解三角形（學生版）-2025高考數(shù)學一輪復習講義

第32講解三角形

知識梳理

知識點一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在△48。中，角B,。所對的邊分別是a,b,c,R為AABC外

接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

abcf

公式.—2Rb2=c2+a2-2QCCOSB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC.

b1+C1-a

cosA=---------------；

(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

222

//、.Aa.b.人。nc+a-b

常見變形(2)smA—，sinB=，sinC—；cosB=---------------；

2R2R2R2ac

「a2+b2-c2

cosC=---------------.

lab

(2)面積公式：

S.ABC=—absinC=—bcsmA=—acsmB

A222

S,ABC=^=^a+b+c)-r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算凡幾)

知識點二：相關(guān)應用

(1)正弦定理的應用

①邊化角，角化邊=。:6:c=sin4:sin5:sinC

②大邊對大角大角對大邊

。>bo4>8=sin4>sin8=cosA<cosB

③合分比

a+b+ca+bb+ca+cabc

————■———2x\

sin^4+sin5+sinCsinZ+sinBsin5+sinCsinA+sinCsin/sinBsinC

(2)△45。內(nèi)角和定理：A+B+C=7i

?sinC=sin(4+8)=sinAcosB+cos/sin8=c=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+5)=cosAcosB-sinAsinB；

1

③斜三角形中

—tanC=tan（A+B）=-------------------=tanA+tanB+tanC=tanA?tanB-tanC

l-tan^-tan5

z-x.+B、C,4+B、.C

（4）sin（--一）=cos—；cos（---）=smy

⑤在A4BC中，內(nèi)角4B,C成等差數(shù)列03=工,/+。=也.

33

知識點三：實際應用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角

（如圖①）.

視線

圖①圖②圖③圖④

（2）方位角

從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如3點的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.

（1）北偏東a,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達目標方向（如圖③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達目標方向.

（3）南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度

（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，z,為坡度）.坡度又稱為坡比.

【解題方法總結(jié)】

1、方法技巧：解三角形多解情況

在中，已知a,b和/時，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

C

ccc

X

圖形

A…“BA'"--……-B八B

AB

bsinA<aa>b

關(guān)系式a=bsinAa>ba<b

解的個

一解兩解一解一解無解

數(shù)

2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦

2

定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有6,c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到/+3+C=〃.

3、三角形中的射影定理

在A/BC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

必考題型全歸納

題型一：正弦定理的應用

例1.（2024?福建龍巖?高三校聯(lián)考期中）在“5c中，角4叢C所對的邊分別為a,ac,

若。=4,4=q,。=空，則6=（）

412

A.2^/3B.275C.276D.6

例2.（2024?全國?高三專題練習）在AABC中，設(shè)命題p：—————二——，命題g

sinCsirUsinB

是等邊三角形，那么命題?是命題q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例3.（2024?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）在中，角4,B,。的對邊分別為b,

c,若sinZ=sinBcosC且0=26,A=—,貝!一c+a---=()

6sinC+sinA

A.8>/3B.473C.8D.4

變式L（2024?全國?高三專題練習）在“BC中，內(nèi)角4民。的對邊分別是。力,。，若

兀

acosB-bcosA=c,且C=1，則=（）

3

變式2.（2024?河南鄭州?高三鄭州外國語中學?？茧A段練習）a,b,。分別為“BC內(nèi)

角A,B,。的對邊.已知。=4,Qbsin/sinC=csinB,則外接圓的面積為（）

A.16?B.647rC.128萬D.256%

變式3.（2024?甘肅蘭州?高三蘭州五H^一中校考期中）A45C的三個內(nèi)角4,B,。所對

的邊分別為b,c,若Qsin/sinB+bcos?4：JJQ,則°=（）

a

A.V2B.V3C.2V2D.273

變式4.（2024?寧夏?高三六盤山高級中學?？计谥校┰谥?，內(nèi)角4,B,。所對的

邊分別是。，b,C.若。=26,貝I]2Sin?8；sin：/的值為（）

sin2^

111

A.—B.—C.1D.—

242

變式5.（2024?河南?洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）△N3C的內(nèi)角/,B,C的對

邊分別為a,b,c,已知6cosN=a（6-cos8）,a=2,貝!]c=（）

A.4B.6C.2V2D.273

【解題方法總結(jié)】

（1）已知兩角及一邊求解三角形；

（2）已知兩邊一對角；.

'大角求小角一解（銳）

[兩解一sinZ<l（一銳角、一鈍角）

‘小角求大角一〈一解一sinZ=l（直角）

無解一sinZ〉1

、I

（3）兩邊一對角，求第三邊.

