易錯點05 運用萬有引力知識解決衛(wèi)星相關問題（3陷阱點6考點4題型）（教師版）-2025版高考物理易錯點透析講義

易錯點05不能靈活運用圓周運動知識解決衛(wèi)星相關問題目錄01易錯陷阱易錯點一：開普勒三定律的理解與易錯注意點易錯點二：混淆衛(wèi)星的不同速度和不同模型易錯點三：分析衛(wèi)星的變軌問題出現(xiàn)錯誤02易錯知識點知識點一、人造衛(wèi)星的運動規(guī)律知識點二、近地衛(wèi)星及其速度大小知識點三、地球同步衛(wèi)星的特點知識點四、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上物體的運行問題比較知識點五、衛(wèi)星變軌時三類物理量的定性比較知識點六、雙星多星模型03舉一反三——易錯題型題型一：同步、近地衛(wèi)星模型、赤道物體轉動模型及其物理量的比較題型二：衛(wèi)星變軌、發(fā)射、回收、空間站對接及其能量問題題型三：雙星、多星模型題型四：衛(wèi)星（天體）追及相遇模型04易錯題通關易錯點一：開普勒三定律的理解與易錯注意點（1）行星到太陽的距離越大，行星的速率越小，反之越大。（2）行星繞太陽的運動通常按勻速圓周運動處理。半徑等于半長軸。（3）開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。（4）開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同，故該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。易錯點二：混淆衛(wèi)星的不同速度和不同模型1、三個宇宙速度第一宇宙速度（環(huán)繞速度）v1=7.9第二宇宙速度（脫離速度）v2=11.2第三宇宙速度（逃逸速度）v3=16.72.宇宙速度、發(fā)射速度與衛(wèi)星的繞行速度的關系3.同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星及赤道上物體的比較如圖所示，a為近地衛(wèi)星，軌道半徑為r1；b為地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r2；c為赤道上隨地球自轉的物體，軌道半徑為r3.比較項目近地衛(wèi)星(r1、ω1、v1、a1)同步衛(wèi)星(r2、ω2、v2、a2)赤道上隨地球自轉的物體(r3、ω3、v3、a3)向心力來源萬有引力萬有引力萬有引力的一個分力軌道半徑r2>r1＝r3角速度ω1>ω2＝ω3線速度v1>v2>v3向心加速度a1>a2>a3環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。易錯點三：分析衛(wèi)星的變軌問題出現(xiàn)錯誤1、變軌原理(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉方向先發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，有Geq\f(Mm,r12)＝meq\f(v2,r1)，如圖所示．(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，所需向心力變大，Geq\f(Mm,r12)<meq\f(vA2,r1)，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ.(3)在橢圓軌道B點(遠地點)將做近心運動，Geq\f(Mm,r22)>meq\f(vB2,r2)，再次點火加速，使Geq\f(Mm,r22)＝meq\f(v′2,r2)，進入圓軌道Ⅲ.2、變軌過程分析(1)速度：設衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA、vB.在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.(2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，衛(wèi)星在軌道Ⅱ或軌道Ⅲ上經過B點的加速度也相同．(3)周期：設衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3.(4)機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒．若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ和從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ都需要點火加速，則E1<E2<E3.