高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修三）第05講531等比數(shù)列（5知識(shí)點(diǎn)6題型強(qiáng)化訓(xùn)練）

等比數(shù)列課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解等比數(shù)列的定義；（2）掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用；（3）掌握等比數(shù)列的判定方法；（4）理解等比中項(xiàng)的概念，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用；（5）掌握等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，并能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。（1）能敘述等比數(shù)列和等比中項(xiàng)定義，能夠應(yīng)用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列；（2）探索并記憶等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能夠應(yīng)用它解決等比數(shù)列的問(wèn)題；（3）能在具體問(wèn)題情境中發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)01等比數(shù)列的概念1、等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示．2、對(duì)等比數(shù)列概念的理解（1）“從第2項(xiàng)起”，是因?yàn)槭醉?xiàng)沒(méi)有“前一項(xiàng)”，同時(shí)注意公比是每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，前后次序不能點(diǎn)到，另外等比數(shù)列中至少含有三項(xiàng)；（2）定義中的“同一常數(shù)”是定義的核心之一，一定不能把“同”字省略，這是因?yàn)槿绻粋€(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，但是如果這些常數(shù)不相同，那么此數(shù)列也不是等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)這些常數(shù)相同時(shí)，數(shù)列才是等比數(shù)列；（3）若一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)其，而是從第3項(xiàng)起或第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，則此數(shù)列不是等比數(shù)列；（4）由定義可知，等比數(shù)列的任一項(xiàng)都不為0，且公比；（5）不為0的常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列，其公比為1?！炯磳W(xué)即練1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下面四個(gè)選項(xiàng)中，正確的有（）A．由第1項(xiàng)起乘相同常數(shù)得后一項(xiàng)，這樣所得到的數(shù)列一定為等比數(shù)列B．常數(shù)列b，b，…，b一定為等比數(shù)列C．等比數(shù)列中，若公比，則此數(shù)列各項(xiàng)相等D．等比數(shù)列中，各項(xiàng)與公比都不能為零【答案】CD【解析】當(dāng)乘以的常數(shù)為0時(shí)，不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；時(shí)不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；由等比數(shù)列的定義，若，則，即，故C正確；由等比數(shù)列的定義可得各項(xiàng)與公比均不能為0，若有一項(xiàng)為0，則比值沒(méi)有意義，故D正確.故選：CD.知識(shí)點(diǎn)02等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推廣1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則通項(xiàng)公式為：.2、通項(xiàng)公式的推廣：或【即學(xué)即練2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，，公比．若，則的值為（）A．4B．5C．6D．7【答案】D【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，公比，所以，當(dāng)時(shí)，得，故選：D知識(shí)點(diǎn)03等比數(shù)列的單調(diào)性等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（1）當(dāng)，或，時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；（2）當(dāng)，或，時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列；（4）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列。【即學(xué)即練3】（2023·北京·高二北京八中?？计谥校┮阎堑缺葦?shù)列，則“”是“是增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由數(shù)列是等比數(shù)列，可假設(shè)，則，可知，但數(shù)列不是遞增數(shù)列，若數(shù)列是遞增等比數(shù)列，由定義可知，，故“”是“是遞增數(shù)列”的必要不充分條件故選：B知識(shí)點(diǎn)04等比中項(xiàng)1、等比中項(xiàng)定義：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列2、對(duì)等比中項(xiàng)概念的理解（1）G是a與b的等比中項(xiàng)，則a與b的符號(hào)相同，符號(hào)相反的兩個(gè)實(shí)數(shù)不存在等比中項(xiàng)．此時(shí)，，即等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)．（2）時(shí)，G不一定是a與b的等比中項(xiàng)．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比數(shù)列；（3）在等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)；（4）與等比數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于該項(xiàng)的平方，即在等比數(shù)列中，3、等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)區(qū)別（1）任意兩數(shù)都存在等差中項(xiàng)，但并不是任意兩數(shù)都存在等比中項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)同號(hào)且均不為0時(shí)才存在等比中項(xiàng)；（2）任意兩數(shù)的等差中項(xiàng)是唯一的，而若兩數(shù)有等比中項(xiàng)，則等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)?！炯磳W(xué)即練4】（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)是2、8的等比中項(xiàng)，則（）A．