滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破：解直角三角形之“背靠背”模型（原卷版）

重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破10解直角三角形之“背靠背”模型

3【知識(shí)梳理】

【模型展示】

【考點(diǎn)剖析】

一、單選題

1.（2020?湖南永州?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰

角為30。，看這棟樓底部C的俯角為60。，熱氣球A與樓的水平距離為120米，這棟樓的高度BC為（）

3

C白S

S00

E0勺

C昌

0百

D

B聲

號(hào)

nS！

SH3

S口

H5E

S-

S95

口d3

/

米B.（60+160括）C.1606米D.360米

二、填空題

2.（2022?山東德州?統(tǒng)考二模）如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形A8CD,AE,。尸為梯形的高，其中

迎水坡A3的坡角a=45。，坡長(zhǎng)AB=10頂米，背水坡CD的坡度i=l：6,則背水坡的坡長(zhǎng)CD為

米.

三、解答題

3.（2020秋?河北唐山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，嘉琪家對(duì)面新建了一幢圖書(shū)大廈，她在自家窗口A處測(cè)得

大廈底部。點(diǎn)的俯角為大廈頂部3點(diǎn)的仰角為尸，sinci:r和tan/?是方程-3x+l=0的兩根.嘉琪量

得兩幢樓之間的距離DE為204m.

B

□□

□□

□□

□□

□□

□□

□□

□□□

D20j3mE

（1）求出。、夕的度數(shù)；

（2）求出大廈的高度（結(jié)果保留根號(hào)）

4.（2021?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?統(tǒng)考一模）如圖，某風(fēng)景區(qū)的湖心島有一涼亭A,其正東方向有一棵大樹(shù)B,小

明想測(cè)量A、B之間的距離，他從湖邊的C處測(cè)得A在北偏西45。方向上，測(cè)得B在北偏東32。方向上，且

量得B、C之間的距離為100米，根據(jù)上述測(cè)量結(jié)果，請(qǐng)你幫小明計(jì)算A、B之間的距離是多少？（結(jié)果精

確到1米.參考數(shù)據(jù):sin32°=0.5299,cos320=0.8480）

5.（2020?吉林?三模）吉林省廣播電視塔（簡(jiǎn)稱(chēng)"吉塔"）是我省目前最高的人工建筑，也是俯瞰長(zhǎng)春市美景

的最佳去處.某科技興趣小組利用無(wú)人機(jī)搭載測(cè)量?jī)x器測(cè)量"吉塔"的高度.已知如圖將無(wú)人機(jī)置于距離"吉

塔”水平距離138米的點(diǎn)C處，則從無(wú)人機(jī)上觀測(cè)塔尖的仰角恰為30。，觀測(cè)塔基座中心點(diǎn)的俯角恰為

45。.求"吉塔”的高度.（注：73=1.73,結(jié)果保留整數(shù)）

6.（2020秋?四川成都?九年級(jí)?？计谥校┙鹋^(qū)某學(xué)校開(kāi)展“數(shù)學(xué)走進(jìn)生活”的活動(dòng)課，本次任務(wù)是測(cè)量大

樓的高度.如圖，小組成員選擇在大樓前的空地上的點(diǎn)C處將無(wú)人機(jī)垂直升至空中。處，在。處測(cè)

得樓的頂部A處的仰角為42°，測(cè)得樓AB的底部8處的俯角為30。.已知。處距地面高度為12m,則這

個(gè)小組測(cè)得大樓A3的高度是多少？（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：tan42-0.90,tan48'Lll,

73?1.73）

A

。代--

__________''--I

CB

7.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）大雁塔南廣場(chǎng)玄奘銅像是為紀(jì)念唐代高僧玄奘而設(shè)計(jì).在一次課外活動(dòng)

中，甲、乙兩位同學(xué)測(cè)量玄奘銅像的高度他們分別在A,8兩處用高度為1.8機(jī)的測(cè)角儀測(cè)得銅像頂部C的

仰角分別為30。，60。，兩人間的水平距離為求玄奘銅像的高度C?（結(jié)果保留根號(hào)）

8.（2023秋?山東濟(jì)南?九年級(jí)期末）如圖，某野外生態(tài)考察小組早晨7點(diǎn)整從A營(yíng)地出發(fā)，準(zhǔn)備前往正東

方向的8營(yíng)地，由于一條南北向河流的阻擋（圖中陰影部分），他們需要從C處過(guò)橋.經(jīng)過(guò)測(cè)量得知，A、

8之間的距離為13km,0A和的度數(shù)分別是37。和53。，橋CD的長(zhǎng)度是0.5km,圖中的區(qū)域。FE近似

看做一個(gè)矩形區(qū)域.

