重難點(diǎn)48 概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列結(jié)合八大題型【2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型突破】（解析版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)專題48概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列結(jié)合八大題型匯總題型1基礎(chǔ)模型 1題型2傳球模型 10題型3游走模型 20題型4藥物相關(guān)模型 33題型5商場銷售模型 44題型6摸球模型 54題型7射擊模型 63題型8證明題型 70題型1基礎(chǔ)模型在n+1時(shí)刻的狀態(tài)，只跟第n刻的狀態(tài)有關(guān)，與n-1，n-2，n-3...等時(shí)刻狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.【例題1】（2020·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）小芳、小明兩人各拿兩顆質(zhì)地均勻的骰子做游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)，則由原投擲人繼續(xù)投擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是4的倍數(shù)，則由對(duì)方接著投擲．（1）規(guī)定第1次從小明開始．（?。┣笄?次投擲中小明恰好投擲2次的概率；（ⅱ）設(shè)游戲的前4次中，小芳投擲的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望．（2）若第1次從小芳開始，求第n次由小芳投擲的概率Pn【答案】（1）（?。?964（ⅱ）見解析，2716【分析】（1）（?。┮蝗送稊S兩顆骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)的概率為936=1（2）若第1次從小芳開始，則第n次由小芳投擲骰子有兩種情況：1.第n-1次由小芳投擲，第n次繼續(xù)由小芳投擲，2.第n-1次由小明投擲，第n次由小芳投擲.【詳解】（1）一人投擲兩顆骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)的概率為936（?。┮?yàn)榈?次從小明開始，所以前4次投擲中小明恰好投擲2次的概率，P=1（ⅱ）設(shè)游戲的前4次中，小芳投擲的次數(shù)為X，依題意，X可取0，1，2，3，所以P(X=0)=14×P(X=2)=3964，所以X的分布列為X0123P121393所以E(X)=0×1（2）若第1次從小芳開始，則第n次由小芳投擲骰子有兩種情況：①第n-1次由小芳投擲，第n次繼續(xù)由小芳投擲，其概率為Pn②第n-1次由小明投擲，第n次由小芳投擲，其概率為Pn因?yàn)棰佗趦煞N情形是互斥的，所以Pn所以Pn-12=-12-12為公比的等比數(shù)列，所以Pn【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的分布列與數(shù)列綜合應(yīng)用，涉及到利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，考查學(xué)生邏輯推理與運(yùn)算能力，是一道有一定難度的綜合題.【變式1-1】1.（2024上·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）2023年10月7日，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)女子排球決賽，中國隊(duì)以3比0戰(zhàn)勝日本隊(duì)，奪得冠軍，這也是中國女排第9個(gè)亞運(yùn)冠軍．她們用汗水詮釋了幾代女排人不屈不撓、不斷拼搏的精神．某學(xué)校為了弘揚(yáng)女排精神，組織高三同學(xué)參加《三環(huán)杯》排球賽，采用5局3勝制，每局25個(gè)回合，決勝局15個(gè)回合．在一個(gè)回合中，贏的球隊(duì)獲得1分，輸?shù)那蜿?duì)不得分，且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩支球隊(duì)在每一個(gè)回合中輸贏情況如下：當(dāng)甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為12；當(dāng)乙隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，乙隊(duì)獲勝的概率為2(1)在第一局比賽中，求在前三個(gè)回合里乙隊(duì)獲得2分的概率；(2)在第二局比賽中，假設(shè)由乙隊(duì)先發(fā)球，試比較在第五個(gè)回合中，甲乙兩隊(duì)誰發(fā)球的概率更大？【答案】(1)79(2)乙隊(duì)開球的概率更大【分析】（1）考慮甲隊(duì)先發(fā)球和乙隊(duì)先發(fā)球兩種情況，根據(jù)乙隊(duì)贏2次輸1次計(jì)算概率得到答案.（2）確定P5=12P4+131-P4，【詳解】（1）當(dāng)某局比賽開始，甲隊(duì)先發(fā)球，乙隊(duì)獲取2分的概率為：Pa當(dāng)某局比賽開始，乙隊(duì)先發(fā)球，乙隊(duì)獲取2分的概率為：Pb所以在前三局比賽中，乙隊(duì)獲得2分的概率P=P（2）方法一：設(shè)在第i個(gè)回合中，甲隊(duì)開球的概率為Pi在第五個(gè)回合中，甲隊(duì)開球的概率：P5同理：P4=12P故P1=0，P2=13，又P5方法二：設(shè)在第i個(gè)回合中，甲隊(duì)開球的概率為Pi由全概率公式得：Pi=1由題意得：P1所以數(shù)列Pi-25由是以所以：Pi-2所以：P5故在第五個(gè)回合中，乙隊(duì)開球的概率更大．【變式1-1】2.（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校新校區(qū)在校園里邊種植了一種漂亮的植物，會(huì)開出粉紅色或黃色的花．這種植物第1代開粉紅色花和黃色花的概率都是12，從第2代開始，若上一代開粉紅色的花，則這一代開粉紅色的花的概率是35，開黃色花的概率是25；若上一代開黃色的花，則這一代開粉紅色的花的概率為15，開黃色花的概率為4(1)求第2代開黃色花的概率；(2)證明：i=1n【答案】(1)3(2)證明見解析【分析】（1）由條件概率公式以及概率的加法公式計(jì)算可得第2代開黃色花的概率為35（2）由題意可求得Pn-13是以16裂項(xiàng)可得1-3Pi5【詳解】（1）設(shè)事件Ai表示第i代開粉紅色花，事件B由題意可得PB所以第2代開黃色花的概率為35（2）由題可知P1=12，設(shè)Pn+λ=2則Pn=25P即Pn所以Pn-13是以可得Pn-1因此1-3P由累加法可得：i=1n所以可得i=1n【變式1-1】3.（2020·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一袋中有大小、形狀相同的2個(gè)白球和10個(gè)黑球，從中任取一球．如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該球不再放回，另補(bǔ)一個(gè)白球放到袋中．在重復(fù)n次這樣的操作后，記袋中的白球個(gè)數(shù)為Xn（1）求EX（2）設(shè)PXn=2+k（3）證明：EX【答案】（1）EX1=【分析】（1）根據(jù)X1（2）求得當(dāng)k=0時(shí)，以及1≤k≤10時(shí)的概率，則問題得解；（3）對(duì)第n+1次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為第n+1次取出來的是白球，或者黑球進(jìn)行討論，即可證明.【詳解】（1）∵X1=2或∴PX1=2∴EX（2）∵當(dāng)k=0時(shí)，PX當(dāng)1?k?10時(shí)，第n+1次取出來有2+k個(gè)白球的可能性有兩種：第n次袋中有2+k個(gè)白球，顯然每次取出球后，球的總數(shù)保持不變，即袋中有2+k個(gè)白球，10-k個(gè)黑球，第n+1次取出來的也是白球的概率為2+k12第n次袋中有1+k個(gè)白球，第n+1次取出來的是黑球，由于每次總數(shù)為12個(gè)，故此時(shí)黑球數(shù)為11-k個(gè)，這種情況發(fā)生的概率為11-k12∴PX∴綜上可知，P（3）∵第n+1次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類情況：第n次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為EX第n+1次取出來的是白球的概率為EX第n+1次取出來的是黑球的概率為12-EXn12∴E=EXn【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算，數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，本題的難點(diǎn)在于分類討論要仔細(xì)嚴(yán)謹(jǐn)，屬綜合中檔題.【變式1-1】4.（2021上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2021年4月23日是第26個(gè)“世界讀書日”，某校組織“閱百年歷程，傳精神力量”主題知識(shí)競賽，有基礎(chǔ)題、挑戰(zhàn)題兩類問題.每位參賽同學(xué)回答n次n≥3,n∈N*，每次回答一個(gè)問題，若回答正確，則下一個(gè)問題從挑戰(zhàn)題庫中隨機(jī)抽?。蝗艋卮疱e(cuò)誤，則下一個(gè)問題從基礎(chǔ)題庫中隨機(jī)抽取.規(guī)定每位參賽同學(xué)回答的第一個(gè)問題從基礎(chǔ)題庫中抽取，基礎(chǔ)題答對(duì)一個(gè)得10分，否則得0分；挑戰(zhàn)題答對(duì)一個(gè)得30分，否則得0分.已知小明能正確回答基礎(chǔ)類問題的概率為35(1)記小明前2題累計(jì)得分為X，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)記第k題小明回答正確的概率為ak,k=1,2,?,n，證明：當(dāng)k≥2時(shí)，a【答案】(1)X01040P436數(shù)學(xué)期望為78(2)證明見解析，a【分析】（1）寫出X的可能取值，并求出相應(yīng)的概率，從而求出分布列及期望；（2）根據(jù)題意列出ak與ak-1的關(guān)系式，利用構(gòu)造法求出【詳解】（1）X的所有可能取值為0，10，40PX=0=PX=40∴X的分布列如下：X01040P436EX（2）根據(jù)題意得：第k-1題回答正確的概率為ak-1，則aak-12=-15ak-1+110=-【變式1-1】5.（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某單位有A、B、C、D四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種．已知第1周選擇使用A密碼．(1)求第3周使用A密碼的概率；(2)求第k周使用A密碼的概率；(3)記前n周中使用B密碼的次數(shù)為Y，求EY【答案】(1)1(2)3(3)E【分析】（1）根據(jù)題意，第3周從上周未選用的三種密碼中任選一種即可得解；（2）找出第k周使用A密碼的概率ak與第k+1周使用A密碼的概率ak+1的關(guān)系，根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系可得（3）根據(jù)題意求出前n周中使用A種密碼次數(shù)的均值EX，可得E【詳解】（1）因?yàn)榈?周選擇使用A種密碼，所以第2周不選擇使用A種密碼，所以第3周從上周未選用的三種密碼中任選一種，所以選擇使用A密碼的概率為13（2）設(shè)第k周使用A密碼的概率為ak第k+1周使用A密碼的概率ak+1整理得ak+1因?yàn)閍1=1，所以所以數(shù)列ak-14是以所以ak-1答：第k周使用A密碼的概率為34（3）設(shè)第k周使用A種密碼的次數(shù)為Xkk=1,2,?,n，則Xk所以E=EX所以前n周中使用A種密碼次數(shù)的均值為EX所以EY題型2傳球模型傳球模式是經(jīng)典的數(shù)列模型.注意尋找里邊的數(shù)列遞關(guān)系.【例題2】（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運(yùn)動(dòng)員，然后該運(yùn)動(dòng)員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運(yùn)動(dòng)員，則這次有13的概率再傳給該運(yùn)動(dòng)員，有23的概率傳給另一位運(yùn)動(dòng)員.