知識點一、人造衛(wèi)星的運動規(guī)律地球衛(wèi)星的運行參數(shù)(將衛(wèi)星軌道視為圓)物理量推導依據(jù)表達式最大值或最小值線速度Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))當r＝R時有最大值，v＝7.9km/s角速度Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))當r＝R時有最大值周期Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))當r＝R時有最小值，約85min向心加速度Geq\f(Mm,r2)＝manan＝eq\f(GM,r2)當r＝R時有最大值，最大值為g軌道平面圓周運動的圓心與中心天體中心重合共性：距地面越高，軌道半徑大，運動越慢，周期越長——高軌低速（線速度、角速度加速度）長周期知識點二、近地衛(wèi)星及其速度大小近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s。這個速度值又叫第一宇宙速度/s，人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度。計算方法(1)由Geq\f(mm地,R2)＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\r(\f(Gm地,R))；(2)由mg＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\r(gR)。知識點三、地球同步衛(wèi)星的特點(1)不偏不倚軌道平面一定，軌道平面和赤道平面重合繞行方向一定：與地球自轉的方向一致。(2)不快不慢周期一定：與地球自轉周期相同，即T＝24h＝86400s。角速度一定：與地球自轉的角速度相同。線束度和加速度大小一定.設其運行速度為v，由于Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)，所以v＝eq\r(\f(GM,R＋h))＝eq\r(\f(gR2,R＋h))＝3.1×103m/s。由Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma得a＝Geq\f(M,R＋h2)＝gh＝0.23m/s2。（3)不高不低：高度一定，據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝4.23×104km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒量)。轉道半徑一定。。知識點四、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上物體的運行問題比較1．衛(wèi)星的軌道(1)赤道軌道：衛(wèi)星的軌道在赤道平面內，同步衛(wèi)星就是其中的一種．(2)極地軌道：衛(wèi)星的軌道過南、北兩極，即在垂直于赤道的平面內，如極地氣象衛(wèi)星．(3)其他軌道：除以上兩種軌道外的衛(wèi)星軌道．所有衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心．(4)重要數(shù)據(jù)：①地球的公轉周期為1年，其自轉周期為1天(24小時)，地球半徑約為6.4×103km，地球表面重力加速度g約為9.8m/s2.②月球的公轉周期約27.3天，在一般估算中常取27天．③人造地球衛(wèi)星的運行半徑最小為r＝6.4×103km，運行周期最小為T＝84.8min，運行速度最大為v＝7.9km/s.2．兩個向心加速度衛(wèi)星繞地球運行的向心加速度物體隨地球自轉的向心加速度產生原因由萬有引力產生由萬有引力的一個分力(另一分力為重力)產生方向指向地心垂直且指向地軸大小a＝eq\f(GM,r2)(地面附近a近似等于g)a＝rω2，r為地面上某點到地軸的距離，ω為地球自轉的角速度特點隨衛(wèi)星到地心的距離的增大而減小從赤道到兩極逐漸減小3.兩種周期(1)自轉周期是天體繞自身某軸線轉動一周所需的時間，取決于天體自身轉動的快慢．(2)公轉周期是運行天體繞中心天體做圓周運動一周所需的時間，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，取決于中心天體的質量和運行天體到中心天體的距離．4.解題技巧同步衛(wèi)星與赤道上隨地球自轉的物體的共同點是具有相同的角速度和周期。當比較近地衛(wèi)星和赤道上物體的運動規(guī)律時，往往借助同步衛(wèi)星這一紐帶使問題迎刃而解。知識點五、衛(wèi)星變軌時三類物理量的定性比較(1)速度：設衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v4，在軌道Ⅱ上過P、Q點時的速率分別為v2、v3，在P點加速，則v2>v1；在Q點加速，則v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。(2)加速度：因為在P點不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過，P點到地心的距離都相同，衛(wèi)星的加速度都相同，設為aP。同理，在Q點加速度也相同，設為aQ。又因Q點到地心的距離大于P點到地心的距離，所以aQ<aP。