將軍飲馬模型（原卷版）-2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破訓(xùn)練

專題33將軍飲馬模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析T

【模型1】?jī)牲c(diǎn)一線

1.如圖，在直線/兩側(cè)各有一個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)A、B,怎樣在直線/上找到一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最?。?/p>

A

?B

思路：由“兩點(diǎn)間線段最短”可得當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB的值最小，即為AB的長(zhǎng)度.

構(gòu)圖：連接AB,AB與/的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,如圖所示：

2.如圖，在直線/同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線/上找到一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最??？

A

構(gòu)圖：作點(diǎn)A關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接A，B,A，B與直線/的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,如圖所示:

B

A

T

T

\_

+

A'

3.如圖，在直線/同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線/上找到一點(diǎn)P,使得|P4—的值最大？

?B

A

構(gòu)圖：連接AB并延長(zhǎng)與/的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,如圖所示:

P

4.如圖，在直線/兩側(cè)各有一個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)A、B,怎樣在直線/上找到一點(diǎn)P,使得|H4—的值

最大?

A

B?

構(gòu)圖：作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)連接AB，并延長(zhǎng)與/的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,如圖所示:

A

Bi

5.如圖，在直線/同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線/上找到一點(diǎn)P,使得|P4—的值最小？

A

B?

構(gòu)圖：連接AB,作AB的垂直平分線與直線/交于點(diǎn)P,此時(shí)為0,如圖所示:

【模型2】一定兩動(dòng)

1.如圖，點(diǎn)P在NAOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點(diǎn)C,在OB上找一點(diǎn)D,使4PCD的周長(zhǎng)最??？

構(gòu)圖：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P、P”,連接PT”,交OA、OB于點(diǎn)C、D,此時(shí)4PCD的周長(zhǎng)

最小，PP”即為4PCD的周長(zhǎng)最小值，如圖所示：

A

2.如圖，點(diǎn)P在NAOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點(diǎn)C,在0B上找一點(diǎn)D,使PD+CD的值最??？

構(gòu)圖：作點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PCLOA交0B于點(diǎn)D,交0A于點(diǎn)C,此時(shí)PD+CD的值

最小，PC即為PD+CD的值最小.

P'

3.如圖，點(diǎn)P在/AOB的內(nèi)部，怎樣在OA、0B上分別取點(diǎn)C、D,使得APCD的周長(zhǎng)最小？

A

構(gòu)圖：分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P，、Q\連接P'Q'分別交OA、OB于點(diǎn)C、D,此時(shí)4PCD

的周長(zhǎng)最小值為PQ+P'Q',如圖所示：

【模型3】?jī)牲c(diǎn)兩線

在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使得PA+PQ+QB的值最小.

l.A、B兩點(diǎn)都在直線的外側(cè)

2.一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)

A

m

A?

*B

--------------------------------------------n

3.兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)

Ar

A?

|\/

?B.?b"

i/v

--------------------------------------n*

B'

【例1】如圖，正方形4BC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M在。C上,且?！?1,N是NC上一動(dòng)點(diǎn)，則DgMV的最

小值為（）

工j

A.4B.4&C.275D.5

【例2】如圖，。為矩形45CZ）對(duì)角線4C,5。的交點(diǎn)，AB=8,M,N是直線5C上的動(dòng)點(diǎn)，且MN=2,則

OM+ON的最小值是.

【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸的負(fù)半軸、了軸的正半軸交于/、2兩點(diǎn)，其中

。4=2,S/3c=12,點(diǎn)。在x軸的正半軸上，MOC=OB.

(1)求直線43的解析式；

(2)將直線向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線/”直線//與y軸交于點(diǎn)E,與直線C5交于點(diǎn)。，過點(diǎn)￡作

y軸的垂線以若點(diǎn)尸為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，0為直線為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求BD+PQ+。。的最小值；

(3)若點(diǎn)“為直線上的一點(diǎn)，在了軸上是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)/、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

一、單選題

1.如圖，點(diǎn)M是菱形4BCD的邊BC的中點(diǎn)，尸為對(duì)角線5D上的動(dòng)點(diǎn)，若48=2,乙4=120。，則尸M+

PC的最小值為()

AD

P.

BM

A.2B.V3C.V2D.1

2.已知線段N2及直線/,在直線/上確定一點(diǎn)P,使尸N+P3最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件

3.如圖1,在菱形/BCD中，AB=6,48/0=120。，點(diǎn)E是8c邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是對(duì)角線8。上一動(dòng)

點(diǎn)，設(shè)PD的長(zhǎng)度為x,PE與尸C的長(zhǎng)度和為力圖2是/關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中〃（a,b）是圖象上的

最低點(diǎn)，則a+b的值為（）

4.如圖，等邊A42C的邊長(zhǎng)為6,40是2C邊上的中線，〃是40上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊/C上一點(diǎn)，若/￡=

2,則EM+Q0的最小值為（）

A.V26

5.如圖，正方形48co的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)E是。C上一個(gè)點(diǎn)，且DE=1,尸點(diǎn)在NC上移動(dòng)，則PE+尸。的

最小值是（）

A.4B.4.5

6.如圖，在PA48c中，ZC=9O°,AC=6,BC=8,點(diǎn)尸在邊/C上，并且CF=2,點(diǎn)￡為邊上的動(dòng)

點(diǎn)，將△CEF沿直線即翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)尸到邊48距離的最小值是（）

A.1.5B.1.2C.2.4D.以上都不對(duì)

7.如圖，矩形/BCD中，奶=4,3C=6,點(diǎn)尸是矩形/BCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且則尸C+尸。的最

小值是（）

A.4GB.475

C.2萬D.2729

8.如圖，在△ZSC中，AB=2,Z^5C=60°,乙4cB=45。，。是8c的中點(diǎn)，直線/經(jīng)過點(diǎn)D,AEH,

BFLI,垂足分別為￡,F,則NE+AF的最大值為（）

A.-^6B.2V2

二、填空題

9.在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、N4的打印紙等，其實(shí)這些矩形

的長(zhǎng)與寬之比都為血：1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)準(zhǔn)矩形中，如圖所示,

點(diǎn)0在DC上，且若G為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△/G。的周長(zhǎng)最小時(shí)，則穿的值為

GB

10.如圖，點(diǎn)P是乙4。5內(nèi)任意一點(diǎn)，0P=3cm,點(diǎn)初和點(diǎn)N分別是射線CM和射線。上的動(dòng)點(diǎn),

N/OB=30。，則APAW周長(zhǎng)的最小值是

11.如圖，菱形/BCD的邊長(zhǎng)為6,445c=120。，M是2c邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線NC上的動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)PB+PM的值最小時(shí)，的長(zhǎng)是

D

12.如圖，等邊AABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是NC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AABC的中線40上的動(dòng)點(diǎn)，則EP+CP的

最小值是.

13.如圖，等邊三角形/8C的邊2C上的高為6,是8C邊上的中線，M是線段上的-一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E

是/C中點(diǎn)，則EM+CM的最小值為.

14.如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)M在。C上且ZW=2,N是NC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MV的最小

值是.

三、解答題

15.如圖，在一條東西向的馬路上有廣場(chǎng)/和醫(yī)院C,在各自正北方向上分別有汽車站3和汽車站。，己

知，C=14ktn,^5=4km,CD=8km,市政府打算在馬路NC段之間建造一個(gè)加油站尸.

(1)若要使得加油站尸到兩汽車站的距離之和最小，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖1中作出加油站P的位置，并直接

寫出此時(shí)的最小值.(作圖請(qǐng)保留痕跡，結(jié)果可以保留根號(hào))

(2)若要使得加油站到兩汽車站的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出加油站P的位置，并求出此時(shí)

PA的距離.(作圖請(qǐng)保留痕跡)

圖1圖2

16.如圖，一個(gè)牧童在小河的南4華里(長(zhǎng)度單位)的/處牧馬，而他正位于他的小屋8的西8華里北7

華里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?

小河

北

牧童工?

_Lt

h.

8小屋

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)火2,5),8(2,1),C(6,l).

(1)畫出A48C關(guān)于了軸對(duì)稱的△43?；

(2)在x軸上找一點(diǎn)尸，使尸B+PC的值最小(保留作圖痕跡)，并寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

18.如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)B,C都是格點(diǎn).

(1)畫出A42C關(guān)于直線MN對(duì)稱的△44G.

(2)若8為坐標(biāo)原點(diǎn)，請(qǐng)寫出4、B”。的坐標(biāo)，并直接寫出44的長(zhǎng)度..

(3)如圖2,A,C是直線同側(cè)固定的點(diǎn)，。是直線九W上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線上畫出點(diǎn)D,使AD+ZX?

19.如圖，一次函數(shù)了=h-6過點(diǎn)/(-2,-2),與了軸交于點(diǎn)2.

(1)求一次函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)B坐標(biāo);

(2)在x軸上找一點(diǎn)C,連接8C,AC.當(dāng)8C+/C最小時(shí)，

①請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為;

②請(qǐng)直接寫出直線3C的函數(shù)表達(dá)式為；

③在坐標(biāo)軸上找點(diǎn)。，連接2D,CD,使請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)為

20.教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第111頁(yè)的部分內(nèi)容.

如圖1925,在菱形.438中，NBAD=

2NR試求出N3的大小，并說明A4SC是等邊B

三角形.

圖③

圖①圖②

(1)問題解決：請(qǐng)結(jié)合圖①，寫出例1的完整解答過程.

(2)問題探究：在菱形4BCD中，對(duì)角線/C、AD相交于點(diǎn)O,48=4,乙BAD=2乙4BC.過點(diǎn)D作DE//AC

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡.如圖②，連結(jié)?！?/p>