已知教練第一次傳給了甲運(yùn)動(dòng)員，且教練第n次傳球傳給甲運(yùn)動(dòng)員的概率為(1)求p2，p(2)求pn(3)設(shè)qn=2【答案】(1)p2=(2)p(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合互斥事件和獨(dú)立事件概率公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件概率公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（3）利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）p1=1，p2（2）由已知pn=13p∴pn-1∴pn-1（3）qn設(shè)hx=x-sinx，x∈0,1，∴h顯然qn>q∴qn-sin即qn+1∴i=1n【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意利用獨(dú)立事件概率公式得到遞推關(guān)系式pn【變式2-1】1.（2023上·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年10月5日晚，杭州亞運(yùn)會(huì)五人制女籃比賽收官．決賽中，中國女籃74:72戰(zhàn)勝日本女籃，以六戰(zhàn)全勝的成績衛(wèi)冕成功．這也是繼亞洲杯決賽后，中國女籃再度擊敗對(duì)手．這也是中國女籃第七次獲得亞運(yùn)會(huì)冠軍．中國女籃首發(fā)五人分別是李夢(mèng)、韓旭、黃思靜、王思雨和金維娜娜．主教練鄭薇準(zhǔn)備從這五人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練．訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出．(1)記李夢(mèng)，韓旭，黃思靜三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列：(2)若剛好抽到李夢(mèng)，韓旭，黃思靜三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由李夢(mèng)將球傳出，記n次傳球后球在李夢(mèng)手中的概率為pn①直接寫出p1②求pn+1與pn的關(guān)系式n∈N【答案】(1)分布列見解析(2)①p1=0，p2=12，p3【分析】（1）依題意可知X的可能取值為1、2、3，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列；（2）①利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；②記An表示事件“經(jīng)過n次傳球后，球在李夢(mèng)手中”，由全概率公式可求p【詳解】（1）依題意可知X的可能取值為1、2、3，則PX=1=C31所以隨機(jī)變量X的分布列為：X123P331.（2）①若剛好抽到李夢(mèng)，韓旭，黃思靜三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由李夢(mèng)將球傳出，n次傳球后球在李夢(mèng)手中的概率為pn則有p1=0，p2②記An表示事件“經(jīng)過n次傳球后，球在李夢(mèng)手中”，則A所以p=PA即pn+1所以pn+1-1所以數(shù)列pn-13表示以所以pn-1即n次傳球后球在李夢(mèng)手中的概率pn【變式2-1】2.（2020·山東青島·統(tǒng)考二模）中國女排，曾經(jīng)十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神.女排精神的具體表現(xiàn)為：扎扎實(shí)實(shí)，勤學(xué)苦練，無所畏懼，頑強(qiáng)拼搏，同甘共苦，團(tuán)結(jié)戰(zhàn)斗，刻苦鉆研，勇攀高峰.女排精神對(duì)各行各業(yè)的勞動(dòng)者起到了激勵(lì)、感召和促進(jìn)作用，給予全國人民巨大的鼓舞.（1）看過中國女排的紀(jì)錄片后，某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動(dòng)，一段時(shí)間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高，將該大學(xué)近5個(gè)月體重超重的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：月份x12345體重超重的人數(shù)y640540420300200若該大學(xué)體重超重人數(shù)y與月份變量x（月份變量x依次為1，2，3，4，5…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)預(yù)測從第幾月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下？（2）在某次排球訓(xùn)練課上，球恰由A隊(duì)員控制，此后排球僅在A隊(duì)員、B隊(duì)員和C隊(duì)員三人中傳遞，已知每當(dāng)球由A隊(duì)員控制時(shí)，傳給B隊(duì)員的概率為12，傳給C隊(duì)員的概率為12；每當(dāng)球由B隊(duì)員控制時(shí)，傳給A隊(duì)員的概率為23，傳給C隊(duì)員的概率為13；每當(dāng)球由C隊(duì)員控制時(shí)，傳給A隊(duì)員的概率為23，傳給B隊(duì)員的概率為13.記（i）若n=3，B隊(duì)員控制球的次數(shù)為X，求EX；（ii）若an=23bn-1+23cn-1，附1：回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：附2：參考數(shù)據(jù)：i=15xi【答案】（1）可以預(yù)測從第7月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下；（2）（i）1918（ii）證明見解析；a【分析】（1）利用回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程，并由此進(jìn)行預(yù)測.（i）利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列，進(jìn)而計(jì)算出EX.（ii）證明部分：法一：通過證明an+1-25=-23求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，由此判斷出a【詳解】（1）由已知可得：x=y=又因?yàn)閕=15xi所以b=所以a=所以y=當(dāng)y=-112x+756<10x∈N*所以，可以預(yù)測從第7月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下.（2）（i）由題知X的可能取值為：0，1，2；PX=0PX=1PX=2X的分布列為：X012P1112所以EX（ii）（法一）由bn=1兩式相加得：bn因?yàn)閍n所以bn-1+c代入等式得32a所以an+1因?yàn)閍1=0，所以an+1+2所以數(shù)列an-25是首項(xiàng)為所以an即an因此經(jīng)過200次傳球后A隊(duì)員控制球的概率a200（法二）由題知：cn=1所以an又因?yàn)閎n所以cn所以an所以an所以an又因?yàn)閍1=0，所以所以數(shù)列an-25是首項(xiàng)為所以an-2因此經(jīng)過200次傳球后A隊(duì)員控制球的概率a200【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程的計(jì)算，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測，考查根據(jù)遞推關(guān)系證明等比數(shù)列，考查隨機(jī)變量期望值的計(jì)算，屬于難題.【變式2-1】3.（2021·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）排球隊(duì)的6名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊(duì)員把球傳給其他5人的概率相等，由甲開始傳球（1）求前3次傳球中，乙恰有1次接到球的概率；（2）設(shè)第n次傳球后球在乙手中的概率為Pn，求P【答案】（1）56125；（2）P【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式與互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（2）求得Pn=1-Pn-1【詳解】（1）記事件A為“前3次傳球中，乙恰有1次接到球”，PA（2）由題意，P1=1∴Pn-16所以，數(shù)列Pn-16是以∴Pn-【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的典型方法：（1）當(dāng)出現(xiàn)an（2）當(dāng)出現(xiàn)an（3）當(dāng)出現(xiàn)an（4）當(dāng)出現(xiàn)an【變式2-1】4.（2020·河南·沈丘縣第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每人等概率傳給另外兩人．第一次球從甲手中傳出．（1）第四次傳球結(jié)束，球恰好傳回甲手中的概率；（2）若第n次傳球結(jié)束后，球在甲手中的概率為an（i）用an表示an＋1（（ii）求{an【答案】（1）38；（2）（i）an+1=-【分析】1依次分析第一次傳球給甲、乙、丙的概率，第二次傳球到甲、乙、丙的概率，第三次、第四次傳球到甲、乙、丙的概率，可得答案；2i根據(jù)第n次傳球到乙丙手中的概率為1-an2，可得ii由an+1與an的關(guān)系得出【詳解】1第一次傳球給甲、乙、丙的概率分別為0,12,同理，第三次、第四次傳球到甲、乙、丙的概率分別為14故第四次傳球結(jié)束，球恰好傳回甲手中的概率為382i第n次傳球到乙丙手中的概率為1-an所以an+1iia∴an-13∴a所以an【變式2-1】5.（2020下·廣東深圳·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”.為推廣足球運(yùn)動(dòng)，某學(xué)校成立了足球社團(tuán)由于報(bào)名人數(shù)較多，需對(duì)報(bào)名者進(jìn)行“點(diǎn)球測試”來決定是否錄取，規(guī)則如下：（1）下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，以這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率代表其單次點(diǎn)球踢進(jìn)的概率.為加入足球社團(tuán)，該同學(xué)進(jìn)行了“點(diǎn)球測試”，每次點(diǎn)球是否踢進(jìn)相互獨(dú)立，將他在測試中所踢的點(diǎn)球次數(shù)記為ξ，求Eξ點(diǎn)球數(shù)203030252025進(jìn)球數(shù)101720161314（2）社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，接到第n次傳球的人即為第n+1次觸球者n∈N+，第n次觸球者是甲的概率記為（i）求P1，P2，（ii）證明：數(shù)列Pn【答案】（1）1.56（2）（i）P1=1，P2【分析】（1）先求出踢一次點(diǎn)球命中的概率，然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式分別求出ξ取1，2，3的概率，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式可求得結(jié)果；（2）（i）根據(jù)傳球順序分析可得答案；（ii）根據(jù)題意可得Pn=P【詳解】（1）這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率為10+17+20+16+13+14150則該同學(xué)踢一次點(diǎn)球命中的概率p=0.6，由題意，ξ可能取1，2，3，則Pξ=1=0.6，Pξ=2則ξ的期望Eξ（2）（i）因?yàn)閺募组_始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，所以第1次觸球者是甲的概率P1=1，顯然第2次觸球者是甲的概率P2（ii）∵第n次觸球者是甲的概率為Pn所以當(dāng)n≥2時(shí)，第n-1次觸球者是甲的概率為Pn-1，第n-1次觸球者不是甲的概率為1-則Pn從而Pn-1∴Pn-13是以【點(diǎn)睛】本題考查了樣本估計(jì)總體，離散型隨機(jī)變量的期望，考查了遞推關(guān)系以及等比數(shù)列的概念；考查分析問題、解決問題的能力，建模能力，處理數(shù)據(jù)能力.屬于中檔題.