基本不等式的應(yīng)用（2）　教案 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊

教案標(biāo)題：基本不等式的應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】1.通過應(yīng)用基本不等式解決實際問題，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握基本不等式，會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值．2.通過對實際問題的探究，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題及歸納的能力．3.通過解決實際問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的興趣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度．【教學(xué)重點】利用基本不等式求實際問題的最值．【教學(xué)難點】拆項、湊項構(gòu)造基本不等式的形式以及基本不等式等號成立的條件．【教學(xué)方法】教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)．【教學(xué)手段】計算機，PPT．【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運算．【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本不等式及其變形，接下來，我們將要研究一下如何運用基本不等式來解決一些實際問題．在日常生活與生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會遇到如何使材料最省，利潤最高，成本最低等問題，這些問題通常可借助基本不等式來解決．首先，我們來復(fù)習(xí)一下相關(guān)知識：定理：對任意，必有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．推論：對任意必有，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ旅嫖覀儊砜磫栴}一：問題一：（1）把12寫成兩個正數(shù)的乘積，當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最??？（2）把25寫成兩個正數(shù)的和，當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最大？二、思辨論證，歸納總結(jié)思辨：對于第一個小問題我們可以把它轉(zhuǎn)化為已知兩個正數(shù)，且，求的最小值．過程：設(shè)兩個正數(shù)為，則，且．思辨：我們不難發(fā)現(xiàn)，由于“積定和最小”，所以由基本不等式我們就可以求得的最小值．過程：，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時．所以，把12寫成兩個的乘積時，它們的和最小，最小和為，解決第一個小問題我們利用了“積定和最小”這個條件．下面我們再來看第二個小問題。同樣的我們將這個問題簡化為以下這樣一個問題．過程：設(shè)兩個正數(shù)為，則，且，求的最大值．思辨：我們不難利用基本不等式的“和定積最大”這個條件，我們就可以求得的最大值．過程：由可得，當(dāng)且僅當(dāng)．所以，把25寫成兩個的和時，它們的積最大，最大積為。剛才這兩個小問題蘊含了基本不等式的一個非常重要的應(yīng)用模型，那就是“和定積最大”，“積定和最小”．歸納：已知都為正數(shù)，則（1）如果積是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，和有最小值；（2）如果和是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，積有最大值．三、掌握證法，適當(dāng)延展下面我們再來看這樣一個實際的應(yīng)用題：問題一：某單位欲建造一間底面為矩形且面積為12的背景靠墻的小屋，房屋正面的造價為1200元/，側(cè)面的造價為800元/，屋頂?shù)脑靸r為5200元，如果墻高為3m，且不計房屋背面和底面的費用，問怎樣設(shè)計房屋能使總造價最低？最低總造價是多少元？思辨：拿到一個實際應(yīng)用的問題，首先我們要仔細(xì)閱讀題干，提取有用的信息，并且將這些信息數(shù)學(xué)化．我們可以假設(shè)房屋正面的長為，側(cè)面長為，房屋的總造價為元，根據(jù)題意，有，且總造價的表達(dá)式如下．過程：設(shè)房屋正面的長為，側(cè)面長為，房屋的總造價為元，根據(jù)題意，有，且．思辨：由于，所以我們可以利用基本不等式和不等式性質(zhì)，求得這個問題的最小值．過程：，，．思辨：最后在驗證當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，所以將房屋設(shè)計成正面長為4m，側(cè)面長為3m時總造價最低，最低總造價是34000元．過程：當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時．四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識通過以上兩個問題我們發(fā)現(xiàn)基本不等式經(jīng)常運用于求解最值問題，而且在使用基本不等式時大家需要注意使用條件和等號成立的條件．歸納：在解決實際問題