河南省洛陽市2024-2025學(xué)年上學(xué)期八年級期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期八年級數(shù)學(xué)學(xué)科

期中試題

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.下面的四個(gè)漢字可以看作軸對稱圖形的是（）

A中B?玉?

。加D油

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互

相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形.

【詳解】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義可知，只有選項(xiàng)A的圖形可以沿一條直線折疊使得直線兩旁的部分

能夠互相重合.故A選項(xiàng)是軸對稱圖形.

故選：A.

2.如圖，一角硬幣邊緣鐫刻的正九邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是（）

A.40°B.70°C.140°D,以上答案均不對

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了多邊形的外角和和正多邊形的定義.根據(jù)多邊形的外角和定理求得正九邊形的9

個(gè)相同外角的度數(shù)和，即可求得1個(gè)外角的度數(shù)，再根據(jù)1個(gè)外角與其相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，即可求得

每個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

【詳解】解：?.?正九邊形的外角和為360°,

度數(shù)是迎

???正九邊形每個(gè)外角=40°

9

???正九邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是180°-40°=140°.

故選：C.

3.如圖，用尺規(guī)作出了NNCB=NAOC,作圖痕跡中弧FG是（）

A.以點(diǎn)C為圓心，。。為半徑的弧

B,以點(diǎn)C為圓心，DM為半徑的弧

C.以點(diǎn)E為圓心，0。為半徑的弧

D.以點(diǎn)E為圓心，DW■為半徑的弧

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，運(yùn)用作一個(gè)角等于已知角的方法可得答案，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

作一個(gè)角等于已知角的方法.

【詳解】解：根據(jù)作一個(gè)角等于已知角可得弧FG是以點(diǎn)E為圓心，QM為半徑的弧，

故選：D.

4.如圖，AB=AC,添加下列條件，不能使的是（）

A.ZB=NCB.ZAEB^ZADCC.AE=ADD.BE=DC

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形判定定理是解題關(guān)鍵.根據(jù)全等三角

形的判定定理，逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】解：A.若N6=NC,AB=AC,利用“ASA”可證明△ABEZAACD,故本選項(xiàng)不符合題

思；

B.若NAEB=NADC,AB=AC,結(jié)合NA=/4,可利用“AAS”證明△ABEZAACD,故本選項(xiàng)

不符合題意；

C.若AE=AT>,AB=AC,結(jié)合NA=NA,可禾?。萦谩癝AS”證明△ABEZAACD,故本選項(xiàng)不符合

題意；

D.若AB=AC,添加條件BE=DC,仍無法證明△ABEgAACD,該選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

5.如圖，VABC,VADE及△砂G都是等邊三角形，D,G分別為AC,AE的中點(diǎn).若A5=4,

則多邊形ABCDEFG外圍的周長是（）

A.12B.14C.15D.16

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，由等邊△ABC可得45=5。=AC,而。是AC的中點(diǎn)可知

AD=CD=-xAC,同理等邊△ADE、等邊AERG中均可以將各邊的關(guān)系表示出來，結(jié)合已知

2

AB=4,即可求得各邊長；根據(jù)所求圖形的周長即為從A點(diǎn)按順序到G點(diǎn)的線段逐個(gè)相加，即

AB+BC+CD+DE+EF+FG+GA,結(jié)合上步所求即可得到結(jié)果.

【詳解】解：?.?△A5C是等邊三角形，AB=4,

.-.AB=BC=AC=4.

是AC的中點(diǎn)，

:.AD=CD=-xAC=2.

2

?.?△ADE是等邊三角形，AD=2,

:.AD=DE=AE=2.

?.?G是AE的中點(diǎn)，

AG=EG=-xAE=l,

2

同理，在AEEG中，

EF=FG=EG=1,

???多邊形ABCDEFG外圍的周長是=A3+5C+CE>++石/+FG+G4=15,

故選：C.

6.如果將一副三角板按如圖的方式疊放，則/I的度數(shù)為（）

1

45^

孑60。入

A.105°B.120°C.75°D.45°

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和計(jì)算.