題型3游走模型【例題3】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）有一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子與一個(gè)有61個(gè)格子的矩形方格圖，矩形方格圖上從0，1，2，…，60依次標(biāo)號(hào).一個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于第0個(gè)方格中，現(xiàn)有如下游戲規(guī)則：先投擲骰子，若出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)1格，否則質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)2格，每次投擲的結(jié)果互不影響.(1)求經(jīng)過兩次投擲后，質(zhì)點(diǎn)位于第4個(gè)格子的概率；(2)若質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到第59個(gè)格子或第60個(gè)格子時(shí)，游戲結(jié)束，設(shè)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到第n個(gè)格子的概率為pn，求p59和【答案】(1)4(2)p59=3【分析】（1）分別求出質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)1格、前進(jìn)2格的概率，再利用相互獨(dú)立事件的概率公式求解即得.（2）求出p1,p2，當(dāng)3≤n≤59時(shí)，探求pn【詳解】（1）設(shè)事件A1為質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)1格，事件A2為質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)2格，則設(shè)事件B為質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過兩次投擲后位于第4個(gè)格子，所以PB（2）質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到第nn=3,4,5,???,59由第n-1個(gè)格子移動(dòng)至第n個(gè)格子；由第n-2個(gè)格子移動(dòng)至第n個(gè)格子，則p1pn=P(A則數(shù)列pn-pn-1是以49因此p=1所以p58=3【變式3-1】1.（2020下·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)一中校考階段練習(xí)）如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).A市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過3000元）：消費(fèi)金額（單位：百元）0,55,1010,1515,2020,2525,30頻數(shù)20352510551由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額Z（單位：元）近似地服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本平均數(shù)x（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，σ=660）.現(xiàn)從該市任取20名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額恰在390元至2370元之間的人數(shù)為X2A市某大學(xué)后勤部為鼓勵(lì)大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價(jià)值100元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎(jiǎng)”的活動(dòng).規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61個(gè)方格.棋子開始在第0格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是12，其中P0=1），若擲出正面，將棋子向前移動(dòng)一格（從k到k+1），若擲出反面，則將棋子向前移動(dòng)兩格（從k到k+2）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第59格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈(zèng)送①設(shè)棋子移到第n格的概率為Pn，求證：當(dāng)1≤n≤59時(shí)，P②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則Pμ-σ<ξ≤μ+σ=0.6827【答案】116.372；2①證明見解析；②闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率，理由見解析.【解析】1根據(jù)數(shù)據(jù)算出x=1050，由Z服從正態(tài)分布N1050,6602，算出概率，即2①棋子開始在第0格為必然事件，P0=1.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為12，即P1=12.棋子移到第n2≤n≤59格的情況是下列兩種，即棋子先到第n-2格，又?jǐn)S出反面，其概率為12Pn-2；棋子先到第n-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為12Pn-1.所以Pn=12Pn-2+12【詳解】解：1x=250×0.2+750×0.35+1250×0.25+1750×0.1+2250×0.05+×0.05=1050，因?yàn)閆服從正態(tài)分布N1050,6602所以X～B20,0.8186所以X的數(shù)學(xué)期望為EX2①棋子開始在第0格為必然事件，P0第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為12，即P棋子移到第n2≤n≤59棋子先到第n-2格，又?jǐn)S出反面，其概率為12棋子先到第n-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為12所以Pn即Pn-P所以當(dāng)1≤n≤59時(shí)，數(shù)列Pn-Pn-1是首項(xiàng)②由①知P1-1=-12，P2-P以上各式相加，得Pn所以Pn=1+-所以闖關(guān)成功的概率為P59闖關(guān)失敗的概率為P60P59所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)已知數(shù)據(jù)求平均數(shù)，正態(tài)分布求概率，等比數(shù)列的證明以及數(shù)學(xué)期望的求法，題目較為綜合，屬于難題.【變式3-1】2.（2012·河北衡水·統(tǒng)考一模）如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上按逆時(shí)針方向前進(jìn)．現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面上分別寫有兩個(gè)1、兩個(gè)2、兩個(gè)3一共六個(gè)數(shù)字．質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B)；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C)，當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D)．在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．(1)求質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率；(2)在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量ξ表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)P＝P2＋P3＋P4＝13＋19＋181(2)Eξ＝2×37＋3×37＋4×17【詳解】本試題主要是考查了古典概型概率的計(jì)算公式，以及利用獨(dú)立事件的概率的乘法公式得到概率值，并且得到隨機(jī)變量各個(gè)取值的概率值，從而得到分布列和期望值．（1）先分析實(shí)驗(yàn)中所有的基本事件，然后利用等可能時(shí)間的概率公式得到結(jié)論．同時(shí)要結(jié)合獨(dú)立試驗(yàn)的概率公式表示得到．（2）利用第一問中的結(jié)論，可知ξ的可能取值為2,3,4，然后分別得到各自的概率值，求解得到．解析：(1)投擲一次正方體玩具，每個(gè)數(shù)字在上底面出現(xiàn)都是等可能的，其概率為P1＝26＝1只投擲一次不可能返回到A點(diǎn)；若投擲兩次質(zhì)點(diǎn)P就恰好能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：(1,3)、(3,1)、(2,2)三種結(jié)果，其概率為P2＝(13)2×3＝1若投擲三次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的三個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三種結(jié)果，其概率為P3＝(13)3×3＝1若投擲四次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的四個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：(1,1,1,1)．其概率為P4＝(13)4＝1所以，質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率為：P＝P2＋P3＋P4＝13＋19＋181(2)由(1)知，質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問題中的7種情況，且ξ的可能取值為2,3,4，則P(ξ＝2)＝37，P(ξ＝3)＝37，P(ξ＝4)＝所以，Eξ＝2×37＋3×37＋4×17【變式3-1】3.（2019上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）如圖，直角坐標(biāo)系中，圓的方程為x2+y2=1，A1,0，B-12,32，C-12,-32為圓上三個(gè)定點(diǎn)，某同學(xué)從A點(diǎn)開始，用擲骰子的方法移動(dòng)棋子．規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從一個(gè)定點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到相鄰下一個(gè)定點(diǎn)；②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則按圖中箭頭方向移動(dòng)；若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則按圖中箭頭相反的方向移動(dòng)．設(shè)擲骰子n次時(shí)，棋子移動(dòng)到A，B，C處的概率分別為（1）分別擲骰子二次，三次時(shí)，求棋子分別移動(dòng)到A，B，C處的概率；（2）擲骰子N次時(shí)，若以X軸非負(fù)半軸為始邊，以射線OA，OB，OC為終邊的角的余弦值記為隨機(jī)變量Xn，求X（3）記PnA=an，PnB=b【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）證明詳見解析，a2020【分析】（1）由概率的乘法公式，可得所求值；（2）隨機(jī)變量X4的可能數(shù)值為1，-12（3）易知bn=cn，即bn-1=c【詳解】（1）P2(A)=12P3(A)=12綜上，棋子位置擲骰子次數(shù)ABC21113133（2）隨機(jī)變量X4的可能數(shù)值為1，-綜合（1）得PX4=1PX4=-故隨機(jī)變量X4X1-P35EX（3）易知bn=而當(dāng)n≥2時(shí)，bn又an-1即2b因此bn=1故bn-即數(shù)列bn-13是以所以bn又an=1-2故a2020【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)的交會(huì)、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、隨機(jī)變量的分布列與期望，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想、函數(shù)與方程思想的運(yùn)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于難題.