(3)周期：設衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑或半長軸分別為r1、r2、r3，由eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。(4)能量問題衛(wèi)星速率增大(發(fā)動機做正功)會做離心運動，軌道半徑增大，萬有引力做負功，衛(wèi)星動能減小，由于變軌時遵從能量守恒，穩(wěn)定在圓軌道上時需滿足Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，致使衛(wèi)星在較高軌道上的運行速率小于在較低軌道上的運行速率，但機械能增大(發(fā)動機做正功)；相反，衛(wèi)星由于速率減小(發(fā)動機做負功)會做向心運動，軌道半徑減小，萬有引力做正功，衛(wèi)星動能增大，同樣原因致使衛(wèi)星在較低軌道上的運行速率大于在較高軌道上的運行速率，但機械能減小(發(fā)動機做負功)。知識點六、雙星多星模型(1)兩顆星體繞公共圓心轉動，如圖1所示。(2)特點①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L。④兩顆星到軌道圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤雙星的運動周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))。⑥雙星的總質量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。2．三星模型(1)三星系統(tǒng)繞共同圓心在同一平面內做圓周運動時比較穩(wěn)定，三顆星的質量一般不同，其軌道如圖2所示。每顆星體做勻速圓周運動所需的向心力由其他星體對該星體的萬有引力的合力提供。(2)特點：對于這種穩(wěn)定的軌道，除中央星體外(如果有)，每顆星體轉動的方向相同，運行的角速度、周期相同。(3)理想情況下，它們的位置具有對稱性，下面介紹兩種特殊的對稱軌道。①三顆星位于同一直線上，兩顆質量均為m的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖3甲所示)。②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖3乙所示)。題型一：同步、近地衛(wèi)星模型、赤道物體轉動模型及其物理量的比較【例1】（2024?大興區(qū)校級模擬）北京時間2023年12月17日15時，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用雙曲線一號商業(yè)運載火箭成功將“迪邇一號”衛(wèi)星順利送入預定軌道。“迪邇一號”衛(wèi)星、北斗地球同步衛(wèi)星飛行的軌道如圖所示。下列說法正確的是（）A．“迪邇一號”衛(wèi)星的角速度小于北斗地球同步衛(wèi)星的角速度 B．“迪邇一號”衛(wèi)星的角速度大于北斗地球同步衛(wèi)星的角速度 C．“迪邇一號”衛(wèi)星繞地球運行的線速度等于靜止于赤道上的物體隨地球自轉的線速度 D．“迪邇一號”衛(wèi)星繞地球運行的線速度小于靜止于赤道上的物體隨地球自轉的線速度【解答】解：AB、根據(jù)萬有引力提供向心力得GMm可得ω=因“迪邇一號”衛(wèi)星的軌道半徑比北斗地球同步衛(wèi)星的小，則“迪邇一號”衛(wèi)星的角速度大于北斗地球同步衛(wèi)星的角速度，故A錯誤，B正確；CD、根據(jù)萬有引力提供向心力得GMmr2可得v=因“迪邇一號”衛(wèi)星的軌道半徑比北斗地球同步衛(wèi)星的小，則“迪邇一號”衛(wèi)星的線速度大于北斗地球同步衛(wèi)星的線速度。地球同步衛(wèi)星的角速度等于地球自轉的角速度，由v＝ωr分析可知，北斗地球同步衛(wèi)星的線速度大于靜止于赤道上的物體隨地球自轉的線速度，所以“迪邇一號”衛(wèi)星繞地球運行的線速度大于靜止于赤道上的物體隨地球自轉的線速度，故CD錯誤。故選：B。【變式1-1】（2024?皇姑區(qū)校級模擬）中國志愿者王躍參與了人類歷史上第一次全過程模擬從地球往返火星的試驗“火星—500”。假設將來人類一艘飛船從火星返回地球時，經歷如圖所示的變軌過程，下列說法正確的是（）A．飛船在軌道Ⅰ上運動時，在P點的速度大于在軌道Ⅱ上運動時在P點的速度 B．飛船在軌道Ⅱ上運動時，在P點的速度小于在Q點的速度 C．若軌道Ⅰ貼近火星表面，已知萬有引力常量為G，測出飛船在軌道Ⅰ上運動的周期，就可以推知火星的密度 D．飛船在軌道Ⅰ上運動到P點時的加速度小于飛船在軌道Ⅱ上運動到P點時的加速度【解答】解：A、軌道Ⅰ相對于Ⅱ做向心運動，所以飛船在軌道Ⅰ上運動時，在P點的速度小于在軌道Ⅱ上運動時在P點的速度，故A錯誤；B、根據(jù)開普勒第二定律可知，所以飛船在軌道Ⅱ上運動時，在P點的速度大于在Q點的速度，故B錯誤；C、根據(jù)萬有引力提供向心力，則有：GMmr2=mr根據(jù)密度計算公式可得：ρ=MV若軌道Ⅰ貼近火星表面，則有r≈R，解得：ρ=已知萬有引力常量為G，測出飛船在軌道Ⅰ上運動的周期，就可以推知火星的密度，故C正確；D、根據(jù)牛頓第二定律可得GMmr2=故選：C?！