B．C．4D．5【答案】A【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)是2、8的等比中項(xiàng)，所以，得，故選：A知識(shí)點(diǎn)05等比數(shù)列的性質(zhì)1、“子數(shù)列”性質(zhì)（1）對(duì)于無(wú)窮等比數(shù)列，若將其前項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)仍為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；若取出所有的的倍數(shù)項(xiàng)，組成的數(shù)列仍未等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；（2）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為2、“下標(biāo)和”性質(zhì)：在等比數(shù)列中，若，則；（1）特別地，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（2）若數(shù)列是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的積等于首末兩項(xiàng)的積，即3、兩等比數(shù)列合成數(shù)列的性質(zhì)：若數(shù)列，是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，是不等于0的常數(shù)，則數(shù)列、、也是等比數(shù)列；【即學(xué)即練5】（2024·湖南常德·高二常德市一中?？计谀└黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A．9B．10C．11D．【答案】B【解析】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，因?yàn)?，所以所以，故選：B.【題型一：等比數(shù)列的概念】例1．（2022·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考期中）下列三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列的是（）A．1，4，8B．，2，4C．9，6，4D．4，6，8【答案】C【解析】，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)?，所?，6，4依次成等比數(shù)列，C選項(xiàng)正確.，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C變式11．（2019·高二單元測(cè)試）下列各組數(shù)成等比數(shù)列的是（）①，，，②，，，③，，，④，，，A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】①首項(xiàng)為1，公比為，是等比數(shù)列；②首項(xiàng)為，公比為，是等比數(shù)列；③當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列；④首項(xiàng)為，公比為，是等比數(shù)列，所以①②④成等比數(shù)列.故選：C.變式12．（2023·上海浦東新·高二南匯中學(xué)校考期末）若成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)列：（1）;（2）;（3），必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則均不為0，且，，故成等比數(shù)列，且公比為，因此成等比數(shù)列，且公比為，，當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列，且公比為，但當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列，故選：C變式13．（2023·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列，則“”是“為等比數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若為等比數(shù)列，則一定成立；若，則不一定為等比數(shù)列，比如所以“”是“為等比數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.變式14．（2022·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）若，，成等比數(shù)列且公比為，那么，，（）A．不一定是等比數(shù)列B．一定不是等比數(shù)列C．一定是等比數(shù)列，且公比為D．一定是等比數(shù)列，且公比為【答案】C【解析】因?yàn)?，，成等比?shù)列且公比為，所以，，可得，，由等比數(shù)列的中項(xiàng)可判斷得，，成等比數(shù)列，并且公比為.故選：C【方法技巧與總結(jié)】判定等比數(shù)列，要抓住3個(gè)要點(diǎn)：①?gòu)牡诙?xiàng)起；②要判定每一項(xiàng)，不能有例外；③每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)，且不能為0.【題型二：等比數(shù)列的通項(xiàng)及基本量】例2．（2024·安徽滁州·高二安徽省滁州中學(xué)?？计谀┰诘缺葦?shù)列中，，，則公比（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題知，解得.故選：A變式21．（2023·全國(guó)·高二期末）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則（）A．28B．63C．189D．289【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由，則，解得,故.故選：C變式22．（2023·江蘇宿遷·高二?？计谥校┮阎缺葦?shù)列滿足，若，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，則，解得：.故選：C.變式23．（2024·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谀┤舻缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（）A．B．3C．9D．27【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，故，即有，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），故.故選：D.變式24．（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則的公比為.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，對(duì)任意的，，則，因?yàn)?，則，可得，因?yàn)?，解得，因此，?shù)列的公比為.【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式涉及4個(gè)量，，，，只要知道其中任意三個(gè)就能求出另外一個(gè)，在這四個(gè)量中，和是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，問(wèn)題便迎刃而解，求解時(shí)要注意?！绢}型三：等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】例3．（2024·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谀┮阎?xiàng)等比數(shù)列中，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則，，則，又，即，解得.故選：B變式31．（2024·河北石家莊·高二石家莊市第二十二中學(xué)?？计谀┮阎缺葦?shù)列{an}的公比，則等于（）A．B．C．D．9【答案】D【解析】等比數(shù)列{an}的公比，則．故選：D．變式32．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（）A．B．C．32D．64【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，解得，所以．故選：C．變式33．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列滿足.若，則（）A．24B．27C．36D．40【答案】B【解析】數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，，由，得，得，.故選：B.變式34．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）（多選）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，若，，則（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由已知，又，，所以，，A正確，B錯(cuò)誤；，，，所以，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時(shí)的2個(gè)注意點(diǎn)（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若，則有”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．【題型四：等比數(shù)列的證明】例4．（2023·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足，且．（1）設(shè)數(shù)列滿足，證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1），，，，因?yàn)?，故，．是首?xiàng)，公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，又，所以，所以．故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．變式41．（2023·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可求得，所以，即.變式42．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．（1）求的值；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.【解析】（1）數(shù)列滿足，所以，.（2）由，得，即，而，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，，所以.變式43．（2023·天津北辰·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且.在數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：是等比數(shù)列.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的，.（2）當(dāng)時(shí)，，可得，所以，，且，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，所以，，因此，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.變式44．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，、、成等差數(shù)列，又，，，……證明：為等比數(shù)列．【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】證明：因?yàn)?、、成等差?shù)列，所以，即，又設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，這樣，從而，若，此時(shí)是各項(xiàng)均為正數(shù)的常數(shù)列，故，此時(shí)也為常數(shù)列，且，這時(shí)，為公比為等比數(shù)列.若，則，，，且，這時(shí)，是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．綜上所述，為等比數(shù)列.【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列的判定方法1、定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；2、中項(xiàng)法：（）為等比數(shù)列；3、通項(xiàng)公式法：（，為常數(shù)）為等比數(shù)列.【題型五：靈活設(shè)元求解等比數(shù)列】例5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知4個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為1，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)之和為－，則此4個(gè)數(shù)為．【答案】或【解析】設(shè)此4個(gè)數(shù)為.則，且①，所以，當(dāng)時(shí)，，代入①式化簡(jiǎn)可得，此方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，代入①式化簡(jiǎn)可得，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以這4個(gè)數(shù)為或.變式51．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）有四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，它們的積是，后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積為，求出這四個(gè)數(shù)．【答案】這四個(gè)數(shù)為或【解析】由題意設(shè)此四個(gè)數(shù)為，則有，解得或.所以這四個(gè)數(shù)為或.變式52．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，則這四個(gè)數(shù)為．【答案】0，4，8，16或15，9，3，1【解析】解法1：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為，a，，，由條件得解得或所以當(dāng)，時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)分別為0，4，8，16；當(dāng)，時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)分別為15，9，3，1．故所求的四個(gè)數(shù)分別為0，4，8，16或15，9，3，1．解法2：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為，，a，，由條件得解得或當(dāng)，時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)分別為0，4，8，16；當(dāng)，時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)分別為15，9，3，1．故所求的四個(gè)數(shù)分別為0，4，8，16或15，9，3，1．變式53．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）互不相等的三個(gè)數(shù)之積為－8，這三個(gè)數(shù)適當(dāng)排列后可成為等比數(shù)列，也可排成等差數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)．【答案】這三個(gè)數(shù)為－2，1，4.【解析】設(shè)三個(gè)數(shù)為，a，aq，∴a3＝－8，即a＝－2，∴三個(gè)數(shù)為－，－2，－2q.（1）若－2為－和－2q的等差中項(xiàng)，則＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，q＝1，與已知矛盾；（2）若－2q為－與－2的等差中項(xiàng)，則＋1＝2q，2q2－q－1＝0，q＝－或q＝1(舍去)，∴三個(gè)數(shù)為4，－2，1；（3）若－為－2q與－2的等差中項(xiàng)，則q＋1＝，∴q2＋q－2＝0，∴q＝－2或q＝1(舍去)，∴三個(gè)數(shù)為1，－2，4.綜合（1）（2）（3）可知，這三個(gè)數(shù)為－2，1，4.變式54．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）四個(gè)數(shù)中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若首末兩數(shù)之和為14，中間兩數(shù)之和為12，求這四個(gè)數(shù)．【答案】2，4，8，12或，，，【解析】設(shè)四個(gè)數(shù)依次為、、、．則，解得或．故所求的四個(gè)位數(shù)依次為2，4，8，12或，，，．【方法技巧與總結(jié)】解決已知三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的問(wèn)題，靈活地設(shè)項(xiàng)至關(guān)重要，一般地：（1）三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，，；推廣到一般：奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比數(shù)列列為…，，，，；，…（2）四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，，，；推廣到一般：偶數(shù)個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為…，，，，，；，…（3）四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號(hào)是否相同時(shí)，可設(shè)為，，，【題型六：等比數(shù)列的單調(diào)性與最值】例6．（2024·河北保定·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則下列能判斷為遞增數(shù)列的有（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】由等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，對(duì)于A中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以B正確；對(duì)于C中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以D正確.故選：BD.變式61．（2023·陜西咸陽(yáng)·高二武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考期末）已知是遞增的等比數(shù)列，且，則其公比滿足（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是等比數(shù)列，故，當(dāng)時(shí)，各項(xiàng)正負(fù)項(xiàng)間隔,為擺動(dòng)數(shù)列,故,顯然，由得，又是遞增的等比數(shù)列，故為遞減數(shù)列,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知.故選:D變式62．（2024·北京順義·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為q，記（），則“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意，，，當(dāng)時(shí)，對(duì)于不一定恒成立，例如；當(dāng)為遞減數(shù)列時(shí)，且對(duì)于恒成立，又因?yàn)?，所以得，因此“”是“?shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件，故選：C.變式63．（2023·福建莆田·高二莆田二中校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，并目滿足條件，，，則下列結(jié)論不正確的是（）A．B．C．的最大值為D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，由，且，則，，若時(shí)，由，則，，所以，與已知條件矛盾，所以，故A正確；對(duì)于B，結(jié)合選項(xiàng)A可得，所以，故B不正確；對(duì)于C，結(jié)合選項(xiàng)A可得等比數(shù)列的公比為，所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，又結(jié)合選項(xiàng)A可得，所以的最大值為，故C不正確；對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)A可得，所以，故D正確．故選：BC．變式64．（2024·全國(guó)·高二期末）（多選）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是公差大于0的等差數(shù)列，且，，則（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】設(shè)的公比為，的公差為，所以，，，所以，由可知為單調(diào)遞增數(shù)列，即因?yàn)?，，，所以，即，?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，作出函數(shù)，的圖象如圖所示，由上述圖象可知，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象在處相交，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，.故選：BCD.【方法技巧與總結(jié)】數(shù)列的單調(diào)性是通過(guò)連續(xù)兩項(xiàng)的大小關(guān)系判斷的，同時(shí)在解決數(shù)列相關(guān)問(wèn)題時(shí)特別是要注意數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，當(dāng)然也要意識(shí)到數(shù)列與連續(xù)函數(shù)的區(qū)別。注意到這兩點(diǎn)，與數(shù)列的單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題便會(huì)迎刃而解。一、單選題1．（2024·湖南岳陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列是等比數(shù)列，，公比，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，，公比，則.故選：C.2．（2022·陜西榆林·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列是（）A．以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列B．以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列C．以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列D．以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.故選：A3．（2024·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）公比為2的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則（）A．32B．16C．4D．2【答案】D【解析】由公比為2的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，則.故選：D.4．（2024·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)期末）若遞增等比數(shù)列滿足，，則此數(shù)列的公比（）A．B．或C．D．或【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，則，可得，所以，，可得，即，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，合乎題意.綜上所述，.故選：C.5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為（）A．32B．64C．256D．【答案】B【解析】因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以，∴，又，∴，?故選：B.6．（2024·貴州畢節(jié)·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的第二項(xiàng)為1，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的第二項(xiàng)為1，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)一定為正，若，則，即，此時(shí)，故，即充分性成立；若，則，所以或，此時(shí)或，所以不一定成立，即必要性不成立.故選：A.7．（2023·河北滄州·高二河北省吳橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的公比為，則“且”是“是遞減數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，當(dāng)且時(shí)，則，且單調(diào)遞減，則是遞減數(shù)列，故充分性滿足；當(dāng)是遞減數(shù)列，可得或，故必要性不滿足；所以“且”是“是遞減數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A8．（2024·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【解析】由已知數(shù)列各項(xiàng)均為正，因此乘積也為正，公比，若，則，由等比數(shù)列性質(zhì)知，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；又，因?yàn)?，所以，所以，則，故先增后減，所以，故選項(xiàng)B正確；若，則，又，無(wú)法判斷與1的大小，即無(wú)法判斷與1的大小，故與大小沒(méi)法判斷，故選項(xiàng)CD錯(cuò)誤.故選：B二、多選題9．（2023·廣東韶關(guān)·高二?？计谥校┰O(shè)公比為的等比數(shù)列，若，則（）A．B．當(dāng)時(shí)，C．和的等比中項(xiàng)為4D．【答案】AB【解析】A選項(xiàng)，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，即，故A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以和的等比中?xiàng)為4或4，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故，D不正確.故選：AB10．（2022·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列為等比數(shù)列，則（）A．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列【答案】BD【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，A.由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B.可知數(shù)列，，每項(xiàng)都不為0，且，故B正確．C.當(dāng)數(shù)列為1，，1，，1……時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D.數(shù)列，，的每一項(xiàng)都不為0，且，故D確.故選：BD11．（2024·重慶·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，已知數(shù)列為等比數(shù)列，則（）A．一定為等比數(shù)列B．一定為等比數(shù)列C．當(dāng)時(shí)，一定為等比數(shù)列D．當(dāng)時(shí)，可能為等比數(shù)列【答案】ABD【解析】設(shè)的公比為，A選項(xiàng)，，故一定為等比數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，，故一定為等比數(shù)列，B正確；C選項(xiàng)，不妨設(shè)，此時(shí)公比為1，則，故不是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，不妨設(shè)，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，可能為公比為1的等比數(shù)列，D正確.故選：ABD12．（2024·陜西西安·高二陜西師大附中?？计谀┑缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為，其前項(xiàng)的乘積記為．若，，則（）A．B．C．D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，【答案】ABC【解析】正項(xiàng)等比數(shù)列前n項(xiàng)之積，由得：，于是得，解得，所以，因?yàn)?，所以，，故A正確；因?yàn)?，，即，因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，故B正確；，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最大值，所以，故C正確；由，當(dāng)時(shí)，即，解得或（舍），所以時(shí)，，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.三、填空題13．（2024·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則.【答案】3【解析】.14．（2024·安徽合肥·高二合肥市第八中學(xué)校考期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，．【答案】5【解析】正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，解得，舍去負(fù)值，所以.15．（2024·河北保定·高二保定一中?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為．【答案】【解析】由，是方程的兩根，得，顯然，則，在等比數(shù)列中，同號(hào)，即，又，，所以.16．（2024·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【