解直角三角形（專項(xiàng)訓(xùn)練 ）（解析版）

第17講解直角三角形（精講）

孽對(duì)日籍金

1.銳角三角函數(shù)（sinA,cosA,tanA）解直角三角形

2.30°,45°,60°角的三角函數(shù)值

3.使用參考數(shù)據(jù)由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角

4.用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題

匡?考支導(dǎo)就

第17講解直角三角形（精講）........................................................1

考點(diǎn)1:銳角三角函數(shù)的計(jì)算.......................................................2

考點(diǎn)2：解直角三角形..............................................................6

考點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用......................................................17

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖..............................................................38

分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固.........................................................39

考點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)的計(jì)算

①銳角三角函數(shù)：

4的對(duì)邊_a

正弦：sinA-

斜邊c

J-A的鄰邊_b

余弦:cosA

斜邊c

J-A的對(duì)邊a

正切：tcikiA.

乙A的鄰邊b

②特殊角的三角函數(shù)值

三角彘、30°45°60°

]_

sinA

2~T2

V3j_

cosA旦

222

V3

tanA1V3

3

，?…N學(xué)春筆記

例41卷新

【例題精析1】｛三角函數(shù)的定義★｝已知RtAABC中，ZC=90°,AC=2,8C=3,那么下列各式中

正確的是（)

二222

A.sin/B.tanZ=一C.tanB=—D.cosB=—

3333

【分析】由勾股定理求出斜邊再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求出sin/、tan/、tanB、cos8即

可.

【解答】解：RtAABC中，ZC=90°,???力。=2,BC=3,AB=^AC2+BC2=V?3,

.,BC3布,tan"/tan八生二，"4=巫

sinA=----=-------,故選：C.

AB13AC2BC3AB13

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是正確解答的前提.

【例題精析2】｛三角函數(shù)的定義★｝在區(qū)1必8（3中，ZC=90°,AC:BC=1:2,則4的正弦值為（

)

心

AD275DT

D.-----------C.2

552

【分析】先通過勾股定理求出斜邊長(zhǎng)度，再根據(jù)三角函數(shù)求解.

【解答】解：設(shè)/C為x,則BC=2x,由勾股定理得==氐,

2x還.故選：B.

AB有x5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是注意正弦值為銳角的對(duì)邊與斜邊的比.

3

【例題精析3】｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝計(jì)算：2sin?45°+tan60°?tan30°-cos60°=

~2~

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入原式，計(jì)算即可.

【解答】解:2sin245°+tan60°-tan30°-cos60°

=2x(*)2+百x^--=2x-+l--=l+l--=~,故答案為：-

3222222

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

分對(duì)支羽珠

4

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛三角函數(shù)的定義★｝如圖，在RtAABC中，ZC=90°,sin^=-,BC=8,則/8=

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義求解即可.

44RC8

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,sin/=—,8c=8,;.sin/=—=——=—,

55ABAB

AB=10,故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提.

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛三角函數(shù)的定義★｝在RtAABC中，ZC=90°,BC=6,48=10,則cos/=

4

5

【分析】利用勾股定理求出/C,再根據(jù)cos/=±,求解即可.

【解答】解：如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,

.".AC=AB2—BC2=V102—62=8,cosA==—=—,故答案為:

AB1055

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}

型.

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝計(jì)算：sin2450+2cos230°=2.

【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可.

【解答】解：原式=（包y+2x（@）2=L+2x3=L+3=d=2,故答案為：2.

2224222

【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確計(jì)算的前提.

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝在AABC中，（2cosN-行＞+|1-tan為=0,則AABC一定是:

等腰直角三角形.

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義和特殊銳角的三角函數(shù)值求出角/和角2,進(jìn)而確定三角形的形狀.

【解答】解：因?yàn)椋?cos/-拒）2+|lTanB|=0,所以2cos/-也=0,且l-tan2=0,即cos/二3，

tanS=l,所以乙4=45。，NB=45。,所以A43c是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值以及三角形的判定，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是正確判斷的前

提.