【變式3-1】4.（2019上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2019年7月1日到3日，世界新能源汽車大會(huì)在海南博鰲召開，大會(huì)著眼于全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級(jí)和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)改善．某汽車公司順應(yīng)時(shí)代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的測試．現(xiàn)對(duì)測試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航量程X近似地服從正態(tài)分布Nμ,σ2，經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50．用樣本平均數(shù)x作為μ（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券．已知硬幣出現(xiàn)正，反面的概率都是12，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格……第50格．遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動(dòng)一次，若擲出正面，遙控車向前移動(dòng)一格（從k到k+1），若擲出反面，遙控車向前移動(dòng)兩格（從k到k+2），直到遙控車移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時(shí)，游戲結(jié)束．設(shè)遙控車移到第n格的概率為Pn，試證明參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則Pμ-σ<ξ≤μ+σ≈0.6827【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）見解析.【分析】（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算方法即可得出x．（2）由X～N300,502（3）遙控車移到第n2≤n≤49格的情況是下面兩種，而且只有兩種：①遙控車先到第n-2格，又?jǐn)S出反面，其概率為12Pn-2．②遙控車先到第n-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為12【詳解】（1）x0.001×50×405=300（千米）．（2）由X～N300,∴P250<X≤400（3）遙控車開始在第0格為必然事件，P0第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為12，即P遙控車移到第n2≤n≤49①遙控車先到第n-2格，又?jǐn)S出反面，其概率為12②遙控車先到第n-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為12∴Pn∴Pn∴1≤n≤49時(shí)，數(shù)列Pn首項(xiàng)為P1-P∴P1-1=-1P3-P∴P=-12∴獲勝的概率P49失敗的概率P50∴P49∴獲勝的概率大．∴此方案能成功吸引顧客購買該款新能源汽車．【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計(jì)與概率相關(guān)知識(shí)，根據(jù)頻率分布直方圖求解平均數(shù)，利用正態(tài)分布求解概率，利用遞推數(shù)列關(guān)系建立等式解決概率相關(guān)問題，綜合性強(qiáng).【變式3-1】5.（2021·山東威?！そy(tǒng)考一模）現(xiàn)有正整數(shù)1，2，3，4，5，…，n，一質(zhì)點(diǎn)從第一個(gè)數(shù)1出發(fā)順次跳動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的跳動(dòng)步數(shù)通過拋擲骰子來決定：骰子的點(diǎn)數(shù)小于等于4時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向前跳一步；骰子的點(diǎn)數(shù)大于4時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向前跳兩步.（I）若拋擲骰子二次，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的正整數(shù)記為ξ，求Eξ；（II）求質(zhì)點(diǎn)恰好到達(dá)正整數(shù)5的概率.【答案】（Ⅰ）113;(2)【分析】（Ⅰ）ξ的可能取值為3,4,5，利用二項(xiàng)分布可求概率.(Ⅱ)按骰子可拋次數(shù)（2,3,4）分類討論即可.【詳解】（Ⅰ）ξ的可能取值為3,4,5,Pξ=3=23×所以Eξ=3×4(Ⅱ)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)到5有三種情況：（1）拋了4次，則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)每次都是小于等于4，概率為P1（2）拋了3次，則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有2次小于等于4，有1次是大于4，概率為P2（3）拋了2次，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)每次有2次是大于4，概率為P1所以所求的概率為6181【點(diǎn)睛】在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí)，注意利用常見的概率分布列來簡化計(jì)算（如二項(xiàng)分布、超幾何分布等）．【變式3-1】6.（2021·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正三角形ABC，某同學(xué)從A點(diǎn)開始，用擦骰子的方法移動(dòng)棋子，規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)頂點(diǎn)；②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)大于3，則按逆時(shí)針方向移動(dòng)：若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)不大于3，則按順時(shí)針方向移動(dòng).設(shè)擲骰子n次時(shí)，棋子移動(dòng)到A，B，C處的概率分別為：PnA，PnB，PnC，例如：擲骰子一次時(shí)，棋子移動(dòng)到A，B，C（1）擲骰子三次時(shí)，求棋子分別移動(dòng)到A，B，C處的概率P3A，P3（2）記PnA=an，PnB=b【答案】（1）P3A=14，P【分析】（1）由題意分別列出到A，B，C的情況，進(jìn)而可得結(jié)果.（2）由題意可得bn=12a【詳解】（1）A→B→C→A;A→C→B→A，所以PA→B→A→B;A→C→A→B;A→B→C→B；所以PA→B→A→C;A→C→A→C;A→C→B→C;所以P（2）∵bn=cn，即又bn∴n≥2時(shí)b又∵an-1+由b可得數(shù)列bn-13是首項(xiàng)為bn-又a故a【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由遞推公式2b題型4藥物相關(guān)模型【例題4】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某種病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進(jìn)行傳染．我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者．已知每位密切接觸者在接觸一個(gè)患者后被感染的概率為p(0<p<1)，某位患者在隔離之前，每天有a位密切接觸者，其中被感染的人數(shù)為X(0≤X≤a)，假設(shè)每位密切接觸者不再接觸其他患者．(1)求一天內(nèi)被感染的人數(shù)X的概率P(X)與a,p的關(guān)系式和X的均值；(2)該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時(shí)間，設(shè)每位患者在被感染后的第2天又有a位密切接觸者，從某一名患者被感染按第1天算起，第n天新增患者的均值記為En①求數(shù)列{En}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{En}為等比數(shù)列；②若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率p'=ln【答案】(1)P(X)=CaXpX(2)①證明見解析；②答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，得到被感染人數(shù)X～B(a,p)，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率和期望的計(jì)算公式，即可求解；（2）①由第n天被感染的人數(shù)為(1+ap)n-1，第n-1天被感染的人數(shù)為（(1+ap)n-2，從而得到E②令fp=ln(1+p)-23p，求得f【詳解】（1）解：由題意知，給感染的人之間是相互獨(dú)立的，可得被感染人數(shù)X～B(a,p)，則P(X)=CaXpX（2）解：①第n天被感染的人數(shù)為(1+ap)n-1第n-1天被感染的人數(shù)為（(1+ap)由均值的定義可知，En則EnEn-1所以，當(dāng)n≥2時(shí)，En表示以ap為首項(xiàng)，1+ap②令fp=ln當(dāng)p∈(0,12)時(shí)，f'p所以fp在(0,12所以fp因?yàn)楫?dāng)a=10時(shí)，En所以E'6=10×0.1×又因?yàn)镋6遠(yuǎn)大于E【變式4-1】1.（2020·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)的新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀?發(fā)熱?咳嗽?氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎?嚴(yán)重急性呼吸綜合征?腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有nn∈方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次.方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k(k∈N假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p(0<p<1).現(xiàn)取其中k(k∈N*且k≥2)份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)，方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為ξ1（1）若E(ξ（2）若p與干擾素計(jì)量xn相關(guān)，其中x1,(i)求證：數(shù)列{x(ii)當(dāng)p=1-1【答案】（1）p=1-1【解析】（1）由題意分析可得Eξ1=k,ξ2的可能取值為1,k+1,即可求得（2）(i)整理xn+12-xn2=((ii)由(i)p=1-13e,由于E(ξ1)>E(ξ2),則k>k+1-k【詳解】（1）由已知得Eξ1=k,ξ所以Pξ2=1所以Eξ因?yàn)镋(ξ1)=E(所以k1-p所以p=1-（2）(i)證明:因?yàn)閤n+1所以xn+1所以xn+1所以xn+1xn所以xn是以1為首項(xiàng),以e(ii)由(i)可知xn=en-13由題意可知E(ξ1)>E(整理得lnk-設(shè)φx=ln當(dāng)x∈0,3時(shí),φ'x>0；當(dāng)故φx在0,3上單調(diào)遞增,在3,+∞又φ4>0,所以k的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望,考查等比數(shù)列的證明,考查利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式恒成立問題,考查運(yùn)算能力.【變式4-1】2.（2020·湖南長沙·長郡中學(xué)?？