滬科版九年級數(shù)學(xué) 第23章 解直角三角形 全章復(fù)習(xí)與測試（原卷版）

第23章解直角三角形全章復(fù)習(xí)與測試

O【知識梳理】

一.銳角三角函數(shù)的定義

在中，NC=90°.

（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做NA的正弦，記作sinA.

即sinA=ZA的對邊除以斜邊=包.

c

（2）余弦：銳角A的鄰邊6與斜邊c的比叫做NA的余弦，記作cosA.

即cosA=ZA的鄰邊除以斜邊=上.

c

（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊6的比叫做NA的正切，記作tanA.

即tanA=ZA的對邊除以NA的鄰邊=里.

b

（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的銳角三角函數(shù).

二.銳角三角函數(shù)的增減性

（1）銳角三角函數(shù)值都是正值.

（2）當(dāng)角度在0°?90°間變化時，

①正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?；

②余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?；

③正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?

（3）當(dāng)角度在0°WNAW90°間變化時，OWsinAWl,l》cosA20.

當(dāng)角度在0°<NA<90°間變化時，tanA>0.

三.同角三角函數(shù)的關(guān)系

（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A=l；

（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA=里迪

cosA

或sinA=tanA,cosA.

四.互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

在直角三角形中，ZA+ZB=9Q°時，正余弦之間的關(guān)系為：

①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-ZA）；

②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-ZA）；

也可以理解成若/A+/B=90°,那么sinA=cosB或sin8=cosA.

五.特殊角的三角函數(shù)值

（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值.

=工.=返；tan30°=返；

sin30°cos30°=

23

=叵

sin45°cos45°tan45°=1；

22

=我.

sin60°cos60°=工tan60°

22

（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的二角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切

逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記.

（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三

角形中應(yīng)用較多.

六.解直角三角形

（1）解直角三角形的定義

在直角三角形中，由己知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的關(guān)系

①銳角、直角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90°；

②三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；

③邊角之間的關(guān)系：

ahiNA的對邊=

cosA=NA的鄰邊=btanA=a

斜邊~7NA的鄰邊b

（a,b,c分別是NA、ZB,NC的對邊）

七.解直角三角形的應(yīng)用

（1）通過解直角三角形能解決實(shí)際問題中的很多有關(guān)測量問.

如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的

長度，計算出所要求的物體的高度或長度.

（2）解直角三角形的一般過程是：

①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）.

②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到

實(shí)際問題的答案.

A.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題

（1）坡度是坡面的鉛直高度力和水平寬度/的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，

一般用i表示，常寫成i=l：優(yōu)的形式.

（2）把坡面與水平面的夾角a叫做坡角，坡度i與坡角a之間的關(guān)系為：i=/z〃=tana.

（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的

正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題.

應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等.

九.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角.

（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角

形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實(shí)際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實(shí)

際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決.

十.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù).

（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在

直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角.

一【考點(diǎn)剖析】

一.銳角三角函數(shù)的定義（共2小題）

1.（2022秋?貴池區(qū)期末）如圖，在Rt^ABC中，/C=90°,A8=13,8c=12,下列三角函數(shù)正確的是

B

A.sinB=-^-B.cosA=-^-C.tanB=-^-D.cos3=^^

1313125

2.（2022秋?宣州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，NC=90°,28=5,2c=3,則tan5的值為（)

二.銳角三角函數(shù)的增減性（共1小題）

3.（2022秋?金安區(qū)校級期末）如圖，已知在RtZkABC中，NABC=90°,點(diǎn)。沿8c自8向C運(yùn)動（點(diǎn)

D與點(diǎn)、B、C不重合），作于E,CP_LA。于R則BE+C尸的值（）

A.不變B.增大

C.減小D.先變大再變小

三.同角三角函數(shù)的關(guān)系（共1小題）

4.（2022秋?宣城月考）在△ABC中，ZC=90°,cosA=3,則tanA等于

5

四.互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系（共1小題）

5.（2021秋?懷寧縣期末）在RtZ\ABC中，ZC=90°,cosA=」，貝Usin8=.