■隹兵+必

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?瀘州）在銳角A42c中，NA,ZB,NC所對(duì)的邊分別為a,b,c,有以下結(jié)

論：L=2R（其中尺為A43C的外接圓半徑）成立.在AA8C中，若NN=75。，

sin/sin5sinC

/S=45。，c=4,則AABC的外接圓面積為（）

A16萬c64%

A.-----B.-----C.167rD.64萬

33

【分析】已知c,所以求出NC的度數(shù)即可使用題中的結(jié)論，得到關(guān)于尺的方程，再求圓的面積即可.

【解答】解：vZA+ZB+ZC=180°,ZC=180°-ZA-ZB=180°-75°-45°=60°,

448/-4/-

----=2R,2R=------=—=-^3,.?.火=一5S=7TR2=7T（—y/3）2=——7T，故選：A.

sinCsin60°63333

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的銳角三角函數(shù)值，三角形的內(nèi)角和定理，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是求出NC

的度數(shù)，使用題中的結(jié)論，得到關(guān)于R的方程.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2】Q020?桂林）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,23=13,NC=5,則cos/的值是

5

13-

【分析】根據(jù)余弦的定義解答即可.

Ar55

【解答】解：在RtAABC中，cos/=—=—,故答案為：一.

AB1313

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角4的鄰邊6與斜邊c的比叫做a4的余弦是解題的關(guān)

鍵.

庭和鑰林理

考點(diǎn)2：解直角三角形

①解直角三角形的概念：

在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元

素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形.

②解直角三角形的常用關(guān)系：

(1)三邊之間的關(guān)系：02+62=°2；

(2)銳角之間的關(guān)系：乙4+乙8=90。；

、、、、aba

(3)邊角之間的關(guān)系：sinA—=cosB=—,cosA=sinB=—,tanA.

ccb

Q,河學(xué)硝筆記

-Qi鈉強(qiáng)幫幫

【例題精析1】｛解直角三角形玄｝如圖，在AA8C中，AB=4C=10,3c=12,點(diǎn)。為3c的中點(diǎn),

DE1.AB于點(diǎn)、E,貝!JtanNBDE的值等于（）

【分析】連接由A48c中，AB=AC=10,BC=\2,D為BC中點(diǎn),利用等腰三角形三線合一的性

質(zhì)，可證得ZDLBC,再利用勾股定理，求得的長(zhǎng)，那么在直角中根據(jù)三角函數(shù)的定義求出

tanZBAD,然后根據(jù)同角的余角相等得出NBDE=/BAD,于是tanNBDE=tanZBAD.

【解答】解：連接

?.?AABC中，AB=AC=1Q,3c=12,。為8c中點(diǎn),

AD±BC,BD=-BC=6,

2

AD=ylAB2-BD2=8,

3

4

ADIBC,DELAB,

:./BDE+/ADE=90。,ABAD+ZADE=90°,

ZBDE=ABAD,

3

/.tanZBDE=tan/BAD=—，

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義以及余角的性

質(zhì).此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【例題精析2】｛解直角三角形玄｝如圖，A48c的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，貝UsinNZCB的值為（

回

7o-

【分析】連接格點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，先計(jì)算NC,再算N/C8的正弦.

【解答】解：連接格點(diǎn)/、D.

在RtAADC中，

2222

AD=3,CD=1,CA=\lAD+CD=A/3+1=V10.sinZACB=—.故選：D.

ACVioio

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

【例題精析3】｛解直角三角形玄｝如圖，在四邊形4BCD中，NB=ND=90。,AB=3,BC=2,

4

tanA=~,則CD的值為（）

D

CB

A.：

【分析】延長(zhǎng)BC,兩線交于O,解直角三角形求出08,求出OC,根據(jù)勾股定理求出。4,求出

AODCS'OBA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出即可.

【解答】解：延長(zhǎng)BC,兩線交于O,

在RtAABO中，AB=90°,tan^=-=—,AB=3,

3AB

.?.05=4,?;BC=2,:.OC=OB—BC=4—2=2,

在RtAABO中，NB=90。,AB=3,05=4,由勾股定理得：40=5,vZADC=90°f

T~\X~rX-fT-X0A

AODC=90°=AB,-：AO=AO,\ODC^\OBA,——=——，/.——=-,解得：DC=-,故選:

ABOA355

D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，解直角三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能正確作出輔助線（構(gòu)

造出直角三角形）是解此題的關(guān)鍵.

