湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高三年級上冊第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

郴州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的)

1.設(shè)集合2={叱、—l)(x—6)<0},B={x|x2<9},則Zn5=()

A.(6,+8)B,(-3,1)C,(-3,6)D.(1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)集合解不等式求出取值范圍，再根據(jù)交集求公共部分求得結(jié)果.

【詳解】集合Z={N(xT)(x—6)<0},則幺={刈1<%<6},

集合B=x2<91,則8={x[-3<x<3},

??.4Cl3={%11<x<3},

故選：D.

2.設(shè)復(fù)數(shù)2=上二，則Z的共輾復(fù)數(shù)亍在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為()

1+1

A.(0,1)B.(1,0)

C.(-1,0)D.(0,-1)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的乘法及除法運算求出z,再求出其共輾復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo).

1-i(l-i)(l-i)_-2i

【詳解】依題意，“下(l+i)(l-i)=T

所以』=i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為(0,1).

故選：A

3.設(shè)xeR,向量U=B=(x,4),則x=-2是5工3的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

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【解析】

【分析】利用是否推出關(guān)系來判斷充要關(guān)系即可.

【詳解】當(dāng)x=—2時,向量1=(x,-1)=(—2,—1),K=(x,4)=(-2,4),

此時有限B=(—2,—1>(—2,4)=—2x(—2)—1x4=0,所以之工心故是充分條件;

當(dāng)時,方石=1),(羽4)=/―4=0,解得x=±2,故不是必要條件;

所以x=-2是的充分不必要條件，

故選：B.

3

4.已知sin。+cos/?=5，cosa=smf3,則sin(a-7?)=()

111

A.—B.—C.—E

248

【答案】c

【解析】

3

【分析】sina+cos￡=e與cose—sin，=0分別平方相加，得到答案.

【詳解】sina+cos/=一兩邊平方得sina+2sinacos〃+cos，二一①,

又cos。=sin/?,故8$。一5由/?=0,兩邊平方得

cos2a-2cosasin/?+sin2￡=0②,

9

式子①+②得，2+2(sinacos/?-cosasin

aii

故2sin(a_￡)=w_2=w，故sin(a—/?)=g.

故選：C

ex+e

5,函數(shù)/(x)=「的圖象大致為()

In+1-x

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【解析】

【分析】利用定義判斷函數(shù)奇偶性，并判斷在(0,+8)上函數(shù)值符號，即可得確定圖象.

【詳解】由解析式，知/(X)的定義域為(-8,0)11(0,+8),

/(-x)=e-+e-(-X)=_e+e_e+e_〃%)

ln(J(-x)2+1+x)In(jx?+1+x)InA/4-1-x)

所以/(%)為奇函數(shù)，

21,

當(dāng)x>0時，e'+eT〉0，0<Vx+l-x=不—<1,

7X+1+X

則In(Vx2+1-xj<0,

所以，在(0,+oo)卜J(x)<0,

結(jié)合各項函數(shù)圖象，知：C選項滿足要求

故選：C

x-2ax+a,x<Q

6.已知函數(shù)/(x)=11

在R上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

——ln(x+l),x>0

lex

A.(-oo,0]B.[-1,0]

c.[-1,1]D.[1,+℃)

【答案】D

【解析】

第3頁/共19頁

【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，需滿足每一段函數(shù)均單調(diào)遞減，且分段處左端點函數(shù)值大于等于右端點函數(shù)

值，從而得到不等式，求出答案.

【詳解】顯然y=4—ln（x+1）在xe[0,+s）上單調(diào)遞減,

x2-2ax+a,x<0

要想/(x)=<士-ln(x+1),x>0在R上單調(diào)遞減,

x=a>0

則八八1一，解得。"

0-0+a>--Ini

e

故選：D

7.已知正方體Z8CD—中，點、E、F滿足BE=2EB[，GF=2FDX,則平面AEF截正方體

48CD—481GA形成的截面圖形為（）

A.六邊形B.五邊形

C.四邊形D.三角形

【答案】B

【解析】

【分析】由題意，點E是線段8片上靠近用的三等分點，點尸是線段GA上靠近A的三等分點，作出

截面圖形可得結(jié)論.

