集運算求解4UB,從而得4UB子集的

個數；

(2)由4nB=B,得到BU4分B=0,B中只有一個元素和B中有兩個元素討論求解.

19.【答案】(1)解：①函數/(%)的定義域為(—8,一2)U(—2,2)U(2,+8),

11

②因為定義域關于原點對稱，又八一吟=4—(,)2=旨=f(x)，所以/(%)是偶函數；

③任?。，%2e[2,+oo),且<%2,

11

11_年一會_(勺一%2)(%1+刀2)

則/(^l)-/(%2)=

22222；

4—X124—x2(4—X1)(4—X2)(4—X1)(4—%2)

因為久1，久2C[2,+oo),所以(4-xj)(4一久|)>0,xt+x2>0,

又因為久1<%2，所以打一支2<0,所以/Q1)-/(%2)<。，即/(%1)</(久2)，

所以函數f。)在區(qū)間(2,+8)上單調遞增,

同理可得f(x)在區(qū)間(0,2)上單調遞增,

又八支)是偶函數，則人支)在(―8,—2)和(—2,0]上單調遞減;

④令t=4一則te(—8,o)u(0,4],所以/'(久)=*e(—8,0)u[^,+oo)；

⑤函數沒有零點；

(2)解：根據函數的性質，作出其圖象如圖所示：

【解析】【分析】(1)先求函數的定義域；利用奇偶性和單調性的定義，判斷函數的奇偶性以及單調性；再求函

數的值域、即可得函數的零點個數；

(2)根據函數的性質畫出函數y=f(肛的大致圖象即可.

20.【答案】(1)解：f(-x)=-x3-%+1,令/(―%)=fO),得爐+久=0,解得％=0,

存在久=0滿足/(一%)=/(%),故f(%)是“局部偶函數”；

(2)解：由/(—久)=/(%),得4工+4f+(2m-1)(2,+2-x)+6=0

令t=2，+2f(t>2),得將+(2血—l)t+4=0,則1—2zn=t+彼te(2,+8)上有解

t+y>2/t-y=4,1—2m>4>即？《<-■!，故m的取值范圍為(—8,—

【解析】【分析】(1)根據局部偶函數得定義，解方程〃-%)=/(%)得出%=0,從而得出f(x)是“局部偶函數”；

(2)由/(—久)=/(久)得出甘+4f+(2m-1)(2X+2T)+6=0,令1=2工+2-x(t>2),得出1—2m=t+}

在te(2,+8)上有解，求出的范圍，進而得出實數小的取值范圍.

21.【答案】(1)解：令巾=兀=0,得/(0)=/(0)/(0),

12

又函數/(久)的值域為(0,+00),/(0)=1.

1

/(0)=/(-%+%)=/(-%)/(%),/(-%)=憫，

1.1

,0(一%)==:;常=_W(%);???0(久)為奇函數

7W+i

(2)證明：任取久i<%2，久1，久2eR.

fQl)-/(%2)=f(久1)一f(久2-Xi+%1)=/(%1)-/(%2-(久1)=7■(久2-久1)1

???久1<%2，???%2一%1>0.

:當力>0時,f(x)>1,Jf(冷一%1)>1，???1—f(%2—%1)V。?

又函數f(x)的值域為(0,+00),

■-f(x1)[l-f(x2-x1)]<o,即/01)</(K2)，???/(%)為R上的增函數.

由W(x)>即?+；>居，化簡得/(x)>16.

?."(3)=