咀兪?-2】（2024?榮昌區(qū)校級模擬）有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星：a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉動；b在地球的近地圓軌道上正常運行；c是地球同步衛(wèi)星；d是高空探測衛(wèi)星。各衛(wèi)星排列位置如圖，則下列說法正確的是（）A．a的向心加速度大于b的向心加速度 B．四顆衛(wèi)星的速度大小關系是：va＞vb＞vc＞vd C．在相同時間內d轉過的弧長最長 D．d的運動周期可能是30h【解答】解：A、地球同步衛(wèi)星的周期c必須與地球自轉周期相同，角速度相同，則知a與c的角速度相同，根據(jù)a＝ω2r知，c的向心加速度大。由牛頓第二定律得：GMmr2B、根據(jù)v=GMr可知，vb＞vc＞vd，a、c同軸轉動，角速度相等，由于c的半徑大，則va＜vC、由B可知，衛(wèi)星b的半徑最小，速度最大，在相同時間內轉過的弧長最長，故C錯誤。D、由開普勒第三定律R3故選：D。【變式1-3】（2024?湖北模擬）我國首顆量子科學實驗衛(wèi)星于2016年8月16日1點40分成功發(fā)射。量子衛(wèi)星成功運行后，我國在世界上首次實現(xiàn)衛(wèi)星和地面之間的量子通信，構建天地一體化的量子保密通信與科學實驗體系。1軌道為量子衛(wèi)星靜止在赤道上隨地球自轉，2為近地軌道，3為地球的同步軌道，如圖所示。已知該衛(wèi)星在1軌道隨地球自轉的周期約為近地軌道2運動周期的17倍，關于該衛(wèi)星在1、2、3軌道繞地球做勻速圓周運動的說法中正確的是（）A．衛(wèi)星在軌道1的加速度最大，線速度最小 B．衛(wèi)星在軌道2的加速度最大，線速度最大 C．衛(wèi)星在軌道3運動的周期最大，線速度最小 D．若將該衛(wèi)星放在南極極點上，與軌道1處相比，其重力將變?yōu)樵瓉淼?.89倍【解答】解：ABC、衛(wèi)星在1軌道和3軌道上運行時，周期相等，角速度相等，根據(jù)v＝ωr，a＝ω2r可知，衛(wèi)星在軌道1的加速度和線速度都小于衛(wèi)星在軌道3的加速度和線速度。對于2軌道和3軌道，根據(jù)萬有引力提供向心力得GMm可得：v=GMr，a=可知衛(wèi)星在2軌道的線速度大于衛(wèi)星在3軌道的線速度，衛(wèi)星在2軌道的加速度大于衛(wèi)星在3軌道的加速度，衛(wèi)星在2軌道的周期小于衛(wèi)星在3軌道的周期.綜上所述，衛(wèi)星在軌道2的加速度最大，線速度最大，衛(wèi)星在軌道1和軌道3運動的周期相等，衛(wèi)星在軌道2運動的周期最小，故AC錯誤，B正確；D、設衛(wèi)星在2軌道上運行的周期為T，地球半徑為R，根據(jù)題意可知，在南極極點上，衛(wèi)星的重力等于地球對衛(wèi)星的萬有引力，為G=m×4在赤道上，衛(wèi)星的重力為G'=m×4可得：GG'故選：B。題型二：衛(wèi)星變軌、發(fā)射、回收、空間站對接及其能量問題【例2】（2024??？谀M）嫦娥六號于2024年6月2日成功著陸月背南極﹣艾特肯盆地。如圖所示，假設登月探測器在環(huán)月軌道1上的P點實施變軌，進入橢圓軌道2，再由Q點進入圓軌道3。若軌道1的半徑為3r，軌道3的半徑為r，登月探測器在軌道3的運行周期為T，則下列說法正確的是（）A．探測器在軌道3上運行時加速度不變 B．探測器在軌道2上運行的周期為22C．探測器在軌道1和軌道3上運行的線速度大小之比v1：v3＝1：3 D．探測器從軌道2上的Q點進入圓軌道3時，需要點火加速【解答】解：A、根據(jù)牛頓第二定律有GMmr解得a=GM可知，探測器在軌道3上運行時加速度大小不變，方向改變，所以加速度是變化的，故A錯誤；B、探測器在軌道2上運行時的軌道半長軸為r2探測器在軌道2和軌道3上運行時，根據(jù)開普勒第三定律得(2r)解得探測器在軌道2上運行的周期為T2C、探測器在軌道1、3上運行時，根據(jù)萬有引力提供向心力得GMmr解得v=GM解得v1D、探測器由高軌道變軌到低軌道，做向心運動，需要在Q點減速，故D錯誤。故選：B?！咀兪?-1】（2024?浙江模擬）太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則（）A．空間站變軌前、后在P點的加速度相同 B．空間站變軌后的運動周期比變軌前的小 C．空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小 D．空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大【解答】解：A.根據(jù)萬有引力定律G得a=由于空間站變軌前、后在P點到地球中心的距離相等，因此空間站變軌前、后在P點的加速度相同，故A正確；B.根據(jù)開普勒第三定律r變軌后的半長軸r2＞r1聯(lián)立得T空間站變軌后的運動周期比變軌前的大，故B錯誤；C.空間站變軌前后的運動情況如圖所示：根據(jù)運動的合成與分解，空間站在P點變軌前的速度小于變軌后的速度，即v1p＜v2p，故C錯誤；D.