【例題精析4】｛解直角三角形十｝（2021?內(nèi)江）已知，在AA8C中，ZA=45°,4B=4形，BC=5,

則AABC的面積為2或14.

【分析】過點(diǎn)8作/C邊的高AD,RtAABD中，乙4=45。，AB=472,得8。=40=4,在RtABDC中,

BC=4,得CD=j4?+32=5,①AABC是鈍角三角形時(shí)，②AA8C是銳角三角形時(shí)，分別求出/C的長(zhǎng),

即可求解.

【解答】解：過點(diǎn)2作/C邊的高BD,RtAABD中，入1=45。，AB=46，

BD=AD=4,在RtABDC中，BC=4,CD=742+32=5,①AA8C是鈍角三角形時(shí)，

AC=AD-CD=\,=LNC-3O=^X1X4=2；②ZU2C是銳角三角形時(shí)，AC=AD+CD=1,

22

:.SMBC=1^C-5D=1x7x4=14,故答案為：2或14.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形面積求法，解題關(guān)鍵是分類討論思想.

【例題精析5】｛解直角三角形玄｝如圖，ZU2C中，ZACB=90°,NC=8C,點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在

AB、AC±,連接CD、ED,ED=CD,tanAADE=~,BD=42,貝!|/8=372.

3——

【分析】如圖，過點(diǎn)。作OQL/C于點(diǎn)。，ZJPLBC于點(diǎn)尸，過點(diǎn)作E7L4D于點(diǎn)7.證明A4ET,

NDPB,A4O0都是等腰直角三角形，利用參數(shù)構(gòu)建方程求解即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)0,。尸，8c于點(diǎn)尸，過點(diǎn)作￡7J.4D于點(diǎn)T.

???CA=CB,ZACB=90°,AA=AB=45°,:.AT=ET,DP=PB,BD=42,

FT1

-,PB=DP=1,?/tanZADE=—二可以設(shè)￡T=左，DT=3k,:.AD=4k,

DT3

AE=42k,AQ=DQ=242k,/.EQ=AQ-AE=41k,-/DE=DC,DQ1EC,EQ=CQ=PD=1,

=1,:.k=—,AD=4k=2V2,:.AB=AD+DB=3后,

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助

線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

匕時(shí)點(diǎn)例依

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛解直角三角形玄｝如圖，A42c的頂點(diǎn)N,B,C都在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)

上，AD_L/C于點(diǎn)。，貝Utan/BAD的值為3

【分析】利用等面積法求出2。，再利用勾股定理求出45即可.

【解答】解：由題意得：BC=5,AC=J32+4°=5,AB=Vl2+32=V10,

?.?根2。的面積='/08。=一'33。，5BD=15,:.BD=3,.?.在RtAABD中，AD=yjAB2-BD2=1,

22

DF)

tan/BAD=---=3，故答案為：3.

AD

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，利用等面積法來計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛解直角三角形玄｝如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，射線。4與x軸正半軸的夾角為

a,如果。4=石，tana=2,那么點(diǎn)/的坐標(biāo)是_(1,2)

【分析】構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理和銳角三角函數(shù)求出N3,08即可確定點(diǎn)/的坐標(biāo).

【解答】解：過點(diǎn)/作N8_Lx軸，垂足為3,由于tana=2=——，設(shè)4B=2k,則。8=左，

OB

:.OA=NAB?+0B?=尋=也,:.k=l,OB=1,AB=2,.「＞^41,2),故答案為：(1,2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛解直角三角形★)在入45。中，NACB<90°,AB=13,AC=4^,tanZABC=—,

5

則BC的長(zhǎng)為9.

【分析】過點(diǎn)/作2c于點(diǎn)。，根據(jù)，tanZ^5C=—=—,設(shè)NO=12x,BD=5x,再利用勾股定

5BD

理求得40=12,BD=5,再次利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)/作ND3c于點(diǎn)。,

在RtAABD中，tanZABC=—=—,設(shè)4D=12x,BD=5x,由勾股定理得48=13x,

5BD

AB=13,:.x=l,AD^n,BD=5,CD=AC2-AD2=7(4710)2-122-4,

:.BC=BD+CD=5+4=9,故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛解直角三角形★｝在AA8C中，/D是ZU2C的高線，若tan/C/D=LAB=5,

3

AD=3,則BC長(zhǎng)為5或3.