级＃?019年12月以來，湖北武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國范圍內(nèi)開始傳播，專家組認(rèn)為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進(jìn)行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個(gè)患者后被感染的概率為p0<p<1，某位患者在隔離之前，每天有a位密切接觸者，其中被感染的人數(shù)為X(0≤X≤a)（1）求一天內(nèi)被感染人數(shù)為X的概率PX與a、p的關(guān)系式和X（2）該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時(shí)間，設(shè)每位患者在被感染后的第二天又有a位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為En（i）求數(shù)列En的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列E（ii）若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率p'=ln1+p-23p，當(dāng)p'取最大值時(shí)，計(jì)算此時(shí)p'所對(duì)應(yīng)的E6（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln5≈1.6,【答案】（1）P(X)=CaX（2）（i）En【解析】（1）由題意，被感染人數(shù)服從二項(xiàng)分布：X~B(a,p)，則可求出概率及數(shù)學(xué)期望；（2）（i）根據(jù)第n天被感染人數(shù)為(1+ap)n-1，及第n-1天被感染人數(shù)為(1+ap)作差可得可得，En=(1+ap)n-1-(1+ap)n-2=ap(1+ap)【詳解】（1）由題意，被感染人數(shù)服從二項(xiàng)分布：X~B(a,p)，則P(X)=CaXX的數(shù)學(xué)期望EX=ap.（2）（i）第n天被感染人數(shù)為(1+ap)n-1第n-1天被感染人數(shù)為(1+ap)n-2由題目中均值的定義可知，En=(1+ap)n-1-∴{En}是以ap（ii）令f(p)=ln則f'(p)=1∴f(p)在(0,12)f(p)則當(dāng)a=10，EnE6E6∵E【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的概率及期望，數(shù)學(xué)期望與數(shù)列綜合，考查綜合分析及轉(zhuǎn)化能力，考查知識(shí)的遷移能力，屬于較難題.【變式4-1】3.（2021·江蘇泰州·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一批疫苗試劑，擬進(jìn)入動(dòng)物試驗(yàn)階段，將1000只動(dòng)物平均分成100組，任選一組進(jìn)行試驗(yàn)．第一輪注射，對(duì)該組的每只動(dòng)物都注射一次，若檢驗(yàn)出該組中有9只或10只動(dòng)物產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，試驗(yàn)終止；否則對(duì)沒有產(chǎn)生抗體的動(dòng)物進(jìn)行第二輪注射，再次檢驗(yàn)．如果被二次注射的動(dòng)物都產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，否則需要改進(jìn)疫苗．設(shè)每只動(dòng)物是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，兩次注射疫苗互不影響，且產(chǎn)生抗體的概率均為p(0<p<1)．（1）求該組試驗(yàn)只需第一輪注射的概率（用含p的多項(xiàng)式表示）；（2）記該組動(dòng)物需要注射次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，求證：10<E(X)<10(2-p)．【答案】（1）10p【分析】（1）設(shè)第一輪注射有Y只動(dòng)物產(chǎn)生抗體，則Y～B10,p，則所求概率即P(Y=10)+（2）先求得EX=10+101-p1-p9，由0<p<1顯然可得【詳解】（1）平均每組1000100設(shè)第一輪注射有Y只動(dòng)物產(chǎn)生抗體，則Y～B10,p所以P(Y=10)+P(Y=9)=p所以該組試驗(yàn)只需第一輪注射的概率為10p（2）由（1）得PX=10P(X=10+k)=C所以E(X)=10P(X=10)+=10(p設(shè)ξ~B10,1-p，則E(ξ)=又k=010所以E(X)=10=10+101-p-101-pp9又E=102-p-10p91-p所以10<EX【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（2）問的關(guān)鍵點(diǎn)是：求得EX【變式4-1】4.（2020·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）在孟德爾遺傳理論中，稱遺傳性狀依賴的特定攜帶者為遺傳因子，遺傳因子總是成對(duì)出現(xiàn)，例如，豌豆攜帶這樣一對(duì)遺傳因子：A使之開紅花，a使之開白花，兩個(gè)因子的相互組合可以構(gòu)成三種不同的遺傳性狀：AA為開紅花，Aa和aA一樣不加區(qū)分為開粉色花，aa為開白色花，生物在繁衍后代的過程中，后代的每一對(duì)遺傳因子都包含一個(gè)父本的遺傳因子和一個(gè)母本的遺傳因子，而因?yàn)樯臣?xì)胞是由分裂過程產(chǎn)生的，每一個(gè)上一代的遺傳因子以12的概率傳給下一代，而且各代的遺傳過程都是相互獨(dú)立的，可以把第n代的遺傳設(shè)想為第n次試驗(yàn)的結(jié)果，每一次試驗(yàn)就如同拋一枚均勻的硬幣，比如對(duì)具有性狀A(yù)a的父本來說，如果拋出正面就選擇因子A，如果拋出反面就選擇因子a，概率都是12，對(duì)母本也一樣，父本、母本各自隨機(jī)選擇得到的遺傳因子再配對(duì)形成子代的遺傳性狀，假設(shè)三種遺傳性狀A(yù)A，Aa（或aA），aa在父本和母本中以同樣的比例u:v:wu+v+w=1出現(xiàn)，則在隨機(jī)雜交試驗(yàn)中，遺傳因子A被選中的概率是p=u+v2，遺傳因子a被選中的概率是q=w+v2，稱p、q（1）如果植物的上代父本、母本的遺傳性狀都是Aa，后代遺傳性狀為AA，Aa（或aA），aa的概率分別是多少？（2）對(duì)某一植物，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)遺傳性狀aa具有重大缺陷，可人工剔除，從而使得父本和母本中僅有遺傳性狀為AA，Aa（或aA）的個(gè)體，在進(jìn)行第一代雜交實(shí)驗(yàn)時(shí)，假設(shè)遺傳因子A被選中的概率為p，a被選中的概率為q，其中p、q為定值且p+q=1，求雜交所得子代的三種遺傳性狀A(yù)A，Aa（或aA），aa所占的比例u1，v1，（3）繼續(xù)對(duì)（2）中的植物進(jìn)行雜交實(shí)驗(yàn)，每次雜交前都需要剔除aa的個(gè)體.假設(shè)得到的第n代總體中3種遺傳性狀A(yù)A，Aa（或aA），aa所占的比例分別為：un，vn，wnun+vn+wn=1，設(shè)第n代遺傳因子A（ⅰ）證明1q（ⅱ）求un+1，vn+1，【答案】（1）AA，Aa（或aA），aa的概率分別是14，12，14；（2）u1=p2，v1=2pq，w1=q2；（3）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）u【分析】（1）根據(jù)上代父本、母本的遺傳性狀都是Aa可得基本事件的總數(shù)，由古典概型的概率公式可得所求的概率.（2）根據(jù)獨(dú)立事件的概率計(jì)算方法可求u1，v1，（3）根據(jù)un，vn，wn的定義可得三者與pn,qn的關(guān)系，結(jié)合給定的pn=un+vn2【詳解】解析：（1）因?yàn)樯洗副?、母本的遺傳性狀都是Aa，故子代的遺傳性狀有：AA，Aa，aA，aa，共4種，故AA，Aa（或aA），aa的概率分別是14，12，（2）由題可得，u1=p2，（3）由（2）知，un+1=pn2∴qn+1則1qn+1=1+1qn=∴1qn=1qpn=1-qn=對(duì)于wn+1=q1+nq2，n越大，wn+1越小，所以這種實(shí)驗(yàn)長期進(jìn)行下去，wn【點(diǎn)睛】本題考查古典概型、獨(dú)立性事件在遺傳學(xué)中的應(yīng)用，其中在概率計(jì)算的過程中還涉及到遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法、等差數(shù)列的證明等，本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給材料弄清各概率之間的數(shù)列關(guān)系.【變式4-1】5.（2020下·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有nn∈方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次.方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（k∈N*且若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為k+1.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p0<p<1（1）現(xiàn)有4份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)2次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率.（2）現(xiàn)取其中k（k∈N*且k≥2）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為ξ1（i）若Eξ1=Eξ2，試求p（ii）若p=1-14e參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，【答案】（1）16；（2）（i）p=1-1k【解析】（1）設(shè)恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃栃詷颖救繖z驗(yàn)出來為事件A，利用古典概型、排列組合能求出恰好經(jīng)過兩次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；（2）（i）由已知得Eξ1=k，ξ2的所有可能取值為1、k+1，求出Pξ2=1和Pξ2（ii）由Eξ1>Eξ2，可得出1k<1-pk【詳解】（1）設(shè)恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃栃詷颖救繖z驗(yàn)出來為事件A，則PA所以，恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率為16（2）（i）由已知得Eξ1=k，ξ2的所有可能取值為Pξ2=1∴Eξ由Eξ1=Eξ2（ii）由題意知Eξ1>Eξ2，則1k<構(gòu)造函數(shù)gx=ln當(dāng)0<x<4時(shí)，g'x>0當(dāng)x>4時(shí)，g'x<0∵g8=ln所以k的最大值為8.【點(diǎn)睛】本題考查概率、函數(shù)關(guān)系式、實(shí)數(shù)的最大值的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題．題型5商場銷售模型【例題5】（2024上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某商場擬在周末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：該游戲進(jìn)行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結(jié)束：否則繼續(xù)游戲，直至10輪結(jié)束．已知該游戲第一次獲勝的概率是12，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是12，若上一次失敗則下一次成功的概率是23．記消費(fèi)者甲第n次獲勝的概率為pn，數(shù)列pn的前n項(xiàng)和i=1(1)求消費(fèi)者甲第2次獲勝的概率p2(2)證明：pn【答案】(1)P(2)詳見解析【分析】（1）應(yīng)用全概率公式計(jì)算可得出P2（2）計(jì)算得出pn【詳解】（1）P（2）∵∴P∴p∴p∴pn-47∴pTn=4當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=4當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn=4所以平均至少要玩9輪才可能獲獎(jiǎng).【變式5-1】1.（2019上·北京昌平·高三校聯(lián)考期末）某汽車品牌為了了解客戶對(duì)于其旗下的五種型號(hào)汽車的滿意情況，隨機(jī)抽取了一些客戶進(jìn)行回訪，調(diào)查結(jié)果如下表：汽車型號(hào)