空間站從2軌道進入3軌道做向心運動，因此v2Q＞v3Q空間站在1、3軌道做勻速圓周運動，根據(jù)線速度與軌道半徑的關系v=由于r1＞r3，因此v3＞v1，即v3Q＞v1P綜合分析得v2Q＞v3Q＞v1P空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的小，故D錯誤。故選：A?！咀兪?-2】（2024?江蘇模擬）一宇宙飛行器從地面發(fā)射，經過轉移軌道后，繞太陽系另一行星運行，若再經過幾次變軌后，進入如圖所示的橢圓軌道Ⅰ，然后在軌道上P點變軌進入圓軌道Ⅱ，已知萬有引力常量為G，則（）A．飛行器從地面發(fā)射的速度小于11.2km/s B．飛行器在P點從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ時機械能減小 C．若測出飛行器在軌道Ⅱ上運行的速率，可求該行星質量 D．若測出飛行器在軌道Ⅰ經過P點時的速率和到該行星中心的距離，可求該行星質量【解答】解：A、因為飛行器已經離開了地球的束縛，成為了另一顆行星的衛(wèi)星，所以發(fā)射速度需要大于第二宇宙速度11.2km/s，故A錯誤；B、飛行器在P點從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需要點火減速，對飛行器做負功，所以飛行器的機械能減小，故B正確；C、根據(jù)牛頓第二定律有GMmr2=D、若測出飛行器在軌道Ⅰ經過P點時的速率和到該行星中心的距離，但是飛行器在P點后要做離心運動，不滿足GMmr故選：B。【變式2-3】（2024?香坊區(qū)校級二模）2023年5月30日16時29分，神舟十六號載人飛船入軌后，成功對接于空間站天和核心艙徑向端口，形成了三艙三船組合體，飛船發(fā)射后會在停泊軌道（Ⅰ）上進行數(shù)據(jù)確認，后擇機經轉移軌道（Ⅱ）完成與中國空間站的交會對接，其變軌過程可簡化為下圖所示，已知停泊軌道半徑近似為地球半徑R，中國空間站軌道距地面的平均高度為h，飛船在停泊軌道上的周期為T1，則（）A．飛船在轉移軌道（Ⅱ）上各點的速率均小于7.9km/s B．飛船在停泊軌道（Ⅰ）與組合體在空間站軌道（Ⅲ）上的速率之比為（R+h）：R C．飛船在轉移軌道（Ⅱ）上正常運行的周期為T=TD．飛船在轉移軌道（Ⅱ）上Q點的加速度小于空間站軌道（Ⅲ）上Q點的加速度【解答】解：A、第一宇宙速度（7.9km/s）是最小的發(fā)射速度，飛船在轉移軌道（Ⅱ）上P點的速率均大于7.9km/s，故A錯誤；B、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力有：GMmr2=mv2rC、根據(jù)開普勒第三定律可得R3T1D、根據(jù)牛頓第二定律可得GMmr2=故選：C。題型三：雙星、多星模型【例3】（2024?天心區(qū)校級模擬）據(jù)報道，中國科學院上海天文臺捕捉到一個“四星系統(tǒng)”。兩種可能的四星系統(tǒng)構成如圖所示，第一種如甲所示，四顆星穩(wěn)定地分布在正方形上，均繞正方形中心做勻速圓周運動，第二種如乙所示，三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，第四顆星相對其他三星位于三角形中心，位于頂點的三顆星繞三角形中心運動。若兩系統(tǒng)中所有星的質量都相等，AB＝CD，則第一、二種四星系統(tǒng)周期的比值為（）A．233+32C．322+4【解答】解：對于第一種四星系統(tǒng)，圖甲中每顆星體受力情況如下圖所示。設AB＝CD＝a，由幾何關系可知，圖甲中正方形的對角線的長度為2a由萬有引力定律可得：F1=Gmma2每顆星體所受合力大小為：F合1＝2F1cos45°+F2由合力提供向心力有：F合1=m聯(lián)立解得：T對于第二種四星系統(tǒng)，圖乙中三角形頂點上的星體受力情況如下圖所示。由幾何關系可知，圖乙中三角形的邊長：r2=asin60°=由萬有引力定律可得：F3=Gmmr2每顆星所受合力大小為：F合2＝2F3cos30°+F4由合力提供向心力有：F合2=m聯(lián)立解得：T可得第一、二種四星系統(tǒng)周期的比值為：T1故選：B?！咀兪?-1】（2024?龍鳳區(qū)校級模擬）如圖所示，P、Q恒星構成的雙星系統(tǒng)，一顆質量為m，另一顆質量為2m，兩星均視為質點且距離保持不變，均繞它們連線上的O點做勻速圓周運動。軌道平面上的觀測點F相對于O點靜止，連續(xù)兩次出現(xiàn)P、Q與O、F共線的時間間隔為t。僅考慮雙星間的萬有引力，引力常量為G。則下列說法不正確的是（）A．恒星Q的質量為2m B．恒星P圓周運動的角速度為πtC．任意時間內兩星與O點的連線掃過的面積相等 D．恒星P、Q之間的距離為(【解答】解：AB.設恒星P、Q的質量分別為m1、m2，做圓周運動的軌跡半徑分別為r1、r2，且兩恒星之間的距離為L，根據(jù)題圖可知r1＞r2，而根據(jù)題意可得T2=t。根據(jù)ω=2πT可得兩恒星轉動得角速度ω=πt，根據(jù)萬有引力充當向心力有：Gm1mC.由于兩恒星角速度相同，但半徑不同，且P的軌跡半徑大于Q的軌跡半徑，因此任意時間內兩星與O點的連線掃過的面積SP＞SQ，故C錯誤；D.