【詳解】解：由三角形的外角性質(zhì)可得：4=（90。-45。）+60。=105。，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角

的和.

7.如圖，在VABC中，D,E,歹分別是邊AC,BD,CE的中點(diǎn)，且陰影部分的面積為7,則

VA3C的面積為（）

A.14B.21C.24D.28

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解

答.由E是CE的中點(diǎn)可得￡ACE=2S“AEF=2X7=14,由E是的中點(diǎn)可得l從小=gs/BD，

S^CDE=3s&CBD,從而得到,再由S^ADE+S^CDE=S^A（JE=14即可得到答案.

【詳解】解：解：???萬是CE的中點(diǎn)，

S&ACE=2s△的=2x7=14，

???石是的中點(diǎn),

9=

?,S^ADE~5^^ABDS^CDE萬SACBD9

一Q=

^^ADE+SqE~5SD+]^ABD^CBD+^ABD)~ABC'

,*e^AADE+SACDE=S.4CE=14,

.*.SABC=2(SADF+S「加)=28，

故選：D.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，VABC為等腰三角形，A13=AC,軸，若

42,5),8(—1,1),則點(diǎn)c的坐標(biāo)為()

A.(2,3)B.(3,1)C.(5,1)D.(1,5)

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，三線合一，過點(diǎn)A作AEJ_x軸,交BC于點(diǎn)、D,求出。點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三

線合一，得到。為民C的中點(diǎn)，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】解：過點(diǎn)A作軸，交BC于點(diǎn)D,

OlEX

*.*BC〃九軸，

：.AD1BC,

???A(2,5),3(-1,1),

.??0(2,1),

：VA3C為等腰三角形,

BD-CD，

C(2+2+l,l),即：(5,1)；

故選C.

9.如圖，在VABC中，BO,CO分別平分/ABC,ZACB,CE為外角NACD的平分線，交BO

的延長線于點(diǎn)E，記N54C=N1,ZBEC=Z2,給出下列結(jié)論：其中錯(cuò)誤的是(

B.ZBOC=3Z2

C.ZBOC=90°+-Z1D.ZBOC=90°+Z2

2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的定義及性質(zhì)，根據(jù)角平分線的定義得

ZDCE=-ZACD,ZDBE=-ZABC,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得

22

/2=/。?！暌?05石=3(44?！狽ABC)=g/l,可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)角平分線的定義得

ZOBC=^ZABC,ZOCB=^ZACB,由ZBOC=180°—(NOBC+NOCfi)即可判斷選項(xiàng)

BCD.解題的關(guān)鍵是掌握：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

【詳解】解：為外角NACD的平分線，BE平分/ABC,

ZDCE=-ZACD,NDBE=-ZABC,

22

又VZDCE是ABCE的外角，

Z2=ZDCE-NDBE=1(ZACD-ZABC)=|zi,

N1=2N2,故選項(xiàng)A不符合題意；

VBO,CO分別平分/ABC,NACB,

：.ZOBC=-NABC,ZOCB=-ZACB,

22

/.ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180°-1(ZABC+ZACB)

=180°-1(1800-Zl)

=9O°+-Z1

2

=90°+-x2Z2

2

=90°+Z2,

故選項(xiàng)C、D不符合題意，選項(xiàng)B符合題意.

故選：B.

10.如圖，在VA3C中，AB=AC,ZB=40°,。為線段5C上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)3、點(diǎn)C重合），連

接A。，作NADE=4O。，OE交線段AC于點(diǎn)E.以下四個(gè)結(jié)論：①/CDE=NBAD；②當(dāng)D為BC

中點(diǎn)時(shí)，DEJ.AC；③當(dāng)440=30。時(shí)，BD=CE；④當(dāng)VADE為等腰三角形時(shí)，

ZEDC=3Q°.其中正確的結(jié)論為（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理；①根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)得到NB=NC=40。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到NBA。=NCDE；故①正

確；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到1根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到。￡SAC,故②正確；③

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到6r>=CE；故③正確；④根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到/回>40。，求得

NADEwNAED,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到AE=O石或=當(dāng)AE=DE

時(shí)，ZBAD^60°,求出N&）C=60°,故④錯(cuò)誤.

