江蘇省南京市2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷1（解析版）

江蘇省?南京市2024年中考數(shù)學(xué)模擬01卷

（本卷共23小題，滿分120分，考試用時120分鐘）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用28鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

5.考試范圍：中考全部內(nèi)容.

第回卷（選擇題，共12分）

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是

符合題目要求的）

1.有理數(shù);的相反數(shù)是（）

2332

A.——B.-C.——D.±-

3223

【答案】A

【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的定義進行解答即可.

【詳解】解：有理數(shù)彳7的相反數(shù)是-彳9，

故選A

【點睛】本題考查的是相反數(shù)，僅僅只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，熟記定義是解本題的關(guān)鍵.

2.下列無理數(shù)，與3最接近的是（）

A.76B.V7C.710。.而

【答案】C

【分析】先比較各個數(shù)平方后的結(jié)果，進而即可得到答案.

【詳解】解：回32=9,（G）2=6,（1）2=7,（亞）2=10,）2=11,

團與3最接近的是

故選C.

【點睛】本題主要考查無理數(shù)的估計，理解算術(shù)平方根與平方的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

3.下列運算正確的是（）

A.2a-a-IB.a3-a2-a5C.(ab)~=D.?=a6

【答案】B

【分析】根據(jù)合并同類項法則、同底數(shù)塞的乘法、積的乘方與累的乘方法則逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、2a-a=a,則此項錯誤，不符合題意；

B、則此項正確，符合題意；

C、(ab)』汨,則此項錯誤，不符合題意；

D、(?2)4=?\則此項錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了合并同類項、同底數(shù)幕的乘法、積的乘方與幕的乘方，熟練掌握各運算法則是解題關(guān)

鍵.

4.如圖，數(shù)軸上的點A和點B分別在原點的左側(cè)和右側(cè)，點A、B對應(yīng)的實數(shù)分別是服b,下列結(jié)論一定

成立的是()

AB

------*1-----------*---->■

a0b

A.a+b<0B.b-a<0C.2a>2bD.a+2<b+2

【答案】D

【分析】依據(jù)點在數(shù)軸上的位置，不等式的性質(zhì)，絕對值的意義，有理數(shù)大小的比較法則對每個選項進行

逐一判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由題意得：a<O<b,且問(可，

回0+6>0,她選項的結(jié)論不成立；

b-a>0,回2選項的結(jié)論不成立；

2a<26,13c選項的結(jié)論不成立；

a+2<b+2,前選項的結(jié)論成立.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，有理數(shù)大小的比較法則，利用點在數(shù)軸上的位置確定出a,b的取

值范圍是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以點8,。為圓心，線段BC,。。長為半徑畫弧，兩弧相交于點E,

連接班1,DE,BD.若AB=4,BC=8,則/ABE1的正切值為()

【答案】C

【分析】設(shè)防，A。交于點尸，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及以點3,。為圓心，線段3C,QC長為半徑畫弧得

至卜3。石ga5DC(SSS),FB=FD,設(shè)EF=x,i^BF=DF=BE-EF=8-xf在Rt跖。中求出工的值，

從而得到,AB尸空EDF(SSS),從而得到ZAB￡=ZADE,即可求得答案.

【詳解】解：設(shè)鴕，AD交于點產(chǎn)，

由題意得BE=3C=8,DE=DC=AB=4,

...BDE空.BDC(SSS),

..ZEBD=NCBD,

四邊形ABC。是矩形,

..AD//BC,

:.ZADB=NCBD,

:.ZADB=ZEBD,

:.FB=FD,

設(shè)EF=x,

^BF=DF=BE-EF=8-x,

在Rt跖D中，ED?+EF?=FD?，

即16+/=(8—x)2,

解得％=3,

:.EF=3,DF=BF=5,

AF=AD-DF=8-5=3f

ABFqEDF,

.".ZABE^ZADE,

故選：C.

【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正切值的求法，本題中得到

ZABE=ZADE是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=J3x+b的圖象分別與x軸、，軸交于兩點，且與反比例

函數(shù)丁=勺在第一象限內(nèi)的圖象交于點C.若點A坐標(biāo)為（2,0）,黑=：,則上的值是（）.

AD2

A.6B.273C.3A/3D.4>/3

【答案】C

【分析】過點C作CO_Ly軸于點。，則CD〃Q4,可得，進而根據(jù)已知條件的CD=3,

求得直線AB的解析式，將x=3代入，得出點C的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點C作軸于點D,則CD〃Q4

⑦△B0AS/\BDC

CDBC

團----二-----

AOBA

團——=9A(2,0)

AB

BC3

回一=

BA2

CD3

回一=

22

解得：CD=3

回點4(2,0)在>〃上,

025/3+/?=0

解得：b=-2y/3

回直線AB的解析式為y=y/3x-2y/3

當(dāng)x=3時，y=\[3

即C（3,V3）

k

又反比例函數(shù)y二—在第一象限內(nèi)的圖象交于點c

X

回左=3y[3,

故選：C.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，求得

點C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

第回卷（非選擇題，共108分）

二、填空題（本大題共1。小題，每小題2分，共20分）

7.港珠澳大橋被譽為"新世界七大奇跡”之一，全長55000米.將數(shù)字55000用科學(xué)記數(shù)法表示是.

【答案】5.5xlO4

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為。xlO",其中14忖＜10,〃為整數(shù)，按要求表示即

可.

【詳解】解：55000共有5位數(shù)，從而用科學(xué)記數(shù)法表示為5.5x104,

故答案為:5.5xlO4.

【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，確定。與"的值是解決問題的關(guān)鍵.

8.使分式上有意義的x的取值范圍是.

X-J

【答案】x/5

【分析】如果要使分式有意義，則分母不能為零，即可求得答案.

【詳解】解：本題考查了分式有意義的條件，

即*-540,解得XH5,

故答案為：x豐5.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義分母不為零是關(guān)鍵.

9.計算而-上的結(jié)果是.

【答案】顯

2

【分析】分別化簡次和JI,再利用法則計算即可.

【詳解】解：原式=2應(yīng)-3血=變；

22

故答案為：叵.

2

【點睛】本題考查了二次根式的減法運算，涉及到二次根式的化簡等知識，解決本題的關(guān)鍵是牢記二次根

式的性質(zhì)和計算法則等.

10.若a+2Z?-l=0,貝！|3。+66的值是.

【答案】3

【分析】根據(jù)已知得到。+26=1,再代值求解即可.

【詳解】解：！3a+2b—l=0,

0o+2b=l,

回3a+66=3（a+2b）=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查代數(shù)式求值，利用整體思想求解是解答的關(guān)鍵.

11.若關(guān)于X的一元二次方程f—2x+7"=O有兩個不相等的實數(shù)根，則加的取值范圍是.

【答案】m<l

【分析】

此題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式與方程解的情況之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.根據(jù)方程有兩

個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式大于0,求出機的范圍即可.

【詳解】解：回關(guān)于X的一元二次方程V-2X+加=0有兩個不相等的實數(shù)根,

0A=4-4m>0,

解得：m<1.

故答案為：m<l.

12.如圖，在YABC。中，CA1AB,若ZB=50。，則/C4D的度數(shù)是

【答案】40740度

【分析】根據(jù)平行四邊形對邊平行可得AD〃3C,利用平行線的性質(zhì)可得NC4D=NACB,因此利用直角

三角形兩個銳角互余求出ZACB即可.

【詳解】解：回四邊形ABCZ）是平行四邊形，

0AD/7BC,

BZCAD^ZACB,

0C41AB,

EZBAC=90°,

0ZB=5O°,

0ZACS=90°-ZB=40°,

0ZG4D=ZACB=4O°,

故答案為：40°.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，難度較小，解題的關(guān)鍵是能夠

綜合運用上述知識.

13.二次函數(shù)y=d+3x+〃的圖像與x軸有一個交點在y軸右側(cè)，則”的值可以是（填一個值即可）

【答案】-3（答案不唯一）

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)y=f+3x+”的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)為耳、巧,

即二元一次方程尤2+3尤+"=0的根為毛、演,

由根與系數(shù)的關(guān)系得：玉+尤2=-3,xl-x1=n,

一次函數(shù)y=—+3x+w的圖象與x軸有一個交點在y軸右側(cè),

二苫，巧為異號，

〃v0,

故答案為：-3（答案不唯一）.

【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，根與系數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是根與系數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用.

14.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于C。，點E在CD的延長線上.若NAZ）E=70。，則NAOC=度.

【答案】140

【分析】首先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得NB=/ADE=70。，再根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系即可得出/AOC

的度數(shù).

【詳解】解：回四邊形ABC。內(nèi)接于。，ZADE=70°,

0ZB+ZAZX7=18O°,

又回ZADE+ZADC=180°,

回/3=/4DE=70°,

0ZAOC=2ZB=14O".

故答案為：140.

【點睛】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓心角與圓周角之間的關(guān)系，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的對

角互補，理解圓心角與圓周角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

15.如圖，在正方形ABCD中，AB=12,點E,尸分別在邊3C,CD上，AE與所相交于點G,若8E=CF=5,

則BG的長為.

【分析】根據(jù)題意證明△鉆石絲均笛尸(SAS),EBGs-FBC,利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：?四邊形ABCQ是正方形，

ZABE=ZC=90°fAB=BC,

BE=CFf

AABE^ABCF(SAS),

:"BAE=/CBF,

ZCBF^ZABG=90°,

:.ZBAE+ZABG=9Q0,

:.ZBGE=90°,

:./BGE=NC,

又ZEBG=ZFBCf

EBG^,FBC,

.BGBE

,,'BC~~BF'

BC=AB=12,CF=BE=5,

:.BF=y/BC2+CF2=7122+52=13，

.BG_5

?.?*ijv6j=0—.

13

故答案為：.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

16.已知，△OA4，^A3A都是邊長為2的等邊三角形，按下圖所示擺放?點4,4,&,?

都在X軸正半軸上，且&A3=AA=4A=,'=1，則點4)23的坐標(biāo)是.

【答案】（2023,若）

【分析】先確定前幾個點的坐標(biāo)，然后歸納規(guī)律，按規(guī)律解答即可.

【詳解】解：由圖形可得：4（2,0）,解（3,0）,4（5,0）,4（6,0）,4（8,0）,4（9,0）,

o

0OB=cos60°x(24,=l,/l1B=sin60xCl4i=A/3,

同理：4（4,一A）,4（7,A）,Ao（10,--），

團點4的橫坐標(biāo)為1,點4的橫坐標(biāo)為2,點&3的橫坐標(biāo)為3,......縱坐標(biāo)三個一循環(huán),

團4）23的橫坐標(biāo)為2023,

回2023+3=6741,674為偶數(shù)，

團點4023在第一象限，

1aAM23（2023,右）.

故答案為（2023,6b

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、坐標(biāo)規(guī)律等知識點，先求出幾個點、發(fā)現(xiàn)規(guī)

律是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共11小題,17,18每小題7分,19,20,21,22,23,24,25每小題8分，26,27每小

題9分，共88分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.先化簡，再求值：［匕+其中E

【答案】二，

【分析】先計算括號內(nèi)的加法，再計算除法運算得到最簡結(jié)果，代入數(shù)值計算即可.

【詳解】解:

1+%—1(%—I)2

x-1

xx-1

-------------

x-1X+1

X

X+1

當(dāng)x=3時，原式=三3==3.

3+14

【點睛】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵.

18.(1)計算：|75-3|+A/20+A/3COS30°

-3(x-2)>4-.x

(2)解不等式組：l+2x,

-------->x-1

I3

【答案】(1)——3-\/5；(2)x<1

【分析】（1）先去絕對值，計算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，化最簡二次根式，計算特殊角的三角函數(shù)值，再根據(jù)實數(shù)

的混合運算法則計算即可;

（2）分別解出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不至『'的原

則求出其公共解即可.

【詳解】解：⑴2-3|+出-A/20+^COS30°

=3一有+2-26+信1

=5-375+-

2

=—-3A/5；

2

-3（X-2）＞4-^D

（2）{l+2x，否，

-----＞尤-4②

I3

解不等式①，得：x＜L

解不等式②，得：尤＜4

回原不等式組的解集為xWl.

【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，涉及去絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)第，化最簡二次根式，特殊角的三角函數(shù)

值.還考查解一元一次不等式組.掌握實數(shù)的混合運算法則和解一元一次不等式組的步驟是解題關(guān)鍵.

19.2023年5月10日，搭載天舟六號貨運飛船的長征七號遙七運載火箭，在我國文昌航天發(fā)射場點火發(fā)射

成功.為了普及航空航天科普知識，某校組織學(xué)生去文昌衛(wèi)星發(fā)射中心參觀學(xué)習(xí).已知該校租用甲、乙兩

種不同型號的客車共15輛，租用1輛甲型客車需600元，1輛乙型客車需500元，租車費共8000元.問甲、

乙兩種型號客車各租多少輛？

【答案】甲型號客車租5輛，乙型號客車租10輛

【分析】設(shè)甲型號客車租x輛，乙型號客車租y輛，根據(jù)題意列二元一次方程組求解，即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)甲型號客車租x輛，乙型號客車租y輛,

x+y=15

由題意得:

600%+500^=8000

尤=5

解得:

y=io

答：甲型號客車租5輛，乙型號客車租10輛.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程組是解題關(guān)鍵.

20.隨著鹽城交通的快速發(fā)展，城鄉(xiāng)居民出行更加便捷.如圖，從甲鎮(zhèn)到乙鎮(zhèn)有鄉(xiāng)村公路A和省級公路8兩

條路線；從乙鎮(zhèn)到鹽城南洋國際機場，有省級公路C、高速公路。和城市高架E三條路線.小華駕車從甲鎮(zhèn)

到鹽城南洋國際機場接人（不考慮其他因素）.

⑴從甲鎮(zhèn)到乙鎮(zhèn)，小華所選路線是鄉(xiāng)村公路A的概率為.

⑵用列表或畫樹狀圖的方法，求小華兩段路程都選省級公路的概率.

【答案】⑴

【分析】

(1)根據(jù)概率公式計算即可；

(2)列表表示出所有的可能性，再根據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】(1)從甲鎮(zhèn)到乙鎮(zhèn)，小華所選路線是鄉(xiāng)村公路A的概率為

故答案為：-.

(2)列表如下:

共有6種等可能的結(jié)果，其中兩段路程都選省級公路只有BC,共1種，

回小華兩段路程都選省級公路的概率，,

0

【點睛】此題考查概率的求法：如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)機

種結(jié)果，那么事件A的概率RA)='.

n

21.香醋中有一種物質(zhì)，其含量不同，風(fēng)味就不同，各風(fēng)味香醋中該種物質(zhì)的含量如下表.

風(fēng)味偏甜適中偏酸

含量/(mg/100mL)71.289.8110.9

某超市銷售不同包裝(塑料瓶裝和玻璃瓶裝)的以上三種風(fēng)味的香醋，小明將該超市1-5月份售出的香醋

數(shù)量繪制成如下條形統(tǒng)計圖.

14月份仰出的不到包裝的各風(fēng)味香酣數(shù)R的條形統(tǒng)計圖

⑴求出a,。的值.

(2)售出的玻璃瓶裝香醋中該種物質(zhì)的含量的眾數(shù)為mg/lOOmL,中位數(shù)為mg/lOOmL.

⑶根據(jù)小明繪制的條形統(tǒng)計圖，你能獲得哪些信息？（寫出一條即可）

【答案】（1）0=18,6=20

（2）110.9,89.8

（3）見解析

【分析】（1）根據(jù)1-5月份共售出香醋的總量和"偏酸”的香醋占比，可求出。的值，進而求出》的值；

（2）分別計算出玻璃瓶裝香醋三種風(fēng)味各自的數(shù)量，數(shù)量最多和數(shù)量居中的那種風(fēng)味對應(yīng)的含量即為答案;

（3）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，任寫一條合理的信息即可，答案不唯一.

【詳解】（1）町-5月份共售出150瓶香醋，其中"偏酸"的香醋占比40%,

團售出"偏酸"的香醋的數(shù)量為150x40%=60（瓶）.

回a+42=60,解得a=18.

Ell5+b+17+38+a+42=150,即130+6=150,

解得b=20.

綜上，。=18,6=20.

（2）售出的玻璃瓶裝香醋的數(shù)量為20+38+42=100（瓶）.

其中：風(fēng)味偏甜的有20瓶，風(fēng)味適中的有38瓶，風(fēng)味偏酸的有42瓶，

團售出的風(fēng)味偏酸的數(shù)量最多，風(fēng)味適中的數(shù)量居中，

團售出的玻璃瓶裝香醋中的該種物質(zhì)的含量的眾數(shù)為H0.9mg/100mL,中位數(shù)為89.8mg/100mL,

故答案為:110.9,89.8.

