2024-2025學年北京市石景山區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市石景山區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線y=3x?1的傾斜角為A.15° B.30° C.45° D.60°2.雙曲線x26?yA.y=±12x B.y=±2x C.y=±3.已知兩條不同的直線l，m與兩個不同的平面α，β，下列命題正確的是(

)A.若l//α，l⊥m，則m⊥α B.若α//β，m//α，則m//β

C.若l⊥α，l//β，則α⊥β D.若l//α，m//α，則l//m4.過點P(2,1)作圓C：x2+y2=1的切線l，則切線A.4x?3y?5=0 B.4x?3y?9=0

C.y=1或4x?3y?5=0 D.y=1或4x?3y?9=05.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，滿足∠F1MF2=π2A.(0,1) B.(0,12] C.(0,6.如圖所示，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，點M在OA上，且OM=2A.12a?23b+127.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為BA.π2 B.π3 C.π48.在平面內(nèi)，A,B是兩個定點，C是動點．若AC?BC=1，則點C的軌跡為A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線9.在正四棱錐P?ABCD中，AB=2，二面角P?CD?A的大小為π4，則該四棱錐的體積為(

)A.4 B.2 C.43 D.10.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為棱AB的中點，動點P在平面BCA.兩個點

B.線段

C.圓的一部分

D.拋物線的一部分二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。11.在空間直角坐標系中，已知點A(1,1,2)，B(?3,1,?2)，則線段AB的中點坐標是______．12.點P(1,?1)到直線x?y+1=0的距離是______．13.若直線l1：ax+2y+2=0與直線l2：3x?y?2=0平行，則a的值為______．14.已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，點M在C上.若M到直線x=?3的距離為5，則|MF|=______．15.如圖所示，在四面體ABCD中，AD⊥BD，截面PQMN是矩形，給出下列四個結(jié)論：

①平面BDC⊥平面ADC；

②AC//平面PQMN；

③平面ABD⊥平面ADC；

④AD⊥平面BDC．

其中所有正確結(jié)論的序號是______．三、解答題：本題共5小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題6分)

在△OAB中，O是坐標原點，A(?2,2)，B(1,3)，求△OAB的外接圓方程．17.(本小題8分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，底面ABC為等邊三角形，E，F(xiàn)分別為BB1，AC的中點．

(Ⅰ)求證：BF//平面A1EC18.(本小題8分)

拋物線C：y2=4x的頂點為坐標原點O，焦點為F，過F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點．

(Ⅰ)當k=1時，求|AB|；

(Ⅱ)若△OAB的面積為6，求k19.(本小題9分)

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ADEF為正方形，四邊形ABCD為梯形.AD//BC，∠BAD=∠BAF=90°，AB=AD=1，BC=3．

(Ⅰ)求證：AF⊥CD；

(Ⅱ)求直線BF與平面CDE所成角的正弦值；

(Ⅲ)判斷線段BD上是否存在點M，使得直線CE/?/平面AFM.(結(jié)論不要求證明)20.(本小題9分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(0,3)，且離心率為12.設(shè)A，B為橢圓C的左、右頂點，P為橢圓上異于A，B的一點，直線AP，BP分別與直線l：x=4相交于M，N兩點，且直線MB與橢圓C交于另一點H．

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；

(Ⅱ)求證：直線AP與參考答案1.D

2.C

3.C

4.C

5.C

6.B

7.D

8.A

9.C

10.B

11.(?1,1,0)

12.313.?6

14.4

15.ABC

16.解：設(shè)△OAB的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2?4F>0)，

根據(jù)題意，可得17.(Ⅰ)證明：取A1C1的中點N，連接NF，EM，設(shè)NF∩AC1=M，因為E，F(xiàn)分別為BB1，AC的中點，

可得M為NF的中點，所以EM//BF；

又因為EM?平面A1EC，BF?平面A1EC，

所以BF//平面A1EC；

(Ⅱ)證明：因為底面ABC為等邊三角形，F(xiàn)為AC的中點，所以BF⊥AC，

又因為A1A⊥底面ABC，BF?平面ABC，

所以AA1⊥BF，而AC∩AA1=A，

所以BF⊥平面ACC1A1，

18.解：(Ⅰ)易知拋物線C的焦點坐標為F(1,0)，

當k=1時，直線l的方程為y=x?1，

聯(lián)立y=x?1y2=4x，消去y并整理得x2?6x+1=0，

此時Δ>0，

由韋達定理得xA+xB=6，xAxB=1，

所以|AB|=1+k2×(xA+xB)2?4xAxB=2×36?4=8；

(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=k(x?1)，A(x1,y1)，B(x219.解：(Ⅰ)證明：因為ADEF為正方形，

所以AF⊥AD，

又因為∠BAF=90°，所以AF⊥AB，

因為AB∩AD=A，

所以AF⊥平面ABCD，又因為CD?平面ABCD，

所以AF⊥CD．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，AF⊥AD，AF⊥AB，

因為∠BAD=90°，所以AB，AD，AF兩兩垂直，

分別以AB，AD，AF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(如圖)，

因為AB=AD=1，BC=3，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,3,0)，D(0,1,0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，

所以BF=(?1,0,1)，DC=(1,2,0)，DE=(0,0,1)，

設(shè)平面CDE的一個法向量為n=(x,y,z)，

則n?DC=0,n?DE=0.即x+2y=0z=0，

令x=2，則y=?1，所以n=(2,?1,0)，

設(shè)直線BF與平面CDE所成角為θ，

則sinθ=|cos?n,BF?|=|2×(?1)|5×2=105；

(Ⅲ)存在，

設(shè)BMBD=λ(λ∈(0,1]),

設(shè)M(x1,y1,z1)，則(x1?1,y1,z1)=λ(?1,1,0)，

所以x1=1?λ，y1=λ，z1=0，

所以M(1?λ,λ,0)，

所以AM=(1?λ,λ,0)．

設(shè)平面AFM的一個法向量為m=(x0,y0,z0)20.解：(Ⅰ)根據(jù)題意可知b=3ca=12a2=b2+c2，解得a=2b=3c=1.

所以橢圓C的方程x24+y23=1；

(Ⅱ)根據(jù)題意，直線AP，BP的斜率都存