【詳解】如圖，

因為點E、E滿足礪=2函，乎=2西,

點E是線段84上靠近用的三等分點,點F是線段G2上靠近2的三等分點，

延長/￡，44與交于點G,連接尸G交因G于X,

延長G￡42交于點K,連接NK交于/,連接IF,HE,

第4頁/共19頁

則五邊形ZE毋7為所求截面圖形.

故選：B.

8.已知/(%)=機(jī)6""—Inx(機(jī)20),若/(x)有兩個零點，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.[o,JB.

a3[D.]j

【答案】A

【解析】

【分析】由同構(gòu)的思想可知，若/(x)有兩個零點，則根泥“優(yōu)一》111》=0(%>0)有兩個解，即機(jī)x=lnx有

兩解，分離變量求導(dǎo)即可

【詳解】解：由題意可知，若/(x)有兩個零點，則/(x)=Me”—lnx=0有兩個解，

等價于mxemx-xlnx=0(x>0)有兩個解，

☆g(7)=/ln/,原式等價于g(mx)=g(lnx)有兩個解，

mx

即機(jī)x=lnx(x>0)Q=x有兩個大于零的解.

解機(jī)x=lnx,可得加=電二，令力(％)=皿1(%〉0),

XX

則l(x)=1—2X,當(dāng)0<x<e時，〃'(x)>0,當(dāng)％>e時，/(x)<0,

X

所以拉(久)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+e)上單調(diào)遞減，且力(e)=Lh(x)圖像如圖：

e

所以當(dāng)0<%<[時，加=.有兩個交點，即/(X)有兩個零點.

ex

【點睛】方法點睛：當(dāng)兩個函數(shù)可以構(gòu)造成相同的形式時，常用同構(gòu)的思想，構(gòu)造函數(shù)，將兩個函數(shù)看成

自變量不同時的同一函數(shù)，若函數(shù)有交點，轉(zhuǎn)化為自變量有交點求解.

二、多項選擇題(本題共3小題，每小6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

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目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.下列命題中正確的是()

A.已知隨機(jī)變量X?則￡(2X+1)=4

B.己知隨機(jī)變量X?N。,；)/(x<0)=/(x>2)

C.數(shù)據(jù)1,3,4,5,7,8,10的第80百分位數(shù)是8

D.樣本甲中有機(jī)件樣品，其方差為s；,樣本乙中有〃件樣品，其方差為s；,則由甲乙組成的總體樣本的

mn

萬七節(jié)差班為------邑2+------

m+nm+n

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用二項分布的期望公式及期望性質(zhì)可判斷A,利用正態(tài)曲線的對稱性可判斷B,根據(jù)百分位數(shù)

的求法可判斷C,利用兩組數(shù)據(jù)方差的特征可判斷D.

所以￡（2X+1）=2￡（X）+1=4,故A正確;

對于B,因為隨機(jī)變量X?所以/(X<0)=/(X22),故B正確；

對于C,因為7x80%=5.6,所以數(shù)據(jù)1,3,4,5,7,8,10的第80百分位數(shù)是8,故C正確;

對于D,記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為京亍，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為石，

2

則甲乙組成的總體樣本的方差為-----^+（J-?）1+——.Js；+（歹一力）2

m+n

故D不正確.

故選：ABC.