根據(jù)Gm1m2L2=m1ω2本題選擇錯誤的，故選：C。【變式3-2】（2024?天心區(qū)校級模擬）宇宙間存在一些離其他恒星較遠的雙星系統(tǒng)。雙星系統(tǒng)由兩顆相距較近的恒星組成，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的一點做周期相同的勻速圓周運動。某雙星系統(tǒng)由甲、乙兩顆恒星組成，甲、乙兩顆恒星的質量分別為m1、m2，且m1＞m2。它們做勻速圓周運動的周期為T，萬有引力常量為G。關于雙星系統(tǒng)的下列說法正確的是（）A．恒星甲做勻速圓周運動的半徑大于恒星乙做勻速圓周運動的半徑 B．恒星甲做勻速圓周運動的線速度大于恒星乙做勻速圓周運動的線速度 C．雙星做圓周運動的速率之和v1D．雙星之間的距離r=【解答】解：A、兩星做圓周運動的角速度相等，根據(jù)萬有引力提供向心力有：G可得：m根據(jù)題設條件可知：m1＞m2則有：r1＜r2則恒星甲做勻速圓周運動的半徑小于恒星乙做勻速圓周運動的半徑，故A錯誤；B、根據(jù)v＝ωr可知恒星甲做勻速圓周運動的線速度小于恒星乙做勻速圓周運動的線速度，故B錯誤；CD、根據(jù)A中表達式，變形后有：Gm2兩式相加整理后得：r=雙星做圓周運動的速率之和：v1故選：D?！咀兪?-3】（2024?蜀山區(qū)校級三模）宇宙中大多數(shù)恒星系都是雙星系統(tǒng)，如圖所示，兩顆遠離其他星系的恒星A和B在相互之間的引力作用下繞O點做勻速圓周運動，且A星距離O點更近。軌道平面上的觀測點P相對O點靜止，觀察發(fā)現(xiàn)每隔T時間，兩顆恒星與O、P共線。已知引力常量為G，其中一顆恒星的質量為m、另一顆恒星的質量為3m，恒星的半徑都遠小于它們之間的距離。則以下說法正確的是（）A．A的質量為m B．該雙星系統(tǒng)的運動周期為T C．A、B相距的距離為r=3D．在相同時間里，A、B兩顆恒星與O點連線掃過的面積之比為1：3【解答】解：A、雙星系統(tǒng)的周期相同，相互之間引力等大，因此質量大的恒星半徑較小，A的質量為3m，故A錯誤；BD、觀察發(fā)現(xiàn)每隔T時間，兩顆恒星與O、P共線，該雙星系統(tǒng)的運動周期為2T，而單位時間內恒星與O點連線掃過的面積S=πC、由萬有引力提供向心力有Gm1m2r2=故選：C。題型四：衛(wèi)星（天體）追及相遇模型【例4】（2024?海珠區(qū)校級模擬）無地面網(wǎng)絡時，華為Mate60Pro可連接天通一號進行衛(wèi)星通話。天通一號目前由01、02、03共三顆地球同步衛(wèi)星組網(wǎng)而成，分別定位于東經101.4度、東經125度、東經81.6度。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，同步衛(wèi)星運行的周期為T，下列說法正確的是（）A．若03星加速，則一定可以追上01星 B．三顆衛(wèi)星的線速度一定比赤道上地面物體的線速度小 C．三顆衛(wèi)星的軌道半徑一定都是3gD．三顆衛(wèi)星的線速度大小一定都是3【解答】解：A.若03星加速，則軌道半徑會增大，無法追上01星，故A錯誤；B.地球同步衛(wèi)星與地球赤道上物體的角速度相等，由v＝ωr可知，三顆衛(wèi)星的線速度一定比赤道上地面物體的線速度大，故B錯誤；C.由GGMmR可得三顆衛(wèi)星的軌道半徑一定都是r=3D.由v=2πrT，得三顆衛(wèi)星的線速度大小故選：C?！咀兪?-1】（2024?江蘇模擬）三顆人造衛(wèi)星A、B、C都在赤道正上方同方向繞地球做勻速圓周運動，A、C為地球同步衛(wèi)星，某時刻A、B相距最近，如圖所示。已知地球自轉周期為T1，B的周期為T2，則下列說法正確的是（）A．A加速可追上同一軌道上的C B．經過時間T1TC．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度 D．A、B與地心連線在相同時間內掃過的面積相等【解答】解：A、衛(wèi)星A加速后做離心運動，軌道變高，不可能追上衛(wèi)星C，故A錯誤；B、A、B兩衛(wèi)星由相距最近至相距最遠時，圓周運動轉過的角度相差π，即ωBt﹣ωAt＝π，其中ωA=2πT1C、根據(jù)萬有引力提供向心力有GMmr2D、繞地球運動的衛(wèi)星與地心連線在相同時間t內掃過的面積S=12vt?r，其中v=故選：B?！咀兪?-2】（2024?慶云縣校級模擬）2022年6月5日17時42分，神舟十四號載人飛船與天和核心艙徑向端口成功對接。對接后的組合體繞地球做勻速圓周運動，其軌道離地面高度為地球半徑的116A．神舟十四號與天和核心艙對接時，要先變軌到達核心艙所在的軌道，再加速追上核心艙進行對接 B．組合體的向心加速度大于g C．組合體的線速度小于地球赤道上物體的線速度 D．