備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第1講-分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理兩個計數(shù)原理兩個計數(shù)原理目標策略過程方法總數(shù)分類加法計數(shù)原理完成一件事有eq\x(\s\up1(01))兩類不同的方案在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法N＝eq\x(\s\up1(02))m＋n種不同的方法分步乘法計數(shù)原理需要eq\x(\s\up1(03))兩個步驟做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法N＝eq\x(\s\up1(04))m×n種不同的方法兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點用來計算完成一件事的方法種數(shù)不同點分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的每一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立，不重不漏步步相依，缺一不可1．快遞員去某小區(qū)送快遞，該小區(qū)共有四個出入口，每個出入口均可進出，則該快遞員進出該小區(qū)的方案種數(shù)為()A．6 B．8C．16 D．14答案C解析方案種數(shù)為4×4＝16，故選C.2．某同學逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，決定至少買其中的一本，則購買方案有()A．3種 B．6種C．7種 D．9種答案C解析買一本，有3種方案；買兩本，有3種方案；買三本，有1種方案，因此共有方案3＋3＋1＝7(種)．故選C.3．將3張不同的奧運會門票分給10名同學中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是()A．2160 B．720C．240 D．120答案B解析分步來完成此事．第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法．共有10×9×8＝720種分法．故選B.4．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定的不同平面的個數(shù)為()A．40 B．16C．13 D．10答案C解析分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．故選C.5．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內不同的點的個數(shù)是()A．12 B．8C．6 D．4答案C解析第一象限內不同的點有2×2＝4個，第二象限內不同的點有1×2＝2個，故共有4＋2＝6個．故選C.6．某人有3個電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有________種．答案243解析每封郵件有3種不同的發(fā)送方式，故共有3×3×3×3×3＝243種不同的方法．考向一分類加法計數(shù)原理例1(1)如果一個三位正整數(shù)形如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()A．240 B．204C．729 D．920答案A解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，凸數(shù)為120與121，共2個．若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則凸數(shù)有2×3＝6(個)．若a2＝4，滿足條件的凸數(shù)有3×4＝12(個)，…，若a2＝9，滿足條件的凸數(shù)有8×9＝72(個)．所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)．故選A.(2)甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去A，B，C三個不同社區(qū)進行幫扶活動，每人只能去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一人．其中甲必須去A社區(qū)，乙不去B社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為()A．8 B．7C．6 D．5答案B解析根據(jù)題意，分兩種情況討論：①乙和甲一起去A社區(qū)，此時將丙、丁二人安排到B，C社區(qū)即可，有Aeq\o\al(2,2)＝2種情況；②乙不去A社區(qū)，則乙必須去C社區(qū)，若丙、丁都去B社區(qū)，有1種情況，若丙、丁中有1人去B社區(qū)，則先在丙、丁中選出1人，安排到B社區(qū)，剩下1人安排到A或C社區(qū)，有2×2＝4種情況，則不同的安排方法種數(shù)為2＋1＋4＝7.故選B.(3)現(xiàn)有2門不同的考試要安排在5天之內進行，每天最多進行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試安排方案種數(shù)為________.答案12解析若第一門安排在第一天或第五天，則第二門有3種安排方法，這時，共有Ceq\o\al(1,2)×3＝6種方法；若第一門安排在中間的3天中，則第二門有2種安排方法，這時，共有3×2＝6種方法．綜上可得，不同的考試安排方案共有6＋6＝12種．使用分類加法計數(shù)原理時應注意的三方面(1)各類方法之間相互獨立，每種方法都能完成這件事，且方法總數(shù)是各類方法數(shù)相加得到的．(2)分類時，首先要在問題的條件之下確定一個分類標準，然后在確定的分類標準下進行分類．(3)完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，且分別屬于不同類的方法都是不同的．1.某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有()A．4種 B．10種C．18種 D．20種答案B解析依題意，得可能剩余一本畫冊或一本集郵冊兩類情況．第一類，剩余的是一本畫冊，此時滿足題意的贈送方法共有4種；第二類，剩余的是一本集郵冊，此時滿足題意的贈送方法共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)．因此，滿足題意的贈送方法共有4＋6＝10種．故選B.2．滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．10答案B解析當a＝0時，關于x的方程為2x＋b＝0，此時有序數(shù)對(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均滿足要求；當a≠0時，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時滿足要求的有序數(shù)對為(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．綜上，滿足要求的有序數(shù)對共有13個．故選B.3．已知集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是()A．9 B．14C．15 D．21答案B解析因為P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P?Q，所以x∈{y，2}．