詳解】解：@-：AB=AC,

:.ZB=ZC=4O°,

ZBAD=180°-40°-ZADB,ZCDE=180°-40°-ZADB,

：.ZBAD=ZCDE；故①正確，

②?。為3C中點(diǎn)，AB=AC,

:.AD±BC,

.-.ZAZ）C=90°,

:.ZCDE^50°,

?.?ZC=40°,

/.ZDEC=90°,

:.DELAC,故②正確，

③?.?/BAD=30。，

/.ZCDE=30°,

:.ZADC=70°,

/.ZDAC=180?！?0°-40°=70°,

:.ZDAC=ZADC,

CD-AC,

?.?AB=AC,

CD=AB，

.-.△ADB^A￡>CE（ASA）,

：.BD=CE,故③正確，

@-.-ZC=4O°,

:.ZAED>40°,

:.ZADE^ZAED,

?.?△ADE為等腰三角形，

.."■=?！昊虬?=￡）石，

當(dāng)AE=DE時(shí)，ZDAE^ZADE^40°,

,.,Nfi4c=180°—4O°—40°=100°,

:.ZBAD=6Q°,

ZADC=60°+40°=100°,

/EDC=100°-40°=60°,故④錯(cuò)誤，

綜上所述，①②③正確，

故選：B.

二、填空題（每題3分，共15分）

11.已知《（。―1,5）和鳥（2/—1）關(guān)于x軸對稱，貝U（a+b）2°24的值為.

【答案】1

【解析】

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化一軸對稱、代數(shù)式求值，根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是橫坐標(biāo)相

等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)得到a—1=2,1=—5,求出。、6值代入求解即可.

【詳解】：一L5）和6（2/一1）關(guān)于x軸對稱,

a—1=2,b—\=—5,

:.a=3,b——4,

+b嚴(yán)4=(3-4)2024=(—1)2024=1，

故答案為：1.

12.如圖，在VA3C中，以點(diǎn)A為圓心，AC的長為半徑作圓弧交5c于點(diǎn)。，再分別以點(diǎn)8和點(diǎn)。為

圓心，大于工物的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,連接交A3于點(diǎn)E.若

2

AB=9,AC=7,則VADE的周長為.

沁

【答案】16

【解析】

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和作圖，由作圖可得AD=AC=7,MN垂直平分3。，則根

據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到石B=即，然后利用等量代換即可得到VADE的周長.

【詳解】解：由作圖可得AO=AC=7,MN垂直平分30,

；?EB=ED，

；?VADE的周長為AE+OE+AD=AE+6E+AD=AB+AD=16,

故答案為：16.

13.如圖，在VA3C中，DE//BC,/ABC和NACB的平分線分別交OE于點(diǎn)歹，G,若

FG=2,DE=6,則DS+EC的值為.

【答案】4

【解析】

【分析】本題考查等腰三角形的判定、角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)等知識，由平行線的性質(zhì)得

ZDFB=ZFBC,NEGC=NGCB,再證明NDFB=/DBF,NECG=NEGC,然后證明BD=DF,

CE=GE,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：石〃5C,

:.ZDFB=ZFBC,ZEGC=ZGCB,

?.?/ABC和NACfi的平分線分別交。E于點(diǎn)歹，G,

:.ZDBF=ZFBC,ZECG=ZGCB,

:.ZDFB=ZDBF,ZECG=ZEGC,

:.BD=DF,CE=GE,

-,-FG=2,ED=6,

:.DB+EC^DF+GE=ED-FG=6-2=4.

故答案為：4.

14.如圖所示，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=度.

【答案】360

【解析】

【分析】此題主要考查了三角形的外角以及四邊形的內(nèi)角和，首先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：圖示這

幾個(gè)角是一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可求解.

【詳解】解：如圖，

E

?/ZA+ZC=Z2,ZB+ZD=Z1,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=Z1+Z2+ZE+ZF=360°,

故答案為：360.