組合體運行的周期為T=【解答】解：A、神舟十四先變軌到達核心艙所在的軌道，再加速后會做離心運動，無法追上核心艙進行對接，故A錯誤；B、組合體繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，得GMmr2=在地球表面上，有：GMm'R2=C、對于組合體和地球同步衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力得：GMmr2=mv2rD、組合體的軌道半徑為r＝R+116R=1716R，根據(jù)GMm故選：D?！咀兪?-3】（2023?秦淮區(qū)校級模擬）屈原在長詩《天問》中發(fā)出了“日月安屬？列星安陳？”的曠世之問，這也是中國首次火星探測工程“天問一號”名字的來源。“天問一號”探測器的發(fā)射時間要求很苛刻，必須在每次地球與火星會合之前的幾個月、火星相對于太陽的位置領先于地球特定角度的時候出發(fā)?；鹦桥c地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運動。如圖所示，不考慮火星與地球的自轉，且假設火星和地球的軌道平面在同一個平面上，相關數(shù)據(jù)見表，則根據(jù)提供的數(shù)據(jù)可知（）質量半徑繞太陽做圓周運動的周期地球MR1年火星約0.1M約0.5R約1.9年A．在火星表面附近發(fā)射飛行器的速度至少為7.9km/s B．地球與火星從第1次會合到第2次會合的時間約為1.9年 C．火星表面與地球表面的重力加速度之比約為2：5 D．火星到太陽的距離約為地球到太陽的距離的1.9倍【解答】解：A、設地球最小的發(fā)射速度為v1，則根據(jù)萬有引力提供向心力有GMmR可得v1＝7.9km/h則火星的發(fā)射速度與地球的發(fā)射速度之比為v1可得火星的發(fā)射速度為v1B、根據(jù)兩次會合時地球多轉一圈得(2π代入數(shù)據(jù)解得地球和火星從第1次會合到第2次會合的時間約為2.1年，故B錯誤；C、不考慮自轉時，根據(jù)物體的重力等于萬有引力得GMmR火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比為g'gD、根據(jù)開普勒第三定律a3T2故選：C。（2024?洛陽一模）北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國自行研制的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，現(xiàn)有55顆衛(wèi)星組成。如圖所示，P是緯度為θ的地球表面上一點，人造地球衛(wèi)星A、B均做勻速圓周運動，衛(wèi)星B為地球赤道同步衛(wèi)星。若某時刻P、A、B與地心O在同一平面內，其中O、P、A在一條直線上，且∠OAB＝90°，下列說法正確的是（）A．P點向心加速度大于衛(wèi)星A的向心加速度 B．衛(wèi)星A、B與P點均繞地心做勻速圓周運動 C．衛(wèi)星A、B的線速度之比為vAD．衛(wèi)星A、B的周期之比為T【解答】解：A、因為∠OAB＝90°，所以OB大于OA，即B衛(wèi)星勻速圓周運動半徑大于A衛(wèi)星半徑，由萬有引力提供向心力有：GMmr2=mrω2，解得：ω=GMr3，可知ωB＜ωA，又因為ωP＝ωB，所以ωP＜ωA，根據(jù)rP＜rA，a＝ωB、衛(wèi)星A、B繞地心做勻速圓周運動，P點運動的圓軌跡與地軸線垂直，圓心在圖中O點正上方，故B錯誤；C、由萬有引力提供向心力有：GMmr2=mv2r，解得：v=GMr；由于rAD、根據(jù)開普勒第三定律可得：r3T2故選：D。（2024?歷城區(qū)校級模擬）如圖甲是國產科幻大片《流浪地球2》中人類在地球同步靜止軌道上建造的空間站，人類通過地面和空間站之間的“太空電梯”往返于天地之間。圖乙是人乘坐“太空電梯”時由于隨地球自轉而需要的向心加速度a與其到地心距離r的關系圖像，已知r1為地球半徑，r2為地球同步衛(wèi)星軌道半徑，下列說法正確的是（）A．地球自轉的角速度ω=aB．地球同步衛(wèi)星的周期T=2πrC．上升過程中電梯艙對人的支持力保持不變 D．從空間站向艙外自由釋放一物體，物體將做自由落體運動【解答】解：A、根據(jù)向心加速度公式有：a＝ω2r，可知a﹣r圖像中，其斜率為角速度的平方，故A錯誤；B、由于向心加速度a2=故其周期為：T=2πC、上升過程中，處于超重狀態(tài)，支持力會變大，故C錯誤；D、太空中處于失重狀態(tài)，從艙釋放一物體，不會做自由落體運動，故意D錯誤。故選：B。（2024?思明區(qū)校級模擬）2024年3月20日，我國“鵲橋二號”衛(wèi)星發(fā)射成功，多次調整后進入周期為24h的環(huán)月橢圓軌道運行，并與在月球上開展探測任務的“嫦娥四號”進行通訊測試。已知月球自轉周期27.3天，下列說法正確的是（）A．月球處于“鵲橋二號”橢圓軌道的中心位置 B．“鵲橋二號”在近月點和遠月點的加速度大小相同 C．“鵲橋二號”在遠月點的運行速度小于月球第一宇宙速度 D．“鵲橋二號”與月心連線和“嫦娥四號”與月心連線在相等時間內分別掃過的面積相等【解答】解：A.由開普勒第一定律可知，月球處于“鵲橋二號”橢圓軌道的一個焦點上，故A錯誤；B.“鵲橋二號”在近月點距離月球最近，受到的萬有引力最大，加速度最大；在遠月點距離月球最遠，受到的萬有引力最小，加速度最小，故“鵲橋二號”在近月點和遠月點的加速度大小不相同，故B錯誤；C.