10.已知曲線C:x2cos9+rsin9=l,。€(0,兀)，則下列說法正確的是()

A.若cosd=0,則曲線C表示兩條直線

B.若cos9>0,則曲線C是橢圓

C.若cos6<0,則曲線C是雙曲線

D.若cos9=—sin。，則曲線C的離心率為J5

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【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)cos。、sin。的取值范圍，將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由題意，曲線C:x2cos6+rsine=l,夕€（0,兀）,

若cosd=0,則sind=l,此時曲線C:y=±l,表示兩條直線，故A正確;

若cosd>0,又。€（0,兀），則sin6>0,

x2

+小=1

曲線C:x2cosd+y2sin9=l,可化為1

cos0sin0

當(dāng)cos6=sin。時,則曲線C表示圓,

當(dāng)cosOwsin。時，則曲線C表示橢圓，故B錯誤;

若cos6<0,又。e（0/）,貝iJsin9>0,則曲線C表示雙曲線，故C正確;

若cos。=-sin。，又。e（0,兀）,

所以cos9=-注,sine=^

22

22

則曲線C為-r=~1,

V2V2

則曲線。為等軸雙曲線，離心率為血，故D正確.

故選：ACD.

11.在正三棱臺/2。-?！晔校珹B=6,DE=2,且等腰梯形所在的側(cè)面與底面48。所成夾角的正切

值均為2,則下列結(jié)論正確的有（）

A.正三棱臺ABC-。￡下的高為4百

52

B.正三棱臺QE尸的體積為一

3

C.4。與平面43。所成角的正切值為1

D.正三棱臺/8C-OE尸外接球的表面積為"史

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】將正棱臺補全為一個正棱錐尸-ABC,結(jié)合正棱臺、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征求臺體的高、體積及側(cè)棱

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與底面夾角正切值，由確定棱臺外接球球心位置，建立等量關(guān)系求半徑，進(jìn)而求外接球表面積.

【詳解】將正棱臺補全為一個正棱錐尸-4BC,如下圖示，

其中a,分別為上下底面的中心，G,H為EF,BC的中點，

易知產(chǎn)〃，BC,AHLBC,則ZPHA為等腰梯形所在的側(cè)面與底面ABC所成夾角，

所以tan〃/^=^=2,而H0,=LAH=LX6X^=^，則。。2=2行，

2

HO2332

PO、DE12A/3r-2A/34X/3

根據(jù)棱臺上下底面相似，知谷=苗=1,即尸a=&士，故0。=2也-2=乂,A錯;

FU?Ab3333

由S'DEF=；x展=BS"=gx6?x?=9百,

所以%C.DEF=；X苧x（百+36+96）=5,B對；

+7UATJ尸。22A/3,

tanZPAH=---=-------廣=1

由圖知：NP/”為2。與平面48c所成角，則A°22X6X^3，C對；

32

2222

若。為正三棱臺ABC-DEF外接球的球心，則其半徑04=0D,即O.D+0x0=<92^+（92<9,

令。1。=》，則（^^）2+/=Q百了—工）？，可得X=2百，

44040160TT

所以。=—+12=，，故外接球表面積為4兀x，=-^,D對.

3333

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知S“為等差數(shù)列｛叫的前〃項和，若M+$7=24,則19a3+&=.

【答案】48

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【解析】

【分析】由等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)以及基本量的運算轉(zhuǎn)化S3+S7,再用表示19%+/1，借助于兩

者之間的關(guān)系計算結(jié)果.

【詳解】解：由數(shù)列前"項和的性質(zhì)可知：S3+5=34+7%=104+24d=24,即5%+12d=12,

貝1]19%+孫=20al+48d=4（54+12d）=48.

故答案為：48

13.從數(shù)字1,2,3,4中隨機(jī)取一個數(shù)字，第一次取到的數(shù)字為迫=1,2,3,4）,再從數(shù)字1,…，z,中隨

機(jī)取一個數(shù)字，則第二次取到數(shù)字為3的概率是.

7

【答案】-77

48

【解析】

【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.

【詳解】記事件4為“第一次取到數(shù)字『‘，7=123,4,

事件B為“第二次取到的數(shù)字為3”，

由題意知4，a，4,4是兩兩互斥的事件，且4U4U4U4=Q（樣本空間），

P（B）=P（B&uBA?UBA3uBAj=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3）+P（BA4）

=P（4）P（3|4）+P（4）尸（同4）+尸（4）P（同4）+尸（4）尸（M4）

=—1xOc+—1xcO+1—x1—+1—x—1=7——.