【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：高在A42C內(nèi)部；高ND在A42。外部.

【解答】解：如圖，分兩種情況：當(dāng)高/。在A43c內(nèi)部時(shí)，

在RtAABD中，BD7AB2-AD?=打-3?=4,在RtAADC中，tanZCAD=-=-,

AD3

CD=1,.-.BC=BD+CD=4+1=5；當(dāng)高4D在AAB。外部時(shí)，易知=

BC'=BD-DC'=4-}=3.故答案為：5或3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于

中考?？碱}型.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?黑龍江）如圖，在AA8C中，NNC3=90。，點(diǎn)。在42的延長(zhǎng)線上，連接C7）,

7AC

若AB=2BD,tanZBCD=-,則」的值為（）

3BC

1B.2C.-D

2-1

【分析】通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的性質(zhì)可求出器=簧=組弓，再根據(jù)

7

tanZ5C￡>=-,設(shè)參數(shù)表示5C即可求出答案.

3

【解答】解：過點(diǎn)Z）作功〃_L5C,交C5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,???/ACB=/DMB=90。，/ABC=/DBM,

BD_BM_DMBDBMDM

???AB=2BD,2,在Rt“DM中，

~AB~BC~AC

由于tan/MCD=2=2^,設(shè),DM=2k,貝!）CN=3左，又?:%=L=BC=2k,AC=4k,

3CMBC2AC

?AC

—=2,故選：B.

~BC2k

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形

的判定和性質(zhì)是正確解答的前提，作垂線構(gòu)造直角三角形是常用的方法.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2】(2021?宜賓)如圖，在A48C中，點(diǎn)。是角平分線40、2E的交點(diǎn)，^AB=AC=10,

BC=12,貝ljtanZOBD的值是()

【分析】NOAD放在RtAOBD中利用三角函數(shù)定義即可求.

【解答】解：如圖：

作。尸_1_48于尸，AB=AC,4D平分NBAC.ZODB=90°.BD=CD=6.根據(jù)勾股定理得:

AD=V100-36=8.;BE平分NABC.OF=OD,BF=BD=6,AF=10-6=4.

設(shè)OD=OF=x,則AO=8-x,在RtAAOF中，根據(jù)勾股定理得

、、、,OD31

(8-X)2=X2+42..?.x=3.:.OD=3,在RtAOBD中，tanZOBD=——.

BD62

法二：在求出4b=4后?.?tanNB/O="=處.OF=3.:.OD=OF=3.

AFAD48

t^ZOBD=—=~.故選：A.

BD2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，角平分線性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，構(gòu)造直角三角形求線段的長(zhǎng)是求解本

題的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典3】（2021?廣東）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC=3,N/3C的平分線交

NC于點(diǎn)。，CD=\,則OO的直徑為（）

A.V3B.273C.1D.2

【分析】如圖，過點(diǎn)。作。于7.證明DT=OC=1,推出推出N/=30。，可得結(jié)

論.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作。于T.

??,/B是直徑，:.ZACB=90°,DC1BC,:DB平分NCBA,DC工BC,DTYBA,

AT3r-

DC=DT=\,-：AC=3,AD=AC-CD=2,AD=IDT,.\ZA=30°,AB=-―=-^=2<3,

cos30°V3

V

解法二：AD=2DT由此處開始，可以在RtAADT中用勾股定理得NT=g,再由垂徑定理可得=2/T

得解.故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，角平分線的性質(zhì)定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用

輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典4]（2021?宜昌）如圖，A4BC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，貝iJcosZ^BC的值為（）

A.也R6D.逑

D.--------

323

【分析】由圖可知，可把N/5C放在RtAABD中，利用勾股定理可求出斜邊的長(zhǎng)，再利用余弦的定義可

DF)3V2

得cos/ABC=----

AB30-2

【解答】解：法一、如圖,

在RtAABD中，ZADB=90°,AD=BD=3,AB=^AD2+BD2=A/32+32=372,

/.cosZABC==-^-j==—.故選：B.