“鵲橋二號”在遠月點的速度小于軌道與遠月點相切的衛(wèi)星的線速度，軌道與遠月點相切的衛(wèi)星的線速度小于第一宇宙速度，故“鵲橋二號”在遠月點的運行速度小于月球第一宇宙速度，故C正確；D.由開普勒第二定律可知，同一顆衛(wèi)星與月球的連線在相同時間掃過的面積相等，但是“鵲橋二號”與“嫦娥四號”是兩顆軌道不同的衛(wèi)星，相同時間掃過的面積不相等，故D錯誤。故選：C。（2024?南寧模擬）某飛船繞地球做橢圓運動的軌跡如圖所示，AB是橢圓的長軸，CD是橢圓的短軸，E、F兩點關于橢圓中心對稱。比較飛船沿順時針分別從C運動到E和從D運動到F的兩個過程，以下說法正確的是（）A．從D到F過程平均速率小 B．兩個過程運動時間相等 C．兩個過程飛船與地心連線掃過的面積相等 D．飛船在C點所受萬有引力小于在F點所受萬有引力【解答】解：AB、由圖可知，從C運動到E和從D運動到F的兩個過程的路程相等，從C運動到E飛船的速率減小，從D運動到F速率增大，則從C運動到E的時間比從D運動到F的時間長，根據(jù)平均速率等于路程與時間之比可知，從D到F過程平均速率大，兩個過程運動時間不相等，故AB錯誤；C、根據(jù)開普勒第二定律可知，從C運動到E和從D運動到F的兩個過程的時間不等，則兩個過程飛船與地心連線掃過的面積不相等，故C錯誤；D、由于C點到地心的距離比F點到地心的距離遠，根據(jù)F=GMm故選：D。（2024?江蘇模擬）國產科幻大片《流浪地球2》中提出太空電梯設想，其原理如圖所示．假設有一太空電梯軌道連接地球赤道上的固定基地與同步空間站A，空間站A相對地球靜止，某時刻電梯?？吭谲壍滥澄恢茫l(wèi)星B與同步空間站A的運行方向相同，此時二者距離最近，經過時間t后，A、B第一次相距最遠．已知地球自轉周期為T，則下列說法正確的是（）A．太空電梯內的乘客處于完全失重狀態(tài) B．電梯軌道對電梯的作用力方向指向地心 C．電梯軌道外部一物體脫落后將做勻速圓周運動 D．衛(wèi)星B繞地球做圓周運動的周期為2Tt【解答】解：A、對地球衛(wèi)星，有GMmr2=mω2r，解得B、電梯做勻速圓周運動，由合外力提供向心力，根據(jù)電梯受到的萬有引力大于做圓周運動的向心力，則萬有引力與電梯軌道對電梯的作用力的差值提供向心力，即電梯軌道對電梯的作用力方向與萬有引力方向相反，指向空間站，故B錯誤；C、對于同步衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力，有：GMm同r同2電梯環(huán)繞半徑小于同步軌道半徑，即r梯＜r同，則GMm梯r梯2萬有引力大于電梯做圓周運動的向心力，符合近心運動的條件，故電梯外殼上脫落的物體將做近心運動，故C錯誤；D、設衛(wèi)星B繞地球做圓周運動的周期為T′。經過時間t之后，A、B第一次相距最遠，則有tT?t故選：D。（2024?沈陽三模）我國首顆超百Gbps容量的高通量地球靜止軌道通信衛(wèi)星——“中星26號”與某一橢圓軌道偵察衛(wèi)星的運動軌跡如圖所示，A、B分別為偵察衛(wèi)星的近地點和遠地點。兩衛(wèi)星的運行周期相同，D點是兩軌道交點，BC連線過地心，下列說法正確的是（）A．偵查衛(wèi)星從B點運動到A點過程中機械能減小 B．偵查衛(wèi)星從B點運動到A點過程中動能減小 C．“中星26號”和偵察衛(wèi)星在D點的加速度相等 D．A、B兩點間距離與“中星26號”衛(wèi)星軌道半徑相等【解答】解：A.偵查衛(wèi)星從B點運動到A點過程中，只有萬有引力做功，機械能守恒，故A錯誤；B.偵查衛(wèi)星從B點運動到A點過程中，萬有引力做正功，動能增加，故B錯誤；C.根據(jù)萬有引力提供向心力可得GMmr2D.根據(jù)開普勒第三定律可知，r3故選：C。（2024?龍崗區(qū)校級三模）神舟十六號是中國“神舟”系列飛船的第十六次任務，也是中國空間站運營階段的首次飛行任務。如圖所示，神舟十六號載人飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ、空間站組合體處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ，兩者都在其軌道上做勻速圓周運動。通過變軌操作后，飛船從A點沿橢圓軌道Ⅱ運動到B點與空間站組合體對接，已知地球的半徑為R、地球表面重力加速度為g。下列說法正確的是（）A．飛船在軌道Ⅰ上的運行速度大于地球的第一宇宙速度 B．飛船沿軌道Ⅱ運行的周期大于空間站組合體沿軌道Ⅲ運行的周期 C．飛船在軌道Ⅰ上A點的加速度小于在軌道Ⅱ上A點的加速度 D．空間站組合體在軌道Ⅲ運行的周期T【解答】解：A、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時，根據(jù)萬有引力提供向心力，有GMm解得：v=GMr，可知衛(wèi)星的軌道半徑越大，速度越小。因為rB、飛船在軌道Ⅱ上運動的半長軸小于在軌道Ⅲ上運動的軌道半徑，根據(jù)開普勒第三定律a3C、根據(jù)萬有引力提供向心力，有GMmr2D、空間站組合體在軌道Ⅲ時，根據(jù)萬有引力提供向心力，有GMm且在地球表面上，有GMm聯(lián)立解得：T3故選