題型二：余弦定理的應用

例4.（2024?全國?高三專題練習）已知△/BC的內(nèi)角45。所對的邊分別為滿足

〃/=兒且則b=（）

sin5

4

D.273

例5.（2024?河南?高三統(tǒng)考階段練習）在A45c中，角4'C的對邊分別為a,6,c,若

sinBsinC

例6.（2024?全國?高三專題練習）設(shè)A45C中，角/,B,。所對的邊分別為〃，b,c,

若sinZ=sin8,且/=2/（1+sinC）,則0=（）

7171-兀3?

A.-B.-C.—D.—

6434

變式6.（2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）在A48c中，角4B,。的

對邊分另！J為a,b,c,a1+b2=3c2>則---+—---（）

tanAtanBtanC

變式7.（2024?全國?高三專題練習）在A4BC中，角4B,C的對邊分別為。，b,c,且

cos5cosCsin/

,則6的值為（

B.V3

【解題方法總結(jié)】

（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊.

（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，

〉0,則AABC為銳角三角形

若余弦值<=0,則AABC為直角三角形.

<0,則AABC為鈍角三角形

題型三：判斷三角形的形狀

例7.（2024?甘肅酒泉?統(tǒng)考三模）在A/5C中內(nèi)角4民。的對邊分別為。，“c,若

5

二=sinAcosB,則屬4BC的形狀為（）

bsin5cos4

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

例8.（2024?全國?高三專題練習）在一臺。中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,

且c-6cos/<0,則形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

例9.（2024?全國?高三專題練習）在“BC中，若勺”=,則△45。的形狀

c?cosB1-cos2C

為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

變式8.（2024?全國?高三專題練習）設(shè)A48C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,

若b?=/+/，且sin/=2sinC,則AA8C的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

變式9.（2024?河南周口?高三?？茧A段練習）已知“2C的三個內(nèi)角48,C所對的邊分

別為。也c.若sin?N+csin/=sinNsin_B+6sinC,則該三角形的形狀一定是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.銳角三角形

變式10.（2024?全國?高三專題練習）設(shè)的內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,

若a2cosZsin8=Z^sin/cosB,則“5C的形狀為（）

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

6

變式11.（2024?北京?高三101中學?？茧A段練習）設(shè)A/2C的內(nèi)角A,B,C所對的邊

分別為。，b,c,若02cos/sinB=6?sin/cosB，則AA8C的形狀為（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等邊三角形

【解題方法總結(jié)】

（1）求最大角的余弦，判斷ZU5C是銳角、直角還是鈍角三角形.

（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是

直角三角形.

題型四：正、余弦定理與的綜合

例10.（2024?河南南陽?統(tǒng)考二模）銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角48,C的對邊

分別為c,且刀2+/—=4a2cos2accosB，則。等于（）

A.2B.2忘C.V3D.1

例11.（2024?河北唐山?高三開灤第二中學?？茧A段練習）在A/8C中，角A,B,。所

absinAabsinB,22

對的邊分別為“，b,c,—；——+——；——=a2+b-c.

2sinS2siib4

jr

⑴求證：0<C<-；

(2)若一--=--—+—--，求cosA.

tanBtanAtanC

例12.（2024?重慶?統(tǒng)考三模）已知的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,

sin(4-B)tanC=sin/sinB.

22

/1P-a+。

(1)求H；

2

(2)若cosB=§求sinZ.

7

變式12.（2024?山東濱州?統(tǒng)考二模）已知“8C的三個角A,B,C的對邊分別為。，b,

c,且2cos(8-C)cos/+cos2/=1+2cos/cos(2+C).

(1)若8=<7,求A；

A2+「2

⑵求空幺的值.

a

變式13.（2024?全國?高三專題練習）在△45。中，（〃+c）（sin/—sinC）=6（sin力—sinB）,

則NC=()

71兀2兀5兀

A.B.-C.—D.

633~6

變式14.（2024?青海?校聯(lián)考模擬預測）在AJBC中，內(nèi)角/,B,C所對應的邊分別是a,

b,c,若—C的面積是C+c-Y

,則/=(

4

712兀715兀

A.—B.—c.一D.——

3366

變式15.（2024?全國?校聯(lián)考三模）已知q,b,c分別為“5C的內(nèi)角4,B,。的對邊,

22(與2B.2B

a+c=ac\3cos-----sm—

[22

⑴求證:a,b,c成等比數(shù)列;

⑵若,SilB=2,求cos8的值.

sin2^+sin2C4

8

變式16.（2024?天津武清?天津市武清區(qū)楊村第一中學?？寄M預測）在“8C中，角A,

B,C所對的邊分別為。，b,c,已知csin'+C=asinC

2

（1）求角A的大??；

（2）若6=1,sinB=上，求邊。及cos（2B+/）的值.

7

【解題方法總結(jié)】

先利用平面向量的有關(guān)知識如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角

函數(shù)轉(zhuǎn)化求解.

題型五：解三角形的實際應用

方向1：距離問題

例13.（2024?全國?高三專題練習）山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1）,

其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計，將數(shù)學符號“8”完美嵌入其中，寓意無限未知、無

限發(fā)展、無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2,為了測量科技館最高點/與其附近一建筑物樓

頂2之間的距離，無人機在點C測得點/和點3的俯角分別為75。，30°,隨后無人機沿水

平方向飛行600米到點。，此時測得點N和點8的俯角分別為45。和60°（48,C,。在

同一鉛垂面內(nèi)），則3兩點之間的距離為米.

例14.（2024?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學校考期中）一游客在A處望見在正北方

向有一塔3,在北偏西45。方向的C處有一寺廟，此游客騎車向西行1km后到達。處，這時

塔和寺廟分別在北偏東30。和北偏西15°,則塔B與寺廟C的距離為km.

9

例15.（2024?河南鄭州?高三統(tǒng)考期末）如圖，為了測量4c兩點間的距離，選取同一平

面上的3,。兩點，測出四邊形48co各邊的長度（單位：km）：48=5,BC=8,CD=3,

D4=5,且42,C,。四點共圓，則/C的長為km.

變式17.（2024?山東東營?高三廣饒一中?？茧A段練習）如圖，一條巡邏船由南向北行駛,

在/處測得燈塔底部C在北偏東15。方向上，勻速向北航行20分鐘到達8處，此時測得燈

塔底部C在北偏東60。方向上，測得塔頂P的仰角為60°,已知燈塔高為26km.則巡邏

船的航行速度為km/h.

P

方向2：高度問題

例16.（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預測）如圖，某中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座

山峰的高度，先在山腳A處測得山頂C處的仰角為60。，又利用無人機在離地面高300m的

M處（即"L>=300m）,觀測到山頂C處的仰角為15。，山腳A處的俯角為45。，則山高

BC=m.

例17.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預測）中國古代數(shù)學名著《海島算經(jīng)》記錄了一個計算山

高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.

10

從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目

著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個問題，如圖2,

要測量海島上一座山峰的高度立兩根高48丈的標桿3C和?！?兩竿相距8ZA800步,

D,B,〃三點共線且在同一水平面上，從點2退行100步到點R此時/,C,尸三點共線,

從點。退行120步到點G,此時4E,G三點也共線，則山峰的高度/"=步.（古

制單位:180丈=300步）

例18.（2024?全國?高三專題練習）為了培養(yǎng)學生的數(shù)學建模和應用能力，某校數(shù)學興趣

小組對學校雕像“月亮上的讀書女孩”進行測量，在正北方向一點測得雕塑最高點仰角為30。,

在正東方向一點測得雕塑最高點仰角為45。，兩個測量點之間距離約為40米，則雕塑高為

變式18.（2024?全國?模擬預測）山西應縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大

的木塔，是中國古建筑中的瑰寶，是世界木結(jié)構(gòu)建筑的典范.如圖2,某校數(shù)學興趣小組為

測量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物高為7百米，塔頂尸在地面上的射影為

D,在地面上再確定一點C（B,C,。三點共線），測得BC約為57米，在點4c處測得

塔頂尸的仰角分別為30。和60。，則該小組估算的木塔的高度為米.

11

■

**>?-

圖1圖2

方向3：角度問題

例19.（2024?福建廈門?高三廈門一中?？计谥校┳闱蚴且豁椇苁軞g迎的體育運動.如圖，

某標準足球場的8底線寬=72碼，球門寬跖=8碼，球門位于底線的正中位置.在比賽

過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點尸，使得/EPF最大,這時候點P就是最

佳射門位置.當攻方球員甲位于邊線上的點。處（3=/瓦。4,43）時，根據(jù)場上形勢判斷,

有。4、08兩條進攻線路可供選擇.若選擇線路08,則甲帶球_____碼時，到達最佳射門

位置.

例20.（2024?全國?高三專題練習）當太陽光線與水平面的傾斜角為60。時，一根長為2m

的竹竿，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角。=.

例21.（2024全國?高三專題練習）游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路.線

路1是從/沿直線步行到C,線路2是先從/沿直線步行到景點3處，然后從3沿直線步

行到C現(xiàn)有甲、乙兩位游客從4處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的弓■倍，甲

12

走線路2,乙走線路1,最后他們同時到達C處.經(jīng)測量，AB=]040w,BC=50Qm,則sin

ABAC等于.