AB3逝2

法二、在RtAABD中，ZADB=90°AD=BD=3,NABD=ABAD=45°,

cosZ^5C=cos45°=—

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義等內(nèi)容，題目比較簡(jiǎn)單，找到角所在的直角三角形

是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用

仰角、俯角'坡度、坡角和方向角:

（1）仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角.（如圖①）

（2）坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母i表示.坡角：坡面與水平面

的夾角叫做坡角，用a表示，則有，（如圖②）

（3）方向角：平面上，通過觀察點(diǎn)O作一條水平線（向右為東向）和一條鉛垂線（向上為北向），則從點(diǎn)。出發(fā)

的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角.（如圖③）

尸工學(xué)俞筆記

【例題精析1】｛解直角三角形的應(yīng)用*｝如圖，太陽光線與地面成80。角，窗子/8=2米，要在窗子

外面上方0.2米的點(diǎn)。處安裝水平遮陽板。C,使光線不能直接射入室內(nèi)，則遮陽板。C的長(zhǎng)度至少是

()

D

222

A.---------米B.2sin80。米C.—--米D.2.2cos80。米

tan80°tan80°

【分析】由已知條件易求。3的長(zhǎng)，在光線、遮陽板和窗戶構(gòu)成的直角三角形中，80。角的正切值=窗戶高：

遮陽板的寬，據(jù)此即可解答.

【解答】解：；23/=0.2米，/8=2米，

:.DB=DA+AB=22^,

?.?光線與地面成80。角，ABCD=80°.

X-.-tanZ5C￡>=—,

DC

.DC,DB2.2

tan/BCDtan80°

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確選擇三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【例題精析2】｛解直角三角形的應(yīng)用*｝我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，所謂“割圓術(shù)”

就是利用圓內(nèi)接正多邊形無限逼近圓來確定圓周率，劉徽計(jì)算出圓周率萬土3.14.劉徽從正六邊形開始

分割圓，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形…割的越細(xì)，圓的內(nèi)接

正多邊形就越接近圓.設(shè)圓的半徑為R,圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)PG=6R,計(jì)算萬。莊=3.下面計(jì)算

圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)正確的是()

【分析】求出正多邊形的中心角，利用三角形周長(zhǎng)公式求解即可.

【解答】解：?.?十二邊形44…42是正十二邊形，=30°.?.?(w_L44于又。4=。4,

1QQO

:./41(W=15。，?.?正〃邊形的周長(zhǎng)=〃-2R-sin——，圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)耳？=24Rsinl5。，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正多邊形與圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知

識(shí)解決問題.

【例題精析3】｛解直角三角形的應(yīng)用★★｝如圖大壩的橫斷面，斜坡48的坡比i=l:2,背水坡CD的

【分析】過點(diǎn)2作于E,過點(diǎn)C作C尸，于尸，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CF,根據(jù)坡

度的概念求出根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案.

【解答】解：過點(diǎn)8作于E,過點(diǎn)C作CFL4B于尸，則四邊形BEFC為矩形，

BE=CF,?.?坡CD的坡比i=l:l,ZD=45°,:.CF=—CD=—x642=6（米），

22

?.?斜坡的坡比i=l:2,AE=2BE=2CF=12,由勾股定理得：AB=^AE1+BE-=7122+62=675

（米），故答案為：6方米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，掌握坡度的概念坡度是坡面的鉛直高度〃和

水平寬度/的比是解題的關(guān)鍵.

【例題精析4】｛解直角三角形的應(yīng)用***｝在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量了旗桿

的高度.如圖，某一時(shí)刻，旗桿N8的影子一部分落在平臺(tái)上的影長(zhǎng)8c為6米，落在斜坡上的影長(zhǎng)CD

為4米，48J_3C,同一時(shí)刻,光線與旗桿的夾角為37。,斜坡的坡角為30。,旗桿的高度AB約為10.61

米.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.6,cos37°?0.8,tan37°?0.75,6*1.73,精確到0.01米）

【分析】過點(diǎn)C作CGL斯于點(diǎn)G,延長(zhǎng)G〃交于點(diǎn)”，過點(diǎn)〃作“PLN8于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作

DQLG8于點(diǎn)。，根據(jù)正切的定義求出/尸，根據(jù)余弦的定義求出D0,根據(jù)正切的定義求出“。，結(jié)合

圖形計(jì)算，得到答案.

