八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第17章 單元綜合測(cè)試卷（人教河北版 2025年春）

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章單元綜合測(cè)試卷（人教河北版2025年春）一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1．直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1，eq\r(3)，則其斜邊的長(zhǎng)為()A．3eq\r(2)B．2eq\r(6)C．4eq\r(3)D．22．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()A．9，16，25B.eq\r(2)，eq\r(2)，2C．1.5，2，2.5D．5，12，133．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，則正方形ABDE的面積為()A．81B．144C．225D．1694．在平面直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\r(3)))，Q(－eq\r(2)，eq\r(6))，M(－2，eq\r(3))，N(eq\r(3)，2)，則這四個(gè)點(diǎn)中到原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的是()A．PB．QC．MD．N5．如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AD在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)－1，點(diǎn)D表示數(shù)－4，AB＝1，以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，與數(shù)軸負(fù)半軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)為()A．－eq\r(17)B．－1－eq\r(17)C．－eq\r(10)D．－1－eq\r(10)6．由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是()A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．AB＝3k，BC＝4k，AC＝5k(k為正整數(shù))D．AC＝3＋k，AB＝4＋k，BC＝5＋k(k>0)7．如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于eq\f(1,2)AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于F，G兩點(diǎn)，作直線FG分別交AB，BC于點(diǎn)M，D；再分別以點(diǎn)A，C為圓心，以大于eq\f(1,2)AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于H，I兩點(diǎn)，作直線HI分別交AC，BC于點(diǎn)N，E.若BD＝eq\f(3,2)，DE＝2，EC＝eq\f(5,2)，則AC的長(zhǎng)為()A.eq\f(3\r(10),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3\r(5),2)D.eq\f(3\r(2),2)8．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形．這個(gè)圖形是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點(diǎn)得到圖②的“風(fēng)車”圖案(陰影部分)．若圖①中的四個(gè)直角三角形的較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為9，較短直角邊長(zhǎng)為5，則圖②中的“風(fēng)車”圖案的周長(zhǎng)為()A．16＋4eq\r(41)B．16＋4eq\r(31)C．20＋4eq\r(41)D．20＋4eq\r(31)9．如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，高為5cm.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為()A．8cmB．10cmC．12cmD．13cm10．如圖①，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以這個(gè)直角三角形的三邊為邊作正方形．圖②由圖①的兩個(gè)小正方形向外分別作直角邊長(zhǎng)之比為4∶3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊作正方形，…，按此規(guī)律，則圖⑥中所有正方形的面積之和為()A．200B．175C．150D．125二、填空題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)11.命題“對(duì)頂角相等”的逆命題是________________________．12．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2－a2＝c2，若∠A＝70°，則∠C的度數(shù)是________．13．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了研究筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，當(dāng)張角為∠BAF時(shí)，頂部邊緣B處離桌面的高度BC為7cm，此時(shí)底部邊緣A處與C處之間的距離AC為24cm，小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為∠DAF時(shí)(D是B的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，頂部邊緣D處到桌面的距離DE為20cm，則底部邊緣A處與E處之間的距離AE為________．