3

五.特殊角的三角函數(shù)值（共8小題）

6.（2023春?蚌埠月考）計算2sin30°的值為（）

A.1B.V3C.2D.273

7.（2022秋?蚌山區(qū)月考）在RtZXABC中，BC=6,AC=2、/^,ZC=90°,則乙4的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.45°D.60°

8.（2022秋?蚌山區(qū)月考）ZkABC中，ZA,都是銳角，若cosA=1,tanB=l,則NC=

2

9.（2022秋?安徽期末）計算：2sin30°-1=.

10.（2022秋?金安區(qū)校級月考）若tan（a+15°）=?且a是銳角，則tana的值為.

11.（2022秋?宣城月考）計算：sin245°-6cos60°+2tan45°-2sin60°.

12.（2022秋?天長市月考）計算:2sin60°-cos60°-sin30°*tan45°.

13.（2022?無為市校級一模）計算：

（1）sin60°,cos30o-1；

（2）2sin30°+3cos60°-4tan45

六.解直角三角形（共6小題）

14.（2023?金寨縣一模）如圖，在RtaABC中，NC=90°,AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)。，交于

點(diǎn)N,連接3D,若CD=6,AD=10,則tanA的值為（）

C*D

324

15.（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（3,1）,貝Usina的值為（）

A.1B.逗C.畫D.詆

310310

（秋?天長市月考）如圖，在△中，

16.2022ABC/C=90°,AB=13,sinB=A.求AC的長及NA的正

13

17.（2022秋?滁州期末）如圖，在△ABC中，—30",tanB=—,AC—6,\[3,求AB的長.

4

18.（2022秋?宣州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,是AC邊上的中線，AE±BC,垂足為點(diǎn)E,

交5。于尸，cosZABC^—,AB=13.

13

（1）求AE的長;

(2)求tan/Z)BC的值.

19.（2022秋?宣城月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（20,0）,點(diǎn)M在第

一象限內(nèi)，且OM=10,sin/M0N=3.

5

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo).

（2）求cosNWON的值.

七.解直角三角形的應(yīng)用（共5小題）

20.（2023?蒙城縣三模）蒙城渦河五橋橫跨渦河南北，為蒙改城標(biāo)志建筑之一，圖1是大橋的實(shí)物圖，圖2

是建造大橋設(shè)計平面圖一部分，平面圖紙有橋護(hù)欄8G=1.5米，拉索與護(hù)欄的夾角是26°,拉索ED

與護(hù)欄的夾角是60°,兩拉索底端距離8。為168加，兩拉索頂端的距離AE=48m請求出立柱AH的長

（tan26°弋0.5,sin26°心0.4,百心1.7）.

21.（2023?廬陽區(qū)校級模擬）近年來，隨著智能技術(shù)的發(fā)展，智能機(jī)器人已經(jīng)服務(wù)于社會生活的各個方面.圖

1所示是一款智能送貨機(jī)器人，圖2是其側(cè)面示意圖，現(xiàn)測得其矩形底座A8CD的高8C為30C〃2,上部

顯示屏跖的長度為30c〃z,側(cè)面支架EC的長度為100。%，Z￡C￡>=80°,/FEC=130°,求該機(jī)器人

的最高點(diǎn)尸距地面AB的高度.（參考數(shù)據(jù)sin80°^0.98,cos80°=0.17,tan80°七5.67）

地面

Si

22.（2023?金寨縣校級模擬）如圖，為了測量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點(diǎn)A,又在河的另一岸

邊取兩個點(diǎn)8,C,測得Na=37°,N0=55°,量得8C的長為180根，求河的寬度.（參考數(shù)據(jù)：sin37°

^0.60,cos37°^0.80,tan37°心0.75,sin55°^0.80,cos55°弋0.60,tan55°-1.40.結(jié)果精確至I]0.1W