所以當x＝2時，y＝3,4,5,6,7,8,9，共有7種情況；當x＝y(tǒng)時，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7種情況．故共有7＋7＝14種情況，即這樣的點的個數(shù)為14.故選B.考向二分步乘法計數(shù)原理例2(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．9答案B解析分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑．故選B.(2)某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個號中選出7個號為一注，每注2元．某人想從01至10中選3個連續(xù)的號，從11至20中選2個連續(xù)的號，從21至30中選1個號，從31至36中選1個號組成一注，若這個人把滿足這種特殊要求的號買全，要花()A．3360元 B．6720元C．4320元 D．8640元答案D解析從01至10中選3個連續(xù)的號共有8種選法；從11至20中選2個連續(xù)的號共有9種選法；從21至30中選1個號有10種選法；從31至36中選1個號有6種選法．由分步乘法計數(shù)原理，知共有8×9×10×6＝4320種選法，要花4320×2＝8640元．故選D.(3)現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人都可以值多天或不值班，但相鄰兩天不能同一個人值班，則此值班表共有________種不同的排法．答案1280解析完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法計數(shù)原理，分步進行：第一天有5種不同排法，第二天不能與第一天已排的人相同，所以有4種不同排法，依次類推，第三、四、五天都有4種不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280種不同的排法．利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．(2)將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎，也是關鍵，從計數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù)．4.兩對夫婦各帶一個小孩兒到上海迪士尼樂園游玩，購票后依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外兩個小孩要排在一起，則這6個人的入園順序的排法種數(shù)是()A．12 B．24C．36 D．48答案B解析首尾要排兩位爸爸有Aeq\o\al(2,2)＝2種排法；兩個小孩排在一起，再與兩位媽媽排列有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有2×12＝24種排法．故選B.5．從6個人中選4個人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市至少有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6個人中，甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有________種．答案240解析分步完成此事，第一步選1人去巴黎有4種方法，第二步選1人去倫敦有5種方法，第三步選1人去悉尼有4種方法，第四步選1人去莫斯科有3種方法，由分步乘法計數(shù)原理可知，共有4×5×4×3＝240種方案．6．從－1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個．(用數(shù)字作答)答案186解析一個二次函數(shù)對應著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理，知共有3×3×2＝18個不同的二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有3×2＝6個偶函數(shù)．多角度探究突破考向三兩個計數(shù)原理的綜合應用角度與數(shù)字有關的問題例3(1)用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．243 B．252C．261 D．279答案B解析由分步乘法計數(shù)原理知，用0,1，…，9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復數(shù)字)的個數(shù)為9×10×10＝900，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900－648＝252.故選B.(2)從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所產生的不同對數(shù)值的個數(shù)為()A．56 B．54C．53 D．52答案D解析在8個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字共可產生8×7＝56個對數(shù)值，在這56個對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，則滿足條件的對數(shù)值共有56－4＝52個．故選D.角度與幾何有關的問題例4(1)從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有()A．8種 B．12種C．16種 D．20種答案B解析正方體共有3組對面互不相鄰．與正方體的每組對面相鄰的面有4個，所以有3×4＝12(種)選法．故選B.(2)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24答案B解析長方體的6個表面構成的“平行線面組”的個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構成的“平行線面組”的個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.故選B.角度與涂色、種植有關的問題例5(1)用5種不同顏色給圖中A，B，C，D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，且相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．120 B．160C．180 D．240答案C解析根據(jù)題意，因為規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，D有3種涂法，C有3種涂法，所以共有5×4×3×3＝180種不同的涂色方法．故選C.(2)如圖，將一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有3種不同的花供選種，要求在同一塊中種一種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為()A．12 B．24C．18 D．6答案C解析四塊地種2種不同的花共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種不同的種植方法；四塊地種3種不同的花共有2Aeq\o\al(3,3)＝12種不同的種植方法，所以共有6＋12＝18種不同的種植方法．故選C.利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點(1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法．(2)分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律．(3)對于復雜問題，一般是先分類再分步．7.如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是()A．48 B．18C．24 D．36答案D解析分類討論：第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24個；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36個．故選D.8．用紅、黃、藍三種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是()A．12 B．24C．30 D．36答案C解析按順序涂色，第一個圓有3種選擇，第二個圓有2種選擇，若前三個圓用了3種顏色，則第三個圓有1種選擇，后三個圓也用了3種顏色，共有3×2×1×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝24(種)；若前三個圓用了2種顏色，則后三個圓也用了2種顏色，所以共有3×2＝6(種)．綜上可得不同的涂色方案的種數(shù)是24＋6＝30.故選C.9．甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是0,0,2,1,5，為遵守當?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為()A．5 B．24C．32 D．64答案D解析5日至9日，即5,6,7,8,9，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步安排奇數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有23＝8種；第二步安排偶數(shù)日出行分兩類：第一類，先選1天安排甲的車，另外一天安排其他車，有2×2＝4種；第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有22＝4種，共計4＋4＝8種．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)為8×8＝64.故選D.10．某社區(qū)新建了一個休閑小公園，幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域，如圖．社區(qū)準備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域，要求每個區(qū)域種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉顏色不能相同，則不同種植方法的種數(shù)為()A．96 B．114C．168 D．240答案C解析首先在a中種植，有4種不同方法，其次在b中種植，有3種不同方法，再次在c中種植，若c與b同色，則c有1種方法，d有3種不同方法，若c與b不同色，則c有2種不同方法，d有2種不同方法，最后在e中種植，有2種不同方法，所以不同的種植方法共有4×3×(1×3＋2×2)×2＝168(種)，故選C.一、單項選擇題1．在某學校舉行的“文學名著閱讀月”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學相約去學校圖書室借閱四大名著《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》《西游記》(每種名著至少有5本)，若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為()A．1024 B．625C．120 D．5答案A解析對于五名同學來說，每人都有4種借閱可能，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有45＝1024(種)可能．故選A.2．從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6答案B解析分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，有3×2×2＝12(個)奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，有3×2×1＝6(個)奇數(shù)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個)奇數(shù)．故選B.3．7人站成兩排隊列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為()A．120 B．240C．360 D．480答案C解析第一步，從甲、乙、丙三人中選一個加到前排，有3種方法；第二步，前排3人形成了4個空，任選一個空加一人，有4種方法；第三步，后排4人形成了5個空，任選一個空加一人，有5種方法，此時形成了6個空，任選一個空加一人，有6種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的加入方法種數(shù)為3×4×5×6＝360.故選C.4．三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種 B．6種C．10種 D．16種答案B解析分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先傳給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式．故選B.5．用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球，由分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開式1＋a＋b＋ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取，“a”表示取出一個紅球，而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來．以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)答案A解析分三步：第一步，5個無區(qū)別的紅球可能取出0個，1個，…，5個，表示為1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；第二步，5個無區(qū)別的藍球都取出或都不取出，表示為1＋b5；第三步，從5個有區(qū)別的黑球中任取0個，1個，…，5個，表示為(1＋c)5，所以所有取法可表示為(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.故選A.6．在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種作物，每種作物種植一壟．為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的種植方法有()A．2種 B．6種C．12種 D．14種答案C解析分兩步：第一步，先選壟，如圖所示，共有6種選法；第二步，種植A，B兩種作物，有2種方法．