15.如圖，在RtZiABC中，NABC=90°,ZA=30°,AB=3,5C=G，點(diǎn)。是邊AC上一動(dòng)點(diǎn).連

接BD,將△AB。沿BD折疊，得到△￡?￡),其中點(diǎn)A落在E處，BE交AC于點(diǎn)、F,當(dāng)△即產(chǎn)為直角三

角形時(shí)，所長度是

BC

【答案】3-6或］

【解析】

【分析】分兩種情況：當(dāng)N￡DF=90。時(shí)，可證得△BCE是等邊三角形，得出若，再由

13

EF=BE-BF,即可求得所；當(dāng)"￡E=90。時(shí)，利用直角三角形性質(zhì)可得=—A3=—,再由

22

EF=BE-BF,即可求得所.

【詳解】解：?.?NABC=90°,ZA=30°,AB=3,BC=6

:.ZC=60°,

由折疊得：ZE=ZA=30°,EB=AB=3,

當(dāng)/EDF=90°時(shí)，ZDFE=90°-Z￡=90°-30°=60°,

ZBFC=ZDFE=60°=ZC,

：.ABCF是等邊三角形，

BF=BC=6

:.EF=BE-BF=3-y/3;

當(dāng)"五石=90°時(shí)，ZBFA=180°-ZDFE=90°,

在Rt^ABE中，:NA=30°,

13

:.BF=-AB=-,

22

33

,\EF=EB-BF=3——=-；

22

3

綜上所述，所的長度為3-君或萬.

3

故答案為：3—6或—.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，折疊變換的性質(zhì)等，熟練掌握“直角

三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半”是解題關(guān)鍵.

三、解答題（共8道題，共75分）

16.已知正x邊形的內(nèi)角和為1080。，邊長為2.

(1)求正無邊形的周長；

(2)若正W邊形的每個(gè)外角的度數(shù)比正X邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)小63。，求"的值.

【答案】(1)16

(2)5

【解析】

【分析】本題主要考查多邊形內(nèi)角和外角和的相關(guān)知識.

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(〃-2)x180°列式進(jìn)行計(jì)算求得邊數(shù).

(2)根據(jù)(1)求出正x邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，正〃邊形的每個(gè)外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和為360°

解題即可.

【小問1詳解】

解：由題意可得180x(x—2)=1080,解得x=8.

正x邊形的周長為8x2=16；

【小問2詳解】

正x邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為1080°+8=135°,

正〃邊形的每個(gè)外角的度數(shù)為135?！?3°=72。，

360°+72。=5,

的值為5.

(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)如圖2,點(diǎn)C在⑴中的射線OP上，ZDCE=180°-a,且/DCE的兩邊分別與OB交于

點(diǎn)。和點(diǎn)求證：CD-CE.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

【分析】本題考查作角平分線、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).

(1)根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可.

(2)過點(diǎn)。作C/，Q4于點(diǎn)口，CGLOB于點(diǎn)G,結(jié)已知條件可得NOR7=NOGC=90°,

ZECG=Z.DCF,再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得CF=CG,即可證明KEGmKDF，則可得CD=CE.

【小問1詳解】

證明：如圖2,過點(diǎn)C作CFLQ4于點(diǎn)b，CGLOB于點(diǎn)G,

圖2

:.NOFC=NOGC=90°,

ZOFC+ZOGC+ZFOG+ZFCG=360%

:.ZFOG+ZFCG=18Q°.

vZDCE=180°-?,ZAOB=a,

:.ZDCE+ZAOB=180°,

:.NFCG=ZDCE,

即ZFCE+ZECG=ZFCE+ZDCF,

:.ZECG=ZDCF.

又為NAQB的平分線，CF±OA,CGLOB,

:.CF=CG.

.-.ACEG^ACDF(ASA),

CD=CE.

18.學(xué)習(xí)完《利用三角形全等測距離》后，數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)就“測量河兩岸A、B兩點(diǎn)間距離”這一問

題，設(shè)計(jì)了如下方案.