（1）求CE的長(zhǎng)；

（2）該考察小組希望到達(dá)B營(yíng)地的時(shí)間不遲于中午12點(diǎn)，則他們的行進(jìn)速度至少是多少？（結(jié)果保留1

位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.60,cos370=0.80,tan370=0.75）

9.（2020秋?安徽合肥?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，從一熱氣球的探測(cè)器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部B點(diǎn)的仰

角為30。，看這棟高樓底部C點(diǎn)的俯角為60。，若熱氣球與高樓的水平距離為60m,求這棟高樓的高度.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

1.（2020?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部C的仰角是30。，測(cè)得

底部B的俯角是60。，此時(shí)無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD是9米，那么該建筑物的高度BC為

米（結(jié)果保留根號(hào)）.

2.（2020?湖北咸寧?中考真題）如圖，海上有一燈塔P,位于小島A北偏東60。方向上，一艘輪船從北小島

A出發(fā)，由西向東航行24nmile到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30。方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)

向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南方，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是nmile.（結(jié)果保留一位小

數(shù)，6al.73）

3.（2020?四川樂(lè)山?中考真題）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖.自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為30。，在

自動(dòng)扶梯下方地面C處測(cè)得扶梯頂端B的仰角為60。，A、C之間的距離為4優(yōu).則自動(dòng)扶梯的垂直高度

BD=m.（結(jié)果保留根號(hào)）

三、解答題

4.（2021?湖南永州?統(tǒng)考中考真題）已知銳角ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,邊角總滿(mǎn)足關(guān)

abc

率式?---=----=----

ssinAsinBsinC

A

（1）如圖1,若。=6,/B=45o,/C=75。，求b的值；

（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個(gè)銳角三角形水池A3C中建一座小型景觀橋8（如圖2所示），若

CD，AB,AC=14米，AB=10米，inZACB=—,求景觀橋8的長(zhǎng)度.

s14

5.（2020?湖北黃石?中考真題）如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測(cè)量

對(duì)面的乙棟樓房8的高度，己知甲棟樓房A8與乙棟樓房8的水平距離AC=186米，小麗在甲棟樓房

頂部B點(diǎn)，測(cè)得乙棟樓房頂部。點(diǎn)的仰角是30。，底部C點(diǎn)的俯角是45。，求乙棟樓房8的高度（結(jié)果保

留根號(hào)）.

D

口

口

口

30°\B

口

口

口

45°口

口

口

口

口

口

口

口

口

CA

6.（2021?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑"大明寶塔"，始建于明嘉靖十四年（1535

年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑.寶塔建造工藝精湛，與嶺帽山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平

涼古塔"雙璧某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)量"大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過(guò)程如下：

方案設(shè)計(jì)：如圖2,寶塔8垂直于地面，在地面上選取4,8兩處分別測(cè)得/。4。和/8。的度數(shù)

（A。,B在同一條直線(xiàn)上）.

數(shù)據(jù)收集：通過(guò)實(shí)地測(cè)量：地面上4,8兩點(diǎn)的距離為58111,/6。=42。,/。8。=58。.

問(wèn)題解決：求寶塔8的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin42°x0.67,cos42°=0.74,tan42°?0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程.

mu

ffll

7.（2020?湖南永州?中考真題）一艘漁船從位于A海島北偏東60。方向，距A海島60海里的B處出發(fā)，以

每小時(shí)30海里的速度沿正南方向航行.已知在A海島周?chē)?0海里水域內(nèi)有暗礁.（參考數(shù)據(jù)：

V3"73,6?2.24,近x2.65）

（1）這艘漁船在航行過(guò)程中是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）漁船航行3小時(shí)后到達(dá)C處，求A,C之間的距離.