【解答】解：過點(diǎn)C作CGLE尸于點(diǎn)G,延長(zhǎng)G//交于點(diǎn)“，過點(diǎn)”作郎J_48于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作

DQLGH于點(diǎn)0,

???HPVAB,CB1AB,CHVBC,

四邊形8cHp為矩形，

PH=BC=6,BP=CH,ACHD=NA=37°,

PH

在RtAAPH中，tanN=——

AP

AP=^-x-^—=8,

tanA0.75

DQ!IGE,

/CDQ=/CEG=30。,

1行

:.CQ=-CD=2,O0=CDxcosNCDQ=4x號(hào)=26,

在RtADHQ中，tanNDHQ=黑,

DQ。述更,

tanZDHQ0.753

:.CH=QH-CQ=^-2,

AB=AP+PB=AP+CH=S+-2?10.61（米）,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定

義是解題的關(guān)鍵.

【例題精析5】｛解直角三角形的應(yīng)用十｝（2021?阜新）如圖，甲樓高21加，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋?/p>

是45。，看乙樓底的俯角是30。，則乙樓高度約為底憶（結(jié)果精確到1加，V3?1.7）.

甲乙

【分析】在A4CE中，根據(jù)NE=90。，ACAE=30°,EC=15米，求出/C、/￡的長(zhǎng)度，然后在AIDE中

求出?！甑拈L(zhǎng)度，繼而可求出CD的高度.

【解答】解：如圖，過/作/ELCD于E,

貝UAB=CE,

在ZUCE中，???AAEC=90°,ACAE=30°,EC=28=21米，

.\AC=21x2=42（米），

AE=y]AC2-CE2=V422-212=2173~35.7（米），

在RtAADE中，???NAED=90°,ZDAE=45°,

AE=DE=35.7米,

乙樓。C=CE+ED=21+35.7=56.7?57（米）.

答：乙樓的高約為57米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的仰角和俯角構(gòu)造直

角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解.

【例題精析6】｛解直角三角形的應(yīng)用*｝如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組要測(cè)量學(xué)校附近樓房。的高度，在

水平地面/處安置測(cè)傾器測(cè)得樓房O頂部點(diǎn)。的仰角為45。，向前走20米到達(dá)4處，測(cè)得點(diǎn)。的仰

求出?！?進(jìn)而求出CD即可.

【解答】解：由題意得：ABED=90°,/DBF=45°,

??.A50E是等腰直角三角形，

二.BE=DE,

設(shè)。E=8E=x米，貝！|8'￡=口一20）米，

在RtAB'DE中，

1—DE

,/tanADB'E=tan67.5°=1+J2=-----,

BrE

解得，X=10A/2+20,

CD=DE+CE=1042+20+1.6=（1072+21.6）（米），

故答案為：（10亞+21.6）米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【例題精析7】｛解直角三角形的應(yīng)用玄｝如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60。方向，距離燈塔

60海里的小島/出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45。方向上的2處，這

時(shí)輪船3與小島/的距離約是82海里.（結(jié)果保留整數(shù)，百。1.732）

北

【分析】根據(jù)/c=60海里，ZACD=3O°,可以先求得4。的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理可以得到的長(zhǎng)，再

根據(jù)/BCD=45。，ZADC=90°,即可得到CD=8。，然后即可計(jì)算出N8的長(zhǎng).

【解答】解：設(shè)N2與CA交于點(diǎn)D,如右圖所示，

由已知可得，AC=60WB，NNCO=90。-60。=30。，

/D」/C=30海里，

2

CD=7602-302=3073（海里），

■.■ZBCD=90°-45°=45°,ZADC=90°,ABCD=ACBD=45°,5。=CO=30。海里，

AB=AD+BD=30+3073?30+30x1.732=30+51.96=81.96?82（海里），故答案為：82.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出/。和的

長(zhǎng).

【例題精析8】｛解直角三角形的應(yīng)用*｝如圖，在東西方向的海岸線上有4,8兩個(gè)港口，甲貨船從/

港沿北偏東60。的方向以4海里/小時(shí)的速度出發(fā)，同時(shí)乙貨船從3港沿西北方向出發(fā)，2小時(shí)后相遇

在點(diǎn)尸處，則乙貨船每小時(shí)航行2.8海里.（精確到0.L”，參考數(shù)據(jù)也。1.414）

【分析】作尸于點(diǎn)C,首先在直角三角形/PC中求得PC,然后在直角三角形中求得的長(zhǎng)，最

后除以時(shí)間即可得到乙貨輪航行的速度.