課題測量河兩岸48兩點(diǎn)間距離

測量工具測量角度的儀器，皮尺等

A_____________

:氐三三三三

測量方案

示意圖

CD匕

①在點(diǎn)5所在河岸同側(cè)的平地上取點(diǎn)C和點(diǎn)。，使得點(diǎn)A、5、C在一

條直線上，且CD=5C；

測量步驟②測得ZDCB=100°,ZADC=65°；

③在CD的延長線上取點(diǎn)E,使得ZBEC=15°；

④測得。石的長度為30米.

請你根據(jù)以上方案求出A、8兩點(diǎn)間的距離AB.

【答案】A、3兩點(diǎn)間的距離A3為30米

【解析】

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.由三角形內(nèi)角和定理，得出ACAD=ZE=15°,進(jìn)而證明ADC44ABCE(AAS)，推出A3=DE,

即可求解.

【詳解】解：???NDCfi=100°,NADC=65。，

:.ZCAD=1800-ZDCB-ZADC=15°.

?,?ZE=15°,

:.NCAD=NE.

在ADC4和ABCE中，

ZCAD=ZE

<ZACD=ZECB

CD=BC

ADCA也ABCE(AAS),

/.AC=EC.

?；BC=CD,

:.AC-BC=CE-CD,

.?.>18=。石=30米，

即A、5兩點(diǎn)間的距離AB為30米.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，VA3C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(—5,1),6(-4,4),C(-l,-l).

(2)直線/過點(diǎn)(1,0)且平行于V軸，請直接寫出點(diǎn)C關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)C?的坐標(biāo)：

(3)在(2)中的直線/上求一點(diǎn)P,使得△PBC周長最小.(保留作圖痕跡)

【答案】(1)見解析(2)(3,-1)

(3)見解析

【解析】

【分析】本題考查了畫軸對稱圖形，軸對稱的性質(zhì)求線段和的最值問題，坐標(biāo)與圖形；

(1)作出VA3C的三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，再連接即可解決問題；

(2)根據(jù)軸對稱的特點(diǎn)，寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)即可；

(3)連接5G交直線/于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).

【小問1詳解】

解：如圖所示△44G即為所求

作出直線/和點(diǎn)C2,根據(jù)坐標(biāo)系可得C?的坐標(biāo)：(3,-1)

故答案為：(3,-1).

【小問3詳解】

20.如圖，在△ABC中，已知是△ABC的角平分線，是△AOC的高，ZB=60°,NC=40°,求

/AO8和/AOE的度數(shù).

A

【答案】ZADB=80°,ZADE=50°

【解析】

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求NBAC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可求/BAD,ZDAC,再根據(jù)

高線的定義和三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：：在AABC中，ZB=60°,ZC=40°,

.\ZBAC=80°,

：A。是△ABC角平分線，

ZBAD=ZDAC=-ZBAC=40°,

2

/.ZAZ)B=80°,

：DE是△ADC的高線，

/.ZOEA=90°,

：.ZADE=5Q°.

【點(diǎn)睛】考查了角平分線的定義，高線的定義和三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180°.

21.如圖，已知CD=A6,ZBAD=ZBDA,AE是△AB。的中線.

(1)若AB=5,AD=3,AE的取值范圍為；

(2)求證：AC=2AE.

【答案】(1)1<AE<4

(2)見解析

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，三角形外角的性質(zhì)；

(1)延長AE至尸，使EF=AE,連接BF,于是證得△壓3得=AD=3,再根據(jù)三角

形三邊之間的關(guān)系得A5—5尸<Ab<A3+5產(chǎn)，由此可得AE的取值范圍；

(2)根據(jù)(1)證明NA5E=NAT)C,由此可證明AAB產(chǎn)和△ADC全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可

得出結(jié)論.

【小問1詳解】

延長AE至尸，使EF=AE,連接BF.

則AF=2AE

?.?AE是的中線，

BE=DE，

在VADE與AEB石中，

AE=FE

<ZAED=ZFEB,

DE=BE

:.^ADE咨/'BE，

：.BF=DA=3,

在AAB產(chǎn)中，AB-BF<AF<AB+BF,

:.5-3<2AE<5+3,

二1<AE<4，

故答案為：1<AE<4,

【小問2詳解】

AADE^AFBE

:.BF=DA,ZFBE=ZADE,

?：ZABF=ZABD+ZFBE,ZBAD=ZBDA,

：.ZABF=ZABD+ZADB^ZABD+ZBAD=ZADC.

在與ACZM中，

AB=CD

<ZABF=ZCDA,

BF=DA

:.AABF^CDA（SAS）,

:.AF=AC.

-,-AF=2AE，

:.AC=2AE.

22.如圖，2MBe中，A（a,O）,C（O,c）,且滿足人血—c+&-a_2.

(2)過點(diǎn)A作AG，3c于G,交.OC于N,若NC4N=15°，求AN的長;

(3)P為第一象限一點(diǎn)，交,軸于。.在尸。上截取莊=B4，尸為CE的中點(diǎn)，求/。網(wǎng)的

度數(shù).

【答案】(1)M(0,2)；(2)AN=4；(3)ZOPF=45°.

【解析】

【分析】(1)先由條件推出AAOC是等腰直角三角形，再推出ABOM是等腰直角三角形，根據(jù)0B=2,

得出OM=2,即可得出M的坐標(biāo)；

(2)由等角的余角相等可得NBCO=NOAN=30。，再判定△BOC0ANOA(ASA),得至I」BC=NA,再根

據(jù)RtZXBOC中，BC=2BO=4,即可得AN=4；

(3)連接OF,把AOCF繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AOAD處，連接DP,由旋轉(zhuǎn)可得，AD=CF=EF,

ZOCF=ZOAD,OF=OD,再判定△PEFgZkPAD,得出PF=PD,ZFPE=ZDPA,進(jìn)而判定

△OPF^AOPD,即可出結(jié)果.

【詳解】⑴由題可得，a-c^0,c-a^0,

a=c,即OA=OC,

???AAOC是等腰直角三角形，

???NOAD=45。，

又「BDJLAC,

JNABD=45。，

XVZBOM=90o,

???ABOM是等腰直角三角形，

AOB=OM,

?b=y/ci—c+Jc—a-2,且a=c,

???b=-2,即OB=2,

AOM=2,

???M(0,2)；

(2)VZCAN=15°,ZOAC=45°,

AZOAN=30°,

VAG±BC,CO±AO,

AZCNG+ZBCO=90°,ZANO+ZOAN=90°,

VZANO=ZCNG,

.\ZBCO=ZOAN=30°,

在ABOC和ANOA中，

ZBCO=ZOAN

<CO=AO

ZCOB=ZAON=90°

J△BOC之△NOA(ASA),

ABC=NA,

又?.,RtZ\BOC中，ZBCO=30°,

.\BC=2BO=4,

??.AN=4；

(3)如圖3,連接OF,把AOCF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△OAD處，連接DP,

由旋轉(zhuǎn)可得，AD=CF=EF,ZOCF-ZOAD,OF=OD,

VZAOQ+ZAPQ=180°,

.\ZOAP+ZOQP=180o,

XVZEQC+ZOQP=180°,

/.ZOAP=ZEQC,

ZPEF=ZPAD,

在APEF和APAD中，

EF=AD

<ZPEF=ZPAD

PE=PA

.".APEF^APAD(SAS),

；.PF=PD,NFPE=NDPA,

AZFPD=ZQPA=90°,

:在△OPF和△OPD中，

OF=OD

<OP=OP

PF=PD

.?.△OPF絲△OPD(SSS),

/.ZOPF=ZOPD=-ZFPD=45°.

2

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三

角形是解決本題的關(guān)鍵.

23.【問題背景】

如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,NB=ZADC=90。,E,歹分別是BC,CD

上的點(diǎn)，且NE4F=60。，試探究線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

【初步探索】

小亮同學(xué)認(rèn)為：延長ED到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE之△AOG，再證明

△AEF絲AAGF,則可得到BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系是.

【探索延伸】

如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分別是3G8上的點(diǎn)，

ZEAF=^-ZBAD,上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由.

2

【結(jié)論運(yùn)用】

如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(。處)北偏西30。的A處，艦