A

BC

23.（2023?安徽三模）如圖1是一臺電腦支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB,BC可分別繞8,C轉(zhuǎn)動，測量

知A8=10aw,BC=6cm,當(dāng)A8,8C轉(zhuǎn)動到/ABC=90°時，/BCD=37°時，求點(diǎn)A到CD的距離.(參

考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°"0.80,tan37°^0.75)

24.（2023?安徽模擬）如圖，蘭蘭家沿著河岸圈出一片水域（即四邊形A8C。）從事水產(chǎn)養(yǎng)殖，蘭蘭測得這

片水域部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：45=60米，8C=10米，ZDAB=53.1°,ZABC=90°,。在C的西北方向，請

你幫助蘭蘭求出這片水域的面積.（參考數(shù)據(jù)：sin53.1°cos53.r=3,tan53r/）

553

D

八.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共5小題）

25.（2022秋?天長市月考）某人沿著坡度為1：2的山坡前進(jìn)了100遙米，則此人所在的位置升高了（）

A.100米B.50灰米C.50米D.I。.

5

26.（2020秋?馬鞍山期末）某水庫大壩高20米，背水坡的坡度為1：則背水坡的坡長為.

27.（2023?宿州模擬）如圖是某段河道的坡面橫截面示意圖，從點(diǎn)A到點(diǎn)8,從點(diǎn)8到點(diǎn)C是兩段不同坡

度的坡路，CM是一段水平路段，為改建成河道公園，改善居民生活環(huán)境，決定按照A8的坡度降低坡面

8C的坡度，得到新的山坡AO,經(jīng)測量獲得如下數(shù)據(jù)：CM與水平面AN的距離為12m，坡面的長為

10/71,NBAN=15°,坡面與水平面的夾角為31°,降低BC坡度后，A、B、D三點(diǎn)在同一條直線

上，即ND4N=15°.為確定施工點(diǎn)。的位置，試求坡面的長和CO的長度.（sinl5°^0.26,cosl5°

—0.97,tanl5°—0.27,sin31°—0.52,cos31°心0.88,tan31°-0.68,結(jié)果精確到0.1米）

CDM

28.（2023春?廬江縣月考）小亮和小強(qiáng)同時登青陽山，小亮從北坡山腳C處出發(fā)，以12/記米/分鐘的速

度攀登，小強(qiáng)從南坡山腳B處出發(fā).如圖，已知青陽山北坡的坡度i=l：2,北坡長為120J記米，南坡

的坡角是45。.問小強(qiáng)以什么速度攀登才能和小亮同時到達(dá)山頂A?（將山路AB,AC看成線段）

A

1=1：2

445。

BC

29.（2023?蜀山區(qū)校級一模）如圖所示，一梯子AC斜靠著墻0,梯子與地面夾角為45°,若梯子底端A

向右水平移動L5加至點(diǎn)3,此時梯子頂端向上移動1根至點(diǎn)￡>,此時/。2。=58°,求長度.（參考

數(shù)據(jù)：sin58°心0.85,cos58°-0.53,tan58°心1.60）

九.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共4小題）

30.（2023春?桐城市月考）如圖，在水平地面上有房屋8c與一棵樹。E,在地面觀測點(diǎn)A處屋頂C與樹梢

的仰角分別是45°與60°,ZDAC=60°,在屋頂C處測得NZ）C4=90°,BC=5米，則DE的長是

)

D

A.避米B.&/§米C.5加米D.米

31.（2023?安徽）如圖，O,R是同一水平線上的兩點(diǎn)，無人機(jī)從。點(diǎn)豎直上升到A點(diǎn)時，測得A到R點(diǎn)

的距離為40m，R點(diǎn)的俯角為24.2°,無人機(jī)繼續(xù)豎直上升到8點(diǎn)，測得R點(diǎn)的俯角為36.9°.求無人

機(jī)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的上升高度AB（精確到0.L”）.