8.（2020?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）從A處看一棟樓頂部的仰角為a,看這棟樓底部的俯角為夕，A處與樓

的水平距離AD為90m,若tana=0.27,tan-=2.73,求這棟樓高.

9.（2020?湖北恩施?中考真題）如圖，一艘輪船以每小時(shí)30海里的速度自東向西航行，在A處測(cè)得小島尸

位于其西北方向（北偏西45。方向），2小時(shí)后輪船到達(dá)B處，在8處測(cè)得小島尸位于其北偏東60°方向.求

此時(shí)船與小島P的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：皿=1.414,V3?1.732）.

10.（2020?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C,測(cè)得

ZCAB=30°,XABC=45°,AC=8千米，求A、8兩點(diǎn)間的距離.（參考數(shù)據(jù)：母…，81.7,結(jié)

果精確到1千米）.

11.（2020?山東濰坊?中考真題）某校"綜合與實(shí)踐”小組采用無(wú)人機(jī)輔助的方法測(cè)量一座橋的長(zhǎng)度.如圖，

橋A8是水平并且筆直的，測(cè)量過(guò)程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋A8的上方120米的點(diǎn)C處懸停，此時(shí)

測(cè)得橋兩端A,B兩點(diǎn)的俯角分別為60。和45。，求橋A3的長(zhǎng)度.

12.（2020?甘肅金昌?統(tǒng)考中考真題）圖①是甘肅省博物館的鎮(zhèn)館之寶一一銅奔馬，又稱(chēng)"馬踏飛燕"，于

1969年10月出土于武威市的雷臺(tái)漢墓，1983年10月被國(guó)家旅游局確定為中國(guó)旅游標(biāo)志，在很多旅游城

市的廣場(chǎng)上都有"馬踏飛燕"雕塑，某學(xué)習(xí)小組把測(cè)量本城市廣場(chǎng)的"馬踏飛燕"雕塑（圖②）最高點(diǎn)離地面

的高度作為一次課題活動(dòng)，同學(xué)們制定了測(cè)量方案，并完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)得結(jié)果如下表:

課題測(cè)量"馬踏飛燕"雕塑最高點(diǎn)離地面的高度

如圖，雕塑的最高點(diǎn)8到地面的高度為

BA,在測(cè)點(diǎn)C用儀器測(cè)得點(diǎn)3的仰角為

a,前進(jìn)一段距離到達(dá)測(cè)點(diǎn)石，再用該儀

測(cè)量示意圖

器測(cè)得點(diǎn)8的仰角為夕，且點(diǎn)A,B,

EC,D,E,尸均在同一豎直平面內(nèi)，

點(diǎn)A,C,E在同一條直線(xiàn)上.

儀器8（所）的

a的度數(shù)夕的度數(shù)a的長(zhǎng)度

高度

測(cè)量數(shù)據(jù)

31°425米1.5米

請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出“馬踏飛燕"雕塑最高點(diǎn)離地面的高度（結(jié)果保留一位小

數(shù)）.（參考數(shù)據(jù):sin31*0.52,cos31#0.86,tan31?0.60,sin42=0.67,cos42a0.74,

tan42?0.90)

國(guó)①

13.（2020,湖南岳陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）共抓長(zhǎng)江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽(yáng)，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜

合治理項(xiàng)目，需要從如圖A,3兩地向C地新建AC,兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測(cè)得C地在A地

北偏東45。方向上，在8地北偏西68。方向上，AB的距離為7初?，求新建管道的總長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到

OAhtz,sin22°?0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.40,72?1.41）

14.（2020?四川成都?統(tǒng)考中考真題）成都"339”電視塔作為成都市地標(biāo)性建筑之一，現(xiàn)已成為外地游客到成

都旅游打卡的網(wǎng)紅地.如圖，為測(cè)量電視塔觀景臺(tái)A處的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在電視塔附近一建筑物樓

頂。處測(cè)得塔A處的仰角為45。，塔底部B處的俯角為22。.已知建筑物的高。約為61米，請(qǐng)計(jì)算觀景臺(tái)

的高A8的值.

（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin22