集合、立體幾何、解析幾何及其他新定義綜合-2025年高中數(shù)學一輪復習

第03講集合、立體幾何、解析幾何

及其他新定義綜合

（4類核心考點精講精練）

考情探究?

集合新定義考情分析

首先，集合的基本概念和表示方法是基礎，包括集合的定義、元素、子集、并集、交集、補集等。考

生需要掌握集合的表示方法，如列舉法和描述法，并能正確使用集合運算符號。

其次，集合的新定義和新概念可能會出現(xiàn)在高考試題中，考生需要關注集合新問題。

總體而言，新高考數(shù)學集合部分的考情分析要求考生不僅要掌握基礎知識，還要能夠將集合知識與其

他數(shù)學領域相結合，解決實際問題。考生應注重基礎知識的鞏固，同時關注新定義的學習和應用。

立體幾何新定義考情分析

新高考數(shù)學立體幾何部分，新定義的引入是近年來考試改革的一個重要方面。新定義通常涉及一些特

定的幾何概念、性質或定理，這些內容在傳統(tǒng)的教學大綱中可能沒有明確提及，但它們對于解決某些特定

問題非常關鍵。考情分析顯示，新定義的題目往往要求考生具備較強的邏輯推理能力和空間想象能力。

在備考時，考生需要特別注意以下幾個方面：

1.理解新定義的含義：考生需要準確理解新定義的幾何概念或性質，并能夠將其與已知的數(shù)學知識聯(lián)

系起來。

2.掌握新定義的應用：通過大量練習，熟悉新定義在解決立體幾何問題中的應用，包括但不限于計算

體積、表面積、線段長度、角度等。

3.分析和解決問題的能力：面對新定義題目，考生應學會如何分析問題，運用邏輯推理和幾何直觀來

解決問題。

4.關注新定義與實際問題的結合：新高考數(shù)學試題越來越注重實際應用，考生應學會將新定義與實際

問題結合起來，提高解決實際問題的能力。

總之，新定義的引入增加了立體幾何題目的難度和深度，考生需要在復習時特別關注這些內容，通過

多種方式提高自己的理解和應用能力。

解析幾何新定義考情分析

解析幾何是高中數(shù)學的重要組成部分，它以代數(shù)方法研究幾何問題，是連接代數(shù)與幾何的橋梁。在新

高考數(shù)學中，解析幾何的內容和考查方式有所更新，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.新定義問題的引入：新高考數(shù)學解析幾何部分增加了對新定義的理解和應用的考查。這類問題通常

1

會給出一個未見過的幾何概念或性質，要求考生在理解的基礎上，運用已學知識進行推導和計算。

2.綜合性增強：解析幾何題目往往與其他數(shù)學領域如代數(shù)、三角等知識相結合，考查學生綜合運用多

種數(shù)學工具解決問題的能力。

3.實際應用背景：新高考數(shù)學解析幾何題目更加注重實際應用，題目背景往往來源于實際生活或科學

技術，要求學生能夠將抽象的數(shù)學問題與現(xiàn)實世界聯(lián)系起來。

4.創(chuàng)新思維的考查：解析幾何題目中可能會出現(xiàn)一些開放性問題，鼓勵學生運用創(chuàng)新思維，探索多種

解題方法，而不僅僅是套用固定模式。

5.計算能力與邏輯推理能力并重：新高考數(shù)學解析幾何部分不僅考查學生的計算能力，還強調邏輯推

理能力?？忌枰獪蚀_理解幾何圖形的性質，合理運用幾何定理和公式，進行嚴密的邏輯推理。

針對這些考情變化，考生在備考時應加強對新定義的理解和應用，提高解決綜合性問題的能力，注重

實際應用背景的題目訓練，并在解題過程中發(fā)揮創(chuàng)新思維，同時加強計算能力和邏輯推理能力的培養(yǎng)。

II考點梳理

考點1集合新定義

考點立體幾何新定義

集合、立體幾何、解析幾何2

一核心考點考點解析幾何新定義

及其他新定義綜合3

考點4其他新定義綜合

考點一、集合新定義

典例引領

1.(2024?廣東深圳?模擬預測)定義兩集合的差集：=且xeN},已知集合/={2,3,5},

5={3,5,8),則/-(/-2的子集個數(shù)是()個.

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)題意求得集合從而求得其子集的個數(shù).

【詳解】因為4={2,3,5},3={3,5,8},

所以/_3={2},

所以/-(/-8)={3,5},有兩個元素，

貝1|/-("8)的子集個數(shù)是22=4個.

故選:B.

2.(2024?浙江紹興?模擬預測)對于集合B,定義小8={x|xe/且xeB},則對于集合

2

A={x\x=6n+5,zzeN},B={y\y=3m+1,meN},C=x|xe且x<1000},以下說法正確的是（）

A.若在橫線上填入"n",則C的真子集有212-1個.

B.若在橫線上填入"U",則C中元素個數(shù)大于250.

C.若在橫線上填入則C的非空真子集有2面-2個.

D.若在橫線上填入則中元素個數(shù)為13.

【答案】B

【分析】根據(jù)各個選項確定相應的集合C,然后由集合與子集定義得結論.

【詳解】尤=6〃+5=3x（2〃+l）+2,y=3/w+7=3（加+2）+1,集合4臺無公共元素，

選項A中，集合C為空集，沒有真子集，A錯；

選項B中，由6〃+5<1000得“<165』，由3〃?+7<1000得用<331,因此C中元素個數(shù)為166+331=497,B

6

正確；

選項C中，C中元素個數(shù)為166,非空真子集個數(shù)為2際-2，c錯；

選項D中，飄=M/U躺）=N4n瞰M）=NA^B,而8三金/,因此其中元素個數(shù)為331個，D錯.

故選：B.

3.（2024?吉林長春?模擬預測）（多選）對于集合A,若則稱A為對偶互存集，則下列為

對偶互存集的是（）

A.{-1,0,1,2,3}B.卜卜=2左一1,左eZ}

C.卜了=占,D.{山=l+siwc}

【答案】ABD

【分析】根據(jù)對偶互存集的定義逐項判斷可得答案.

【詳解】對于A,當尤=-1,0,1,2,3時，2-尤e{-l,0,l,2,3},故A正確；

對于B,卜,=24-1,左wZ}為全體奇數(shù)構成的集合，

當x為奇數(shù)時，2-x也為奇數(shù)，故B正確；

對于C,，了=^J={引了W0}，貝|2?引了20},

但2-2=00{中工0},故C錯誤；

對于D,{y|y=l+sinx）=[0,2],當xe[0,2]時,2-xe[0,2],故D正確.

故選:ABD.

4.（2024?北京西城?三模）記集合。={（4,電，…,qe{0,1},7=1,2,…，叫〃>2）.對任意c=e。,

。=他也,…也）e。，記〃（?/）=（|4-4I』的%I，I）,對于非空集合定義集合

D（A）=\d（a,p）|aeA,0eA].

⑴當〃=2時,寫出集合O；對于/={（0,0）,（0,1）,（1,0）},寫出。⑷;

3

(2)當〃=3時，如果求card(/)的最小值；

⑶求證：card(Z>(4))》card(4).

(注：本題中，card(N)表示有限集合/中的元素的個數(shù).)

【答案】(1)。={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}；。(⑷案{(0,0),(0,1),(1,0),(U)}

(2)5

⑶證明見解析

【分析】(1)根據(jù)定義直接寫出集合。，再根據(jù)。(⑷的定義寫出。(/)；

(2)設card(/)=m,則card(Q)=8,則由題意可得C：27,從而可求得結果；

(3)設/中的所有元素為a1，a2,am,其中加=card(N),記=(i=l,2,...,m),先利用反

證法證明這些“互不相等，再根據(jù)定義證明即可.

【詳解】(1)。={(0,0),(0,1),(1,0),(1」)}；

若4m{(0,0),(0,1),(1,0)},則D(/)={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.

(2)cardQ)的最小值為5.

證明如下：

設card(/)=m.

因為card(Q)=23=8,除(0,0,0)=d(c,0外，其它7個元素需由兩個不同的a,月計算得到，

所以C：》7,解得d.

當/={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}時，有。(/)=。，符合題意.

(3)證明：設/中的所有元素為%，%，...，%,,其中加=card(/).

記％'="(生嗎)(i=),則這些a；互不相等.

證明如下：如果存在，〃(%,%)="(%,/),

則dQ,%),d(%,4)的每一位都相等，

所以火,勺的每一位都相等，

從而%=%,與集合N中元素的互異性矛盾.

定義集合。'(⑷={琮/,…，或},則card(D'(/))=m=card(^).

又。(/)衛(wèi)。'(/),

所以card(O(4))2card(Z>'(Z))=card(/).

【點睛】關鍵點點睛：此題考查集合的新定義，考查集合間的關系，解題的關鍵是對集合新定義的正確理

解，考查理解能力，屬于難題.

5.(2024?浙江?模擬預測)稱代數(shù)系統(tǒng)G(x,。)為一個有限群，如果

1.X為一個有限集合，。為定義在X上的運算(不必交換)，^a,beX,aob^X

2.(0。6)。c=a。(6。c),\/a,b,c6X

3.3eX,\JaX,a°e=e°a=a,e稱為G的單位元

4

4.V。eX,存在唯一元素/eX使。。廠=/。a=e,小稱為。的逆元有限群〃（匕。）,稱為G（X,。）的子群

若y=X,定義運算.。//={0?！ā█//}.

⑴設H為有限群G的子群，。力為G中的元素.求證：

（i）a。H=b。H當且僅當bl°aeH;

（ii）與b元素個數(shù)相同.

⑵設。為任一質數(shù)X={1,2,…,p-l}.X上的乘法定義為。。6=---P，其中國為不大于無的最小整

VPVP\）

pl

數(shù).已知G（X,。）構成一個群，求證:VaGX。」-1=0（其中a-表示PT個。作。運算）

【答案】（1）（i）證明見解析；（ii）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）（i）利用單位元、子群的定義判斷可得答案；（ii）首先構造一個〃到的滿射，直接由

的定義得到，另一方面，證明這個映射同時也是單射即可；

（2）我們有如下斷言:假設上是使得/=e的最小正整數(shù)，由（1）的結論可知可得答案.

【詳解】（1）（i）如果。。7/=6。/7,則V力方力2」〃,a。h、=b。h,

從而b"。。=%。父wH.

另一方面，如果尸?！?〃，

則有V4ea。瓦物e/Z,g、=a。％,

lx

即a'°gx=hx,從而b~°a°a~°gx=『。a。％eH,

即b"°g[wH,

從而4S。"，

反之由反°aeH得到a-l°beH，

類似討論得中的元素也全都屬于。?！?，證畢；

（ii）我們首先構造一個b到a。”的滿射，

這直接由。的定義得到，

另一方面，我們證明這個映射同時也是單射，

事實上，若對h\，heH,a。瓦=a。均,

兩邊左乘a1>

則有力=用，從而兩集合間有一一映射，

故元素個數(shù)相等；

（2）我們有如下斷言:VaeX,awl,

假設先是使得d=e的最小正整數(shù)，

則e,a,小,舒,…,（其中屋表示加個。作.運算）在運算。下構成G的一個子群，

記作

而由（1）的結論可知，卜。〃,xeG}這一集族中的集合有相同的元素個數(shù)，

5

且兩兩不交(若有兩個集合。。修/?！ㄏ嘟唬瑒t推得尸oaeH，

由(1)(i)得兩集合相同)從而它們構成G的一個劃分，從而有p-l=^JeN,

因而ap~]=(ak)=f=1.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是對新定義的理解及性質的應用.

即時檢測

I______________________

11.(2024?浙江?二模)稱平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為正整數(shù)的點為好整點，記災[S]為集合S包

含的好整點的個數(shù).若火1(2)卜+y)2+3x+”A)]=見｛(\x+y<4^,則正整數(shù)上的最小值是()

A.1976B.1977C.2023D.2024

【答案】B

【分析】一方面由必要性：轉換成恒成立求參問題，可以求得力21977,另一方面比較重要的一點是：要驗

證當先=1977時，w[(2)卜+?+3x+”4=見{(|x+”4打，由此即可得解.

【詳解】一方面：由題意Vx,yeN*,x+y<43,使得不等式++3x+y〈上恒成立，

注意至U(x+y)2+3x+y=(x+y)2+3(x+y)-2_y<(x+y)?+3(x+y)-2

4432+3x43-2=1976,

fx+y=43]x=42

等號成立當且僅當；，即,,

b=i卜=i

所以正整數(shù)上應該滿足左點977,

另一方面：當左=1977時，

我們證明：火](x,川(x+y)2+3x+y<,=端(x,?|x+y44打成立，

證明過程如下：

注意到{(x,y)x+"43}={(1,1),(1,2)(2,1…,(1,42)0,41)…,02,1?,

42x+42

所以R[{(x,y)|x+y<43}]=1+2+??-+42=0)=903,

Vx/eN",記x+y=M,則“€{2,3J..43},ye{1,2,--1},

91+y)2+3x+y<左J

=況](蒼川(為+y)~+3(x+y)-2y<1977,

3/、42x(1+42)

=E("-l)=l+2+-.+42=——------^=903,

M=22

即火{(x,y)kx+y)2+3x+y<左[=%[{"y)x+yV43}]=903成立，

6

綜合以上兩方面，可知正整數(shù)發(fā)的最小值是1977.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵在于用必要性求得參數(shù)范圍后，一定要檢驗充分性是否成立，由此即可

順利得解.

2.（2024?湖南懷化?二模）給定整數(shù)心3,有〃個實數(shù)元素的集合S,定義其相伴數(shù)集7=加的,力eS,aR6},

如果min（T）=l,則稱集合S為一個"元規(guī)范數(shù)集.（注：min（X）表示數(shù)集X中的最小數(shù)）.對于集合

M={-0.1,-1.1,2,2.5}、N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},貝l]（）

A.”是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集B.M是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集

C.M不是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集D.M不是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集

【答案】C

【分析】利用規(guī)范數(shù)集的定義，逐項判斷即可得解.

【詳解】集合屈={-0.1,-1.1,2,2.5}中，2wM,25wM,貝I]|2-2.5|=0.5<1,

即M的相伴數(shù)集中的最小數(shù)不是1,因此M不是規(guī)范數(shù)集；

集合N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},1-1.5-（-0.5）|=1,|-0.5-0.5|=1,10.5-1.5|=1,

|-1.5-0.5H-0.5-1.5|=2,|-1.5-1.5|=3,

即N的相伴數(shù)集中的最小數(shù)是1,因此N是規(guī)范數(shù)集.

故選：C

3.（2024?福建?模擬預測）（多選）若平面點集M滿足：任意點（x,y）eW,存在fe（0,+s）,都有儂,共）eM,

則稱該點集M是f階聚合點集.下列命題為真命題的是（）

A.若M={（x,y）|x2y},則/是3階聚合點集

B.存在“對任意正數(shù)"使"不是邛介聚合點集

'V211

C.=<（x,y）~+y2=l>,則M不是§階聚合點集

D."te工+e）"是"M—是邛介聚合點集”的充要條件

【答案】ACD

【分析】根據(jù)集合新定義的規(guī)定，易判斷A正確；通過舉反例排除B；按照集合新定義得不出合理結論否定

M==為g階聚合點集判斷C；運用等價轉化思想，即可得到D正確.

【詳解】對于A,由xNy可得3xN3y,故”是3階聚合點集，即A正確；

對于B,對任意的點集總存在f=l,使得M是1階聚合點集，故B錯誤；

對于C,因片+/=1,而（3）:，八2x2y2x22一故M不是《階聚合點集，即C正確；

4丁+曰=*+/<“+”13

對于D,因"={（%））”22%}是，階聚合點集等價于2比，

7

因1>0,可得少2“，又因依題意可得反之也成立，

故""=卜3小2“}是/階聚合點集"是，"€工+”)〃的充要條件，即D正確.

故選：ACD.

4.(2024?貴州遵義?二模)設集合凡={(%/,…,當)|%=0或1/=(2,…,。，中的元素a=3，%…M3

6=(4也,…也)，定義：。十6=(%-4)4+(%-%)4+…+(%-2)4.若M為4的《元子集，對Vxe〃“，

都存在yeM,使得x十yW3,則稱M為七的左元最優(yōu)子集.

(1)若。十6=4,且。=(1,0,1,1,0),試寫出兩個不同的6；

⑵當〃=7時，集合2=…,馬),(%,％,…,%)},占,匕e{01},占+%=1,證明：A為嗎的2元最優(yōu)子集;

⑶當〃28時，，“是否存在2元最優(yōu)子集，若存在，求出一個最優(yōu)子集，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)6=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1)；

(2)證明見解析；

⑶不存在，理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定的定義直接寫出b即可.

⑵任取z=(z”Z2,…,與)€鳥，確定存在的X/,使得(x,-z,)4+(%-zJ=l,i=l,2,3,4,5,6,7,代入計算

證得.

(3)先考慮〃=8的情況，證明不存在最優(yōu)子集即可推理得證.

【詳解】⑴取6=(0,1,0,0,0)或(U,0,0,1),滿足a十6=12+12+12+12=4,

所以6=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1).

⑵任取Z=(Z],z?,Z7)eZ，則存在4片€{0,1},%+%=1,使得a_ZJ+(%-Z,)4=1,i=1,2,3,4,5,6,7,

記X=(X],X2,……,乃)，

777

x十z+y十z=Z(%-Z,)4+￡(%-Z,)4=￡[&-4)4+(%-Z,)4]=7,

Z=1Z=1Z=1

若x十z43,則結論成立；若x十z24,貝帖十z=7-x十ZV3,

所以A為凡的2元最優(yōu)子集.

(3)先考慮"=8的情況，假設生存在2元最優(yōu)子集7?,

記及={a,6},a=…，4)，6=(4也，…，4)，

VaG77g,BcH(c1,c2,---,c8)e77'g,^a?c=4,

ific=(1—c1；l—c2,???,1—c8),貝ijce,

由a十c+a十1=8,得a十？=4,6十c+6十5=8,

因此。十c,b十}中至少有一個數(shù)大于等于4,

這與R是最優(yōu)子集矛盾，由6的任意性，可知&不存在最優(yōu)子集，

當8時，Va,6e4,a=(a1M2,???,%),6=(4也，…也)，

8

n8

則。十6=E(%-6Jz￡(a,-也丁，所以憶沒有2元最優(yōu)子集.

Z=1Z=1

【點睛】方法點睛：求解新定義運算有關的題目，關鍵是理解和運用新定義的概念以及元算，利用化歸和

轉化的數(shù)學思想方法，將不熟悉的數(shù)學問題，轉化成熟悉的問題進行求解.

5.(2024?四川?一模)桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，我們會發(fā)現(xiàn)至少會

有一個抽屜里面放不少于兩個蘋果.這一現(xiàn)象就是我們所說的"抽屜原理

抽屜原理的一般含義為：如果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就可以代表一個元素，假如有〃+1個元

素放到n個集合中去，共中必定有一個集合里至少有兩個元素.

應用抽屜原理，解答下列問題：設"為正整數(shù)，集合/={&|￡=(32「4")，”€{0,1}水=1,2,…,力}.對于集

合/中的任意元素a=(再,三，…,%)和￡=(%，%，,,2,)，記

=5[(再+J1+卜一必|)+伍+y2+卜_%|)+…+(X"+yn+|x?-J?D].

⑴當〃=3時，巖a=(0,l,l),^=(0,0,1),求A/(a,a)和的值；

(2)當〃=4時，對于/中的任意兩個不同的元素B,證明：M(a,0)WM(a,a)+M(0,0).

⑶給定不小于2的正整數(shù)“，設3是/的子集，且滿足：對于8中的任意兩個不同元素a,P，

71/(4月)=河(40+M(尸,尸).寫出一個集合8,使其元素個數(shù)最多，并說明由.

【答案】(l)M(/a)=2,M(aQ=2

(2)證明見解析

(3)S={e0,ej,---,e?},理由見解析

【分析】(1)根據(jù)定義得到M(a,a)=2,M(aQ=2；

(2)設。=(%,%，三,三),夕=(%,掇*%，招)，求出M(a,a)=X]+工2+退+匕，M(P，夕)=必+%+%+%，分析出

Af(?,^)=max{x1,j?1}+max{x2,^2}+max{x3,j；3}+max{x4,)/4},max{x,.,^.}＜x(+yt,證明出WM(a,a)+M(/7,0,

當且僅當x,%=0(/=1,2,3,4)時等號成立；

(3)在(2)的基礎上,得到若"'(&,")="'30)+〃_(￡,￡),貝5]無a=0,7=1,2,3「1〃成立,對集合A進行分

類，應用抽屜原理和反證法，得到滿足條件的集合8中元素個數(shù)不多于〃+1,在取e。=(0,0,…0),對于左=1,

2,…，?-1,取e&=(4工2，%，…，，且％="-=%=0;e?e4＞令臺=佃叢…,e“},得到答案.

【詳解】(1)因為a=(O,l,l),￡=(0,0,1),

所以M(a,a)=g[(0+0+|0-0|)+(l+l+“_l|)+(l+l+卜1|)]=2,

A/(?,^)=|[(0+0+|0-0|)+(l+0+|l-0|)+(l+l+|l-l|)]=2；

(2)當〃=4時，對于/中的任意兩個不同的元素a,P，

設。=(芭，％2，13，％4)，夕=(必，＞2，為，》4)，

M(a,a)=xx+x2+x3+x^9M(夕，夕)=必+%+%+2.

對于任意的%，%,1=1,2,3,4,

9

當x,2X時，有;(%+力+卜-%|)=1[x;+乂+(X,.-y,)]=X,.,

當占My,時，有+%+|為一％=+%-(x,-%)]=%.

即1(x,+Z+I%-yjI)=max{x,.，x},

所以Af(a,/)=max{x”M}+max{x2，%}+max{x3，%}+max{z，”},

又因為x,,y,e{O,l},

所以max{x”其}i=l,2,3,4,當且僅當x那=0時等號成立,

所以max{再，乂}+max{x2,y2}+max{x3,y3}+max{x4,y4}

V(%+Vj)+(x2+%)+(%+%)+(x4+y4)

=(xt+x2+x3+x4)+(必+y2+y3+y4),

即囚3,0這'(氏&)+版月,0,當且僅當x,%=0(i=l,2,3,4)時等號成立：

(3)由(2)可證,對于任意的a=(再，苞,后,…，怎的￡=

若M(a,0)=M(a,a)+M(0,0),則占％=0"=1,2,3「、〃成立.

考慮設4={(*，三，三，…，三)1再=3=""=x,=0}，

4={(Xj,x2,x3,???,%?)|Xj=l,x,.e{0,l},z=2,3,---,M},

對于任意的斤=2,3,...?n,

4={(xi,x2,x3,---,xn)\(xl,x2,x3,---,xtt')&A,xl=x2=■■-=xkk=0,xk=1},

所以/=4U4U…U4，

假設滿足條件的集合3中元素個數(shù)不少于"+2,

則至少存在兩個元素在某個集合4伏=1,2,…,〃-1)中，

不妨設為&=(再,%，尤3,…，匕)，"=(%，%，%，,??，%)，則以=%=】.

與假設矛盾，所以滿足條件的集合8中元素個數(shù)不多于〃+1.

取e。=(0,0,?■?O)；

對于左=1,2,n-1,取eg=(外,々,知…,馬)?4,

X==X=

且M""N0：e；,e4.

令3={eo，e”…,e“},

則集合8滿足條件，且元素個數(shù)為〃+1,

故B是一個滿足條件且元素個數(shù)最多的集合.

【點睛】新定義問題的方法和技巧：

(1)可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；

(2)可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；

(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質特征與規(guī)律；

(4)如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用

書上的概念.

10

考點二、立體幾何新定義

甲典例引領

1.（2024?青海?模擬預測）如圖，在正方體中，E,F,M,N,G,H分別為棱

BC,AD,CD,4月，CQi的中點，P為的中點，連接EX,FG.對于空間任意兩點/,J,若線

段。上不存在也在線段即，尸G上的點，則稱/,J兩點"可視"，則與點片"可視”的點為（）

【答案】D

【分析】連接耳。、BF、B[E、MF、B]M、B、N,借助平行線的性質可得四點共面，即可得線段與。與

昉■相交，線段與尸與即相交，線段4M與尸G相交，從而排除A、B、C.

【詳解】如圖，連接與。，與尸，B\E,由正方體的性質及E、H分別為棱/5、的中點，

易得B\EMHD,所以線段用。與四相交，與尸與相交，故A、B錯誤；

連接MF,B[M,有AB//MF,ABUBfi,故用G//MF,

所以線段用M與FG相交，C錯誤；

連接4N,直線用N與四，直線4N與尸G均為異面直線，D正確.

故選：D.

2.（23-24高三上?上海浦東新?階段練習）在空間直角坐標系中，定義點/（占,乂0）和點兩點之

間的"直角距離=k1-乙|+瓦一月+%-Z2若A和3兩點之間的距離是G，則A和8兩點之間的“直

角距離”的取值范圍是.

11

【答案】[后3]

【分析】根據(jù)空間兩點距離公式，結合三角代換法、輔助角公式、正弦型函數(shù)的最值性質進行求解即可.

22zz2

[詳解]因為AB=-x2）+{y]~y2）+（i~2）=右，

所以設卜一%21二6cos8sineJ必一刃二V"§sinOsin同向一=7-3cos^,

其中。,夕￡0,1,因此d（z,5）=|再一司+|弘一%|十|z「z』=|不—目

=A/3COS6sin°+Gsin夕sin°+百cos°

=V3sin(cos04-sin^)+V3COS(p=46sm(psin0+—+Geos夕,

因為共吟'所以"畀PT

設,=sin[e+：]￡-^-,1

=&sin夕sin[9+；J+Gcoscp=y[6tsin°+Gcoscp

于是有d（A網(wǎng)

76t2+3sin(p+arctan

TT11171

因為夕e0,-所以9+arctanarctanarctan,I—

STyJ2t也t2_

因此當，=1且。+arctan7豆=己時，即當，=1且0=]_arctan1及時，

九㈤有最大值76x1+3=3,

當』=*且。=0或。=]時，4腐）有最小值，

止匕時arctan-y=-=arctan1=—,d（A§）=y/~6sin:=y/3或d（A§）=V6sin=后,

所以％B）的最小值=

綜上，A和3兩點之間的"直角距離”的取值范圍是[6,3]

故答案為:[6,3]

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用三角代換的方法、運用正弦函數(shù)的最值的性質.

3.（24-25高三上?浙江?開學考試）已知Q是棱長為近的正四面體43C。，設Q的四個頂點到平面C的距離

所構成的集合為若M中元素的個數(shù)為左，則稱夕為Q的后階等距平面，"為Q的左階等距集.

（1）若a為Q的1階等距平面且1階等距集為{a},求。的所有可能值以及相應的a的個數(shù)；

（2）已知月為。的4階等距平面，且點A與點8c。分別位于尸的兩側.若。的4階等距集為仍,26,36,46},

12

其中點A到。的距離為b,求平面BCD與0夾角的余弦值.

【答案】⑴答案見解析

⑵叵

7

【分析】（1）分兩種情況得出。的所有可能值以及相應的&的個數(shù)；

（2）先根據(jù)已知得出/O:Z）B=1:2,/E:EC=1:3,//:ED=1:4,再計算求得余弦值.

【詳解】（1）①情形一：分別取的中點

此時平面。昉為Q的一個1階等距平面，

6為正四面體高的一半，等于Lx逅x&=1.

233

由于正四面體有4個面，這樣的1階等距平面1平行于其中一個面，有4種情況;

②情形二：分別取/氏/C,CD,Z出的中點尸,。,凡S

將此正四面體放置到棱長為1的正方體中，

則。為正方體棱長的一半，等于

由于正四面體的六條棱中有3組對棱互為異面直線，

這樣的1階等距平面a平行于其中一組異面直線，有3種情況.

綜上，當。的值為好時，a有4個；當”的值為:時，1有3個.

（2）在線段/民上分別取一點”,￡,尸，

使得4W:M8=1:2,/￡:￡C=1:3,/GED=1:4,則平面〃即為平面加斯.

13

如圖，取助中點。，連接OC,,以。為坐標原點，所在直線分別為軸，過點。且與平面垂

直的直線為z軸建立空間直角坐標系,

―?—?—?1—?1—?1

ME=AE-AM=-AC——AB=-

434

—?―?——?1—?1―?1

MF=AF-AM=-AD——AB=-

535

設平面”石尸法向量為記=（%,y,z）

m-MF=0x+46y+2y[2z=0

所以一，即

m-ME=05x+2y/3y+yf2z=0

所以沅=（0,1,_癡），

又平面85的法向量為方=（0,0,1）,

設平面sc。與尸夾角為e

\m-n\_y/6_V42

所以cos。=

網(wǎng)J司J1+67

所以平面BCD與￡夾角余弦值為叵.

7

4.（2024高三?全國?專題練習）我們知道，二元實數(shù)對（xj）可以表示平面直角坐標系中點的坐標；那么對

于“元實數(shù)對（國產(chǎn)2,…,X”）（“21,〃是整數(shù)），也可以把它看作一個由〃條兩兩垂直的"軸"構成的高維空間

（一般記為R"）中的一個"點"的坐標表示的距離1（43）=2值-可.

/=1

⑴當〃=2時，若4（1,2）,5（4,6）,C（3,10）,求d（A,B）,d（B,C）和"（C,N）的值:

（2）對于給定的正整數(shù)〃，證明R,中任意三點48,C滿足關系d（A,B）＜d（A,C）+d（C,B）.

⑶當〃=3時，設/（0,0,0）,8（4,4,4）,P（x,y,z）,其中x,九zeZ,d（A,P）+d（P,B）=d（A,B）.求滿

足P點的個數(shù)〃，并證明從這"個點中任取11個點，其中必存在4個點，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c的三棱

14

錐體積不大于g.

【答案】⑴"(43)=7,48,C)=5,d(C,4)=10

⑵證明見解析

(3)?=125,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)新定義直接計算；

(2)由新定義，寫出不等式兩邊的表達式，根據(jù)絕對值的性質證明；

(3)根據(jù)新定義，及絕對值的性質得P點是以NB為對角線的正方體的表面和內部的整數(shù)點，共125個，

把它們分布在五個平面(z=0,1,2,3,4)上，這五個面一個面取3個點，相鄰面上取一個點，以它們?yōu)?/p>

頂點構成三棱錐(能構成時)，棱錐的體積不超過己，然后任取11點中如果沒有4點共面，但至少有一個平

面內有3個點.根據(jù)這3點所在平面分類討論可得.

【詳解】(1)當〃=2時,若4(1,2),8(4,6),C(3,10),

則d(4B)=|4-4|+|6-2|=7,J(S,C)=|4-3|+|6-10|=5,c?(C,^)=|3-1|+|10-2|=10.

(2)設/(為,馬,…,X"),8(%,C(Z]/2,…,Z"),

根據(jù)絕對值的性質有歸-zj+[用-Z]以西-,\x2-z2\+\y2-z2\>\x2-y2\,---,\x?-z?|+\y?~z?\>\xn-yj\,

所以d(43)?"(4C+"(C3).

(3)因為/(0,0,0),5(4,4,4),P[x,y,z),則"(48)=12,

且國+卜_4,4加+卜_4,4,p|+g-4"4,

可得d(4P)+"(尸,3)灌12,當且僅當x,y,ze[0,4]時，等號同時成立，

又因為尸)+d(尸,8)="(48)=12,可得x,y,zw[0,4],x,y,zeZ,

可知x,y,z=0,1,2,3,4,貝!]5x5x5=125,

點P是以為對角線的正方體內部(含面上)的整數(shù)點，共125個，即〃=125.

這125個點在z=0,z=1,z=2,z=3,z=4這五面內.

這三個平面內，一個面上取不共線的3點，相鄰面上再取一點構成一個三棱錐.

11O

則這個三棱錐的體積最大為K=；x：x4x4xl=；,

323

現(xiàn)在任取11個點，

若有四點共面，則命題已成立；

若其中無4點共面，但11個點分在5個平面上至少有一個平面內有3個點(顯然不共線)；

若這三點在z=l,z=2,z=3這三個平面中的一個上，與這個面相鄰的兩個面上如果有一點，

那么這一點與平面上的三點這四點可構成三棱錐的四個頂點，其體積不超過2,

否則還有8個點在平面z=0和z=4上，不合題意，

若這三個點在平面z=0或2=5上，不妨設在平面z=0,

15

Q

若在平面z=1在一個點，則同樣四點構成的三棱錐體積不超過會,

否則剩下的8個點在z=2,z=3,z=4三個平面上，只能是3,3,2分布，

O

不管哪一種分布都有四點構成的三棱錐體積不超過3;

Q

綜上所述：任取11個點，其中必存在4個點，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c的三棱錐體積不大于?.

【點睛】關鍵點點睛：本題新定義距離1（48）,解題關鍵是利用新定義轉化為絕對值，利用絕對值的性質

解決一些問題.本題還考查了抽屜原理，11個放在5個平面上，至少有一個平面內至少有3點，由此分類

討論可證明結論成立.

5.（23-24高一下?江蘇常州?期末）離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標.設尸為多面體M的一個頂點，

定義多面體M在點尸處的離散曲率為％=1-乙（/。P儀+尸&+…/Qk/Qk+"』值），其中

271

。。=1,2,…從左23）為多面體M的所有與點尸相鄰的頂點，且平面。72,平面…，平面。1尸2

和平面以尸2為多面體M的所有以尸為公共點的面.

⑴求三棱錐P-/BC在各個頂點處的離散曲率的和；

（2）如圖，已知在三棱錐尸-48C中，尸/，平面/8C,AC1BC,AC=BC,三棱錐尸-48C在頂點。處

的離散曲率為;.

B

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；

②若點。在棱PB上運動，求直線CQ與平面ABC所成的角的最大值.

【答案】⑴2

⑵①正；②60。

4

【分析】（1）根據(jù)離散曲率的定義計算即可

（2）①首先證明尸C,再由C點處的離散曲率可求出/尸從而其它相應的線段都可計算，

把PC與平移至中位線處，得出々DE為異面直線22與尸C的夾角或其補角，在用余弦定理求解即可.

②首先是把線面角做出，設BG=x,再把角的三角函數(shù)值表示成x的函數(shù)，最后轉化為函數(shù)最值問題.

【詳解】（1）由離散曲率的定義得：①p=1-4-QPB+NBPC+NCPA）,

24

16

①4=1---(ZBAP+ZCAP+ABAC)

2萬

①B=1---(ZABP+ZCBP+NABC)

27r

①c=1---(ZACB+ZBCP+ZACP),

2%'

四個式子相加得：①p+①4+①B+①c=4-二-x4萬=2.

(2)①如圖，分別取尸的中點。，瓦歹，連接AE,DE,DF,EF,顯然有AB"DE,PCUDF,

所以4DE為異面直線48與尸C的夾角或其補角，設/C=3C=2,因為//C3=90。，所以48=2收，

/￡=5

因為尸/_1_平面NBC,AB,AC,AE,BCcABC,所以尸/_L/8,PAIAC,PALAE,PALBC,

因為/CJ_8C,PA^AC=C,所以3C_L平面尸NC,又因為PCu平面P/C,所以BC_LPC,

由c點處的離散曲率為:可得

①,=1---(ZACB+ZBCP+ZACP}=^-=1---+-+ZACP\^NACP=-,

0In'，32萬(22)3

所以PA=6AC=26PC=2AC=4,EF=dAF?+AE?=J3+5=2收，而4E=./J=0,DF=，C=2,

所以cosNFDE=DF'DEJEF。=4+2-8_旦,故異面直線.與PC的夾角的余弦值為正.

2DF-DE2x2x644

②如圖，過0點做。G//P/交48與G,連接CG,因為平面N3C,所以。G,平面/BC,

則ZGCQ為直線CQ與平面43C所成的角，設3G=尤(0<xV2后)，

在ABCG中CG?=3C2+8G2-2BC8G-COSB=4+X2—2缶，

因為。G//P/,所以所以"=變=或="尸/=2華=?=。^2系

~~PABABA24222

33

ZGCQ=^=2_22

2y/22

-2~\[^x+4]4(2.也、1

1---------F~2+-

XXU2)2

17

當分母最小時，tai?NGC。最大，即/GCQ最大，此時2=變，即x=2后（。與尸重合）,

x2