I

II

III

IV

V回訪客戶（人數(shù)）

250

100

200

700

350滿意率

0.5

0.3

0.6

0.3

0.2滿意率是指：某種型號(hào)汽車的回訪客戶中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值.假設(shè)客戶是否滿意互相獨(dú)立，且每種型號(hào)汽車客戶對(duì)于此型號(hào)汽車滿意的概率與表格中該型號(hào)汽車的滿意率相等.(1)從所有的回訪客戶中隨機(jī)抽取1人，求這個(gè)客戶滿意的概率；(2)從I型號(hào)和V型號(hào)汽車的所有客戶中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)其中滿意的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望；(3)用“η1=1”,“η2=1”,“η3=1”,“η4=1”,“η5=1”分別表示I,II,III,IV,V型號(hào)汽車讓客戶滿意，“η1【答案】(1)111320(2)見解析；(3)【分析】（1）求出樣本中的回訪客戶的總數(shù)和滿意的客戶人數(shù)，即可求出概率；（2）由題求出滿意的人數(shù)為ξ的分布列，繼而求出期望;（3）根據(jù)公式直接得出結(jié)果，然后作比較.【詳解】（1）由題意知，樣本中的回訪客戶的總數(shù)是250+100+200+700+350=1600，滿意的客戶人數(shù)250×0.5+100×0.3+200×0.6+700×0.3+350×0.2=555，故所求概率為5551600（2）ξ=0,1設(shè)事件A為“從I型號(hào)汽車所有客戶中隨機(jī)抽取的人滿意”，事件B為“從V型號(hào)汽車所有客戶中隨機(jī)抽取的人滿意”，且A、B為獨(dú)立事件.根據(jù)題意，P(A)估計(jì)為0.5，P(B)估計(jì)為0.2.則P(ξ=0)=P(AP(ξ=1)=P(ABP(ξ=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1.ξ的分布列為ξ012P0.40.50.1ξ的期望E(ξ)=0×0.4+1×0.5+2×0.1=0.7（3）由題，I型號(hào)的平均數(shù)為0.5,所以Dη1=同理Dη2=同理Dη3=0.24；Dη所以Dη【點(diǎn)睛】本題考查了概率統(tǒng)計(jì)和離散型隨機(jī)變量的分布列和期望以及方差的求法，屬于中檔題.【變式5-1】2.（2019·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）據(jù)長期統(tǒng)計(jì)分析，某貨物每天的需求量rr∈N*在17與26之間，日需求量r需求量r17181920212223242526頻率P0.120.180.230.130.100.080.050.040.040.03已知其成本為每件5元，售價(jià)為每件10元.若供大于求，則每件需降價(jià)處理，處理價(jià)每件2元.假設(shè)每天的進(jìn)貨量必需固定.（1）設(shè)每天的進(jìn)貨量為XnXn=16+n,n=1,2,?,10，視日需求量riri=16+i,i=1,2,?,10的頻率為概率Pi（2）在（1）的條件下，寫出EZn和EZ【答案】（1）當(dāng)1≤n≤9時(shí)，EZn=i=1n（2）EZn+1=E【分析】（1）分日需求量與進(jìn)貨量的大小關(guān)系，確定日銷售量，從而得出日銷售量Zn（2）由（1）可得EZn+1=i=1n+116+iPi+i=n+21016+n+1Pi，可得【詳解】（1）當(dāng)日需求量r≤Xn時(shí)，日銷售量Zn為r；當(dāng)日需求量r>Xn時(shí)，日銷售量Z當(dāng)n=1時(shí)，每天的進(jìn)貨量為X1∴EZ當(dāng)n=2時(shí)，每天的進(jìn)貨量為X2此時(shí)日銷售量為17件的概率為P1，日銷售量為18件的概率為P∴EZ當(dāng)n=3時(shí)，每天的進(jìn)貨量為X3此時(shí)日銷售量為17件的概率為P1，日銷售量為18件的概率為P2，日銷售量為19件的概率為∴EZ3=EZEZ所以當(dāng)1≤n≤9時(shí)，EZn=i=1n（2）EZn+1=i=1n+1設(shè)每天進(jìn)貨量為Xn時(shí)，日利潤為ξEξn=5E∴Eξn+1-E由Eξ又∵P1+P即Eξ∴Eξ【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際問題中的期望值的問題的處理，關(guān)鍵在于對(duì)實(shí)際問題的理解，如何將生活實(shí)際中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)概率中的數(shù)據(jù)，并且注意對(duì)抽象問題的處理的方式，逐一推導(dǎo)找到一般的規(guī)律和利用遞推之間的關(guān)系，屬于難度題.【變式5-1】3.（2020上·湖南長沙·高三瀏陽一中?？茧A段練習(xí)）隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購作為一種新的消費(fèi)方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價(jià)比高等優(yōu)勢而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數(shù))：x12345y(萬人)2050100150180（1）試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人；（2）該公司為了吸引網(wǎng)購者，特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲，送免費(fèi)購物券”活動(dòng)，網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn).若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費(fèi)購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費(fèi)購物券200元.已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是12，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網(wǎng)購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動(dòng)一次.若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動(dòng)一格（從k到k+1）若擲出偶數(shù)遙控車向前移動(dòng)兩格（從k到k+2），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時(shí)，游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第n(1≤n≤19)格的概率為Pn，試證明附：在線性回歸方程y=bx+【答案】（1）y=42x-26（2）約400元.【解析】（1）依題意，先求出x=3,y=100,i=15xiyi=1920,i=15（2）遙控車移到第n（2?n?19）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種.①遙控車先到第n-2格，又?jǐn)S出偶數(shù)，其概率為1②遙控車先到第n-1格，又?jǐn)S出奇數(shù)，其概率為1所以Pn=1利用累加法求出數(shù)列Pn【詳解】解：（1）xy=20+50+100+150+1805=100所以所求線性回歸方程為y=42x-26令42x-26>300,x∈N*，解得故預(yù)計(jì)到2022年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人（2）遙控車開始在第0格為必然事件，P0=1，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)，遙控車移到第一格，其概率為12,即P1=①遙控車先到第n-2格，又?jǐn)S出奇數(shù)，其概率為1②遙控車先到第n-1格，又?jǐn)S出偶數(shù)，其概率為1所以Pn=1∴當(dāng)1?n?19時(shí)，數(shù)列{Pn-∴P1-1=-1∴Pn=∴獲勝的概率P失敗的概率P∴設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為X元，X=200或500∴X的期望EX=500×∴參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為1004-【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，等比數(shù)列的證明，等比數(shù)列求和公式，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于難題．【變式5-1】4.（2020上·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快，手機(jī)廠商之間圍繞5G用戶的爭奪越來越激烈，5G手機(jī)也頻頻降價(jià)飛入尋常百姓家．某科技公司為了打開市場，計(jì)劃先在公司進(jìn)行“抽獎(jiǎng)免費(fèi)送5G手機(jī)”優(yōu)惠活動(dòng)方案的內(nèi)部測試，測試成功后將在全市進(jìn)行推廣．（1）公司內(nèi)部測試的活動(dòng)方案設(shè)置了第ii∈N+①請(qǐng)求甲在第一次中獎(jiǎng)和乙在第二次中獎(jiǎng)的概率分別是多少?②請(qǐng)求甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的分布列和期望?