【解答】解：作尸于點(diǎn)C,?.■甲貨船從/港沿北偏東60。的方向以4海里/小時(shí)的速度出發(fā)，

APAC=30°,/P=4x2=8（海里），；.PC=APxsin30°=8x^=4（海里））.

2

?.?乙貨船從B港沿西北方向出發(fā)，NPBC=45°，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從紛雜的實(shí)際問題中整理出直角三角形并利用解

直角三角形的知識(shí)求解.

三」時(shí)直御球

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛解直角三角形的應(yīng)用***｝小李想測(cè)量一棵樹的高度，假設(shè)樹是豎直生長(zhǎng)的，用圖

中線段48表示，小李站在C點(diǎn)測(cè)得aBC/=45。，小李從C點(diǎn)走4米到達(dá)了斜坡OE的底端。點(diǎn)，并

測(cè)得/CZ）E=150。，從。點(diǎn)上斜坡走了8米到達(dá)E點(diǎn)，測(cè)得乙4成＞=60。，B,C,D在同一水平線

上，/、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，則大樹4g的高度約為24.4米.（結(jié)果精確到0.1米，參

考數(shù)據(jù)：收“41,1.73）

A

E

BD

【分析】過石作EGL4B于G,E尸，AD于尸，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出斯，根據(jù)勾股定理求出。尸,

進(jìn)而求出3,根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：過E作EG_L48于G,EFA.BD于F,

則四邊形G5FE為矩形，

BG=EF,EG=BF,

■：ACDE=Y50°,

NEDF=30°,

?.?DE=8米，

:.EF=^DE=4（米），DF=4V3（米），

.?.CP=CZ）+。尸=（4+4揚(yáng)米，

ZABC=90°,44c8=45°,

AB=BC,

：.GE=BF=AB+4+4y5,AG=AB-4,

ZAED=60°,AGED=ZEDF=30°,

NAEG=30°,

..-/GmAB-4_V3

..tan/4EF------,即------------尸——，

EG45+4+463

解得：43=14+6石?24.4(米),

故答案為：24.4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的

定義是解題的關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛解直角三角形的應(yīng)用★★｝如圖，小陽發(fā)現(xiàn)電線桿的影子落在土坡的坡面CD和地

面3c上，量得CD=12米，3c=20米，CD的坡度為7=1:2后；且此時(shí)測(cè)得1米桿在地面上的影長(zhǎng)

為2米，則電線桿的高度為_(14+40)_米.

A

____X

BC

【分析】過點(diǎn)。作。尸，于尸，DE，8c交8c的延長(zhǎng)線于E,根據(jù)坡度的概念分別求出?！辍E,

根據(jù)題意求出4F,進(jìn)而求出48.

【解答】解：過點(diǎn)。作DFLNB于尸，8c交BC的延長(zhǎng)線于￡,

則四邊形EBE。為矩形，

:.BF=DE,DF=BE,

在RtADCE中，CD的坡度為i=1:2及，

設(shè)。E=x米，則CE=2VL;米，

由勾股定理得：X2+（2V2X）2=122,

解得：X1=4,X2=—4（舍去），

:.BF=DE=4^z,CE=8?米，

DF=BE=BC+CE=（20+8偽米，

由題意得：/斤=；。尸=（10+4后）米，

AB=AF+BF=（14+472）米，

故答案為：（14+4收）.

A

tzzz

BCE

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的

定義是解題的關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛解直角三角形的應(yīng)用***｝自開展“全民健身運(yùn)動(dòng)”以來，喜歡戶外步行健身的人

越來越多.為方便群眾步行健身，某地政府決定對(duì)一段如圖1所示的坡路進(jìn)行改造.如圖2所示，改

造前的斜坡42=200米，坡度為l:g；將斜坡的高度/E降低/C=20米后，斜坡48改造為斜坡

CD,其坡度為1：4.則斜坡CD的長(zhǎng)為80而米.（結(jié)果保留根號(hào)）

圖1圖2

【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得/￡的長(zhǎng)，進(jìn)而得到CE的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到DE

的長(zhǎng)，然后由勾股定理即可求得C。的長(zhǎng)