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將△ACP沿AP折疊得到△ADP，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BD，若AC＝5，BC＝12，當(dāng)△PBD為直角三角形時(shí)，線段CP的長(zhǎng)為__________．三、解答題(本大題共4小題，共58分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15.(12分)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求證：∠A＋∠C＝180°.16．(12分)將邊長(zhǎng)分別為a和2b(a＞b)的長(zhǎng)方形分割成四個(gè)全等的直角三角形，如圖①，再用這四個(gè)三角形拼成如圖②所示的大正方形，中間形成一個(gè)小正方形的空洞．經(jīng)測(cè)量得長(zhǎng)方形的面積為24，大正方形的邊長(zhǎng)為5.試通過(guò)你獲取的信息，求a2＋b2和a2－b2的值．17．(16分)釣魚島及其附屬島嶼是中國(guó)的固有領(lǐng)土，我國(guó)對(duì)釣魚島的巡航已經(jīng)常態(tài)化．如圖，甲、乙兩艘海警船同時(shí)從位于南北方向的海岸線AB上的某港口P出發(fā)，各自沿一固定方向?qū)︶烎~島巡航，已知甲船每小時(shí)航行12海里，乙船每小時(shí)航行16海里．(1)若甲、乙兩船離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于Q，R處(圖①)，且相距30海里，如果知道甲船沿北偏東70°方向航行，那么你知道乙船沿哪個(gè)方向航行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若甲船沿北偏東60°方向航行(圖②)，從港口P離開經(jīng)過(guò)兩個(gè)小時(shí)后位于點(diǎn)C處，此時(shí)船上有名海警需要以最快的速度回到PA海岸線上，若他從C處出發(fā)，乘坐的快艇的速度是每小時(shí)90海里，他能在14分鐘內(nèi)回到海岸線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(提示：eq\r(3)≈1.7)18．(18分)【問(wèn)題提出】(1)如圖①，△ABC和△DCE都是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，連接AD，AE，BD.①求證：BD＝AE；②若∠ADC＝150°，求證：BD2＝AD2＋CD2；【問(wèn)題探究】(2)如圖②，△ABC和△DCE都是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC外部，若BD2＝AD2＋CD2仍然成立，求∠ADC的度數(shù)；【問(wèn)題拓展】(3)如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)．若∠ADC＝45°，BD＝eq\r(23)，CD＝eq\r(5)，請(qǐng)直接寫出AD的長(zhǎng)．

答案答案速查12345678910DDCBDDACDB11.相等的兩個(gè)角為對(duì)頂角12.20°13.15cm14.eq\f(10,3)或515．證明：連接AC.∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，∴由勾股定理，得AC2＝202＋152＝625.∵CD＝7，AD＝24，∴CD2＋AD2＝625，∴AC2＝CD2＋AD2，∴∠D＝90°，∴∠A＋∠C＝360°－180°＝180°.16．解：根據(jù)題意得a2＋b2＝52＝25，a·2b＝24，∴a2＋b2＋2ab＝49，∴a＋b＝7，由題圖②得(a－b)2＝25－24＝1，∵a＞b，∴a－b＝1，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝7×1＝7.17．解：(1)乙船沿南偏東20° 方向航行．理由如下：由題意得∠APQ＝70°，PQ＝12×1.5＝18(海里)，PR＝16×1.5＝24(海里)，在△PQR中，∵PQ2＋PR2＝182＋242＝900，QR2＝302＝900，∴PQ2＋PR2＝QR2，∴△PQR是直角三角形，∠QPR＝90°，∴∠BPR＝180°－∠APQ－∠QPR＝180°－70°－90°＝20°，∴乙船沿南偏東20°方向航行．(2)能，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由題意知∠CPD＝60°，PC＝2×12＝24(海里)，∴∠C＝30°，∴PD＝eq\f(1,2)PC＝12海里，∴CD＝eq\r(242－122)＝12eq\r(3)≈20.4(海里)．∵90×eq\f(14,60)＝21(海里)，21>20.4，∴他能在14分鐘內(nèi)回到海岸線．18．(1)證明：①∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△CBD≌△CAE，∴BD＝AE.②∵△DCE為等邊三角形，∴∠EDC＝60°，DE＝CD.∵∠ADC＝150°，∴∠ADE＝150°－60°＝90°，∴AD2＋DE2＝AE2.由①知BD＝AE，∴BD2＝AD2＋CD2.(2)解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△CBD≌△CAE，∴BD＝AE，∵BD2＝AD2＋CD2，∴AE2＝AD2＋DE2，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC＝∠ADE－∠CDE＝90°－60°＝30°.(3)解：AD的長(zhǎng)為3.點(diǎn)撥：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD，使AE＝AD，連接DE，CE，則∠ADE＝45°.∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.∵