參考數(shù)據(jù)：sin24.2°^0.41,cos24.2°^0.91,tan24.2°^0.45,sin36.9°?0.60,cos36.9°20.80,tan36.9°

^0.75.

*B

：^36.9V

羽2產(chǎn)二

40m''、、、

n

o

32.（2023?蜀山區(qū)校級三模）某數(shù)學(xué)研究小組把測量一面墻上窗戶的高度作為一次課外課題活動，制定了測

量方案，并完成了實(shí)地測量，測量示意圖、測得結(jié)果如下：站在與墻垂直的筆直小路上的點(diǎn)。利用測角

儀（測角儀高度0.5米）測得窗戶頂端A的仰角為63°,站在點(diǎn)C利用測角儀測得窗戶底端8的仰角為

48°,并用卷尺測得OD=2米,CD^0.5米,請你根據(jù)方案提供的示意圖及相關(guān)數(shù)據(jù)計算窗戶高度AB.（結(jié)

果精確到0.1米.（參考數(shù)據(jù)：tan48°^1.20,tan63°仁1.96,sin48°20.74,sin63°—0.89）

A

33.（2023?蜀山區(qū)三模）如圖，某地需要經(jīng)過一座山的兩側(cè)。，E修建一條穿山隧道，工程人員先選取直線

OE上的三點(diǎn)A,B,C,設(shè)在隧道。E正上方的山頂廠處測得A處的俯角為15°,B處的俯角為30°,

C處的俯角為45°,經(jīng)測量AB=1.4千米，8。=0.2千米，CE=0.5千米，求隧道DE的長.（結(jié)果精確

至U0.1,72^1.414,百比1.732）

一十.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共4小題）

34.（2023?蕪湖一模）為鞏固農(nóng)村脫貧成果，利興村委會計劃利用一塊如圖所示的空地ABC。，培育綠植銷

售，空地南北邊界A8〃CD,西邊界經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)，點(diǎn)A在C的北偏東方向，在點(diǎn)。

的北偏東48°方向，8C=780米，求空地南北邊界AB和C。的長（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)約：tan48°

=1.1,tan58°=1.6).

35.（2023?安徽模擬）如圖，在小島A處測得北偏西48°的方位上有一小島8,并測得其北偏東42°方位

上有一輪船，同時在小島B處測得輪船S在其北偏東870方位上，已知小島A到小島B所在的東西方

向的距離AD是20海里，求小島B到輪船S之間的距離3s.（精確到1海里）（參考答案：sin48°心0.74,

cos48°20.67,tan48°^1.11）

36.（2023?安徽二模）兩巡邏艇上午9時同時從碼頭A出發(fā)，甲巡邏艇沿正北方向航行，每小時20海里,

乙巡邏艇沿北偏東30°方向航行，兩小時后，乙巡邏艇發(fā)現(xiàn)航行方向上C處有救援任務(wù)，向甲巡邏艇呼

救，甲巡邏艇發(fā)現(xiàn)救援點(diǎn)C在其北偏東67°方向上，立刻以每小時40海里的速度前往救援，求甲巡邏

艇從B處到達(dá)救援點(diǎn)C需要多少時間？（參考數(shù)據(jù)sin37°心0.60,cos37°"0.80,tan37°-0.75）

c

D67,

B

30

A

37.(2023?蜀山區(qū)二模)我國北斗導(dǎo)航裝備極大的方便了航海時輪船的定位.如圖，一貨輪由A地出發(fā)，去

往8地，當(dāng)貨輪在A地時，導(dǎo)航顯示貨輪北偏東45°(即NC4O=45°)方向上有海島C,貨輪由A地

沿正東方向航行4ch回海里到達(dá)B地，此時導(dǎo)航顯示海島C在貨輪的北偏東15°(即NCBE=15°)方

向上，求8地與海島C之間的距離8c.

AB

一【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.把三角形三邊的長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則銳角A的正弦函數(shù)值

A.擴(kuò)大為原來的2倍B.縮小為原來的：

C.不變D.不能確定

2.（2023秋?湖南株洲?九年級統(tǒng)考期末）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，A8的長為12米，A8與

AC的夾角為。，則高3。是（）

1212

A.12sina米B.12cosa米C.--------米D.-------米

sinacosa

3.(2023春?河南三門峽?九年級統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，在RtzXABC中，ZC=90°ftanA=2,則sinB=

()

A"B.WC.fD.45

4.汽車在沿坡比為1:血的斜坡上前進(jìn)150米，則汽車上升的高度為（）

A.75米B.75有米C.50若米D.150米

5.（2023?江蘇?八年級假期作業(yè)）如圖所示，公路AC、BC互相垂直，點(diǎn)M為公路AB的中點(diǎn)，為測量湖

泊兩側(cè)C、M兩點(diǎn)間的距離，若測得A8的長為6km,則M、C兩點(diǎn)間的距離為（）

A.2.5kmB.4.5kmC.5kmD.3km

6.在AABC中，AB=AC=5,BC=8,貝Itan/B的值為（）

5843

A.-B.一C.一D.-

8534

7.已知0A為銳角，且sinA=走，那么0A等于（）

2

A.15°B.30°C.45°D.60°

8.已知一堤壩的坡度堤壩的高度為10米，則堤壩的斜坡長為（）

A.10米B.10白米C.20米D.20白米

9.（2023秋?九年級單元測試）在某校的科技節(jié)活動中，九年級開展了測量教學(xué)樓高度的實(shí)踐活動."陽光

小組"決定利用無人機(jī)A測量教學(xué)樓的高度.如圖，己知無人機(jī)A與教學(xué)樓的水平距離AD為根米，在

無人機(jī)上測得教學(xué)樓底部8的俯角為a,測得教學(xué)樓頂部C的仰角為夕.根據(jù)以上信息，可以表示教學(xué)樓

BC（單位：米）的高度是（）.

mm

A.mtancr+mtanPB，tan6Z+tan^

mm

C.msina+msinPD，sincr+sin

10.西周時期，丞相周公旦設(shè)置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表.如圖是一個根據(jù)某

地的地理位置設(shè)計的圭表，其中，立柱AC高為“.已知冬至?xí)r某地的正午日光入射角/ABC約為26.5。,

則立柱根部與圭表的冬至線的距離（即3C的長）約為（）

A.asin26.5°B.------------C.tan26.5°D.------------

cos26.5°tan26.5°

二、填空題

11.如圖，河堤橫斷面迎水坡BC的坡比是1：抬'，堤高AC=5cm,則坡面3c的長度是

12.計算：tan60°sin600-cos245°=_.

3

13.（2023秋?九年級單元測試）在RtAABC中，ZC=90°,sinA=-,貝UtanB的值為.

14.（2023秋?九年級單元測試）如圖，在一筆直的海岸線/上有相距2km的A,B兩個觀測站，5站在A

站的正東方向上，從A站測得船C在北偏東60。的方向上，從B站測得船C在北偏東30。的方向上，則船C

15.（2023秋?九年級單元測試）計算4cos++

3

16.（2023秋?九年級單元測試）如圖，AD是"RC的高，ZB=45°,sinC=-,AC=10,求AB的長.

A

17.（2023秋?福建漳州?九年級統(tǒng)考期末）平放在地面上的三角形鐵板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意

圖如圖所示，量得媯為60。，財為30。，邊A3的長為2m,BC邊上露出部分的長為0.8m,求鐵板8C

邊被掩埋部分8的長.（結(jié)果精確到0.1m,72?1.4.V3?1.73）

18.一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在ED的延長線上，ABSCF,回尸=媯。8=90。，0￡=45°,媯=60。,

AC=10,試求CD的長.