44434448

7

故答案為：——.

48

14.已知拋物線/=4%，從拋物線內(nèi)一點N（2,J5）發(fā)出平行于x軸的光線經(jīng)過推物線上點8反射后交拋

物線于點C,則V45C的面積為.

【答案】2也

4

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線求出交點橫坐標(biāo)，再結(jié)合面積公式與拋物線的焦點弦的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知，直線8c與x軸的交點為拋物線的焦點，

/=4x的焦點為（1,0）,故8c與x軸的交點橫坐標(biāo)為1,

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根據(jù)題意，畫出草圖，如下圖所示,

令＞=也得X=；,解得8g,、回，又8c過焦點,

所以8c方程為:

即y=_2VLc+2后，聯(lián)立］，=—20x+2夜，

J=4x

得2/—5X+2=0,解得X=2或X=；,所以C(2「2⑹

:.YABC的AB邊上的高為V2-(-2V2)=372,

13

又4B=2——=-,

1122

所以S/BC=-x-x3V2=-^>

"ABC224

故答案為：2y2.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，充分了解拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從而得解.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.若銳角V45C中，A、B、C所對的邊分別為。、b、c,且V48C的面積為言十/一

(1)求2；

（2）求￡的取值范圍.

a

71

【答案】（1）-

6

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rvs2⑸

(2)[LJ

【解析】

【分析】（1）由余弦定理結(jié)合三角形面積公式可得答案;

A

（2）由題可得〈色，后由正弦定理可得￡=--+—,后由正切函數(shù)單調(diào)性可得答案.

32a2tanA2

【小問1詳解】

由余弦定理，a2+c2-b2=2accosB.又三角形面積為S==acsin5,

2

^--2accosB--acsinB，又由題71，則；

a2+c2-b2)=tan5=5e15=/71

122326

【小問2詳解】

Sjr57r

由(1),4+C=——nC=——A,又V45C為銳角三角形,

66

八,兀

0<Z<—

2兀,兀

則=一<%<一.

△571,7132

0<-----A<—

62

由正弦定理：c

a

因y=tanx在xetanA>y/3=>0<------<—?

tan/3

則*1

--------------F

2tan/

16.如圖，在四面體4—8CZ）中,AD=BD=BAC=BC=2,ADLDB,ZCAD=30°f”是

的中點，P是2M的中點，點。在線段NC上，且20=3。。.

c

第11頁/共19頁

(1)證明：尸Q//平面BCD；

(2)求二面角Z—PC—四的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由線面垂直的判定定理可證平面BCD,即可建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐

標(biāo)運算代入計算，即可證明；

(2)由二面角的向量求法，代入計算，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

因為ZQ=G,ZC=2,且NC4D=30。，

22

由余弦定理可得。)2=AC+AD-2AC-AD-COS3Q°，

即C02=22+(G)——2x2Gx券=1，即CD=1,

所以4。2+0)2=2。2,即ZDLCQ,又4DLDB,

且8Z)cC￡>=。，平面53,所以40,平面BCD,

又BC=2,BD=C，則=8。2,即5。J_CQ,

以。為原點，分別以萬反反，方3為MN/軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則￡>(O,O,O),/(O,O,G),5(G,O,O),C(O,I,O),

(也、(

又“是的中點，則/，是瓦勿的中點，則尸一三，

400,0,j2P,0,‘

IJ〔24

第12頁供19頁

/、

,則q吟乎

且4。=3。。，則

7

/

所以網(wǎng)—,p0,因為4D,平面BCD,取方為平面BCD的一個法向量,

7

,因為尸。。4=0,所以尸QJLD4,

則尸。//平面BCD.

【小問2詳解】

(\C\c

V3373

由(1)可知尸z一_Z-，Un,,PC=--,1,--,PM=--,0,—,

2224424

4J77

設(shè)平面APC的法向量為訪=(x,y,z),

可?應(yīng)=—旦+”=0

242x=3z

則,解得,取z=2,則＞=2百,》=3,

定.而=_@x+v一3z=0J=Mz

2-4

則平面/PC的一個法向量為應(yīng)=0,26,2卜

設(shè)平面PCM的法向量為元=(a力,c),

PC-n=-—a+b--c=Q

24c=2。

則，解得廠,取。=1,則Z)=J§\c=2,

兩.萬=—@a+@c=0b=73a

24

則平面PCM的一個法向量為n=(1,V3,2),

設(shè)二面角Z-PC-M為。，顯然。為銳角,

同同_3+6+4_13_13血

則cos。=|cos(m,n^|二j

m\-\n\-725x78-1072-20'

所以二面角A-PC-M的余弦值為上也

20

17.已知橢圓￡的離心率為當(dāng)，橢圓￡上一點尸到左焦點的距離的最小值為8—1.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知直線/與橢圓E交于M、N兩點，且(WLON,求AOW面積的取值范圍.

第13頁/共19頁

尤2

【答案】（1）—+y2=l；

2

⑵浮

【解析】

【分析】（1）設(shè)出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程，由離心率及最小距離求出見“c即可.

（2）按直線是否垂直于坐標(biāo)軸分類，求出進(jìn)而表示出三角形面積，再借助二次函數(shù)求

出范圍即可.

【小問1詳解】

22

依題意，設(shè)橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為J+\=l（a〉b〉O）,半焦距為

ab

由橢圓￡的離心率為e,得9二五王=1,則〃=①力二°,

2。Q2

設(shè)尸（%,%）,則需a4/《a,橢圓E的左焦點尸（一c,0）,

a

）2=—Xg+fl>tZ—C>

則|PC|=yj（x+c）"+J/Q=Jxj+2cx+c~+Zr——XQ

00a

當(dāng)且僅當(dāng)X。=—。時取等號，因此a—c=a-1，解得b=c=l,a=J5,

所以橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

2-

【小問2詳解】

當(dāng)直線0"不垂直于坐標(biāo)軸時，直線的斜率存在且不為0,設(shè)其方程為>=依（左。0）,

；2+：2=2消去'得，=/，則=止1普

由<

直線。Nu-L,同理3卜"

V2-VF+1

k“2+2，

=^\OM\\ON\=k2+l________k2+l

則△OIW的面積S&OMN

42左2+1.“2+272（P+1）-1-7（^2+1）+1

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1

令二士僅。,1),

TpV+p^+2

，="

當(dāng)直線OM垂直于坐標(biāo)軸時，由對稱性，不妨令|。河|=挺,|ON|=1,5

\OMN-2

所以△〃/面積的取值范圍是g,*].

(1)當(dāng)。>0時，試討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個不相等的零點為，x2,

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：Xi+Xj>4.

【答案】(1)答案見解析；

(2)(i)---<?<0；(ii)證明見解析.

ln2-l

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)并討論參數(shù)。的范圍研究導(dǎo)數(shù)的符號，即可判斷單調(diào)性；

(2)(i)結(jié)合(1)的單調(diào)性判斷/(2)、/(a)的符號，排除a20,再在。<0的情況下研究/(x)的單調(diào)

性和最值，根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍；

(ii)由(i)有0<Xi<2</，分析法將問題化為證明/(4—X])</(芭)，進(jìn)而構(gòu)造A(x)=/(4-x)-/(x)

并利用導(dǎo)數(shù)研究其符號，即可證結(jié)論.

【小問1詳解】

由題設(shè)尸(x)=Mx—僅+2)=*-伍+2)x+2j(x—2)(x—㈤,且xe(o,+s),

XXX

當(dāng)0<。<2時,在(0,a)上/'(x)>0,在(a,2)上y(x)<0,在(2,+oo)上/'(x)>0,

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所以,在以山)、(2,+co)上/(x)單調(diào)遞增，在僅,2)上/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)a=2時，在(0,+◎上在(x)20恒成立,故/(x)在(0,+■)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a>2時，在(0,2)上/'(x)>0,在(2,a)上八x)<0,在(。,+功上/'(x)〉0,

所以，在(0,2)、3+8)上/(x)單調(diào)遞增，在(2,a)上/(x)單調(diào)遞減.

【小問2詳解】

1,

(i)由/(2)=2ata2+-x22-(a+2)x2=2(ata2-a-l)<0,

若a〉0時，f(tz)=2aIna+5-(a+2)a=—(4Ina-a-4),

44—Q

令y=41na—a-4且a>0,則y'=——1=------,

aa

所以0<a<4時y'〉0,。>4時了'<0,

故y=41na—a-4在(0,4)上遞增，在(4,+s)上遞減，則j^x=81n2—8<0,

所以/⑷<0,

結(jié)合(1)中/(x)的單調(diào)性，易知。>0不可能出現(xiàn)兩個不相等的零點，

又a=0時，/(x)=g/—2x在(0,+s)上只有一個零點，不滿足，

所以a<0,此時，在(0,2)上/'(x)<0,在(2,+⑹上/'(x)〉0,

故在(0,2)上/(x)單調(diào)遞減,在(2,+8)上/(x)單調(diào)遞增，則在(x)1nhi=/(2)=2(aln2-a-l),

又x趨向于0或負(fù)無窮時，/(x)趨向正無窮，只需g(a)=a(ln2-1)-1<0成立，

顯然g(a)在(-嗎0)上遞減，且當(dāng)時g(a)=0,

In2-1

所以，[二<。<0時g(a)<0恒成立，即所求范圍為[L<a<0；

ta2-lln2-l

(ii)由(i),在丁口一<。<0時，/(x)存在兩個不相等的零點七,》2，

不妨令0<X]<2<%,要證西+工2〉4,即證》2〉4-芭，而4-西€(2,4),

由(i)知：在(2,+co)上/(x)單調(diào)遞增，只需證/(4—xJ</(X2)=/(xJ=0,

由2alnX]+—x^-(a+2)苞=0,貝！Jx；—4玉=2a(再一21nxJ

令〃(x)=/(4-x)-/(x),且0<無<2,

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1919

貝!Jh(x)—2Qln(4-x)+—(4-x)-(a+2)(4-x)-2QInx--x+(a+2)x

=2aln(4一x)-2。Inx-4。+2ax,

所以，在以2)上〃'(x)=—2a??-2)一〉o,即以x)在(0,2)上遞增,

x(4-x)

所以〃(T)<〃(2)=2。1112-2。1112-4口+40=0,即/(4-xJ</(xj=/(%)成立，

所以X]+%〉4,得證.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，首先利用第一問及其零點個數(shù)將參數(shù)范圍限定在a<0,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研

究其最值求范圍，再令0<王<2<々，將問題轉(zhuǎn)化為證/(4-苞)</(王)是關(guān)鍵.

19.已知數(shù)列4,:4,…，%(〃N2,〃eN*)是正整數(shù)1,2,3,…/的一個全排列，若對每個左e{2,3,…〃}

都有E-久」=2或3,則稱4為〃數(shù)列

(1)列出所有H數(shù)列4的情形；

(2)寫出一個滿足巴丘=5左(左=1,2,…,405)的”數(shù)列4025的通項公式；

(3)在〃數(shù)列4o25中，記瓦=%(左=1，2,…,405),若數(shù)列{砧是公差為d的等差數(shù)列，求證：d=5

或d=-5.

【答案】(1)答案見解析；

(2)答案見解析；(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)討論為,由條件確定的，由此確定%，4，生，可得結(jié)論；

(2)由(1)確定4(125的前5項，構(gòu)造數(shù)列滿足%+5=%+5,證明此時滿足條件，由此確定4O25；

(3)由條件可得d=2x+3y(x,yeZ),(MM=(0,5),(l,4),(2,3),(3,2),(4,l),(5,0),

通過討論，證明結(jié)論.

【小問1詳解】

若%=1,則%=3或%=4,

當(dāng)4=1,%=3時，生=5，4=2，%