（3）根據(jù)小明繪制的條形統(tǒng)計圖可知，人們更喜歡風(fēng)味偏酸的香醋（答案不唯一，合理即可）.

【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖、中位數(shù)和眾數(shù)，理解和掌握這些概念并能夠靈活地運用它們是本題的關(guān)鍵.

22.如圖，矩形ABCD的對角線AC與相交于點。，CD//OE,直線CE是線段。。的垂直平分線，CE

分別交ODAD于點FG,連接DE.

⑴判斷四邊形OCDE的形狀，并說明理由;

⑵當(dāng)CD=4時，求EG的長.

【答案】⑴四邊形OCDE是菱形，理由見解析

(2)EG=晅.

3

【分析】(1)證明△(%)￡＞和△￡?乃是等邊三角形，即可推出四邊形OCDE是菱形；

(2)利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得O尸和C/的長，利用菱形的性質(zhì)得到

EF=CF=273,在RtaCGF中，解直角三角形求得GP的長，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)證明：四邊形OCDE是菱形，理由如下，

團矩形ABCD的對角線AC與80相交于點O,

SOC=OD=-AC=-BD,

22

團直線CE是線段。。的垂直平分線，

回CO=CD,EO=ED,

^\CO=CD=OD,即△CQD是等邊三角形，

0ZOCD=NDCO=ZDOC=60°,ZOCF=NDCF=-ZOCD=30°,

2

QCD〃OE,

0NEOD=Z.EDO=Z.CDO=60°,

EIAEO。是等邊三角形，

回CO=CD=EO=ED,

團四邊形OCD石是菱形；

(2)解：團直線CE是線段0。的垂直平分線，且ZDCF=30。，

17-廠

0DF=-CD=2,CF=^3DF=25/3,

由(1)得四邊形。CDE是菱形，

0￡F=CF=2A/3,

在RtDGP中，ZGDF=900-ZODC=30°,

0GF=DFtan30°=2x^=^l,

33

4J3

^EG=EF-GF=^-.

3

【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，線段垂直平分線的性

質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

23.如圖，點A的坐標(biāo)是(-3,0),點8的坐標(biāo)是(0,4),點C為0?中點，將ABC繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。

得到AA'BC.

k

⑴反比例函數(shù)y=—的圖像經(jīng)過點C,求該反比例函數(shù)的表達式;

(2)一次函數(shù)圖像經(jīng)過A、A兩點，求該一次函數(shù)的表達式.

Q

【答案】⑴1

X

c13

(2)y=-x+-

77

【分析】

(1)由點2的坐標(biāo)是(。，4),點C為。8中點，可得C(0,2),OC=BC=2,由旋轉(zhuǎn)可得：BC'=BC=2,

ZCBC'=90°,可得C'(2,4),可得％=2x4=8,從而可得答案；

(2)如圖，過A作，3c于H,則ZAOB=ZAHB=90。，而ZABA=90。，鉆=A3,證明ABCRBA'H,

可得AO=B"=3,OB=AH=4,A(4,l),設(shè)直線4V為y=必+〃，再建立方程組求解即可.

【詳解】(1)解：回點8的坐標(biāo)是(0,4),點C為08中點，

0C(O,2),OC=BC=2,

由旋轉(zhuǎn)可得：BC'=BC=2,ZCBC=90°,

0C(2,4),

回左=2x4=8,

Q

團反比例函數(shù)的表達式為y二—；

X

(2)如圖，過A作于H,

則NAQB=ZA7ffi=90。，而ZABA'=90。，AB=AB,

0ZABO+ZBAO=90°=ZABO+ZABO,

BAO?岫"，

0ABO^BAH,

回AO=B”=3,OB=AH=4,

回。耳=4-3=1,

I3A'（4,1）,

設(shè)直線AA'^y=mx+n，

1

m=—

-3m+n=07

回,I，解得：

4m+n=l3

n=—

7

13

團直線AA'為y=.

【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，全等三角形的

判定與性質(zhì)，熟練的求解4(4,1)是解本題的關(guān)鍵.

24.如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30。方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達8

處，測得燈塔以位于8的北偏東60°方向上，測得港口C位于8的北偏東45。方向上.已知港口C在燈塔M

的正北方向上.

⑴填空：度，/BCW=_度；

⑵求燈塔”到輪船航線AB的距離（結(jié)果保留根號）;

⑶求港口C與燈塔〃的距離（結(jié)果保留根號）.

【答案】（1）30,45

⑵燈塔M到輪船航線AB的距離為10岔海里

⑶港口C與燈塔M的距離為10（73-1）海里

【分析】（1）作8,48交42于。，作加石，神交42于￡,由三角形外角的定義與性質(zhì)可得NAA但=30。，

再由平行線的性質(zhì)可得N3CM=45。，即可得解；

（2）作CD_LAB交A2于。，作ME_LAB交于E,由（1）可得：ZA=ZBMA=30°,從而得到

3M=AB=20海里，再由=進行計算即可；

（3）作CD_LAB交AB于￡）,作ME_LAB交A8于E,證明四邊形CDEM是矩形，得到CD=EM=106海

里，DE=CM,由3E=aW-cos/EBM計算出的的長度，證明△CDB是等腰直角三角形，得到

CD=BD=10g海里,即可得到答案.

【詳解】（1）解：如圖，作CD_LAB交于。，作交48于E,

=ZA+ZAAffi=30°+ZAMB=60°,

:.ZAMB=30°,

AB,C似都是正北方向,

:.AB//CM,

/D3c=45°,

.-.ZBCM=45°,

故答案為：30,45；

(2)解：如圖，作CD_LAB交A3于。，作Affi_LAB交AB于E,

.?.BM=AB=20海里,

在RtBEM中,ZEBM=60°,〃0=20海里,

:.EM=BM-sinZEBM=20xsin60。=20x1=10/海里

??燈塔M到輪船航線AB的距離為106海里;

(3)解：如圖，作CD_L/1B交A8于D,作ME_LAB交A3于E,

CD1.AB,MELAB,AB.CM都是正北方向，

二四邊形CDEM是矩形，

:.CD=EM=I0g海里,DE=CM,

在Rt3EM中，ZEBM=60°,3M=20海里，

BE=BMcosZEBM=20xcos60°=20xL10海里，

2

在RtZXCDB中，ZDBC=45°,

：.CZ)B是等腰直角三角形，

：.CD=BD=10y/3海里，

;.CM=上=8。-8后=104-10=10(道-1)海里，

港口C與燈塔M的距離為10(8-1)海里.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義與性

質(zhì)，熟練掌握以上知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，在菱形ABCD中，對角線AG即相交于點0,AB=10cm,BD=4小cm.動點尸從點A出發(fā)，

沿AB方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，動點。從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為2cm/s.以

AP,A。為鄰邊的平行四邊形的邊PM與AC交于點E.設(shè)運動時間為r(s)(O<f<5),解答下列問題:

⑴當(dāng)點M在3。上時，求f的值；

⑵連接BE.設(shè)△尸￡B的面積為S(cn?),求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；

⑶是否存在某一時刻使點8在NPEC的平分線上？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴

2

(2)S=--r2+4r(0<t<5)；S的最大值為10

{3U=^Jl

2

【分析】(1)證明OQMSAMPB,貝u=小，即可求解；

2t10-r

(2)由即可求解；

BR

(3)當(dāng)點8在NPEC的平分線上時，貝!|BR=OB=2非,在RtPBR中,sinZEPB=sinZDAB=

=巫，即可求解.

10—

【詳解】(1)回平行四邊形APMQ,

團AQPM,AQ=PM,QM//AP,QM=AP

由題意得回■DQ=10-2r,PM=2r,尸8=1。一乙QM=AP=t,

如下圖，點”在3D上時，

0Z.DQM=NDAB=AMPQ,ZDMQ=NMBP,

回.DQMs^MPB,

則器筆即10—2/t

2t-10"

10

解得:

T

(2)如上圖,

團AQPM,

0ZAEP=ZEAQ,

回四邊形ABC。是菱形，

則NQA￡=NE4P,

SZAEP=ZEAP,

回Y4PE為等腰三角形，則PE="=f

過點。作于點H,

則SABD=^ABDH=^xAODB

即10DH=Jl()2-(2用x4后解得回DH=8,

DH24

則sinZDAH=-----=—=—,

AD105

設(shè)VP￡B中PB邊上的高為/?,則

111Af2

S=-PBh=-(10-t)-sinZDHAAE=~(10-t)--=--t2+4t

2,

即：S=--(r-5/+10(0<f<5)

9

--<0,故S有最大值，

當(dāng)t=5時，S的最大值為10；

(3)存在，理由回

如下圖，過點8作于點R,

當(dāng)點8在ZPEC的平分線上時，則

BR=OB=245,

在Rt..P8R中,

sinZEPB=sinZDAB=-=—=

5PB10-?

【點睛】本題為四邊形綜合題，涉及到特殊四邊形性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形、函數(shù)的表達式確定

等，綜合性強，難度適中.

26.已知：A、8為圓上兩定點，點C在該圓上NC為AB所對的圓周角.

C

知識回顧

⑴如圖①，。中，B、C位于直線A0異側(cè)，ZAOB+ZC=135°.

①求/C的度數(shù)；

②若。的半徑為5,AC=8,求3c的長；

逆向思考

⑵如圖②，P為圓內(nèi)一點，且NAP3<120。，PA=PB,ZAPB=2ZC.求證：尸為該圓的圓心；

拓展應(yīng)用

⑶如圖③，在（2）的條件下，若/AP3=90。，點C在P位于直線AP上方部分的圓弧上運動.點。在P

上，滿足cr）=0CB-C4的所有點。中，必有一個點的位置始終不變.請證明.

【答案】⑴①45。；②7后；

⑵見解析；

⑶見解析

【分析】（1）①根據(jù)/AO8+/C=135。，結(jié)合圓周角定理求/C的度數(shù)；②構(gòu)造直角三角形；

（2）只要說明點尸到圓上A、B和另一點的距離相等即可；

（3）根據(jù)00=血08-。4，構(gòu)造一條線段等于血。8-。4,利用三角形全等來說明此線段和C￡>相等.

【詳解】（1）解：①ZAOB+ZC=135°,ZAOB=2ZC,

，3NC=135。，

ZC=45°.

②連接A3,過A作AWLBC,垂足為V,

c

ZC=45°,AC=8,

ACM是等腰直角三角形，且AW=CN=40，

,ZAOB=2ZC=90°,OA=OB,

：.AC?是等腰直角三角形，

:.AB=y/2OA=5y/2，

在直角三角形ABM中，BM=-JAB2-AM2=372>

BC=CM+BM=40+372=70.

(2)證明：延長AP交圓于點N,則/C=/N,

:.ZAPB=2ZN,

ZAPB=ZN+NPBN,

:.ZN=NPBN,

:.PN=PB,

PA=PB,

：.PA=PB=PN,

為該圓的圓心.

(3)證明：過8作BC的垂線交C4的延長線于點E,連接AB,延長AP交圓于點尸，連接C/,FB,

ZAPB=9。。,

.-.ZC=45°,

.?.△3CE是等腰直角三角形,

:.BE=BC,

BP±AF,PA=PF,

:.BA=BF,

AF是直徑，

NAB尸=90°,

:.NEBC=ZABF=90。,

:.NEBA=NCBF,

.?.△EA4絲△C3尸(SAS),

■■■AE=CF,

CD=6CB-CA=CE-CA=AE,

:.CD=CF,

,必有一個點。的位置始終不變，點廠即為所求.

【點睛】本題考查了圓周角定理，還考查了勾股定理和三角形全等的知識，對于(3)構(gòu)造一條線段等于

血C8-CA是關(guān)鍵.

27.【問題情境】

在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30。的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩塊三角板

分別記作tADB和AA'D'C,ZADB=ZA'D'C=90°,ZB=ZC=30°,設(shè)AB=2.

【操作探究】

如圖1,先將ADB和_A'￡>'C的邊AD、AD重合，再將以萬'C繞著點A按颯町笆方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

a(O0<a<36O°),旋轉(zhuǎn)過程中.ADB保持不動，連接BC.

⑵當(dāng)々=90。時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；

(3)如圖2,取BC的中點R將aA力'C繞著點A旋轉(zhuǎn)一周，點尸的運動路徑長為

【答案】⑴2；