（2）由于該活動(dòng)方案在公司內(nèi)部的測試非常順利，現(xiàn)將在全市進(jìn)行推廣．報(bào)名參加第一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有20萬用戶，該公司設(shè)置了第ii∈N+次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為pi=9+-1【答案】（1）①甲在第一次中獎(jiǎng)的概率為13，乙在第二次中獎(jiǎng)的概率為1639；②分布列見解析，【分析】（1）①確定參與抽獎(jiǎng)人數(shù)和中獎(jiǎng)人數(shù)，可得概率，其中乙第二次中獎(jiǎng)，是在第一次不中獎(jiǎng)的基礎(chǔ)上才能第二次抽中獎(jiǎng)，由條件概率公式計(jì)算；②設(shè)甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為X，則X=1,2,3，注意第2次中獎(jiǎng)是在第一次未中獎(jiǎng)的條件下才發(fā)生，同樣第3次中獎(jiǎng)是在前2次都未中獎(jiǎng)的條件下才可能發(fā)生．由條件概率公式計(jì)算出概率的分布列，由期望公式可計(jì)算期望；（2）丙在第奇數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為15，在第偶數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為14．“丙中獎(jiǎng)”為事件A，則PA=1-45×34n=1-35n，設(shè)丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為Y，求出丙在第2m和2m-1次中獎(jiǎng)的概率P(Y=2m)和【詳解】（1）①甲在第一次中獎(jiǎng)的概率為p1乙在第二次中獎(jiǎng)的概率為p2②設(shè)甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為X，則X=1,2,3，PX=1=515=X123P11610∴EX（2）證明：丙在第奇數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為15，在第偶數(shù)次中獎(jiǎng)的概率為1設(shè)丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的次數(shù)為Y，“丙中獎(jiǎng)”為事件A，則PA令m≤n,m∈N*，則丙在第2m-1在第2m次中獎(jiǎng)的概率PY=2m即PY=2m-1在丙中獎(jiǎng)的條件下，在第2m-1，2m次中獎(jiǎng)的概率為15則丙參加活動(dòng)次數(shù)的均值為EY設(shè)S=3+7×3則35∴25S=45所以EY=45【點(diǎn)睛】本題考查條件概率，考查隨機(jī)事件的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，難點(diǎn)是理解中獎(jiǎng)規(guī)則，得出P(Y=2m-1)和P(Y=2m)，考查了數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算求解能力，屬于難題．題型6摸球模型【例題6】（2024上·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期中）有n個(gè)編號(hào)分別為1,2,?,n的盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，其余盒子中均為1個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，現(xiàn)從第2個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，??，依次進(jìn)行．(1)求從第2個(gè)盒子中取到紅球的概率；(2)求從第n個(gè)盒子中取到紅球的概率；(3)設(shè)第n個(gè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為X，X的期望值為E(X)，求證：32【答案】(1)5(2)1(3)證明見解析【分析】（1）由題意，記“從第i個(gè)盒子中取到紅球”為事件Ai（2）結(jié)合（1）中所得信息以及等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{P(An)-12（3）先得到X的所有可能取值，結(jié)合（2）中信息得到相對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中再進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）記“從第i個(gè)盒子中取到紅球”為事件Ai此時(shí)P(A1)=則P(A（2）因?yàn)镻(=P(A所以P(A則數(shù)列{P(An)-12此時(shí)P(A即P(A當(dāng)n=1時(shí)，P(A綜上，從第n個(gè)盒子中取到紅球的概率為12（3）證明：易知X的所有可能取值為1，2，此時(shí)P(X=1)=P(An-1)=1-P(則X的分布列為：X12P11所以E(X)=1×[12-故32【變式6-1】1.（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）有編號(hào)為1，2，3，...，18，19，20的20個(gè)箱子，第一個(gè)箱子有2個(gè)黃球1個(gè)綠球，其余箱子均為2個(gè)黃球2個(gè)綠球，現(xiàn)從第一個(gè)箱子中取出一個(gè)球放入第二個(gè)箱子，再從第二個(gè)箱子中取出一個(gè)球放入第三個(gè)箱子，以此類推，最后從第19個(gè)箱子取出一個(gè)球放入第20個(gè)箱子，記pi為從第i(1)求p2(2)求p20【答案】(1)P2=8(2)P【分析】（1）分第一次取出黃球和綠球兩種情況，再由互斥事件概率加法公式計(jì)算可得答案；（2）由題意可得Pi+1【詳解】（1）從第二個(gè)箱子取出黃球的概率P2從第三個(gè)箱子取出黃球的概率P3（2）由題意可知，Pi+1即Pi+1-1P1【變式6-1】2.（2020·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋子中裝有n個(gè)紅球(n?5,n∈N)和5個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)是從袋中同時(shí)摸兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng)．（1）試用n表示一次摸獎(jiǎng)就中獎(jiǎng)的概率；（2）若n=5，求三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率；（3）記三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P，當(dāng)n取多少時(shí)，P最大？【答案】（1）P(n)=10n(n+5)(n+4)(n?5,n∈N)；（2）80【解析】（1）一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任選兩個(gè)，有Cn+52種，它們等可能，其中兩球不同色有Cn（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，即可求出三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后球放回）恰好有1次中獎(jiǎng)的概率；（3）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，則三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回），恰有一次中獎(jiǎng)的概率P=C311-pn2pn=3pn3-2pn2【詳解】（1）一次摸獎(jiǎng)是從(n+5)個(gè)球中同時(shí)選兩個(gè)球，有Cn+52種方法，它們是等可能的，其中兩球不同色有C5（2）當(dāng)n=5時(shí)，P(5)=59，由于摸獎(jiǎng)是有放回的，因此三次摸獎(jiǎng)可看作三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為（3）記（1）中的P(n)=t=10n∵P(n+1)-P(n)=10(n+1)∴P(n+1)<P(n)?P(5)=59，即∵P=C31在0,13上單調(diào)遞增，在∴當(dāng)t=13時(shí)，P取得最大值．由t=10n(n+5)(n+4)=∴當(dāng)n=20時(shí)，三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回），恰有一次中獎(jiǎng)的概率P最大．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)在等可能性時(shí)間基礎(chǔ)上的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題，體現(xiàn)了不同概型的綜合，第三小題中的函數(shù)是三次函數(shù)，運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值，如果直接用10nn+5n+4代替p，函數(shù)將比較繁瑣，這時(shí)需要運(yùn)用換元的方法，將【變式6-1】3.