所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的種植方法有6×2＝12種．故選C.7.將“?！薄暗摗薄皦邸碧钊氲饺鐖D所示的4×4小方格中，每格內只填入一個漢字，且任意的兩個漢字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有()A．288種 B．144種C．576種 D．96種答案C解析依題意可分為以下三步：第一步，先從16個格子中任選一格放入第一個漢字，有16種方法；第二步，因為任意的兩個漢字既不同行也不同列，所以第二個漢字只有9個格子可以放，有9種方法；第三步，第三個漢字只有4個格子可以放，有4種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的填寫方法有16×9×4＝576種．故選C.8.《九章算術》中，稱底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設AA1是正六棱柱的一條側棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是()A．8 B．12C．16 D．18答案C解析根據(jù)正六邊形的性質，則D1－A1ABB1，D1－A1AFF1滿足題意，而C1，E1，C，D，E和D1一樣，有2×4＝8(個)，當A1ACC1為底面矩形時，有4個滿足題意，當A1AEE1為底面矩形時，有4個滿足題意，故共有8＋4＋4＝16(個)．故選C.二、多項選擇題9．(2022·重慶實驗學校月考)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4，5,6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則在平面直角坐標系中，下列說法正確的是()A．第一象限內不同的點有8個B．第二象限內不同的點有7個C．第三象限內不同的點有4個D．第四象限內不同的點有5個答案AC解析對于A，此問題可分為兩類：①以集合M中的元素作為橫坐標，集合N中的元素作為縱坐標，在集合M中只能取1,3兩個元素中的一個，方法有2種，在集合N中只能取5,6兩個元素中的一個，方法有2種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有2×2＝4個；②以集合N中的元素作為橫坐標，集合M中的元素作為縱坐標，在集合N中只能取5,6兩個元素中的一個，方法有2種，在集合M中只能取1,3兩個元素中的一個，方法有2種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有2×2＝4個．綜合①②，利用分類加法計數(shù)原理知，共有4＋4＝8個，故A正確；對于B，同理分兩類：①以集合M中的元素作為橫坐標，集合N中的元素作為縱坐標，有1×2＝2個，②以集合N中的元素作為橫坐標，集合M中的元素作為縱坐標，有2×2＝4個，綜合①②，共有2＋4＝6個，故B錯誤；對于C，①以集合M中的元素作為橫坐標，集合N中的元素作為縱坐標，有1×2＝2個，②以集合N中的元素作為橫坐標，集合M中的元素作為縱坐標，有2×1＝2個，綜合①②，共有2＋2＝4個，故C正確；對于D，①以集合M中的元素作為橫坐標，集合N中的元素作為縱坐標，有2×2＝4個，②以集合N中的元素作為橫坐標，集合M中的元素作為縱坐標，有2×1＝2個，綜合①②，共有4＋2＝6個，故D錯誤．故選AC.10．現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，下列說法正確的有()A．從中任選一幅畫布置房間，有14種不同的選法B．從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有70種不同的選法C．從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法D．要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有12種不同的掛法答案ABC解析對于A，分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法，A正確；對于B，分為三步：國畫、油畫、水彩畫分別有5種、2種、7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法，B正確；對于C，分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法，所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法，C正確；對于D，從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N＝3×2＝6，D錯誤．故選ABC.11．已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，則對于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的說法正確的是()A．可表示3個不同的圓B．可表示6個不同的橢圓C．可表示3個不同的雙曲線D．表示焦點位于x軸上的橢圓有3個答案ABD解析當m＝n>0時，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示圓，故有3個，A正確；當m≠n且m，n>0時，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示橢圓，焦點在x，y軸上的橢圓分別有3個，故有3×2＝6(個)，B正確，D正確；當mn<0時，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示雙曲線，故有3×1＋1×3＝6個，C錯誤．故選ABD.12．(2021·江蘇省蘇州第十中學月考)用0,1,2,3,4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301,423等都是“凹數(shù)”，則下列結論中正確的是()A．組成的三位數(shù)的個數(shù)為60B．在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為30C．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)為20D．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)為30答案BC解析對于A，因為百位數(shù)上的數(shù)字不能為零，所以組成的三位數(shù)的個數(shù)為4×4×3＝48，故A錯誤；對于B，將所有三位數(shù)的偶數(shù)分為兩類，①個位數(shù)為0，則有4×3＝12個，②個位數(shù)為2或4，則有2×3×3＝18個，所以在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為12＋18＝30，故B正確；對于C，D，將這些“凹數(shù)”分為三類，①十位為0，則有4×3＝12個，②十位為1，則有3×2＝6個，③十位為2，則有2×1＝2個，所以在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)為12＋6＋2＝20，故C正確，D錯誤．故選BC.三、填空題13．從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．答案36解析第一步，先選出文娛委員，因為甲、乙不能擔任，所