變式19.（2024?全國?高三專題練習）最大視角問題是1471年德國數(shù)學家米勒提出的幾

何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂/離地面。米，樹上另一點8

離地面6米，在離地面c（c<6）米的。處看此樹,離此樹的水平距離為米時看

B的視角最大.

【解題方法總結(jié)】

根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立己知、未知關(guān)系，利用三角

知識求解.

題型六：倍角關(guān)系

例22.（2024?全國?高三專題練習）記的內(nèi)角的對邊分別為a/,c,已知

acosB=/)(!+cos/).

(1)證明：A=2B；

(2)若c=26,a=6,求AA8C的面積.

13

例23.(2024?全國?模擬預測)在A^8C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c(a,b,

c互不相等)，且滿足6cosc=(26-c)cos瓦

(1)求證：4=2B；

(2)右c=,求cos8.

例24.(2024?江蘇?高三江蘇省前黃高級中學校聯(lián)考階段練習)在ANBC中，角A、B、

C的對邊分別為。、6、c,若4=23.

⑴求證：a2-b2^bc;

23

(2)若cosB=§,點。為邊48上一點，AD=-DB,CD=276,求邊長6.

變式20.(2024?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測)已知a/,c分別是的

角Z,B,C的對邊，^siitS-asiivl=sinC(26cos22-c).

(1)求證：A=2B；

(2)求二的取值范圍.

a

變式21.(2024?四川?成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？既?已知。，上。分別為銳

角"BC內(nèi)角的對邊，b-2acosC=a.

(1)證明：C=24；

14

⑵求的取值范圍.

變式22.（2024?福建三明?高三統(tǒng)考期末）非等腰A/8C的內(nèi)角A、B、C的對應邊分別

a-cos5sin5

為。、6、c,且

a-cosCsinC

⑴證明：a2=b+c;

2

(2)若B=2C,證明：b>~.

題型七：三角形解的個數(shù)

例25.（2024?貴州?統(tǒng)考模擬預測）A4BC中，角4瓦C的對邊分別是。，考c,A=60°,

a=&.若這個三角形有兩解，貝防的取值范圍是（）

A.V3<Z><2B.6<b<2

C.1<6<26D.l<b<2

例26.（2024?全國?高三專題練習）在△A5C中，a=18,b=24,ZA=45°,此三角形解的

情況為（）

A.一個解B.二個解C.無解D.無法確定

例27.（2024?河南南陽?高三統(tǒng)考期中）在A4BC中，C=30°,b=0，。=龍.若滿足

條件的有且只有一個，貝口的可能取值是（）

D.V3

15

變式23.（2024?全國?高三專題練習）在A45C中，內(nèi)角4民。所對的邊分別為，

則下列條件能確定三角形有兩解的是（）

71

A.a=5,b=4,A=一

6

B.a==5,A=—

5%

C.a=5,b=4,A=—

6

,,7C

D.a==5,A=一

3

變式24.（2024?北京朝陽?高三專題練習）在下列關(guān)于“臺。的四個條件中選擇一個，能

夠使角A被唯一確定的是：（）

,1

（1）S1IL4=—

2

②cos/=一；；

③cosB=/=3〃；

4

④4=45。/=2,‘=A

A.①②B.②③C.②④D.②③④

變式25.（2024?全國?高三專題練習）設(shè)在A4BC中，角/、B、C所對的邊分別為a,b,

c,若滿足。=6,6=='的A/5C不唯一，則小的取值范圍為（）

6

A.百B.（0,-73）

變式26.（2024?全國?高三專題練習）在“2C中，。=2,B*,若該三角形有兩個解,

O

則6邊范圍是（）

A.（2,4）B.（A/3,4）C.（百，2）D.（1,2）

16

TT

變式27.（2024?全國?高三專題練習）若滿足NABC=—,/C=6,8C=4的A/3C恰有一個,

則實數(shù)人的取值范圍是（

A.(0,6]B.(0,6]U{6V2}

【解題方法總結(jié)】

三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；己知兩

邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理

進行判斷.

題型八：三角形中的面積與周長問題

例28.（2024?全國?高三對口高考）在“8C中，若方.而=-2，且N8=60°,則ANBC

的面積為（）

A.2cB.V3C.—D.V6

2

例29.（2024?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）在“2C中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為。，

b,c,ZBAC=-,D為BC上一點、,BD=2DC,AD=BD^—,則A/8C的面積為（）