（2020上·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）新冠抗疫期間，某大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生希望通過將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用新冠抗疫，決定應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式探索新冠的傳染和防控.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如下：在不透明的小盒中放有大小質(zhì)地相同的8個(gè)黑球和2個(gè)紅球，從中隨機(jī)取一球，若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球，則黑球替換該紅球重新放回小盒中，此模型可以解釋為“安全模型”，即若發(fā)現(xiàn)一個(gè)新冠患者，則移出將其隔離進(jìn)行診治.(注：考慮樣本容量足夠大和治愈率的可能性，用黑球代替紅球)(1)記在第nn≥2次時(shí)，剛好抽到第二個(gè)紅球，試用n表示恰好第n(2)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式約定：若抽到第2個(gè)紅球則停止抽球，且無論第10次是否能夠抽到紅球或第二個(gè)紅球，當(dāng)進(jìn)行到第10次時(shí)，即停止抽球；記停止抽球時(shí)已抽球總次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望.(精確到小數(shù)點(diǎn)后1位)參考數(shù)據(jù)：k=29910k=29k9【答案】（1）15【解析】（1）根據(jù)題意可得若第k（k<n）次是第一次取到紅球，第n次是第二次取到紅球則對(duì)應(yīng)地有：P=45k-1?1（2）根據(jù)題意X的可能取值依次是2，3，…，9，10，求出相對(duì)應(yīng)的概率，再利用期望公式，直接帶入即可得解.【詳解】(1)若第k（k<n）次是第一次取到紅球，第n次是第二次取到紅球則對(duì)應(yīng)地有：P=則第n次取球時(shí)2個(gè)紅球都被取出的所有可能情況的概率和為：45450?15?910n-2?特別地，當(dāng)X=10時(shí)，對(duì)應(yīng)的P由參考數(shù)據(jù)可得：PX對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為：EX=【點(diǎn)睛】本題考查了類幾何分布的概率和期望，考查了較高的計(jì)算能力，屬于難題.解決此類問題的關(guān)鍵點(diǎn)有：（1）全面性，所有可能情況必須考慮到，做到不重不漏；（2）補(bǔ)集思想的應(yīng)用，根據(jù)全概率為1進(jìn)行求概率.【變式6-1】4.（2023上·山東青島·高三青島二中?？计谥校┮粋€(gè)袋子里有大小相同的黑球和白球共10個(gè)，其中白球有a0<a<10,a∈N*(1)當(dāng)a取a0時(shí)，事件A發(fā)生的概率最大，求a(2)以（1）中確定的a0作為a的值，甲有放回地從袋子中摸球，如果摸到黑球則繼續(xù)摸球，摸到白球則停止摸球，摸球的次數(shù)記為X，求X的數(shù)學(xué)期望E參考：（1）若PX=k=akk=1,2,3?【答案】(1)5(2)2【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式表示出PA（2）根據(jù)題意可知PX=k=ak=【詳解】（1）每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到白球的概率為a10，摸到黑球的概率為1-所以PA因?yàn)閍10?1-a10則PA所以當(dāng)a0=5時(shí)，事件（2）由（1）知，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到白球的概率為12，摸到黑球的概率為1則PX=1=aPX=3=a則PX=kk=1n則12兩式相減得，12所以k=1n所以EX【變式6-1】5.（2023上·廣東·高三廣州市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)不透明盒子，甲盒子裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙盒子裝有4個(gè)白球，這些球的大小、形狀、質(zhì)地完全相同．在一次球交換過程中，從甲盒子與乙盒子中各隨機(jī)選擇1個(gè)球進(jìn)行交換，重復(fù)n次這樣的交換過程后，甲盒子里裝有紅球的個(gè)數(shù)為Xn(1)求X2(2)求PX【答案】(1)概率分布見解析，E(2)P【分析】（1）由題意可知，X2（2）由已知條件推導(dǎo)得出PXn=1=1【詳解】（1）由題意可知X1且PX由題意可知X2且PXPXX012P3911EX（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由題意可知XnPXn=1=PXn故PXn=1-4故PXPXn=1=47【例題7】（2021上·湖北·高三校聯(lián)考期末）射擊是使用某種特定型號(hào)的槍支對(duì)各種預(yù)先設(shè)置的目標(biāo)進(jìn)行射擊，以命中精確度計(jì)算成績的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng).射擊運(yùn)動(dòng)不僅能鍛煉身體，而且可以培養(yǎng)細(xì)致、沉著、堅(jiān)毅等優(yōu)良品質(zhì)，有益于身心健康.為了度過愉快的假期，感受體育運(yùn)動(dòng)的美好，法外狂徒張三來到私人靶場體驗(yàn)射擊運(yùn)動(dòng).（1）已知用于射擊打靶的某型號(hào)步槍的彈夾中一共有kk∈N*發(fā)子彈，假設(shè)張三每次打靶的命中率均為p0<p<1，靶場主規(guī)定：一旦出現(xiàn)子彈脫靶或者子彈打光耗盡的現(xiàn)象便立刻停止射擊.記標(biāo)靶上的子彈數(shù)量為隨機(jī)變量（2）張三在休息之余用手機(jī)逛B站刷到了著名電視劇《津門飛鷹》中的經(jīng)典橋段：中國隊(duì)長燕雙鷹和三合會(huì)何五姑玩起了俄羅斯輪盤.這讓張三不由得想起了半人半鬼，神槍第一的那句家喻戶曉的神話“我賭你的槍里沒有子彈”.由此，在接下來的射擊體驗(yàn)中，張三利用自己的人脈關(guān)系想辦法找人更換了一把型號(hào)為M1917，彈容為6發(fā)的左輪手槍，彈巢中有m發(fā)實(shí)彈，其余均為空包彈.現(xiàn)規(guī)定：每次射擊后，都需要在下一次射擊之前填充一發(fā)空包彈.假設(shè)每次射擊相互獨(dú)立且均隨機(jī).在進(jìn)行nn∈N次射擊后，記彈巢中空包彈的發(fā)數(shù)X（?。┊?dāng)n∈N*時(shí)，探究數(shù)學(xué)期望EX（ⅱ）若無論m取何值，當(dāng)射擊次數(shù)達(dá)到一定程度后都可近似認(rèn)為槍中沒有實(shí)彈（以彈巢中實(shí)彈的發(fā)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，當(dāng)彈巢中實(shí)彈的發(fā)數(shù)的數(shù)學(xué)期望<1時(shí)可近似認(rèn)為槍中沒有實(shí)彈），求該種情況下最小的射擊次數(shù)n0.（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301、【答案】（1）分布列見詳解；數(shù)學(xué)期望為p-pk+11-p；（2）（?。〦Xn【解析】（1）根據(jù)題中條件，得到X的所有可能取值，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列，再由離散型隨機(jī)變量的期望公式，結(jié)合錯(cuò)位相減法，即可求出期望；（2）（?。┯懻摰趎次射出空包彈或第n次射出實(shí)彈，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，以及射擊后對(duì)應(yīng)的空包彈數(shù)量，即可得出EXn和（ⅱ）根據(jù)題中條件，先得到EX0=6-m，由（?。┑慕Y(jié)果，通過構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出EXn【詳解】（1）由題意，X的所有可能取值為：0，1，2，…，k-1，k，因?yàn)閺埲看未虬械拿新示鶠閜0<p<1則PX=m=p所以X的分布列為X012...k-1kP1-pp(1-p)p...pp所以X的數(shù)學(xué)期望為EX令M=p+2p則pM=p所以①-②可得，1-pM=p+則EX（2）（?。┑趎次射擊后，可能包含兩種情況：第n次射出空包彈或第n次射出實(shí)彈；因?yàn)榈趎次射擊前，剩余空包彈的期望為EX若第n次射出空包彈，則此時(shí)對(duì)應(yīng)的概率為EXn-16若第n次射出實(shí)彈，則此時(shí)對(duì)應(yīng)的概率為1-EXn-1綜上，EX（ⅱ）因?yàn)楫?dāng)n=0時(shí)，彈夾中有6-m發(fā)空包彈，則EX由（i）可知：EXn=56EXn-1+1n∈則EXn-6=-m56因此彈巢中實(shí)彈的發(fā)數(shù)的期望為6-EX為使彈巢中實(shí)彈的發(fā)數(shù)的數(shù)學(xué)期望小于1，只需m56n<1，則為使log65m<n而log65m又n∈N，所以最小的射擊次數(shù)n0【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡化計(jì)算）【變式7-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）2021年奧運(yùn)會(huì)我國射擊項(xiàng)目收獲豐盛，在我國射擊也是一項(xiàng)歷史悠久的運(yùn)動(dòng).某射擊運(yùn)動(dòng)愛好者甲來到靶場練習(xí).若某種型號(hào)的槍支彈巢中一共可裝填6發(fā)子